鲁棒控制理论第六章-1
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鲁棒控制理论
第六章 H∞标准控制
前言
• 本章在标准框架下讨论H∞控制问题的求解。
• H∞控制理论可分为频域方法和时域方法。本章开始介 绍时域方法。
• 时域状态空间方法包括Riccati方法和LMI (Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式)方法。
• 本章将重点介绍理论上成熟的Riccati方法（包括状态 反馈求解方法和输出反馈求解方法），并对近年非常 流行的LMI方法进行必要的讨论。
• H∞控制理论发展 – 1981年，Zames提出以控制系统的某些信号间的传递函数（矩 阵）的H∞范数作为优化性能指标的设计思想 – 1982年，Doyle针对H∞性能指标发展了“结构奇异值”来检验 鲁棒性，极大程度地促进了以∞范数为性能指标的控制理论的 发展 – Youla等人提出的控制器参数化，使Zames的H∞性能指标以及 Doyle的结构奇异值理论揭开了反馈控制理论的新篇章 – H∞控制理论蓬勃发展：从频域到时域、定常系统到时变系统、 线性系统到非线性系统、连续系统到离散系统、确定性系统到 不确定系统、无时滞系统到时滞系统、单目标控制到多目标控 制…… – 目前线性系统的H∞控制理论已经基本成熟，形成了一套完整 的频域设计理论和方法，而时域状态空间的Riccati方法和LMI 方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计算机辅助设计 等优点而倍受重视
范数极小的问题，便转化为使Tyv s W s 的
注意到图2干扰抑制系统中，z y，于是有 y Wv G0 r u W z Wv G0 r u u Ky 由此得广义被控对象的传递函数阵 W G0 G0 G s W G G 0 0 其H 标准控制的结构框图 如图3所示，图中外部输入 v 信号w r
2
P s 被控对象，C1 , C2 分别为前馈和
反馈控制器。由于增加了设计的自由度， 便可保证控制器成为正则有理函数。 因此，在跟踪问题中取 也称为二自由度系统。u为控制信号， 由图有 r u C1 r C2 v C1 C2 v 参考输入 被跟踪信号 r并不是一个已知 确定信号，而是属于某个能量有限信号 的集合 R r r Ww, w H 2 , w 2 1
y
K s
P 0 s
A P0，r P s P0 s s j
r j ,
由定义知，图6所示系统鲁棒稳定的必要条件是标称闭环系统 =0 是 稳定的。此条件等价于传递函数矩阵 G s I K s P0 s K s RH
G12 s w G22 s u
于是，图中从w到z的闭环传递函数阵为 Tzw s LFT G , K G11 G12 K I G22 K G21
1
• 定义1（H∞最优控制问题）
求一正则实有理控制器K，使闭环系统内稳定且使传递函数阵 Tzw s 的H 极小，即 min Tzw s
r -v
2 2
u
2 2
作为目标函数，其中 为权因子。 r v 若令z ，则上述目标函数等 u 于 z 2 .于是跟踪问题归结为目标函数 sup z
2
2 2
w H2 , w
2
1
的极小化问题。
r v 为将跟踪问题化归为H 标准控制问题，取z 为被控输出， u r y 为量测输出，w为外部输入信号，u为控制信号。 v 可得广义被控对象和控制器方程为 r v W z u 0 y r W v 0 相应的G和K 为： P I w , 0 u P u C1 r C2 v
1
图7
图6所示的系统可以等价地表示为图7.
s
因此，如果G s RH ，且 s RH ， 则由小增益定理 Nyquist 判据 可知， 该系统鲁棒稳定的一个充分条件是： r s I K s P0 s K s
G11 G12 G , K C1 C2 G21 G22 W P W 0 G11 , G12 , G21 , G22 0 I 0 P 其H 标准控制的结构图如图5所示。
G w
W
r
+ —
r-v
u
r
y v z
I
u P
+ + K
C1 C2
图5
鲁棒稳定问题
定义3
设P0 s 、r s 和控制器K s 给定。 r 若P s A P, r ，该系统是稳定 K s 为鲁棒稳定控制器。 的，则称系统是鲁棒稳定的，且称
图6
s
P s
sup T
2
v H2 , v
2
2
1
sup Tyv s W s v
yv
v H2 , v v H2 , v
2
1
s W s v 2
2
1
Tyv s W s
可见，对于给定集合D中的任意d，使y的H 2 H 范数极小的问题，从而，干扰抑制问题 转化为图1所示的H 标准控制问题。
u
v w r W G0 G0 + + y G z
v G0 G0 u r
K
图3
跟踪问题
w W 图4 r C1 + C2 u P v
设计的目标是：选择控制器C1和C2， 使跟踪误差 r v 2 取极小。 但追求这一目标所得的控制器会成 为一非正则的控制器，控制信号的 幅度成为无穷大，无法实现。若在 目标函数中增加一个能量的惩罚项，
2 2 取二次型性能指标为J y t ru t dt , r 0 0
(6.2)
, q 4 r 1 . 其中K 1 q 5 2 q 2 5 2 q q 4 根据LQ最优调节器的性质，由(6.1)和(6.2)构成的状态反馈闭环系统具有大 于0.5的稳定幅值裕度，大于等于 60o的相角稳定裕度.
