特殊角的三角函数

（1）转化的数学思想： 通过作垂线将一般三角形和特殊四边形中边角计 算问题转化为解直角三角形的问题；等角三角函数的 转化；三角形中边角互化.
教学总原则
（1）转化的数学思想： 1. 如图，在小山的东侧 A 处有一热气球，以每分钟 25 m的速度沿着与水平方向夹角为750的方向飞行，半小 时后到达C处，这时气球上的人发现，在A处的正西方 向有一处着火点 B， 10分钟后，在 D处测得着火点 B的 俯角是 300 ，求热气球升空点 A与着火点 B 的距离（结 果精确到１m）.
§ 21.4 解直角三角形
目标要求：使学生掌握运用直角三角形中的
边角关系及锐角三角函数解直角三角形.
•使学生会将等腰三角形、梯形及一般三角 形（含特殊角）中的边角计算问题通过作 垂线转化为解直角三角形的问题去解决. 课时安排：解直角三角形（1）， 直角三角形中的有关计算（1）.
§ 21.4 解直角三角形
§ 21.5 应用举例
如图，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡向 上走了 50 米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪 CD 测 得树顶的仰角为 10 °，已知山坡坡角为 15 °，求树 AB的高（结果解决到0.1米） （1）根据题意画示意图；
1.5
10°
50
E
（ 2 ）示意图中含树（ AB）， 测角仪（CD）垂直于地面；
如图，小聪站在低层的看台上，仰望升到顶端的 国旗，小聪的视线在水平线的上方，这时视线与水平
线所成的夹角，我们称为仰角.
§ 21.5 应用举例
•教学设计：以P106例2为基础 2. 介绍仰角和俯角的概念
如图，小聪站在高层的看台上，俯视升到顶端的 国旗，小聪的视线在水平线的下方，这时视线与水平 线所成的夹角，我们称为俯角.
§ 21.4 解直角三角形
•第2课时：直角三角形中的边角计算
例 2 ：已知：如图，△ABC 中，∠C=90°，点 D 在 BC 上，BD=4，∠B=30°，∠ADC=45°，求AC的长. 分析：Rt△ABC， Rt△ADC
均不可解；
设DC=x，在Rt△ABC中，
x
AC 1 x tan B , . BC 3 4 x x 2 3 2.
§ 21.5 应用举例
•五个例题类型：
•105页例1：求折断树高问题. •106例2：测高问题（底部可到达）（仰角、俯角）.
•107页例3：修路建坝问题（坡度、坡角）.
•109页例4：航海中的探索问题（方向角）.
•109页例5：测高问题（底部不可到达）.
§ 21.5 应用举例
•教学设计：以P106例2为基础 2. 介绍仰角和俯角的概念
§ 21.4 解直角三角形
例 4 ： 已 知 △ABC 中 ， AC ＝ 4 ， ∠A ＝ 30° ， ∠B ＝ 45°，求△ABC的面积.
C
D
思路：由所求及已知AC，容易想到 作BD⊥AC于点 D.Rt△CBD 含 75° ， 边之关系不明确.
B
A
改作CD⊥AB点D.
C
CD 2 ， AD 2 3 ， BD 2 ， S ABC 2 2 3 .
F
（3）引导学生说出题目中的每句话对应图中哪个角或边；
（ 4 ） AB=AE+CD+DF， 解 Rt△DFB 求 DF， 求 AE 需 要 解 Rt△ACE，已知一角不可解，为此要在Rt△DFB中求BF.
教学总原则
1.注意形数结合：
解直角三角形这一章是用代 数方法研究直角三角形 . 在引入概念、推理论证、计 算化简、解决实际问题时，都应该画图帮助确定对边、 邻边，列出直角三角形中的边角关系，并进行定量计 算.教学中教师要起好示范作用.
三角函数值求它对应的锐角. 充分让学生动手操作，相互交流操作程序， 体验解决问题的程序性，教师适时点拨.
§ 21.3 用计算器求锐角的三角函数值
•第2课时：用计算器探索三角函数的性质 锐角三角函数的增减性，同角三角函数的 平方关系，互余两角三角函数的关系. 如： 探索锐角正弦的增减性 （1）用计算器；
§ 21.4 解直角三角形
•第2课时：直角三角形中的边角计算4
例 3 ：在△ABC 中， AB ＝ 5 ， AC ＝ 7 ，∠B＝ 60 ° ， 求BC的长. 思路：作AE⊥BC于点E.Rt△ABE 可解，求出AE、BE， 使Rt△ACE可解.
E
5 5 BE ，AE 3， 2 2 11 2 2 CE AC CE ， 2 CB 8 .
