北京市海淀区高三(上)期中数学试卷含答案
北京海淀区高三上学期数学期中考试试卷(附答案)
=
−
3 2
，b3
=
−
3 2
，b4
=
1．
(2) （必要性）当数列 {an} 是等差数列时，设其公差为 d，
当 d > 0 时，an − an−1 = d > 0，
所以 an > an−1，
5
5
根据余弦定理 c2 = a2 + b2 − 2ab
所以 △ABC 的面积 S△ABC
=
1 2
cos C 和 ab sin C
=a +6√b 6=．11，c
=
7，得到
ab
=
30，
19.
(1) 函数 f (x) 的定义域为 (0, +∞) 且 m ̸= 0．
f ′ (x) = 2mx − 1 − 1 = 2m2x2 − mx − 1 = (2mx + 1) (mx − 1) ．
B. 4
C. − 3
3
3
4
D. 3 4
5. 在等差数列
{an}
中，a1
=
1，
a6 a5
= 2，则公差 d 的值是 (
)
A. − 1
B. 1
C. − 1
3
3
4
D. 1 4
6. 已知数列 {an} 的通项公式为 an = n +
a n
，则“a2
> a1”是“数列 {an} 单调递增”的 (
)
A. 充分而不必要条件
y
−
( −
3 2a
−
23
3)
=
a
(27 x
−
( −
2
)) ，
2022-2023学年北京海淀区高三(上)期中数学试题及答案
2022北京海淀高三（上）期中数 学2022．11一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）已知全集{}0U x x =>，集合{}23A x x =≤≤，则UA =（ ）（A ）(0,2][3,)+∞（B ）(0,2)(3,)+∞（C ）(,2][3,)−∞+∞（D ）(,2)(3,)−∞+∞（2）在同一个坐标系中，函数log a y x =与(0x y a a =>且1)a ≠的图象可能是（ ）（3）已知向量,a b 在正方形网格中的位置如图所示．若网格中每个小正方形的边长均为1，则⋅=a b （ ）A ．4B ．C ．4−D ．−（4）若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11a b =，222a b ==，48a =，则{}n b 的公比为（ ）（A ）2（B ）2−（C ）4（D ）4−（5）已知实数,a b 满足a b >，则下列不等式中正确的是（ ）（A ）||a b >（B ）||a b >（C ）2a ab >（D ）2ab b >（6）在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以Ox 为始边，它们的终边关于直线y x =对称．若3sin 5α=，则cos β=（ ）（A ）45−（B ）45 （C ）35−（D ）35（7）已知函数()f x ．甲同学将()f x 的图象向上平移1个单位长度，得到图象1C ；乙同学将()f x 的图象上所有点的横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到图象2C ．若1C 与2C 恰好重合，则下列给出的()f x 中符合题意的是（ ）（A ）12()log f x x =（B ）2()log f x x =（C ）()2xf x =（D ）1()2xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭（8）已知函数()e e (0)x x f x a b ab −=+≠，则"0a b +="是"()f x 为奇函数"的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件（C ）充分必要条件（D ）既不充分也不必要条件（9）若P 是ABC ∆内部或边上的一个动点，且AP xAB y AC =+，则xy 的最大值是（ ） （A ）14（B ）12（C ）1 （D ）2（10）我们可以用下面的方法在线段上构造出一个特殊的点集：如图，取一条长度为1的线段，第1次操作，将该线段三等分，去掉中间一段，留下两段；第2次操作，将留下的两段分别三等分，各去掉中间一段，留下四段；按照这种规律一直操作下去．若经过n 次这样的操作后，去掉的所有线段的长度总和大于99100，则n 的最小值为（ ） （参考数据：1g20.301,1g30.477≈≈） （A ）9（B ）10（C ）11（D ）12第二部分（非选择题 共110分）二、填空题共5小题，每小题5分，共25分． （11）若复数12i z =−，则z =____． （12）函数1()ln 1f x x x =+−的定义域是____． （13）已知向量(1,1)=a ，(,2)x tx =+b ．