平面向量中“三点共线定理”妙用
合集下载
相关主题
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
8、如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB交于圆一点D，若
则有：（ ）
变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若
则有：（ ）
解： 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,
AN﹕AC=1﹕4, ……①
又 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 , 使得
∵AM﹕AB=1﹕3 ∴ ，，
…………………………… ②
由①②两式可得：
例6的变式二：如图8所示：直线l过 ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 ＝ m ， ＝n ，则m＋n=
解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点
＝ m ， ＝n
又 三点共线，
由平面三点共线的向量式定理可得：
定理的推广：
推广1：如图9所示：已知平面一条直线AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y
使得： 且 。
推广2：如图10所示：已知平面一条直线AB,两个不同的点O与P.
A． B. C. D.
解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以 ，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有 ,
但当 时，
①如果点P在直线AB上，则由平面三点共线的向量式定理可知：
②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知： ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得 ，
又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以 ，故B选不符合。
2、已知 是 的边 上的任一点，且满足 ，则
的最小值是
3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知 ,则 （ ）
A． B． C． D．
4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记 、 分别为a、b，则 ＝( )
点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得： 且 。
例7已知点P为 所在平面一点，且 ( ),若点P落在 的部，如图11,则实数t的取值围是（ ）
A． B. C. D.
解： 点P落在 的部 A,P两点在直线BC的同一侧，
由推论2知： ，所以选D
例8（06年高考题文科） 如图12：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域（不含边界）.且 ，则实数对（x,y）可以是（ ）
例1（06年高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（ ）
A．100B．101C．200D．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴ ,故选A。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以 ，所以实数y的取值围是：
练习：
3. ，点 在边 上， ，设 ，则 （ ）
1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足 =α +β ，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（ ）
A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0
例5（省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点 是△ 的重心， 、 分别是边 、 上的动点，且 、 、 三点共线．
设 ， ，证明： 是定值；
证明： 因为G是 的重心，
又 三点共线， 为定值3
例6（市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD中， , ,CE与BF相交于G点，记 ， ，则 _______
A． a－ bB． a＋ bC．－ a＋ bD．－ a－ b
5、（2008年卷）在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记 ， ，则 ＝( )
A． B． C． D．
7、在△ABO中，已知 ，且AD与BC相交于点M，设 则 （结果用 表示）
A． B. C. D.
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面三点共线定理求解。
解： 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得
, ,
…………………①
又 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 使得
对选项C同理可知：当 时， ，故 符合，所以选C
例9（06年高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域(不含边界)运动,且 ,当 时, 的取值围是.
解：当 时，
①如果点P在直线AB上，则由平面三点共线的向量式定理可知：
②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知： ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得 ，
平面向量中“三点共线定理”妙用
对平面任意的两个向量 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使
由该定理可以得到平面三点共线定理：
三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得： 且 。
特别地有：当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB之外时，
笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
A． B. C. Βιβλιοθήκη Baidu.
解： 三点共线，又
，故选C
例4（07年高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ＝ m ， ＝n ，则m＋n的值为．
解： 因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：
，
又 三点共线，
由平面三点共线定理可得：
，，
…………………………… ②
由①②两式可得：
点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），利用平面三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且 ， ，试用 、 表示
例2已知 是 的边 上的任一点，且满足 ，则
的最小值是
解： 点P落在 的边BC上 B，P,C三点共线
由基本不等式可知： ，取等号时 ，符合
所以 的最小值为9
点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.
例3（省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中， ，点P是BC上的一点，若 ，则实数m的值为（ ）
则有：（ ）
变式：如图所示：A,B,C是圆O上的三个点，CO的延长线与线段AB的延长线交于圆外一点F，若
则有：（ ）
解： 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x,y使得 ,
AN﹕AC=1﹕4, ……①
又 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 , 使得
∵AM﹕AB=1﹕3 ∴ ，，
…………………………… ②
由①②两式可得：
例6的变式二：如图8所示：直线l过 ABCD的两条对角线AC与BD的交点O，与AD边交于点N,与AB的延长线交于点M。又知 ＝ m ， ＝n ，则m＋n=
解：因为点O两条对角线AC与BD的交点，所以点O为AC的中点
＝ m ， ＝n
又 三点共线，
由平面三点共线的向量式定理可得：
定理的推广：
推广1：如图9所示：已知平面一条直线AB,两个不同的点O与P.
点O,P位于直线AB异侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y
使得： 且 。
推广2：如图10所示：已知平面一条直线AB,两个不同的点O与P.
A． B. C. D.
解：由题目的条件知：点O与点P在直线AB的同侧，所以 ，所以A,D两选项不符合。对于选项B、C,都有 ,
但当 时，
①如果点P在直线AB上，则由平面三点共线的向量式定理可知：
②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知： ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得 ，
又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以 ，故B选不符合。
2、已知 是 的边 上的任一点，且满足 ，则
的最小值是
3、在平行四边形ABCD中，O是对角线AC与BD的交点，E是BC边的中点，连接DE交AC于点F。已知 ,则 （ ）
A． B． C． D．
4、(2014届东江中学高三年级理科第三次段考）在平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、CD的中点，DE交AF于H，记 、 分别为a、b，则 ＝( )
点O,P位于直线AB同侧的充要条件是：存在唯一的一对实数x,y使得： 且 。
例7已知点P为 所在平面一点，且 ( ),若点P落在 的部，如图11,则实数t的取值围是（ ）
A． B. C. D.
