高中物理解题中数学方法的应用

高中物理解题中数学方法的应用

高中物理解题中数学方法的应用

.中学物理考试大纲明确要求考生必须具备：“应用数学处理物理问题的能力能够根据具体问题列出物理量之间的关系式，进行推导和求解，并根据结果得出物理结论，必要时能运用几何图形、函数图像进行表达、分析。”

一、高考命题特点

高考物理试题的解答离不开数学知识和方法的应用，借助物理知识渗透考查数学能力是高考命题的永恒主题.可以说任何物理试题的求解过程实质上是一个将物理问题转化为数学问题经过求解再次还原为物理结论的过程.

二、数学知识与方法

物理解题运用的数学方法通常包括几何(图形辅助)法、图象法、函数法、方程(组)法、递推法、微元法等. 比例法等

1.几何的知识应用

1．相似三角形法：相似三角形法通Array

常寻找的是一个矢量三角形与一个几

何三角形相似。利用相似三角形对应边的比例关

系求解力的大小，特别是当几何三角形的边长己

知时。

【例1】 如右图1A 所示，轻绳的A 端固定在天

花板上，B 端系一重为G 的小球，小球静止在固

定的光滑大球表面上，己知AB 绳长为l ，大球

半径为R ，天花板到大球顶点的竖直距离AC =d,

角ABO ＞90º。求绳中张力和大球对小球的支持

力（小球直径忽略不计）

【解析】选小球为研究对象，受到重力G 、绳

的拉力F 和

大球支持力F N 的作用(如图1B 示)。由于小球处

于平衡状态，所以G 、F 、F N 组成一个封闭三角形。根据数学知识可以看出三角形AOB 跟三角形FGF N 相似，根据相似三角形对应边成比例得

F/L=G/(d+R)=F N /R

解得 F=G •L/(d+R) F N =G •R/(d+R)

[讨论] 由此可见，当绳长L 减小时F 变小，F N 不变。

2．正弦定理（拉密定理）：如果在共点的三个力作用下，物体处于平

衡状态，那么各力的大小分别与另外两个力夹角的正弦成G F N

F

图

正比。如右

图2所示，表达式为： F 1/Sin α=F 2/Sin β=F 3/Sin θ

【例2】如图，船A 从港口P 出发

支拦截正以速度0

v 沿直线航行的船B ，P 与B 所在航线的垂直距离为

a ，A 船启航时，B 船与P 的距离为

b ，a b >，如果略去A 船启动时的加速过程，认为它一启航就做匀速运动，求：

（1）A 船能拦到B 船的最小速率v ；

（2）A 船拦到B 船时两船的位移

解析：（1）设两船在C 相遇

在△PBC 中，βα⋅=⋅R t v R vt 0

0v R R v βα⋅⋅=，式中b a R =⋅α

当β=900时，即v 跟PB 垂直时，v 最小，最小速

率为0

v b a v = （2）拦到船时，A 船位移为22a b ab s

A -=

B 船位移为222

a b b s B -=

α β θ F F F 图

答案：（1）0v b a v =（2）22a b ab

s A -=222

a b b s B -=

【练习】如图所示，临界角C 为450

的液面上有一点光源S 发出一束光

垂直人射到水平放置于液体中且距

液面为d 的平面镜M 上．当平面镜M 绕垂直过中心O 的轴以角速度ω做逆时针匀速转动时，观察者发现水面上有一光斑掠过．则观察者观察到的光斑在水面上掠过的最大速度为多少?

解析：当平面镜M 以角速度ω逆时针转动时，反射光线将以角速度2ω同向转动．反射光线射到水面形成的光斑(应是人看到折射光线出射处)由S 向左沿水面移动．将其移动速度v 分解如图．由图可知．θ越大，OP 越大，v 越大．但当θ>450时，反射光线OP 将在水面上发生全反射．观察者将看不到光斑，因此，当θ角非常接近450时观察者看到的光斑移动速度最大，其值为ωωθωθωθd d d OP v v m 4)22(2cos 2cos 2cos 2

22===⋅==

答案：ωd 4

【练习】 如图3所示，小球质量为m ，置于倾

角为θ的光滑斜面上，

悬线与竖直方向的夹角为α，系统处于Array静止状态。求斜面对小球的支持力F N

和悬线对小球的拉力F。

【解析】选小球为研究对象，小球受力如图所示，球受三个力作用

而处于平衡状态。根据正弦定理得：

F/sin(180º－θ)=F N/sin(180º－α)=mg /si n(α+θ)

即F/sinθ=F N/sinα=mg/sin(α+θ)

所以F=mg•sinθ/sin(α+θ)

F N=mg•sinα/sin(α+θ)

3.圆的知识应用

与圆有关的几何知识在物理解题中力学部分和电学部分均有应用，尤其带电粒子在匀强磁场中做圆周运动应用最多，其难点往往在圆心与半径的确定上，其方法有以下几种：

(1)依切线的性质定理确定：从已给的圆弧上找两条不平行的切线和对应的切点，过切点做切线的垂线，两条垂线的交点为圆心，圆心与切点

的连线为半径.

(2)依垂径定理(垂直于弦的直径平分该弦，

并平分弦所对的弧)和相交弦定理(如果弦与直径垂直相交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比例中项)来确定半径：如图24-3.

由B Ｅ２＝C Ｅ×ＥＤ＝CE ×（２

R －C Ｅ）

得R ＝CE EB 22＋2

CE 也可用勾股定理得到： ＯB ２

＝（ＯC －C Ｅ）２＋ＥB ２，R 2＝（R －C Ｅ）２＋ＥB ２ 得，R ＝CE EB 22

＋2

CE . 此两种求半径的方法，常用于带电粒子在匀

强磁场中运动的习题中.

【例3】 如图直线MN 上方有磁感

应强度为B 的匀强磁场。正、负电

子同时从同一点O 以与MN 成30°角的同样速度v 射入磁场（电子质量为m ，电荷为e ），它们从磁场中射出时相距多远？射出的时间差是多少？

解：由公式知，它们的半径和周期是相同的。图M B O v