干扰抑制问题
r — 图2 u K G0 + d y
设计控制器K s ，使闭环系统内稳定， 且使J sup y
2
v H 2 , v 2 1 极小
1
y I G0 s K s d Tyv s W s v sup y
D d d W s v, v H 2 , v 2 1 其中W s 是稳定的实有理函数， 称为权函数，用来反映在期望的 频段上对干扰的抑制能力。 上式表示一个能量有限的干扰信 号v通过权函数W s 形成系统的 干扰输入d .
G s
1
1 (6.3)
这是因为如果上式成立，则 即小增益定理成立。 事实上，可以证明以下定理
G
r
G
r sG s
1
定理1：设K s 和A P0，r 给定，且任意P s A P0，r 的在s闭右 半平面的极点个数与P0的相同，则图6所示闭环系统鲁棒稳定的充 分必要条件是当 s 0时，标称系统稳定，且(6.3)式成立
二、H∞标准控制问题
• 问题的定义 • 工程实际中，许多控制问题可归结 为H∞标准控制问题 – 干扰抑制问题 – 跟踪问题 – 鲁棒稳定问题
问题的定义
w G u 图1 K y z
广义被控对象G的状态空间实现为: Ax B1 w B2 u x z C1 x D11 w D12 u y C2 x D21 w D22 u 其中x R n , z R m , y R q , w R r , u R p . 相应的传递函数矩阵为
例
2s 3 考虑SISO被控对象，其传递函数为P0 s , 其状态空间最小 s 1 s 2 t Ax t bu t , x 0 x0 , y t Cx t ， (6.1) （能控、能观测）实现为x 1 0 1 其中A , B , C 1 1. 0 2 1 可求得使性能指标J 达极小得状态反馈控制律为u Kx t ,
K
0
• 定义2（H∞次优控制问题）
求一正则实有理的K，使闭环系统内稳定，且使 其中 0 Tzw s
注：
1. 如果以上两种控制问题有解，我们可以通过逐渐减小 去逼近 0， 即由次优控制问题的解去逼近最优问题的解 2. 不失一般性，常取 =1 3. H 问题难以求解。本章主要讨论H 次优控制问题的各种解法，并 将其称为H 标准控制问题
B1 D11 D21 B2 D12 D22
A G11 s G12 s G s C1 G21 s G22 s C2 z w G11 s 即我们有： G s y u G21 s u K s y
下面考虑如下形式的模型摄动：P s Po s s , 其中P s 为摄动后的
实际的被控对象传递函数， s 为模型误差， s , 其中 为一实数. s 1 亦即对于0 ，有 P j P0 j . s 1 1 上述摄动的状态空间实现表现为b矩阵的摄动b b 0 1
本章内容
• • • • • • • 一、问题的提出 二、H∞标准控制问题 三、Riccati方程和H∞范数 四、状态反馈H∞控制 五、输出反馈H∞控制 六、参数不确定系统的鲁棒H∞控制 七、可靠Hwk.baidu.com控制
一、问题的提出
• 根据LQ最优调节器的性质，LQ（LQG）状态反馈系统 的幅值稳定裕度为0.5~ ∞，而相角稳定裕度大于等于+60o. • LQG控制系统具有一定的相对稳定性，但LQG控制系统 甚至LQ最优调节器对被控对象的模型摄动（模型误差） 的鲁棒稳定性在某些场合很差。 – 如果被控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅 知道其模型属于某个已知的模型集合； – 外部信号（包括干扰信号、传感器噪声和指令信号等） 不是具有已知特性（如统计特性或能量谱）的信号， 也仅知道其属于某个已知的信号集合。 • 在以上两种情况下，控制系统的设计如果采用传统的H2 性能指标，在某些场合不能满足实际的需要。
由摄动后的被控对象的状态空间实现和式(4.1.2)的闭环反馈控制律，构成一 个闭环系统.可以求得该闭环系统具有两个闭环极点，这两个闭环极点当 r 0 控制能量较小时，p1 q, p2 1 2 可见，当 0.5 0时，p1和p2 均为实数，且 越小，p2 越大,也就是说， 被控对象的微小模型摄动会使该闭环系统具有很大的不稳定的正实极点.