解： 点P落在 的部 A,P两点在直线BC的同一侧，
由推论2知： ，所以选D
例8（06年高考题文科） 如图12：OM∥AB，点P由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域（不含边界）.且 ，则实数对（x,y）可以是（ ）
例1（06年高考题理科第7题）已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若 ，且A、B、C三点共线，（设直线不过点O），则S200=（ ）
A．100B．101C．200D．201
解：由平面三点共线的向量式定理可知：a1+a200=1,∴ ,故选A。
点评：本题把平面三点共线问题与等差数列求和问题巧妙地结合在一起，是一道经典的高考题。
，又因为点P在两平行直线AB、OM之间，所以 ，所以实数y的取值围是：
练习：
3. ，点 在边 上， ，设 ，则 （ ）
1、平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两点A(3,1),B(-1,3),若点C(x,y)满足 =α +β ，其中α,β∈R且α+β=1，则x,y所满足的关系式为（ ）
A．3x+2y-11=0 B．(x-1)2+(y-2)2=5 C．2x-y=0 D．x+2y-5=0
例5（省2010届高三六校第三次联）如图5所示：点 是△ 的重心， 、 分别是边 、 上的动点，且 、 、 三点共线．
设 ， ，证明： 是定值；
证明： 因为G是 的重心，
又 三点共线， 为定值3
例6（市东山中学2013届高三第二次模拟考试）如图6所示,在平行四边形ABCD中， , ,CE与BF相交于G点，记 ， ，则 _______
A． a－ bB． a＋ bC．－ a＋ bD．－ a－ b
5、（2008年卷）在平行四边形 中， 与 交于点 是线段 的中点， 的延长线与 交于点 ．若 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
6、在平行四边形ABCD中，,CE与BF相交于点G,记 ， ，则 ＝( )
A． B． C． D．
7、在△ABO中，已知 ，且AD与BC相交于点M，设 则 （结果用 表示）
A． B. C. D.
分析：本题是以平面几何为背景，为载体，求向量的问题，所以我们很容易联想到点F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上，可用平面三点共线定理求解。
解： 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数x使得
, ,
…………………①
又 三点共线， 由平面三点共线定理可得：存在唯一的一对实数 使得
对选项C同理可知：当 时， ，故 符合，所以选C
例9（06年高考题理科）如图13,OM∥AB,点P在由射线OM、线段OB及AB的延长线围成的阴影区域(不含边界)运动,且 ,当 时, 的取值围是.
解：当 时，
①如果点P在直线AB上，则由平面三点共线的向量式定理可知：
②如果点P在直线OM上，OM∥AB可知： ，由平面向理共线定理可知：存在唯一的实数t,使得 ，
平面向量中“三点共线定理”妙用
对平面任意的两个向量 的充要条件是：存在唯一的实数 ，使
由该定理可以得到平面三点共线定理：
三点共线定理：在平面中A、B、P三点共线的充要条件是：对于该平面任意一点的O，存在唯一的一对实数x,y使得： 且 。
特别地有：当点P在线段AB上时，
当点P在线段AB之外时，
笔者在经过多年高三复习教学中发现，运用平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式解决高考题，模拟题往往会使会问题的解决过程变得十分简单！本文将通过研究一些高考真题、模拟题和变式题去探究平面向量中三点共线定理与它的两个推广形式的妙用,供同行交流。
A． B. C. Βιβλιοθήκη Baidu.
解： 三点共线，又
，故选C
例4（07年高考题理科）如图3，在△ABC中，点O是BC的中点，过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M、N，若 ＝ m ， ＝n ，则m＋n的值为．
解： 因为O是BC的中点，故连接AO，如图4，由向量加法的平行四边形法则可知：
，
又 三点共线，
由平面三点共线定理可得：
，，
…………………………… ②
由①②两式可得：
点评：本题的解法中由两组三点共线（F、G、B以及E,G,C三点在一条直线上），利用平面三点共线定理构造方程组求解，避免了用的向量的加法和平面向理基本定理解答本题的运算复杂，达到了简化解题过程的效果。
例6的变式一：如图7所示，在三角形ABC中,AM﹕AB=1﹕3,AN﹕AC=1﹕4,BN与CM相交于点P，且 ， ，试用 、 表示
例2已知 是 的边 上的任一点，且满足 ，则
的最小值是
解： 点P落在 的边BC上 B，P,C三点共线
由基本不等式可知： ，取等号时 ，符合
所以 的最小值为9
点评：本题把平面三点共线问题与二元函数求最值、基本不等式巧妙地结合在一起， 较综合考查了学生基本功.
例3（省2011届高三八校第一次联考理科）如图2，在△ABC中， ，点P是BC上的一点，若 ，则实数m的值为（ ）