大学物理-教学资料：第十二章光的衍射

a
A
➢ 相邻半波带的光，合成后为零。因此，最终P点的明暗取决 于这样的半波带的个数！
➢ 半波带的个数与衍射角有关： N asin
2
第9页
R
L
B
A2
A1 C
A
/2
ACasin
P
k
o
2
（ k个半波带）
asin0
中央明纹中心
asin2kk 干涉相消（暗纹） 2k个半波带
asin(2k21) 干涉加强（明纹） 2k 1半波带
第1级暗， 2个半波带
第2级暗， 4个半波带
第 11 页
三、讨论
θ很小的情况下，
tansin
xftan; f
（1）第一暗纹的衍射角
1arcsinaa (1很 小 )
第一暗纹距中心的距离
x1 1 f
a
f
RL
a
P
x
o
f
第 12 页
（2）中央明纹的宽度 当衍射角很小时，
中央明纹的半角宽：
a
其他各级明纹的角宽：
对应某些 值按多光束干涉应出现某些级的主极大，正好落在单
缝衍射的暗条纹上，而造成这些主极大缺失。即满足以下两个条 件的光栅明条纹为缺级：
(ab)sink asink'
k abk' a
k1,2,3,......
例如，a+b = 3a ，则 k = ±3，±6，±9，…… 对应的主极大缺级。
第 28 页
sin
衍射光谱分类：
连续光谱：炽热固体发出 线状光谱：放电管中气体发出 带状光谱：分子光谱
光栅光谱仪
光谱分析
由于不同元素（或化合物）各有自己特定的光 谱，所以由谱线的成分，可分析出发光物质所含元素 或化合物；还可从谱线强度定量分析出元素的含量．
第 31 页
分光计(Spectrometer)
第 32 页
第 39 页
爱里斑（Airy Disk）
L D
P
1
f
第一暗纹位置
爱里1 斑s角in半1径0.61 1r1.22D
第 40 页
爱里斑半径
Rftg1 1.22f
D
二、光学仪器的分辨本领
两个物点的分 辨
对于任一个物点（点光源），经物镜后所形成的像实际 不是一个点，而是圆孔衍射图样,其主要部分为爱里斑。 因此，当两个物点相距很近，就有如何分辨的问题：
a
asin1 asin1
中央明纹的宽度约为其他明纹的两倍！
因此，透镜焦平面处的屏上 中央明纹的线宽度：
x02ftg1f21f2a
第 13 页
单缝宽度与中央明纹宽度的关系
第 14 页
单缝衍射的激光实验照片，入射激光波长 =632.8nm。 明条纹宽度反比于缝宽。
a=0.16 mm a=0.08 mm a=0.04 mm a=0.02 mm
(ab)sin
光栅衍射条纹特点的讨论：
( a b ) s in k ( k 0 ,1 ,2 ,L )
⑴能看到条纹的最高级数
sink
k
(a b)
π,
2
(ab)
k<kmax
⑵光栅常数越小，明纹间相隔越远
入k射 光1波,长s越in大k，1明纹sin 间相k隔越(a远b)
一定，( a b减) 少， k1 增大k ．
菲涅耳：从同一波前上各点发出的子波 ，在空间相遇时，也将叠加而产生干涉 现象。——定量解释衍射图样中的强度 分布。
菲涅耳(Augustin Jean Fresnel，1788-1827)， 法国物理学家、数学家。
第5页
根据惠更斯—菲涅耳原 理，波在传播过程中， 从同一波阵面S上发出的 子波，经传播而在空间 某点相遇时，可相互叠 加而产生干涉现象。
G
单缝衍射：
S
*
第3页
各种透光孔形成的衍射图样：
方孔衍射
第4页
网格衍射
针和线的衍射条纹
不同大小的圆孔的衍射条纹
二、惠更斯-菲涅耳原理（Huygen-Frenel principle）
惠更斯：波阵面上各点都看成是子波波 源。——定性解释光的传播方向问题。
惠更斯(Christian Huygens, 1629-1695)，荷兰 数学家、物理学家。发现土星的光环，发明了 摆钟，对波动理论的发展起了重要作用。
➢ 掌握夫朗和费圆孔衍射，了解衍射对光学仪器分辨率 的影响.
➢ 掌握X 射线的衍射现象和布拉格公式的物理意义.
