特殊角的三角函数

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例.△ABC中,∠C=90°,
B
16 b 8 5 , A 的平分线 AD 5 . 解△ABC. 3
分析:Rt△ABC中,已知一边,不可解; 由已知, Rt△ADC中,已知两边
D
可解,求出∠DAC,进而得∠BAC;
A C
至此Rt△ABC中,已知一边一角可解.
§ 21.4 解直角三角形
•第2课时:直角三角形中的边角计算
(1)转化的数学思想: 通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计 算问题转化为解直角三角形的问题;等角三角函数的 转化;三角形中边角互化.
教学总原则
(1)转化的数学思想: 1. 如图,在小山的东侧 A 处有一热气球,以每分钟 25 m的速度沿着与水平方向夹角为750的方向飞行,半小 时后到达C处,这时气球上的人发现,在A处的正西方 向有一处着火点 B, 10分钟后,在 D处测得着火点 B的 俯角是 300 ,求热气球升空点 A与着火点 B 的距离(结 果精确到1m).
如图,小聪站在低层的看台上,仰望升到顶端的 国旗,小聪的视线在水平线的上方,这时视线与水平
线所成的夹角,我们称为仰角.
§ 21.5 应用举例
•教学设计:以P106例2为基础 2. 介绍仰角和俯角的概念
如图,小聪站在高层的看台上,俯视升到顶端的 国旗,小聪的视线在水平线的下方,这时视线与水平 线所成的夹角,我们称为俯角.
解直角三角形是重要的基础性知识,它是解决许 多问题的工具:地位作用
•直角三角形中的边角计算; •一般三角形(含特殊角)和特殊四边形中的边角计算;
•圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算;
•高中立体几何中有关边、角、距离的计算;
•高中斜三角形中的边角关系的推导;
•物理学科中的某些计算问题.
§ 21.4 解直角三角形
(1.5 0.5 x) 11.5 20 36tan15 tan15 ,x 40 18 0.5 x 1 tan15
设计说明
1.本课的意义在于:让学生初步领会把数学知识如何
应用于生活实际,体会数学与生活的紧密联系,
从而培养其应用数学的意识,激发其学习数学的
兴趣.
2.问题解决从简到繁,从易到难.问题的选取源于课 本,高于课本;问题层层深入,具有开放性和挑 战性.为学生探索、交流提供了空间,为不同的学
生在各自的基础上,都有所收获、有所发展提供
了可能.
§ 21.5 应用举例
•解直角三角形在实际中应用广泛,教材中举了五 个例子.在教学时,不宜着眼于知识的加深和难度 的提高,而要致力于使学生学会将千变万化的实 际问题转化为数学问题来解决.教会学生分析.
如图,山脚下有一棵小树AB,小强从点B沿山坡 向上走了 50 米到达点 D,用高为 1.5 米的测角仪 CD 测 得树顶的仰角为 10 °,已知山坡坡角为 15 °,求树 AB的高(结果解决到0.1米)
A
D
B
§ 21.4 解直角三角形
例5:在△ABC中,BC=6,AC= 6 3 ,∠A= 30° , 求AB的长.
C
思路:已知两边一对角,有可能 两解.作CE⊥AB于点E.
A
E
C
B
CD 3 3 , AD 9 BD 3 AB 12 或 6.
A
B
E
§ 21.4 解直角三角形
例6:在△ABC中,AC=5,AB=3,BC=7,求∠A.
§ 21.4 解直角三角形
例 4 : 已 知 △ABC 中 , AC = 4 , ∠A = 30° , ∠B = 45°,求△ABC的面积.
C
D
思路:由所求及已知AC,容易想到 作BD⊥AC于点 D.Rt△CBD 含 75° , 边之关系不明确.
B
A
改作CD⊥AB点D.
C
CD 2 , AD 2 3 , BD 2 , S ABC 2 2 3 .