第六章 H∞标准控制
前言
• 本章在标准框架下讨论H∞控制问题的求解。
• H∞控制理论可分为频域方法和时域方法。本章开始介 绍时域方法。
• 时域状态空间方法包括Riccati方法和LMI (Linear Matrix Inequality，线性矩阵不等式)方法。
• 本章将重点介绍理论上成熟的Riccati方法（包括状态 反馈求解方法和输出反馈求解方法），并对近年非常 流行的LMI方法进行必要的讨论。
• H∞控制理论发展 – 1981年，Zames提出以控制系统的某些信号间的传递函数（矩 阵）的H∞范数作为优化性能指标的设计思想 – 1982年，Doyle针对H∞性能指标发展了“结构奇异值”来检验 鲁棒性，极大程度地促进了以∞范数为性能指标的控制理论的 发展 – Youla等人提出的控制器参数化，使Zames的H∞性能指标以及 Doyle的结构奇异值理论揭开了反馈控制理论的新篇章 – H∞控制理论蓬勃发展：从频域到时域、定常系统到时变系统、 线性系统到非线性系统、连续系统到离散系统、确定性系统到 不确定系统、无时滞系统到时滞系统、单目标控制到多目标控 制…… – 目前线性系统的H∞控制理论已经基本成熟，形成了一套完整 的频域设计理论和方法，而时域状态空间的Riccati方法和LMI 方法，由于具有能揭示系统的内部结构、易于计算机辅助设计 等优点而倍受重视
范数极小的问题，便转化为使Tyv s W s 的
注意到图2干扰抑制系统中，z y，于是有 y Wv G0 r u W z Wv G0 r u u Ky 由此得广义被控对象的传递函数阵 W G0 G0 G s W G G 0 0 其H 标准控制的结构框图 如图3所示，图中外部输入 v 信号w r
2
P s 被控对象，C1 , C2 分别为前馈和
反馈控制器。由于增加了设计的自由度， 便可保证控制器成为正则有理函数。 因此，在跟踪问题中取 也称为二自由度系统。u为控制信号， 由图有 r u C1 r C2 v C1 C2 v 参考输入 被跟踪信号 r并不是一个已知 确定信号，而是属于某个能量有限信号 的集合 R r r Ww, w H 2 , w 2 1
y
K s
P 0 s
A P0，r P s P0 s s j
r j ,
由定义知，图6所示系统鲁棒稳定的必要条件是标称闭环系统 =0 是 稳定的。此条件等价于传递函数矩阵 G s I K s P0 s K s RH
G12 s w G22 s u
于是，图中从w到z的闭环传递函数阵为 Tzw s LFT G , K G11 G12 K I G22 K G21
1
• 定义1（H∞最优控制问题）
求一正则实有理控制器K，使闭环系统内稳定且使传递函数阵 Tzw s 的H 极小，即 min Tzw s
r -v
2 2
u
2 2
作为目标函数，其中 为权因子。 r v 若令z ，则上述目标函数等 u 于 z 2 .于是跟踪问题归结为目标函数 sup z
2
2 2
w H2 , w
2
1
的极小化问题。
r v 为将跟踪问题化归为H 标准控制问题，取z 为被控输出， u r y 为量测输出，w为外部输入信号，u为控制信号。 v 可得广义被控对象和控制器方程为 r v W z u 0 y r W v 0 相应的G和K 为： P I w , 0 u P u C1 r C2 v
1
图7
图6所示的系统可以等价地表示为图7.
s
因此，如果G s RH ，且 s RH ， 则由小增益定理 Nyquist 判据 可知， 该系统鲁棒稳定的一个充分条件是： r s I K s P0 s K s
G11 G12 G , K C1 C2 G21 G22 W P W 0 G11 , G12 , G21 , G22 0 I 0 P 其H 标准控制的结构图如图5所示。
G w
W
r
+ —
r-v
u
r
y v z
I
u P
+ + K
C1 C2
图5
鲁棒稳定问题
定义3
设P0 s 、r s 和控制器K s 给定。 r 若P s A P, r ，该系统是稳定 K s 为鲁棒稳定控制器。 的，则称系统是鲁棒稳定的，且称
图6
s
P s
sup T
2
v H2 , v
2
2
1
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v H2 , v v H2 , v
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s W s v 2
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可见，对于给定集合D中的任意d，使y的H 2 H 范数极小的问题，从而，干扰抑制问题 转化为图1所示的H 标准控制问题。
u
v w r W G0 G0 + + y G z
v G0 G0 u r
K
图3
跟踪问题
w W 图4 r C1 + C2 u P v
设计的目标是：选择控制器C1和C2， 使跟踪误差 r v 2 取极小。 但追求这一目标所得的控制器会成 为一非正则的控制器，控制信号的 幅度成为无穷大，无法实现。若在 目标函数中增加一个能量的惩罚项，
2 2 取二次型性能指标为J y t ru t dt , r 0 0
(6.2)
, q 4 r 1 . 其中K 1 q 5 2 q 2 5 2 q q 4 根据LQ最优调节器的性质，由(6.1)和(6.2)构成的状态反馈闭环系统具有大 于0.5的稳定幅值裕度，大于等于 60o的相角稳定裕度.