若存在实数x ，使得a 与b 的方向相同，则t 的一个取值为____． （14）若函数π()sin (0)6f x x ωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭和22()cos ()sin ()g x x x ϕϕ=+−+的图象的对称中心完全重合，则ω=____；π6g ⎛⎫= ⎪⎝⎭____．（15）已知函数21,1,(),1.x ax x f x ax x ⎧−++≤=⎨>⎩（1）当1a =时，()f x 的极值点个数为____；（2）若()f x 恰有两个极值点，则a 的取值范围是____．三、解答题共6小题，共85分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． （16）（本小题13分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为(1,2,)n S n =，且23a =，525S =． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式；（Ⅱ）等比数列{}n b 的首项为1，公比为q ，在下列三个条件中选择一个，使得{}n b 的每一项都是{}n a 中的项．若*(),k m b a k m =∈N ，求m ．（用含k 的式子表示）条件①：1q =−； 条件②：2q =； 条件③：3q =． 注：如果选择的条件不符合要求，第（Ⅱ）问得0分．（17）（本小题14分）已知函数2()2sin cos 2cos 1f x x x x =+−． （Ⅰ）求π4f ⎛⎫− ⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）求()f x 的最小正周期；（Ⅲ）求()f x 在区间π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值和最小值．（18）（本小题14分）已知函值321()3f x x x =−．（Ⅰ）求()f x 的单调区间；（Ⅱ）若()f x 在区间(1,]m −上的取值范围是4,03⎡⎤−⎢⎥⎣⎦，求m 的取值范围．（19）（本小题14分）某自然保护区为研究某动物种群的生活习性，设立了两个相距12km 的观测站A 和B ，观测人员分别在,A B 处观测该动物种群，如图，某一时刻，该动物种群出现在点C 处，观测人员从两个观测站分别测得30BAC ∠=︒，60ABC =︒，经过一段时间后，该动物种群出现在点D 处，观测人员从两个观测站分别测得75BAD ∠=︒45ABD ∠=︒．（注：点,,,A B C D 在同一平面内）（Ⅰ）求ABD ∆的面积； （Ⅱ）求点,C D 之问的距离．（20）（本小题15分）已知函数s (n)iexx a f x −=．（Ⅰ）当2a =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；（Ⅱ）当1a =时，证明：函数()2y f x =−在区间(0,π)上有且仅有一个零点； （Ⅲ）若对任意[0,π]x ∈，不等式()2cos f x x ≥−恒成立，求a 的取值范围．（21）（本小题15分）对于一个m 行n 列的数表(2,3)m n A m n ⨯≥≥，用,i j a 表示数表中第i 行第j 列的数，{},0,1i j a ∈(1,2,,;i m =1,2,,)j n =．对于给定的正整数t ，若数表m n A ⨯满足以下两个条件，则称数表 m n A ⨯具有性质()p t ：①1,1j a =，,0(1,2,,)m j a j n ==；②,11,1,21,2,1,(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a t i m +++−+−++−==−．（Ⅰ）以下给出数表1和数表2．（ⅰ）数表1是否具有性质(2)p ？说明理由；（ⅱ）是否存在正整数t ，使得数表2具有性质()p t ？若存在，直接写出t 的值，若不存在，说明理由； （Ⅱ）是否存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p ？若存在，求出m 的最小值，若不存在，说明理由； （Ⅲ）给定偶数(3)n n >，对每一个{}2,3,,1t n ∈−，将集合{m n m A ⨯具有性质}()p t 中的最小元素记为()f t ．求()f t 的最大值．海淀区2022—2023学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题二、填空题（11 （12）(0,1)(1,)+∞ （13）答案不唯一，小于1的实数均可（14）2；1−或1 （15）2；(0,2)三、解答题（16）（本小题13分）解：（Ⅰ）设等差数列{}n a 的公差为d ，因为253,25a S ==, 所以113,54525.2a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩解得11,2.a d =⎧⎨=⎩所以21n a n =−. （Ⅱ）选择条件③.