•第1课时:解直角三角形 •解直角三角形的关键是恰当选择关系式,把 已知和未知联系起来.两类型、两原则
△ABC中,∠C=90°,已知a , ∠A ,求b,c
B
.
b = a tan(90°-∠A )(尽量用乘法)
a A C
a c (尽量用已知数) sin A
§ 21.4 解直角三角形
•Байду номын сангаас
•第1课时:解直角三角形 直角三角形可解的条件——知二,有一边
§ 21.5 应用举例
•教学设计:以P106例2为基础 3. 问题解决
问题1:如图,小聪站在第1层看台的地面上,仰望升 到顶端的国旗,已知小聪的双眼距地面1.5米,他的双
脚距旗杆底部18米,看国旗的仰角为29°.你会利用这
些条件计算国旗的高度吗?(结果精确到0.1米) 1.5+18×tan29° ≈11.5(米)
§ 21.5 应用举例
如图,山脚下有一棵小树AB,小强从点B沿山坡向 上走了 50 米到达点 D,用高为 1.5 米的测角仪 CD 测 得树顶的仰角为 10 °,已知山坡坡角为 15 °,求树 AB的高(结果解决到0.1米) (1)根据题意画示意图;
1.5
10°
50
E
( 2 )示意图中含树( AB), 测角仪(CD)垂直于地面;
教学总原则
(1)转化的数学思想: 分析: ∠B=30°,∠D=45°,AD=1000(米). 作AE⊥ BD于E.
A
(2)用几何画板;
(3)用几何证明:
B
α
D
β
C
§ 21.3 用计算器求锐角的三角函数值
•第2课时:用计算器探索三角函数的性质 这节课重在探索的过程,重在让学生体会 计算器可以帮助我们“做数学”,帮助我们理 解数学. 三角函数的性质不要求学生掌握和记忆, 更不要求用性质去解决其它问题,这一点教学 时教师一定要注意把握.
§ 21.4 解直角三角形
•第2课时:直角三角形中的边角计算4
例 3 :在△ABC 中, AB = 5 , AC = 7 ,∠B= 60 ° , 求BC的长. 思路:作AE⊥BC于点E.Rt△ABE 可解,求出AE、BE, 使Rt△ACE可解.
E
5 5 BE ,AE 3, 2 2 11 2 2 CE AC CE , 2 CB 8 .
§ 21.4 解直角三角形
目标要求:使学生掌握运用直角三角形中的
边角关系及锐角三角函数解直角三角形.
•使学生会将等腰三角形、梯形及一般三角 形(含特殊角)中的边角计算问题通过作 垂线转化为解直角三角形的问题去解决. 课时安排:解直角三角形(1), 直角三角形中的有关计算(1).
§ 21.4 解直角三角形
§ 21.5 应用举例
3. 问题解决
问题2:如图,小聪站在某一高层看台的地面上,俯
视升到顶端的国旗,已知小聪的双眼距看台地面1.5
米,现在他的双脚距地面16米,距旗杆底部的水平距
离为34米,看国旗的俯角为10°.你会利用这些条件计 算国旗的高度吗?(结果精确到0.1米) 1.5+16-34×tan10° ≈11.5(米)
§ 21.2 特殊角的三角函数
• 1课时:特殊角的三角函数值 • 用手中三角板推导特殊角的三角函数值. • 记忆特殊角的三角函数值.
1 2 3 , , ; 2 2 2
1 , 3
2 3 , . 2 1
• 计算含特殊角的三角函数式的值(P95例1). • 由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角 (P96例2).
§ 21.5 应用举例
目标要求:使学生了解仰角、俯角、坡度、 坡角、水平距离、垂直距离等在测量中常用 的术语,并弄清它们的意义.
•使学生善于将某些实际问题中的数量关系, 归结为直角三角形中元素之间的关系.进而用 解直角三角形的知识解决.会设计简单的测量 方案. 课时安排:书上一个例题1课时,共5课时.
F
(3)引导学生说出题目中的每句话对应图中哪个角或边;
( 4 ) AB=AE+CD+DF, 解 Rt△DFB 求 DF, 求 AE 需 要 解 Rt△ACE,已知一角不可解,为此要在Rt△DFB中求BF.
教学总原则
1.注意形数结合:
解直角三角形这一章是用代 数方法研究直角三角形 . 在引入概念、推理论证、计 算化简、解决实际问题时,都应该画图帮助确定对边、 邻边,列出直角三角形中的边角关系,并进行定量计 算.教学中教师要起好示范作用.
2.注意循序渐进:学生的认识有一个由特殊到一般,由
简单到复杂的发展过程 .教学要适应这一规律,比如从研 究含30°、50°角的直角三角形到含任意锐角的直角三角 形,从开始的简单应用到后面的较复杂应用,由理论上的 准备到实际测量活动,都是一个逐步深入提高的过程 . 教 学中要注意这一点.