干扰抑制问题
r — 图2 u K G0 + d y
设计控制器K s ，使闭环系统内稳定， 且使J sup y
2
v H 2 , v 2 1 极小
1
y I G0 s K s d Tyv s W s v sup y
D d d W s v, v H 2 , v 2 1 其中W s 是稳定的实有理函数， 称为权函数，用来反映在期望的 频段上对干扰的抑制能力。 上式表示一个能量有限的干扰信 号v通过权函数W s 形成系统的 干扰输入d .
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这是因为如果上式成立，则 即小增益定理成立。 事实上，可以证明以下定理
G
r
G
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定理1：设K s 和A P0，r 给定，且任意P s A P0，r 的在s闭右 半平面的极点个数与P0的相同，则图6所示闭环系统鲁棒稳定的充 分必要条件是当 s 0时，标称系统稳定，且(6.3)式成立
二、H∞标准控制问题
• 问题的定义 • 工程实际中，许多控制问题可归结 为H∞标准控制问题 – 干扰抑制问题 – 跟踪问题 – 鲁棒稳定问题
问题的定义
w G u 图1 K y z
广义被控对象G的状态空间实现为: Ax B1 w B2 u x z C1 x D11 w D12 u y C2 x D21 w D22 u 其中x R n , z R m , y R q , w R r , u R p . 相应的传递函数矩阵为
例
2s 3 考虑SISO被控对象，其传递函数为P0 s , 其状态空间最小 s 1 s 2 t Ax t bu t , x 0 x0 , y t Cx t ， (6.1) （能控、能观测）实现为x 1 0 1 其中A , B , C 1 1. 0 2 1 可求得使性能指标J 达极小得状态反馈控制律为u Kx t ,
K
0
• 定义2（H∞次优控制问题）
求一正则实有理的K，使闭环系统内稳定，且使 其中 0 Tzw s
注：
1. 如果以上两种控制问题有解，我们可以通过逐渐减小 去逼近 0， 即由次优控制问题的解去逼近最优问题的解 2. 不失一般性，常取 =1 3. H 问题难以求解。本章主要讨论H 次优控制问题的各种解法，并 将其称为H 标准控制问题
B1 D11 D21 B2 D12 D22
A G11 s G12 s G s C1 G21 s G22 s C2 z w G11 s 即我们有： G s y u G21 s u K s y
下面考虑如下形式的模型摄动：P s Po s s , 其中P s 为摄动后的
实际的被控对象传递函数， s 为模型误差， s , 其中 为一实数. s 1 亦即对于0 ，有 P j P0 j . s 1 1 上述摄动的状态空间实现表现为b矩阵的摄动b b 0 1
本章内容
• • • • • • • 一、问题的提出 二、H∞标准控制问题 三、Riccati方程和H∞范数 四、状态反馈H∞控制 五、输出反馈H∞控制 六、参数不确定系统的鲁棒H∞控制 七、可靠Hwk.baidu.com控制
一、问题的提出
• 根据LQ最优调节器的性质，LQ（LQG）状态反馈系统 的幅值稳定裕度为0.5~ ∞，而相角稳定裕度大于等于+60o. • LQG控制系统具有一定的相对稳定性，但LQG控制系统 甚至LQ最优调节器对被控对象的模型摄动（模型误差） 的鲁棒稳定性在某些场合很差。 – 如果被控对象不是由一个确定的模型来描述的，而仅 知道其模型属于某个已知的模型集合； – 外部信号（包括干扰信号、传感器噪声和指令信号等） 不是具有已知特性（如统计特性或能量谱）的信号， 也仅知道其属于某个已知的信号集合。 • 在以上两种情况下，控制系统的设计如果采用传统的H2 性能指标，在某些场合不能满足实际的需要。
由摄动后的被控对象的状态空间实现和式(4.1.2)的闭环反馈控制律，构成一 个闭环系统.可以求得该闭环系统具有两个闭环极点，这两个闭环极点当 r 0 控制能量较小时，p1 q, p2 1 2 可见，当 0.5 0时，p1和p2 均为实数，且 越小，p2 越大,也就是说， 被控对象的微小模型摄动会使该闭环系统具有很大的不稳定的正实极点.