因为11,3b q ==， 所以13n n b −=. 因为m k a b =, 即1213k m −−= .得1312k m −+=.因为*k ∈N ,13k −为奇数，131k −+为偶数，所以*m ∈N .可得1312k m −+=.（17）（本小题14分）解：（Ⅰ）2()2sin()cos()2cos ()14444f ππππ−=−−+−−22(2(1222=⋅+− 1=−.（Ⅱ）()sin 2cos 2)4f x x x x π=+=+.所以()f x 的最小正周期为22T π==π. （Ⅲ）因为0,2x π≤≤所以52,444x πππ≤+≤当242x ππ+=，即8x π=时，()f x 取得最大值，所以()f x 在区间[0,]2π上的最大值为()8f π=；当5244x ππ+=，即2x π=时，()f x 取得最小值， 所以()f x 在区间[0,]2π上的最小值为()12f π=−.（18）（本小题14分）解：（Ⅰ）()f x 的定义域为R .2'()2f x x x =−，令'()0f x =，120,2x x ==.由表可得，()f x 的单调递增区间为(,0),(2,)−∞+∞；单调递减区间为(0,2). （Ⅱ）由函数解析式及（Ⅰ）可知44(1),(0)0,(2),(3)033f f f f −=−==−=.①当(1,2)m ∈−时，4(1,],()3x m f x ∀∈−≠−，不符合题意；②当[2,3]m ∈时，()f x 在区间[1,]m −上的取值范围是4[,0]3−，符合题意；③当3m >时，由()f x 在区间(2,)+∞上单调递增可知()(3)0f m f >=，不符合题意. 综合上述，[2,3]m ∈（19）（本小题14分） 解：（Ⅰ）在ABD △中，75BAD ∠=︒，45ABD ∠=︒,所以60ADB ∠=︒.由正弦定理：sin sin AD AB ABD ADB =∠∠，得sin 45sin 60AD AB=︒︒，所以，sin4512sin60AD AB︒=⋅==︒(km).1sin sin75sin(4530))2BAD∠=︒=︒+︒=+=,所以ABD△的面积为11sin123622ABDS AB AD BAD=⋅⋅∠=⨯⨯=+△(2km).（Ⅱ）由30BAC∠=︒，60ABC∠=︒, 得45CAD∠=︒,AC=在ACD△中由余弦定理，得2222cos363166260 CD AC AD AC AD CAD=+−⋅⋅∠=⨯+⨯−⨯=.所以，CD=(km).即点C, D之间的距离为km.（20）（本小题15分）解：（Ⅰ）当2a=时，()e2sinxf x x=−，则(0)1f=.'()e2cosxf x x=−，则'(0)1f=−.曲线()f x在(0,(0))f处的切线方程为1y x=−+.（Ⅱ）当1a=时，记()()2e sin2xg x f x x=−=−−，则'()e cosxg x x=−.当(0,x∈π)时，0e e1,cos1x x>=<,所以'()'(0)0g x g>=.所以()g x在(0,)π上单调递增.因为(0)10,()e20g gπ=−<π=−>,所以函数()2y f x=−在区间(0,π)上有且仅有一个零点.（Ⅲ）设()()cos2h x f x x=+−e sin cos2x a x x=−+−.则'()e cos sinxh x a x x=−−.设()e cos sinxs x a x x=−−.则'()e cos sinxs x x a x=−+.因为当[0,]x ∈π时，0e e 1,cos 1,sin 0x x x ≥=, 所以当0a ≥时，[0,]x ∈π时，'()0s x ≥， 所以'()h x 在区间[0,]π上单调递增()*.（1）当1a >时，'(0)10h a =−<，'()e 0h a ππ=+>, 且'()h x 在区间[0,]π上单调递增， 所以存在唯一0(0,)x ∈π，使得0'()0h x =. 当0(0,)x x ∈时，'()0h x <， 所以()h x 在区间0(0,)x 上单调递减. 可得0()(0)0h x h <=，所以与题意不符.（2）当1a =时,()e sin cos 2x h x x x =−+−. '()e cos sin x h x x x =−−由()*可知：'()h x 在区间[0,]π上单调递增, 所以当[0,]x ∈π时，'()'(0)0h x h ≥=. 所以()h x 在区间[0,]π上单调递增. 所以()(0)0h x h =区间[0,]π上恒成立. 