第2页
第一节 惠更斯-菲涅耳原理
一、光的衍射现象（Diffraction of Light）
当光遇到的障碍物尺寸足够小时，发现屏上得不到这些物体清 晰的几何投影，而是有光进入阴影区内，产生光的衍射现象。
a
d32x36a f8.0103m
所以
a3d1.514 08.013 05.017 0m
6f
60.40
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第三节 衍射光栅(Diffraction Grating)
一、光栅衍射
光栅(Grating)：大量等宽等间距的平行狭缝（或反射面）构成的 光学元件。
透射光栅：
反射光栅：
a透光（或反光）
第十二章 光的衍射 Chap.12 Diffraction of Light
本章要点
➢ 了解惠更斯－菲涅耳原理及它对光的衍射现象的定性 解释.
➢ 掌握半波带法分析光的单缝衍射，掌握衍射的光强分 布.
➢ 理解光栅衍射公式 , 会确定光栅衍射谱线的位置，会分 析光栅常数及波长对光栅衍射谱线分布的影响.
部分的宽度
光栅常量：d=a+b
b不透光(或不反光)
部分的宽度
常见光栅：d105~106m
第 21 页 光栅宽度为 l 毫米，每毫米缝数为 m ，则总缝数：N=m×l
光栅G
透镜L
d=a+b
观察屏
P
o
f
d sin
光栅衍射图样的特点： 一系列又细又亮的明条纹（又称主极大、谱线）缝数N增加，明
纹愈细愈亮。 明纹之间的暗区含有完全消光的极小和较明亮的次极大
例 波长为5000Å和5200Å的两种单色光同时垂直入 射在光栅常数为0.002cm的光栅上，紧靠光栅后用 焦距为2米的透镜把光线聚焦在屏幕上。求这两束光 的第三级谱线之间的距离。
解： (ab)sink
sin31
31
(a b)
sin32
32
(a b)
x2
1
x1
f
x31f tg31 x32 f tg32 sin tg
（5）入射光非垂直入射时光程差的计算
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单缝衍射的光强分布示意图
暗纹即干涉相消位置： 明纹即干涉加强位置：
asink
asin(2k1)
2
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例 波长 546 nm 的平行光垂直照射在缝宽 0.437 mm的 单缝上，缝后凸透镜的焦距为40 cm ，求透镜焦平面上 衍射中央明纹的宽度。
衍射屏离光源或接收屏为有限距离的衍射。
夫朗和费衍射(Fraunhofer Diffraction)：
衍射屏离光源或接收屏为无限远距离的衍射。
K
L2
L1
E
S
单缝衍射夫琅和费实验
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实际装置图
第二节 单缝衍射 (single slit Diffraction)
一、单缝夫朗和费衍射
光源和观察屏都在距离衍射单缝“无限远”处。
单缝衍射夫琅和费实验装置图
边缘光程差
单缝衍射原理图
A Casin
（衍射角 ：向上为正，向下为负 .）
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二、半波带法
考虑对应衍射角方向上的出射光（经透镜汇聚到屏上P点）。现
将波阵面 AB分成若干个等宽长条带，相邻条带的相应点发出的光 到达 P 点的光程差为半个波长。这样分隔的条带称为半波带
/2
B
xf(tg3 2 tg3 1 );
f(3 23 1)0.006m
a ba b
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例 利用每厘米刻有4000条缝的光栅，在白光的垂直照 射下，可以产生多少级完整的光谱？
解
完整的光谱：
第k级
不完整的光谱：
第k级
第k+1级
重叠！
完整的光谱要求第k级的红光的衍射角要小于第k+1级的紫光的
衍射角： Rk Vk1
解 (ab)sink (ab)0.2 02
ab6106m
(ab) a4 a1.5106m
ab
kmax 10
可见级数为：k = 0，±1，±2，…… ±9， k≠ ±4, ±8。
k = 10 对应 sin = 1 故舍去。
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光线斜入射时的光栅方程
d (si s nii)n
光栅 L
d sin i
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入射波长和中央明纹宽度的关系
越大， 1 越大，衍射效应越明显.
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（3）条纹宽度（相邻条纹间距）
xfk1fkaf (k很 小 )除它了明中纹央、明 暗纹 纹外 的的 宽其 度
（4）单缝衍射的动态变化 单缝上下移动，根据透镜成像原理衍射图不变 .
R
单缝上移，零级明
o f
纹仍在透镜光轴上.
