中山大学考研数学分析2010年真题及答案
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中山大学2010年数学分析真题
题目
一、（每小题6分，共48分） （1） 求极限lim
n→∞1
n
√(n +1)(n +2)…(2n +1)n
；
（2） 求不定积分∫max (|x |,1)dx ； （3） 已知f (x )= ∫sint
π−t
dt x 0
，求定积分∫f(x)dx π
0； （4） 求二元函数极限
lim
(x,y)→(0,0)(x 2+y 2)x
2y 2
；
（5） 求二次积分∫dy 1
0∫e x 2
dx 1
y ； （6）
计算I =∮xdy−ydx x 2+y 2
L
，其中L 是一条无重点、分段光滑且不经过原点的连续封闭曲
线，L 的方向为逆时针方向； （7） 讨论函数项级数∑√n+x
∞在[0,2]上的一致收敛性；
（8）
计算∬(x 2+y 2)dS S
，其中S 为曲线z =√x 2+y 2与平面z=1所围几何体的表面。 二、单位圆盘中切去圆心角为θ的扇形，余下部分粘合成一锥面，问θ为多少时，该锥面加上
底面所围的椎体体积最大。 三、设在f (x )在x=0某邻域内有二阶连续导数，且lim
x→0f (x )x
=0，证明∑f (1
n )∞n=1绝对收敛。
四、设f (x,y )={
(x 2+y 2)p sin
1x 2+y 2
,x 2+y 2≠0
0,x 2
+y 2
=0
，其中p 为正数，试分别确定p 的值，使
得如下结论分别成立
（1） f (x,y )在点(0,0)处连续 （2） f x (0,0)与f y (0,0)都存在
（3） f x (x,y)与f y (x,y)在(0,0)点连续
五、计算由曲面(x
a +y
b )2
+(z c )2
=1,(x ≥0,y ≥0,z ≥0,a >0,b >0,c >0)所围成几何体
之体积，其中a,b,c 为正常数。 六、求幂级数∑n 2+1n!2n ∞n=1
x n 的收敛范围，求其和函数。
七、设u =f (x )，其中r =√x 2+y 2+z 2，变换方程∂2u
ðx 2+∂2u
ðy 2+∂2u
ðz 2=0，使其成为关于f (r )
的方程。
八、判断级数√2+√2√2+√2−√2+√2√2−√2+√2+√2⋯的收敛性。
参考答案
一、 （1）
lim
n→∞1
n
√(n +1)(n +2)…(2n +1)n
=lim
n→∞1
n
√(n +1)(n +2)…(2n )n
=
lim
n→∞1
n
√
(2n )!n!
n
=lim
n→∞1
n
√
√4πn(2n e )
2n
√2πn(n e )
n
n
=lim
n→∞4n
en
=4
e
（2）
∫max (|x |,1)dx =∫max (|t |,1)dt x
0+C =C +
{
∫tdt x
0=1
2x 2,−1≤x ≤1
∫max (|t |,1)dt 10+∫max (|t |,1)dt x 1=1+1
2x 2−12=12x 2+1
2,x >1
∫max (|t |,1)dt −1
0+∫max (|t |,1)dt x −1=−1+12−12x 2=−12x 2−12,x <−1
（3） ∫f (x )dx π
0=∫dx π
0∫sint π−t
dt x 0
=∫sint π−t
dt π0
∫dx πt =∫(π−t )
sint π−t
dt π0=∫sintdt π
0=2
（4）
当0 (x 2 +y 2)x 2y 2 ≥(x 2 +y 2)(x 2+y 2)2 4 →1，(x 2+y 2)x 2y 2 <1 故lim (x,y)→(0,0) (x 2+y 2)x 2y 2 =1 （5） ∫dy 1 0∫e x 2 dx 1 y =∫dx 10∫e x 2 dy x 0=1 2(e −1) （6） 记P (x,y )=−y x 2+y 2，Q (x,y )=x x 2+y 2，(x,y)≠(0,0)，则P,Q 具有连续的一阶偏导 数，并且 ∂P ðy = ∂Q ðx =y 2−x 2 ( x 2+y 2)2 。如果L 内部包含原点，则 ∮ xdy −ydx x 2+y 2L =∮xdy −ydx x 2+y 2x 2+y 2=1=∮xdy −ydx x 2+y 2=1 =2S (D )=2π 其中，D 为x 2+y 2 ≤1。 如果L 内部不包括原点，则∮xdy−ydx x 2+y 2 L =0 （7） 2sin 1 2x ∑sinkx n k=1=∑[cos (k −1 2)x −cos (k +1 2)x]=n k=1cos 1 2x −cos (n +1 2)x 于是 ∑sinkx n k=1= cos 12x−cos(n+12 )x 2sin 1 2 x ，xϵ(0,2π) (1−cosx )∑sinkx n k=1=2sin 21 2x cos 12x−cos(n+12 )x 2sin 12 x =sin 1 2x [cos 1 2x −cos (n +1 2)x]