符合题意. （3）当1a <时,()e sin cos 2e sin cos 2x x h x a x x x x =−+−>−+−.由（2）可知，此时()0h x >在区间[0,]π上恒成立. 综上所述，实数a 的取值范围是(,1]−∞. （21）（本小题15分） 解：（Ⅰ）（ⅰ）数表1不具有性质(2)p .理由：2,13,12,23,22,33,3||||||12a a a a a a −+−+−=≠.（ⅱ）存在. 3t =时，数表2具有性质()p t .（Ⅱ）不存在数表2023m A ⨯具有性质(6)p .假设存在m 使得数表2023m A ⨯具有性质(6)p ，则,11,1,21,2,1,||||||6(1,2,,1)i i i i i n i n a a a a a a i m +++−+−++−==−.即在这两行中，有6列的数不同，设其中有k 列是第i 行的数为1，第1i +行的数为0，则有6k −列是第i 行的数为0，第1i +行的数为1.所以，从第i 行到第1i +行，一共增加了62k −个1，1的个数的奇偶性不变. ……7分 所以，任意两行中，1的个数的奇偶性相同.与数表2023m A ⨯第一行有2023个1，最后一行有0个1矛盾. 所以，不存在具有性质(6)p 的数表2023m A ⨯.（Ⅲ）()f t 的最大值的为1n +.定义1m −行n 列的数表(1)m n B −⨯： 其第i 行第j 列为,,1,||1,2,,1(1,2,,)i j i j i j b a a i m j n +=−=−=，.则,{0,1}i j b ∈，且,0i j b =表示,1,,i j i j a a +两数相同，,1i j b =表示,1,,i j i j a a +两数不同. 因为数表m n A ⨯的第1行确定，所以给定数表(1)m n B −⨯后，数表m n A ⨯唯一确定. ①先证()1f t n ≤+.我们按照如下方式，构造数表n n B ⨯：对于第21s −行和第2s 行，1,2,,2n s =， 令21,2121,21,0s s s s b b −−−==，2,212,20,1s s s s b b −==，且在这两行其余的2n −列中，任选相同的1t −列都为1，其他列都为0. 于是可得到具有性质()p t 的数表(1)n n A +⨯如下：第1列第2列第3列第4列第n -1列第n 列第1行 第3行 第5行 … 第n +1行 即对于每个{2,3,,1}t n ∈−，当1m n =+时，都存在数表m n A ⨯具有性质()p t .所以()1f t n ≤+.②再证1t n =−时，()1f t n ≥+. 记,1,2,...(1,2,,)i i i i n S a a a i m =+++=.因为1t n =−是奇数，所以i S 与+1i S 的奇偶性不相同(1,2,,1i m =−).因为10m S n S ==，， 所以m 是奇数.我们考虑(1)m n B −⨯的第i 行和1i +行，因为1t n =−，所以这两行中都有1n −列为1，1列为0. 若这两行相同，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行相同，2i i S S +=.若这两行不同，设其分别在第,p q 列为0()p q ≠，则数表m n A ⨯的第i 行和第2i +行只在第,p q 列上不同，其他列都相同，2||2i i S S +−≤. 因为1,0m S n S ==，其中n 是偶数. 所以1224311||||22m m m m m m n S S S S S S S S −−−−=−=−+−++−≤⨯. 所以1m n ≥+，即(1)1f n n −≥+. 结合①，(1)1f n n −=+.综上所述，()f t 的最大值的为1n +.。
北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案
北京市海淀去高三上学期期中数学理科试卷及答案Revised on July 13, 2021 at 16:25 pm北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11选择题共4O 分一、选择题：本大题共8小题;每小题5分;共40分.在每小题列出的四个选项中;选出符合题目要求的一项.1. 设集合{}|(21)(3)0A x x x =--<;{}|14B x x =≤≤;则A B =A. 1; +∞B.0;1(1,)+∞C. (,1)(1,0)-∞-- D. (,0)(0,1)-∞3. 已知等差数列{}n a 中;11a =;33a =-;则12345a a a a a ----= A. 15B. 17C. -15D. 164. 已知非零向量，a b ;那么“⋅>0a b ”是“向量，a b 方向相同”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件6. 