解 由单缝衍射示意图可知，
两侧第一级暗纹所夹的即
为中央明条纹。
asink
sin
a
x2ftan
2
f
a
x
25461090.401.0103m 0.437103
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例 用波长=632.8nm的平行光垂直入射于宽度a=1.5×10-4m的单缝
上，缝后以焦距f=0.40m的凸透镜将衍射光会聚于屏幕上。求（a） 屏上第一级暗条纹与中心O的距离；（b）中央明条纹宽度；（c） 其它各级明条纹的宽度；（d）若换用另一种单色光，所得的两侧 第三级暗条纹间的距离为8.0×10-3m。求该单色光的波长。
图中P点的光振动就是由S上各点的ds面元的振动传播
到P点，并叠加而成。由此即可计算出空间各点的光
振动。
d E (P )C A K ()d r Sco s( t2 r)
E (P ) C SA K r()co s( t2 r)d S
第6页
三、衍射的分类
菲涅耳衍射(Fresnel Diffraction)：
sinRksinVk1
kR (k1)V
ab ab
k=1，即对白光只有第一级不 重叠，并且与光栅常数无关。
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例 用波长 = 600 nm 的单色光垂直照射光栅，观察到 第 2 级明条纹分别出现在 sin = 0.20，而第 4 级缺级。
试求（1）光栅常数；（2）狭缝宽度；（3）全部条纹 的级数。
(a b) 一定， 增大，
增大．
k1
k
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光栅中狭缝条数越多，明纹越细越亮,暗区愈宽
亮纹的光强: 光栅暗纹：
I N2I0（N：狭缝数，
(ab)sink
I
0
：单缝光强）
N
1条缝
3条缝
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5条缝 20 条 缝
光栅衍射图样的光强分布 各主极大要受单缝衍射的调制。
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缺级现象
（a）屏上第一级暗条纹与中心O点的距离即为x1
x1fa 0.41 .0 5 6 1 3 .8 4 0 1 2 9 01.7 1 3 0 m
（b）中央明条纹的宽度d为两个第一级暗条纹之间的距离，即
d2x13.41 03m
（c）其它各级明条纹的宽度相同 （d）两个第三级暗条纹间的距离
xf1.7103m
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有3、7条狭缝的光栅的衍射图样
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二 光栅的衍射条纹是衍射和干涉的总效果
光栅衍射的明条纹（也称主极大）首先要满足该方向上的多 光束干涉极大，由此可得光栅方程：
(ab)sink
光栅G
透镜L
d=a+b
观察屏
P
o
ab
f
d sin
两相邻狭缝光束的光程差为： =(a+b)sin
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d (s isn ii ) n k
i和 的符号规定:
i
光栅
入射光
（+） 衍射光
λ
i<0
> 0 n(法线)
（-）
f
d sin
k确定时，调节i，则 相应改变。
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观察屏 P
o
例 用每毫米500条栅纹的光栅，观察钠光谱线 （=5900Å）问：（1）光线垂直入射；（2）光线 以入射角30°入射时，最多能看到几级条纹？
0"
k(ab)(sinsin)
0
0´
sin1(90 )k最大
k2150 69 ( 10 1 s 0 0 1i03n0 )5.1 取 k =5 k(ab)(1sin300) 1.69 取 k =1
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第四节、夫琅和费圆孔衍射 光学仪器的分辨本领
一、夫朗和费圆孔衍射
HP
L
爱 里 斑
d
光通过光学系统中的光阑、透镜等限制光波传播的 光学元件时，呈现衍射图样。
解：（1） (ab)sink
k a b sin sin 1(90 ) k最大
ab1103 2106m 500
kab592 00 1 0 1 06103.39 取 k =3
最多能看到第三级条纹
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（2）光线以入射角30°入射时，最多能看到几级条纹？
(a b )(s in s in ) k
2
asin k
（介于明暗之间）
2 (k1 ,2 ,3 ,)
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k是衍射条纹的级数，对应于k=1，2，…的明条纹或暗条 纹，分别叫做第一级、第二级、…的明条纹或暗条纹， 正负号表示条纹分布在中央明纹的两侧。
衍射角θ的取值范围：
22
半波带个数与条纹级数关系示意：
中央明纹
第2级明， 第1级明， 5个半波带 3个半波带
三、光栅光谱(Grating Spectrum)
-3级
白光的光栅光谱
3级
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-2级 -1级 0级 1级
2级
衍射光谱
( a b ) s i n k ( k 0 ,1 ,2 ,L )
白光入射时，不同， k 不同，按波长分开形成光谱.
I
0 一级光谱
三级光谱
(a b)
二级光谱
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