高考文科数学专项练习-平面向量

C

B

专题06 平面向量

第十三讲 平面向量的概念与运算

一、选择题

1．(2018全国卷Ⅰ)在∆ABC 中，AD 为BC 边上的中线，E 为AD 的中点，则EB = A ．31

44AB AC - B ．13

44AB AC - C ．

31

44

AB AC +

D ．

13

44

AB AC + A 【解析】通解 如图所示，

11111

()()22222

=+=

+=⨯++-EB ED DB AD CB AB AC AB AC 31

44=-AB AC ．故选A ． 优解 111

()222

=-=-=-⨯+EB AB AE AB AD AB AB AC

31

44

=-AB AC ．故选A ． 2．(2018全国卷Ⅱ)已知向量a ，b 满足||1=a ，1⋅=-a b ，则(2)⋅-=a a b

A ．4

B ．3

C ．2

D ．0

B 【解析】2

(2)22(1)3⋅-=-⋅=--=a a b a a b ，故选B

3．(2018天津)在如图的平面图形中，已知1OM =，2ON =，120MON ∠=，2BM MA =，

2CN NA =，则·BC OM 的值为

N

M

O

C

B

A

A ．15-

B ．9-

C ．6-

D ．0

C 【解析】由2BM MA =，可知

||2||BM MA =，∴||

3||

BA MA =． 由2CN NA =，可知

||2||

CN NA =，∴||3||CA NA =，故||||3||||BA CA MA NA ==，

连接MN ，则BC MN ∥，且||3||BA MN =，∴33()BC MN ON OM ==-，

2

3()3()BC OM ON OM OM ON OM OM ⋅=-⋅=⋅-23(||||cos120||)6ON OM OM =-=-．故选C ． 4．设非零向量a ，b 满足||||+=-a b a b 则

A ．⊥a b

B ．||||=a b

C ．∥a b

D ．||||>a b

A 【解析】由+=-a b a b 两边平方得，222222+⋅+=-⋅+a a b b a a b b ，即0⋅=a b ，则⊥a b ，故选A ． 5．设m , n 为非零向量，则“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅

A ．充分而不必要条件

B ．必要而不充分条件

C ．充分必要条件

D ．既不充分也不必要条件

A 【解析】因为,m n 为非零向量，所以||||cos ,0⋅=<>

cos ,0<>=m n ，所以cos ,0<>

所以“存在负数λ，使得λ=m n ”是“0⋅

6．已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点E D ,分别是边BC AB ,的中点，连接DE 并延长到点F ，使

得EF DE 2=，则AF BC ⋅的值为

A ．85

-

B ．

8

1 C ．

41 D ．811

B 【解析】设BA a =，B

C b =，∴11()22DE AC b a ==-，33

()24

DF DE b a ==-，

1353

()2444AF AD DF a b a a b =+=-+-=-+，

∴253531

44848

AF BC a b b ⋅=-⋅+=-+=，故选B.

7

．已知向量1(,

22

BA = ,31(),22BC = 则ABC ∠=

A ．30°

B ．45°

C ．60°

D ．120°

A

【解析】由题意得11

2222cos 11||||

BA BC ABC BA BC +⋅∠=

==⨯⋅，所以30ABC ∠=，故选A ．

8．(2018浙江)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量．若非零向量a 与e 的夹角为

3

π

，向量b 满足2430-⋅+=b e b ，则||-a b 的最小值是

A

1

B

1

C ．2

D

．2

A 【解析】解法一 设O 为坐标原点，OA =a ，(,)O

B x y ==b ，=(1,0)e ，

由2

430-⋅+=b e b 得2

2

430x y x +-+=，即22(2)1x y -+=，所以点B 的轨迹是以(2,0)C 为圆

心，l 为半径的圆．因为a 与e 的夹角为

3

π

，所以不妨令点A

在射线y =(0x >)上，如图，

数形结合可知min ||||||31CA CB -=-=-a b ．故选A ．

解法二 由2

430-⋅+=b e b 得2

2

43()(3)0-⋅+=-⋅-=b e b e b e b e ．

设OB =b ，OE =e ，3OF =e ，所以EB -=b e ，3FB -b e =，

所以0EB FB ⋅=，取EF 的中点为C ．则B 在以C 为圆心，EF 为直径的圆上，如图．

设OA =a ，作射线OA ，使得3

AOE π

∠=

，所以|||(2)(2)|-=-+-≥a b a e e b

|(2)||(2)|||||31CA BC ---=-≥a e e b ．故选A ．

9．如图，已知平面四边形ABCD ，AB BC ⊥，2AB BC AD ===，3CD =，AC 与BD 交于点O ，

记1I OA OB =⋅，2·

I OB OC ＝，3·I OC OD ＝，则