函数||()1x f x e =-的图象大致是7. 要得到函数sin cos y x x =-的图象;只需将函数cos sin y x x =-的图象A.3B. 2C.1D. O非选择题共110分二、填空题：本大题共6小题;每小题5分;共30分. 9. 曲线1y x=在x =2处的切线的斜率为__________. 10. 在各项均为正数的等比数列{}n a 中;若22a =;则132a a +的最小值是_________11.点A 是函数()sin f x x =的图象与x 轴的一个交点如图所示.若图中阴影部分的面积等于矩形OABC 的面积;那么边AB 的长等于_________.12. 已知点A1;1;B5;3;向量AB 绕点A 逆时针 旋转32π到AC 的位置;那么点C 的坐标是________ 13. 在△ABC 中;角A;B;C 的对边分别是,,a b c ;a =8; b = 10;ΔABC 的面积为203;则△ABC 中最大角的正切值是_________. 14. 已知数列123:,,,,(3)n A a a a a n ≥;令{|,1}A i j T x x a a i j n ==+≤<≤ ; ()A card T 表示集合AT 中元素的个数.①若A:2;4;8;16;则()A card T =_________；②若1i i a a c +-=c 为常数. 11i n ≤≤-;则()A card T =_________.三、解答题：本大题共6小题;共80分.解答应写出文字说明;演算步骤或证明过程. 15. 本小题共13分已知函数2()sin 2cos 23sin 2f x x x x =-.I 求()f x 的最小正周期； I I 求()f x 在区间[0,]4π上的取值范围.16. 本小题共13分已知数列{}n a 是公差不为零的等差数列; 23a =;且5a 是4a ; 8a 的等比中项. I 求数列{}n a 的通项公式；I I 设n S 为数列{}n a 的前n 项和;求使n n a S =成立的所有n 的值. 17. 本小题共13分某工厂生产某种产品;每日的成本C 单位：元与日产量x 单位:吨满足函数关系式C=10000+20x ;每日的销售额R 单位:元与日产量x 满足函数关系式 已知每日的利润y = R - C;且当x =30时y =-100. I 求a 的值；II 当日产量为多少吨时;毎日的利润可以达到最大;并求出最大值 18. 本小题共13分已知函数22()ln ()f x x ax a x a R =+-∈. I 若x =1是函数()y f x =的极值点;求a 的值； II 求函数()f x 的单调区间. 19. 本小题共14分设n S 为数列{}n a 的前n 项和;1n n S a λ=-λ为常数;1,2,3,n =.I 若232a a =;求λ的值；I I 是否存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列 若存在;求出λ的值；若不存在.请说明理由 1,2,3,;且1b =前n 项和n T20. 本小题共14分 已知函数2||,()2,x x Pf x x x x M∈⎧=⎨-+∈⎩其中P;M 是非空数集;且P M =∅;设(){|(),}f P y y f x x P ==∈. I 若(,0)P =-∞;[0,4]M =;求 ()()f P f M ；I I 是否存在实数3a >-;使得[3,]PM a =-;且()()[3,23]f P f M a =-- 若存在;请求出满足条件的实数a ;若不存在;请说明理由； I I I 若PM R =;且0M ∈;1P ∈;()f x 是单调递增函数;求集合P;M北京市海淀区2011-2012学年高三年级第一学期期中练习数 学理科2011.11参考答案 一、选择题1、A ；2、D ；3B 、；4、B ；5、D ；6、A ；7、C ；8、B ； 二、填空题9、14-；10、11、2π；12、(3,3)-；13、3或14、106,23,0c n c =⎧⎨-≠⎩，； 三、解答题15、解：1∵2()sin 2cos 22f x x x x =-=11cos 4sin 422xx -……4分=1sin 4cos 4222x x +-=sin(4)32x π+-……6分∴函数()f x 的最小正周期为π……7分2由1知：()f x=1sin(2)232x π+-;因为04x π≤≤;所以44333x πππ≤+≤所以sin(4)123x π-≤+≤……10分所以sin(4)1322x π≤+-≤-所以()f x 在区间[0,]4π上的取值范围是[2-……13分 16、解：1因为5a 是4a ; 8a 的等比中项;所以2548a a a =.