第五章连续体力学共45页

此时砂轮转过的角度
= (2+4t3)= 2+4X（0.55)3 =2.67(rad)
[例2]一细棒绕O点自由转动，并知 3g cos ,L为棒长.
2L
求: (1)棒自水平静止开始运动, /3时, ?
(2)此时端点A 和中点B 的线速度为多大?
解:(1)棒做变加速运动
d d t3 2g Lco , s又 d d
(2) Fi 0 不等价 Mi 0
均匀细棒对O点的角动量
L o( m iR i v i)Lo m iR ivi
均匀细棒对O点的角动量在Z轴上的分量
L z m i v iR ico s m i v i r i
z
o
Li ri
Liz
Ri
O
miri2( miri2)
Lz J
定义：刚体转动惯量 J miri2
A
JA0Lx2dx m2L /3 A
dm
B
L
x
C dm B
JC x2dm L 2L 2x2dxm 12 2LL/2
L/2 x
JA
JC
m(L)2 2
可见，与转动惯量有关的因素：
J miri2
➢转轴的位置 ➢刚体的质量
➢刚体的形状(质量分布)
2、平行轴定理
若有任一轴与过质心的轴平行，相距为d，刚体对其转
3. 转动─----─刚体上的各点绕同一直线做圆周运动。 4. 定轴转动──转轴相对参考系固定不动的转动。
复杂运动可视为刚体平动和刚体转动的叠加 二、刚体定轴转动的角量描述
定轴转动只有两个转动方向。规定：
位矢从ox 轴逆时针方向转动时角
y
位置 为正, 反之为负.
角位置： 角位移:
P
r
平均角速度
＝
t
动惯量为J，则有：
z
Jo＝Jc＋md2
两轴平行；
o
C
x
d
d
说明
JC 为刚体绕质心轴的转动惯量 d 为两平行轴间距离。
3、正交轴定理
Jz＝Jx＋ Jy
J 1mR2 md2 2z
o
zy
Jz r2dm (x2y2)dm
x2dm y2dmJxJy
对于均匀圆盘：Jx
Jy
1 2Jz
1mR 2 4
二、作用于刚体的力矩
1. 作用于刚体的力对空间某点A的力矩
M Ar AF
2. 作用于刚体的力对转轴的力矩
z
A
rAF z
(1)力在转动平面内。
M Zr F
o r
大 小 M Zr： F sin
M z有两个方向，Mz有正负
(2)力不在转动平面内。
M Zr F 面
Fz 平行于转轴，对转轴产生的的力矩为零。
F
Ft
O•
d3gcosd
•B
2L
0d033 2g Lcod s
A
v r 23gsin3 3g 3 3g 由：
得
L 3 2L
2L
vAL 3 3gL2 vBL 2 3 3gL8
§5-2 刚体的角动量和角动量原理
一、刚体的角动量及转动惯量
1、刚体的角动量
考察一个以角速度ω绕OZ轴转动的均匀细棒
质L i元o mm i iR 对 iO 点v i的元角 动L量io:miviRi L
O S
A
A
'
x
at r ,
an r 2
a r 2 4
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线速度v 与 角 速度之 间的 矢量r 关系为:
定轴转动的特征12））：各各点点的的角线位位移移、、角线速速度度、、角线加加速速度度相不同同。。
例1 一半径为R=0.1m的砂轮作定轴转动，其角位置随时间t的变 化关系为=(2+4t3)rad,式中t以s计。试求： （1）在t=2s时,砂轮边缘上一质点的法向加速度和切向加速 度的大小。 （2）当角为多大时,该质点的加速度与半径成45o角。
2、转动惯量的计算
若质量离散分布： （质点，质点系）
J＝ miri2
i
若质量连续分布：Jlim ri2m i r2dm m i 0 i
J 的单位：kgm2
dm为质量元，简称质元。取法如下：
◆质量为线分布 dm dl 其中、、分别
◆质量为面分布 dm ds 为质量的线密度、
◆质量为体分布 dmdV 面密度和体密度。
解: (1)
d 12t2 d 24t
dt
dt
a n R 2 0 .1 42 8 2.4 3 ( m /0 s 2 )
a t R 0 .1 4 8 4 .8 (m /s2 )
(2) anR21.4 4t4 at R 2.4t
tg45 at /an1 14.4t4 2.4t
t0.55 s ( 舍去t = 0 和 t = －0.55 )
线分布
面分布
体分布
[例1] 求质量为m，半径为R的均匀圆环的转动惯量。轴与圆环 平面垂直并通过圆心。
解: 设线密度为λ
dmdl
O
2R
JR2dm R2d lR22Rm2R
R dm
0
J 是可加的，所以若为薄圆筒（不计厚度）结果相同。
[例2] 求质量为m、半径为R的均匀薄圆盘的转动惯量。轴与盘 平面垂直并通过盘心。
A
P O S
A'
角速度
＝ d
dt
x
角加速度
d d2 dt dt2
由于在定轴转动中轴的方位不变，故 , 只有沿
轴的正负两个方向，可以用标量代替。
y
刚体作匀变速转动时，相应公式如下：
0 0t
1 t 2
2
0 t
2
2 0
2 (
0)
角量与线量的关系
s r , v r
P
r
P
F面
Fn
3. 当有n 个力作用于刚体，则
M zM 1zM 2z M nz
即定轴转动的刚体所受到的对转轴的合力矩应等于各
力对转轴的力矩的代数和。
z
4. 刚体中内力对给定转轴的力矩的 矢量和等于零，只需考虑外力矩 的作用。
O
d rr21
1 f21
f121 2
2
总结
❖ 与转轴垂直但通过转轴的力对转动不产生力矩 ❖ 与转轴平行的力对转轴不产生力矩 ❖ 刚体内各质点间内力对转轴不产生力矩
四、 刚体的角动量原理
刚体→质点系(由无限多个质元构成的连续体)
质点系的角动量原理
M外
dL dt
即L ， tt1 2M 外 dt
同样适用于刚体
五. 刚体的角动量守恒定律
若 M 外 0， L 则 J 常矢量
注意: (1)定轴转动时，M外=0时，J=常量，即刚体保持静止或匀
角速转动。
解：设面密度为σ 取半径为r 宽为dr 的薄圆环,
R O r dr
d m d s 2 rdr
Jr2 d m R r2 2 r2 d r 1 R 4 1 m 2R
0
2
2
（适用圆柱对轴线的转动惯量。）
[例3] 求长为L、质量为m的均匀细棒对图中不同轴的转动惯量。
解：取如图坐标，dm=dx