教学总原则
3.渗透思想方法:
例 1 :已知:△ ABC 中, CD、BE 分别为 AB 与 AC 上的高, ∠ EBC=45 ° , ∠ DCB=30 °,DC=12,求 BE.
A D E
分析:求BE,需要解Rt△ BEC,
已知一角,不可解;
由已知, Rt△BDC 中,已知一边 一角可解,求出BC.
B
C
至此Rt△BEC中,已知一边一角可解.
§ 21.5 应用举例
3. 问题解决
问题3:小聪站在看台的某层台阶上.请问:需要测量
或补充哪些数据,才能计算出国旗的高度?
①学生可能条件补充得不完整,或有多余条件,可通 过讨论予以解决;
②有些学生可能要犯测量视线长度的错误,要让学 生通过自己的思考,理解测量视线是无法操作的.
§ 21.5 应用举例
a 等. sin A
§ 21.5 应用举例
•《课程标准》总体目标之一:“运用数学的思 维方式观察、分析现实社会,去解决日常生活 和其他学科学习中的问题,增强应用数学的意 识” . 数学教学向生活回归,向应用贴近,是 新课标下的数学教学应予突出的一个重要方面. •数学教学要经历“从实际中来,到实际中去” 的过程.
§ 21.3 用计算器求锐角的三角函数值
目标要求:使学生会用计算器由已知锐角求 它的三角函数值,由已知三角函数值求对应 的锐角.
课时安排:用计算器求锐角三角函数值(1),
用计算器探索锐角三角函数的性质(1).
§ 21.3 用计算器求锐角的三角函数值
•第1课时:用计算器求锐角三角函数值
•用计算器求锐角三角函数值,由已知锐角
思路:作CD⊥AB交BA延长线于点D.
D
A
设 AD x . AC AD BC BD .
2 2 2 2
C
B
5 x 7 (3 x) 5 x , ACD 30 , 2 DAC 60 , BAC 120.
2 2 2 2
§ 21.4 解直角三角形(注意问题)
§ 21.5 应用举例
•五个例题类型:
•105页例1:求折断树高问题. •106例2:测高问题(底部可到达)(仰角、俯角).
•107页例3:修路建坝问题(坡度、坡角).
•109页例4:航海中的探索问题(方向角).
•109页例5:测高问题(底部不可到达).
§ 21.5 应用举例
•教学设计:以P106例2为基础 2. 介绍仰角和俯角的概念
三角函数值求它对应的锐角. 充分让学生动手操作,相互交流操作程序, 体验解决问题的程序性,教师适时点拨.
§ 21.3 用计算器求锐角的三角函数值
•第2课时:用计算器探索三角函数的性质 锐角三角函数的增减性,同角三角函数的 平方关系,互余两角三角函数的关系. 如: 探索锐角正弦的增减性 (1)用计算器;
3. 问题解决
问题4:医学研究表明:人在观看物体时,当视线与水
平线所成的俯角为15°时,眼睛感觉最舒适.如果小聪
的双眼距看台地面1.5米 ,第1层看台阶距旗杆底部18
米 ,每层台阶的高和宽均为0.5米,小聪站在第几层
看台上观看升到顶端的国旗,眼睛最舒服?
§ 21.5 应用举例
3. 问题解决
设小聪站在第x层台 阶上看顶端的国旗眼 睛最舒服.
§ 21.4 解直角三角形
•第2课时:直角三角形中的边角计算
例 2 :已知:如图,△ABC 中,∠C=90°,点 D 在 BC 上,BD=4,∠B=30°,∠ADC=45°,求AC的长. 分析:Rt△ABC, Rt△ADC
均不可解;
设DC=x,在Rt△ABC中,
x
AC 1 x tan B , . BC 3 4 x x 2 3 2.
• 对于含30°、45°和60°的直角三角形,借助几
何性质求解.P102 •对于一般三角形(含特殊角)和特殊四边形中的边 角计算问题,重在让学生体会通过作垂线可以转化
为解直角三角形的问题.
•重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式,
然后根据需要进行变形,不要求学生直接写出变
形以后的式子. 如 a c sin A , c
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