理论力学第十章 质点动力学基本方程(Y)

ds S R v R dt dv a R dt
dv m mg sin dt 2 m v mg cos N R
小球沿圆柱体的运动微分方程为
g sin R
初始条件：
t 0
0
0
d d d d dt dt d d


0
Rd g sind
0
2g 2 1 cos R
v 2 2 gR1 cos
ds d v R R v 2 gR1 cos dt dt t d 2g 0 1 cos 0 R dt S R
a ax i a y j az k
d2x m 2 Fx ma x m x dt d2y m 2 Fy ma y m y dt d 2z m 2 Fz ma z m z dt
2、在自然轴上的投影
a a an n
第三篇 动力学
动力学——研究物体的机械运动与作用力之间的关系 静力学
受力分析 画受力图 运动分析 画速度、加速度图
动力学
运动学
动力学
质点动力学 质点系动力学
动力学的力学模型
质点：质点是具有一定质量而几何形状和尺寸大小可以 忽略不计的物体。 地球绕太阳的公转——质点 刚体的平动——质点 质点系：系统内包含有限或无限个质点，这些质点都具有惯性， 并占据一定的空间；质点之间以不同的方式连接或者 附加以不同的约束。 地球的自转——质点系 刚体：质点系的一种特殊情形——不变形的质点系 其中任意两个质点间的距离保持不变。
第三定律 (作用与反作用定律):
两个物体间的作用力与反作用力总是大小相等,方向 相反,沿着同一直线,且同时分别作用在这两个物体上。
第二定律（力与加速度关系定律）：
ma F
——合力矢
在力的作用下物体所获得的加速度的大小与作用力的大
小成正比，与物体的质量成反比，方向与力的方向相同。 在外力作用下，物体所获得的加速度不仅与外力有关， 而且还决定于物体本身的特征—— m 惯性
k mv x k mx m x k mv y mg k my mg m y
（1）
kx x
kx x ky g y
dvx k vx dt

v
v0
lnvx lnv0 kt
kt
dx x t kt vx v0 e dx v e dt 0 0 0 dt v0 kt v0 x [e 1] [1 e kt ] k k
t dvx k dt 0 vx vx ln kt v0
（ 2） dvy
ky g y
k vy g
dt

vy
dvy k vy g
0
dt
0
t
g kt g h dy 0 ( k e k )dt g g kt y h 2 (1 e ) t k k
相对静止，
试求：a 的最大值，以及这时物体M 对三棱柱的压力。 解：设物体M 即将沿斜面上滑时，画受力图
ma cos FS mg sin
ma sin FN mg cos
FS f s FN
sin f s cos a g cos f s sin
va
va ve vr
ve
vr
ds s 0.4 t vr 0.4 ar 0 dt d 0.5 t 0.5 0 dt n ve s 0.2t ae s 2 0.1t ae 0
aa a ae ar ac 科氏加速度—— e与vr 垂直， ac 2vr 0.4
1
小球脱离圆柱体
[例22] 长l，质量为m 的均质杆 AB 和
A
BC 用铰链 B 联接，并用铰链 A 固定，
位于平衡位置。今在 C 端作用一水平 力F，求此瞬时，两杆的角加速度。 解：分别以 AB 和 BC 为研究对象，受力 如图。 AB和BC分别作定轴转动和平面 运动。对AB由定轴转动的微分方程得
解：画质点受力图（质点在水平面内运动） 解法一：
Fx kx m x Fy ky m y k x 0 x m k y 0 y m
x A1 cos y A cos 2
k k t B1 sin t m m k k t B2 sin t m m
F
C B
FAy
A
AB
B W
FAx
1 2 ml AB FBxl 3
(1)
aB
FBx
FBy
对BC由刚体平面运动的微分方程得
maGx F FBx
(2)
1 2 l l ml BC F FBx 12 2 2
BC作平面运动，取B为基点，则
n aG aB aGB aGB
dv m mg sin dt 2 m v mg cos N R
v 2 2 gR1
N 3mg cos 2mg
脱离约束的条件为 N 0 ，由此得出当
3mg cos 2mg 0
2 cos 3 2 cos 48.19 3
(3)
B aGB
F'By F'Bx aGy G aGx W C
aB l AB , aGB BC , a
l 2

n GB
0
BC
F
(4)
将以上矢量式投影到水平方向，得
l aGx aB aGB l AB 2 BC
由(1) ~ (4)联立解得
AB
6F 30 F , BC 7ml 7ml
[例23]平板质量为m1，受水平力F 作用而沿水平面运动，板 与水平面间的动摩擦系数为f ，平板上放一质量为m2的均质 圆柱，它相对平板只滚动不滑动，求平板的加速度。
解：取圆柱分析，
m2 aO F1 0 FN 1 m2 g
C
于是得：
m2 r 2 F1 aO a r a m2 F1 1 m2 a 3
物体的运动轨迹
v0 g gx y h 2 ln k v0 kx kv0
已知：图示质点的质量为m ，受指向原点O 的力
F kr作用，
力与质点到点O 的距离成正比。如初瞬时质点的坐标 为 x x0 ，y 0 ，而速度的分量为 v x 0 ，v y v0 。
试求：质点的轨迹。
力可视为与速度的一次方成正比，即 F kmv ，其中 m 为物体的质量，v 为物体的速度，k 为常系数。
求：物体的运动方程和轨迹。
解：以物体为研究对象，分析物体任意位置的受力与运动。 列出物体直角坐标形式的运动微分方程
F kmv km(vx i v y j ) vx x vy y
ab 0
dv ma m dt v2 ma n m
F F
n

ab 0
F
b
dv ma m F dt 2 v man m Fn

三 、质点动力学的两类基本问题
第一类问题：已知质点的运动,求作用于质点的力。
第二类问题：已知作用于质点的力,求质点的运动。 混合问题：对于多数非自由质点，一般同时存在
k k k k sin t B1 cos t v x A1 m m m m v A k sin k t B k cos k t y 2 2 m m m m
x x0
vx 0
边界条件定积分常数 t=0 时
k t x x0 cos m y v m sin k t 0 k m
(1) F不变，a ，m
物体的运动状态容易改变——惯性小
(2) F不变，a ，m
物体的运动状态不易改变——惯性大 力的单位:牛[顿],
1N 1kg 1 m
s2
二、质点的运动微分方程
ma Fi d2r m 2 Fi dt
ma F
矢量形式的微分方程
1 、在直角坐标轴上的投影
kx m x
k dx 2 2 vx x0 x m dt
（2）

x
dx x x
2 0 2
x0

t
0
k dt m
ky m y
已知：如图所示，在三棱柱ABC 的粗糙斜面上，放一质量为m
的物体M，三棱柱以匀加速度a 沿水平方向运动。设摩擦 系数为 fs ，且 f s tg 。为使物体M 在三棱柱上处于
1 m r 2 F r 1 2 2 2 F1 FN 1 m2 g ,
a
F

O
m2g aO a
F1
FN1
取板分析
F'1
F'N1
a
m1a F F2 F1
1 FN (m1 m2 ) g 0 FN m1 g FN
F
F2
m1g
FN2
F2 f (m1 m2 ) g
A1 x0 B1 0
y0
A2 0 B2 v0 m k
v y v0
解法二：
Fx kx m x Fy ky m y
（1）
dvx m kx dt
dx dt mdvx kxdt dt dx 2 2 2 mv x x vx x x 0 k k 0 mvx dvx x0 kxdx 2 2 2
n e

ve