§ 21.5 应用举例
3. 问题解决
问题2：如图，小聪站在某一高层看台的地面上，俯
视升到顶端的国旗，已知小聪的双眼距看台地面1.5
米，现在他的双脚距地面16米，距旗杆底部的水平距
离为34米，看国旗的俯角为10°.你会利用这些条件计 算国旗的高度吗？（结果精确到0.1米） 1．5+16－34×tan10° ≈11.5（米）
解直角三角形是重要的基础性知识，它是解决许 多问题的工具:地位作用
•直角三角形中的边角计算； •一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边角计算；
•圆中有关半径、弦长及圆和正多边形中的有关计算；
•高中立体几何中有关边、角、距离的计算；
•高中斜三角形中的边角关系的推导；
•物理学科中的某些计算问题.
§ 21.4 解直角三角形
§ 21.2 特殊角的三角函数
• 1课时：特殊角的三角函数值 • 用手中三角板推导特殊角的三角函数值. • 记忆特殊角的三角函数值.
1 2 3 , , ; 2 2 2
1 , 3
2 3 , . 2 1
• 计算含特殊角的三角函数式的值（P95例1）. • 由已知特殊角的三角函数值求对应的锐角 （P96例2）.
2.注意循序渐进：学生的认识有一个由特殊到一般，由
简单到复杂的发展过程 .教学要适应这一规律，比如从研 究含30°、50°角的直角三角形到含任意锐角的直角三角 形，从开始的简单应用到后面的较复杂应用，由理论上的 准备到实际测量活动，都是一个逐步深入提高的过程 . 教 学中要注意这一点.
教学总原则
3.渗透思想方法：
(1.5 0.5 x) 11.5 20 36tan15 tan15 ,x 40 18 0.5 x 1 tan15
设计说明
1.本课的意义在于：让学生初步领会把数学知识如何
应用于生活实际，体会数学与生活的紧密联系，
从而培养其应用数学的意识，激发其学习数学的
兴趣.
2.问题解决从简到繁，从易到难.问题的选取源于课 本，高于课本；问题层层深入，具有开放性和挑 战性.为学生探索、交流提供了空间，为不同的学
A
D
B
§ 21.4 解直角三角形
例5：在△ABC中，BC＝6，AC＝ 6 3 ，∠A＝ 30° ， 求AB的长.
C
思路：已知两边一对角，有可能 两解.作CE⊥AB于点E.
A
E
C
B
CD 3 3 , AD 9 BD 3 AB 12 或 6.
A
B
E
§ 21.4 解直角三角形
例6：在△ABC中，AC=5，AB=3，BC=7，求∠A.
§ 21.5 应用举例
3. 问题解决
问题3：小聪站在看台的某层台阶上.请问：需要测量
或补充哪些数据，才能计算出国旗的高度？
①学生可能条件补充得不完整，或有多余条件，可通 过讨论予以解决；
②有些学生可能要犯测量视线长度的错误，要让学 生通过自己的思考，理解测量视线是无法操作的.
§ 21.5 应用举例
a 等. sin A
§ 21.5 应用举例
•《课程标准》总体目标之一：“运用数学的思 维方式观察、分析现实社会，去解决日常生活 和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意 识” . 数学教学向生活回归，向应用贴近，是 新课标下的数学教学应予突出的一个重要方面. •数学教学要经历“从实际中来，到实际中去” 的过程.
•第1课时：解直角三角形 •解直角三角形的关键是恰当选择关系式，把 已知和未知联系起来.两类型、两原则
△ABC中，∠C=90°，已知a ， ∠A ，求b,c
B
.
b = a tan(90°－∠A )（尽量用乘法）
a A C
a c (尽量用已知数) sin A
§ 21.4 解直角三角形
•
•第1课时：解直角三角形 直角三角形可解的条件——知二，有一边
生在各自的基础上，都有所收获、有所发展提供
了可能.
§ 21.5 应用举例
•解直角三角形在实际中应用广泛，教材中举了五 个例子.在教学时，不宜着眼于知识的加深和难度 的提高，而要致力于使学生学会将千变万化的实 际问题转化为数学问题来解决.教会学生分析.
如图，山脚下有一棵小树AB，小强从点B沿山坡 向上走了 50 米到达点 D，用高为 1.5 米的测角仪 CD 测 得树顶的仰角为 10 °，已知山坡坡角为 15 °，求树 AB的高（结果解决到0.1米）
例 1 ：已知：△ ABC 中， CD、BE 分别为 AB 与 AC 上的高， ∠ EBC=45 ° ， ∠ DCB=30 °，DC=12，求 BE.
A D E
分析：求BE，需要解Rt△ BEC，
已知一角，不可解；
由已知， Rt△BDC 中，已知一边 一角可解，求出BC.
B
C
至此Rt△BEC中,已知一边一角可解.
• 对于含30°、45°和60°的直角三角形，借助几
何性质求解.P102 •对于一般三角形（含特殊角）和特殊四边形中的边 角计算问题，重在让学生体会通过作垂线可以转化
为解直角三角形的问题.
•重视规范书写的教学.要求学生先写出边角关系式，
然后根据需要进行变形，不要求学生直接写出变
形以后的式子. 如 a c sin A ， c