物流运筹学——线性规划

max z CX
单
纯 形
AX b
s.t.
X
0
法令 A (B, N ) ， X (xB , xN )T ，由 AX b 知
BxB Nx N b
两边同时左乘 B1 得 xB B1NxN B1b ，从而
xB B1b B1NxN 。令 xN =0，X B1b, 0 T 。
设 B 是约束矩阵 A 的一个 m 阶满秩子方阵，则称 B 为一个 基； B 中 m 个线性无关的列向量称为基向量，变量 X 中与之对
【例2-1】某企业要将产品包装成Ⅰ、Ⅱ两种规格， 需要A、B两种原材料的数量、获利情况及两种材 料数量限制见表2-1，两种规格的产品各包装多少 件可获利最多？
表2-1
产品
A
规格
B
利润/（元/件）
Ⅰ
4
2
12
Ⅱ
5
1
9
材料限制 20
8
解 设 x1 ， x2 分别为Ⅰ、Ⅱ两种规格产品的包装件数，
该包装问题可用数学模型表示为：
线性规划定义
求取一组变量，使之既满足线性约束条件， 又使具有线性表达式的目标函数取得极大值或极 小值的一类最优化问题称为线性规划问题，简称 线性规划（LP）。决策变量、约束条件和目标函 数是其三个基本要素。
1．线性规划问题模型的一般形式
max(min) z c1x1 L cn xn
a11x1 L a1n xn ( ，)b1
单纯形法的基本原理： 寻找一种规则，从一个基可行解转移
到另一个基可行解，目标函数值是增大 的，即“顶点转换，目标上升”。
对矩阵 ( A,b) 作初等变换：
a11 a12 … a1m a1,m1
(
A，b)
a21
a22
…
a2m a2,m1 ……
am1 am2 … amm am,m1
? a1n b1
xij
0 ，i
1，2；j
1，2，3，4
上面两个例子的共同特征： （1）每一个问题都由一组决策变量来表示某一方案， 一般情况下这些变量的取值是非负且连续的。 （2）存在一定的约束条件，这些约束条件可以用一 组线性的等式或不等式来表示。 （3）都有一个要求达到的目标，它用决策变量的线 性函数（称为目标函数）来表示。按照具体问题的不 同，要求目标实现最小或最大。
解 设从仓库 Ai 运往 B j 的产品数量设为 xij ， i 1, 2 ，
j 1, 2,3, 4 ，该运输问题可用数学模型表示为
24
min z
cij xij
i1 j1
s.t.
xi1 x1 j
xi 2 x2
xi3 j bj
xi4 ai ，i ，j 1，2，3，4
1，2
…
x1
…
1 0 M 0
0
cm
…
cj
…
cn
xm
…
xj
…
xn
0
a' 1j
a' 1n
0
a'
a'
2j
2n
M
M
M
1
a'
a'
mj
mn
m
m
0
c j cBiaij
cn cBiain
i 1
i 1
单纯形法的计算步骤
步骤 1：求初始基可行解，列出它的单纯形表。
步骤 2：最优性检验。若 j 0, j 1,L , n ，则最优解已找到，
学习目标
知识目标
掌握线性规划的基本形式及标准形式； 掌握单纯形法计算过程； 理解对偶问题； 掌握对偶问题的求法及性质； 了解灵敏度分析。
技能目标
能够结合实际情况建立线性规划的模型，并可利用单 纯形法求解。
第一节 线性规划问题及其数学模型
问题的提出 线性规划问题的标准形式
问题的提出
max z 12x1 9x2
4x1 5x2 20
s.t.2x1 x2 8
x1
,
x2
0
【例 2-2】某物流公司要把若干单位的产品从两个仓库 Ai （ i 1, 2 ） 发送到零售点 B j （ j 1, 2,3, 4 ），仓库 Ai 供应的产品数量为 ai ，零 售点 B j 所需的产品的数量为 b j 。假设供给总量和需求总量相等， 且已知从仓库 Ai 运一个单位产品往 B j 的运价为 cij 。问应如何组织 运输才能使总运费最小？
?
a2n
b2
… amn bm
1 0 … 0 0 1 … 0 0 0 … 1
a' … a'
1,m1
1n
a' … a'
2 ,m1
2n
……
a' … a'
m ,m1
mn
b' 1
b'
2
b' m
cj
CB
基
b
c1
x1
b1
c2
x2
b2
MMM
cm
xm
bm
j cj zj
表 2-2 单纯形表
c1
图解法
【例 2-4】用图解法求解例 2-1。
max z 12x1 9x2
4x1 5x2 20
s.t.2x1 x2 8
x1,
x2
0
x2
z
4
0
2x1 x2 8
4x1 5x2 20 Q
45
x1
线性规划解的可能情况
唯一最优解 无穷多最优解 无界解 无可行解
考虑线性规划的标准形式：
max(min)z CX
AX ( ，)b
s.t.
X 0
线性规划问题的标准形式
max z CX
AX b
s.t.
X
0
【例 2-3】将下列线性规划问题化为标准形：
min z x1 2x2 3x3
2x1 x2 x3 9
s.t.
3x1 4x1 2
x2 x2
2x3 4 3x3 = 6
s.t.
a21x1 L
a2n xn ……
( ，)b2
am1x1 L源自文库 amn xn ( ，)bn
xj 0，j 1，2，…，n
2．紧缩形式
max(min) z c1x1 L cn xn
s.t.
n j 1
aij x j
(, )bi
，i
1，2，…，m
x
j
0
,
j 1，2，…，n
3．矩阵和向量的形式
应的 m 个分量称为基变量，其余变量为非基变量，令所有的非基
变量取值为 0，得到的解 X B1b, 0 T 称为相应于 B 的基解。
若 B1b 0 则称基解为基可行解，这时对应的基 B 为可行基。 如果 B1b 0 则称该基可行解为非退化的，如果一个线性
规划的所有基可行解都是非退化的则称该规划为非退化的。
x1 0，x2 0，x3取值无约束
第二节 线性规划模型的求解
图解法 单纯形法
• 满足所有约束条件的向量称为线性规划问题的可行解 • 所有可行解构成的集合称为可行域。 • 在可行域中使得目标函数值最大（或最小）的可行解，
称为线性规划问题的最优解。 • 最优解的全体称为最优解集合。 • 最优解对应的目标函数值称为最优值。