……2分 设等差数列{}n a 的公差为d ;则2222(3)(2)(6)a d a d a d +=++;……4分因为23a =;所以220d d +=;因为0d ≠所以2d =-;……6分所以27n a n =-+……7分 2由27n a n =-+可知;15a =;所以1()2n n a a n S +=…9分(572)2n n+-=26n n =-…11分 由n n a S =可得：2276n n n -+=-所以1n =或7n =……13分17、解：1由题意可得：32127010000,0120301040020,120x ax x x y x x ⎧-++-<<⎪=⎨⎪-≥⎩……2分因为x =30时y =-100;所以3211003030270301000030a -=-⨯+⨯+⨯-..……4分 所以3a =……5分 2当0120x <<时;32132701000030y x x x =-++-;……6分21627010y x x '=-++……8分 由216270010y x x '=-++=可得：190x =;230x =-舍……9分 所以当(0,90)x ∈时;原函数是增函数;当(90,120)x ∈时;原函数是减函数;所以当90x =时;y 取得最大值14300. ……11分当120x ≥时;10400208000y x =-≤..……12分所以当日产量为90吨时;每日的利润可以达到最大值14300元..……13分18、解：1函数()f x 的定义域为(0,)+∞……1分 21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=因为x =1是函数()y f x =的极值点;所以2(1)120f a a '=+-=……5分所以12a =-或1a =;经检验;12a =-或1a =时;x =1是函数()y f x =的极值点..所以a 的值是12-或1. ……6分2由1知：21()2f x a a x x'=+-2221a x ax x -++=若0a =;1()0f x x'=>.所以函数()f x 的单调递增区间为(0,)+∞……8分 若0a ≠;令(21)(1)()0ax ax f x x +-+'==解得112x a =-;21x a =……9分 当0a >时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)a ;单调递减区间是1(,)a +∞；……11分当0a <时;()()f x f x '、的变化情况如下表 + 0极大值∴函数()y f x =的单调递增区间是1(0,)2a -;单调递减区间是1(,)2a-+∞；……13分 19、1因为1n n S a λ=-;所以111a a λ=-;1221a a a λ+=-;12331a a a a λ++=-……1分由111a a λ=-可知：1λ≠. 所以111a λ=-;22(1)a λλ=-;233(1)a λλ=-因为232a a =;所以2234(1)(1)λλλλ=--;所以0λ=或2λ=……3分2假设存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列;则2132a a a =+……4分由1可得：22321(1)1(1)λλλλλ=+---.所以2232221(1)(1)λλλλλ-+=--;即10=;矛盾. 所以不存在实数λ;使得数列{}n a 是等差数列. ……6分3当2λ=时;21n n S a =- 所以1121(2)n n S a n --=-≥;且11a =.所以122n n n a a a -=- 即12(2)n n a a n -=≥ 所以;0n a ≠*n N ∈;且12(2)nn a n a -=≥ 所以数列{}n a 是以1为首相;以2为公比的等比数列. 所以12n n a -=*n N ∈……8分 因为1n n n b a b +=+1,2,3,n =且1b =11n n n a b --=+ 122n n n a a b ---=++=当1n =时;上式仍然成立. 所以212n n b +=*n N ∈…10分因为(1)nn n na c ab =+所以111122221(21)(21)(21)2n n n n n nn c ----⋅==++++⋅…11分 111211(21)(21)2121n n n n n---=-+⋅+++…12分 所以12n n T c c c =+++=211111112()22121212121n n --+-++-+++++=1121n-+=2121n n -+…14分 20、解：1因为(,0)P =-∞;[0,4]M =;所以()(0,)f P =+∞;()[8,1]f M =- 所以 ()()f P f M =[8,)-+∞…3分2若3M -∈;则(3)15[3,23]f a -=-∉--;不符合题意..所以3P -∈;从而(3)3f -=. 