边界元法和ANSYS简介

浅谈边界元法及ANSYS简介

摘要本文先从边界元法的起源和发展及数学分析的角度对其作了简要的介绍，然后又结合国际上目前比较先进的边界元快速算法指明边界元的特点，并且列举了常见的几类边界元法；讨论了铸件锻造模拟技术与方法，举例说明数值模拟在大锻件中的最优解问题；最后又介绍了ANSYS软件的特点和使用方法，并列举了其在材料力学教学和研究中的一些应用。

关键词边界元法数值模拟 ANSYS

Abstract This paper begins with the perspective of the origin and development and mathematical analysis of the boundary element method for its brief introduction, and then combined with the current advanced international fast algorithm about boundary element ,and cited the common types of boundary element method; discussed forging simulation techniques and methods of casting, numerical simulations illustrate the optimal solution of the problem in large forgings; finally describing the characteristics and use of ANSYS software, and cited its teaching and research in mechanics of materials in some applications.

Key words boundary element method numerical simulations ANSYS

1.边界元法

1．1边界元法的起源与发展

边界元法又称为边界积分方程法(Boundary Integral Equation Method),它以定义在边界上的边界积分方程为控制方程,通过对边界上离散单元的插值计算,将边界积分方程化为线性代数方程组进行求解。

1978 年 Brebbia使用加权余量法推导出了边界积分方程,并指出加权余量法是最普遍的数值方法,如果以 Kelvin 解作为加权函数,从加权余量法中导出的将是边界积分方程,从而初步形成了边界元法的理论体系,标志着边界元法进入系统性研究时期。1905 年Fredholm 首先将积分方程应用于弹性力学问题,Fredholm 积分方程是通过以单层势和双层势为主要变量的调和位势发展而来的,将其进一步发展便可形成所谓的间接边界元法。1929 年 Kellogg 巧妙的将 Fredholm 积分方程用于求解位势问题。20 世纪40 年代末,积分方程已经发展到能处理具有第一类边界条件的特殊问题,随着一些学者对积分方程尤其是奇异积分方程理论作了更为深入的研究。60 年代初,Jaswon 和 symm将积分方程应用于位势问题的求解,积分方程作为数值计算方法开始尝试应用于实际问题,为边界元法的形成开辟了道路。

可用于实际问题计算的边界元法正式建立于 70 年代,南安普顿大学的 Watson【1】和Lachat【2】的两篇博士论文奠定了边界元法的基础,详细阐述了边界元法的计算原理和数值过程,并于 1976 年将边界元法应用到了弹性静力学的三维问题中,解决了边界积分方程的奇异性困难。1978 年,Cruse将边界元法成功应用于二维线弹性断裂力学问题的求解。同年,Brebbia出版了有关边界元法的首本专著《The Boundary Element Method for Engineers》,系统阐述了边界元法在各类物理领域的发展与应用,从而边界元法的名称也被正式沿用。从此以后,边界元法得到了国内外学者的广泛关注,并将其发展应用到固体力学、流体力学、弹性动力学、热传导、电磁场以及声学等领域，为工程实际问题的数值计算做出了极大的贡献。边界元法在我国的研究与应用始于上世纪70年代末,杜庆华院士和姚振汉教授对我国的边界元法研究与发展发挥了极为重要的推动作用,使得国内边界元法的科研水平基本上与国际同步。

1.2边界元法的数学分析

边界元法只需将区域的边界分割成边界单元，使所考虑问题的维数降低一维，即可把三维问题转变成二维问题、将二维问题转变成一维问题来处理。因此，与对整个区域进行

分割的区域型解法（有限差分法(FDM) 和有限单元法(FEM)）相比，它具有输入数据少，计算时间短等优点，因此，特别适用于无限域问题和三维问题。

图1 边界元法的区域分割图示

边界元法通常有两种解答: 间接解与直接解 。无论那种解答都与基本解有密切关系。为此, 我们阐明关于基本解的理论。

基本解的物理意义是:单位集中源所产生白俩,就是未知场(未知函数)的基本解。换句话说,基本解是一个函数,它代表了单位集中源所产生的场。正因为如此,我们又称基本解是点源函数。对于任何一个二二程、物理中的场问题,通常.总是通过已知的边界条件和物理规律(由数学方程来表达)寻求末知函数(场)。例如,对于弹性体静力学问题,我们是在已知的外力和约束条件下,利用弹性力学的理论寻求弹性体的位移场和应力场;对于热传导问题，则是在已知的热源以及其他边界条件下,利用热力学规律,求解物体内部的温度场;对于静电场问题,则是在已知电源以及其他边界条件下,利用静电场的基本规律,求解电位场等等。如果把外力、热源、电源等从其他条件中抽出来,并且概括地称为源,那么,在既定的物理规律和边界条件之下,一定的源就产生一定的场。而基本解就是单位集中源产生的场。有了基本解,就可以利用迭加原理把任何源所产生的场求出来,从而解决了我们所需要解决的问题。由于叠加原理只在线性算子的条件卞才成立,所以用以反映物理规律的数学程必须是线性的。根据迭加原理,多个集中源所产生的场应等于各个集中源所产生的场的总和。如果是分布源,则其相应的场应等于按分布密度积分所得的结果。下面我们用数学语言描述基本解的物理意义。

设已知线性微分方程

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