因为(3)3f -=[3,23]a ∈--;所以233a -≥;得3a ≥. 若3a >;则22233(1)12a x x x ->>--+=-+.因为P M =∅;所以23a -的原象0x P ∈且03x a <≤ 所以023x a =-a ≤得3a ≤;矛盾.. 所以3a =. 此时可取[3,1)[0,3]P =--;[1,0)M =-;满足题意. …8分3因为()f x 是单调递增函数;所以对任意0x <;有()(0)0f x f <=;所以x M ∈. 所以(,0)M -∞⊆.同理可证：(1,)+P ∞⊆.若存在001x <<;使得0x M ∈;则200001()2f x x x x >=-+> 于是2000[,2]x x x M -+⊆. 记21002x x x =-+(0,1)∈;22112x x x =-+;… 所以01[,]x x M ⊆. 同理可知12[,]x x M ⊆;… 由212n nn x x x +=-+得221112(1)n n n n x x x x +-=+-=- 所以22221201(1)(1)(1)nn n n x x x x +--=-=-==-对于0[,1)x x ∀∈;取002(1)2(1)[log log (1)1,log log (1)]x x x x -----中的自然数x n ;则1[,]x x n n x x x +∈M ⊆ 所以0[,1)x M ⊆. 综上所述;满足要求的P;M 必有如下表示：(0,)[1,)P t =+∞;(,0][,1)M t =-∞;其中01t <<或者(0,][1,)P t =+∞;(,0](,1)M t =-∞;其中01t <<或者[1,)P =+∞;(,1)M =-∞或者(0,)P =+∞;(,0]M =-∞.…8分 注：若直接写出结论;且正确;给2分..。
【最新经典文档】北京市海淀区高三上学期期中数学试卷含解析答案(文科)
∴ a＞ 0，其对称 x= ＞0．
则 f（ x）min =f（ ）
．
即
，
解得： a≥e 故选： D．
二、填空题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分． 9．（5 分）已知等差数列 { an} 满足 a1=2，a2+a4=a6，则公差 d= 2 ． 【解答】 解：在等差数列 { an} 中，由 a1=2，a2+a4=a6， 得 2a1+4d=a1+5d，即 4+4d=2+5d，得 d=2． 故答案为： 2．
=
．
令
（k∈Z），
得
所以函数 f（ x）的单调递增区间为
【解答】 解：数列 { an} 满足 a1+a2+…+an=2a2（n=1，2，3，…），
n=1 时， a1=2a2；
n=2 时， a1+a2=2a2，
可得 a2=0．
故选： D．
5．（5 分）在平面直角坐标系 xOy 中，点 A 的纵坐标为 2，点 C 在 x 轴的正半轴
上．在△ AOC中，若
，则点 A 的横坐标为（
那么用列举法表示集合 A 为
．
三、解答题共 6 小题，共 80 分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（ 13 分）已知函数 f （x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1．
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（Ⅰ）求
的值；
（Ⅱ）求函数 f （x）的单调递增区间．
16．（ 13 分）已知等比数列 { an} 满足 a1a2a3=8，a5=16．
，小球振动过程中最大的高度差为
海淀区2024-2025学年高三第一学期期中数学试题(详细解答)
北京市海淀区2024-2025学年高三上学期期中练习数学试题本试卷共6页，150分.考试时长120分钟.考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效.考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回.第一部分(选择题 共40分)一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.(1)已知集合A={x|x ≤ 0或x>1}，B={-2，0，1，2}，则A ∩B=( ) A.{-2,2} B.{-2,1,2} C.{-2,0,2} D.{-2,0,1,2} 【分析]利用交集的定义可求得集合A ∩B.【解] 因为集合A={x|x ≤0或x >1}，B={-2,0,1,2}，则A ∩B={-2,0,2},故选:C. 2.若复数z 满足i ·Z=1-i ，则Z=( ) A. 1 + i B. -1 + i C. 1 -i D. -1 -i 【分析]根据给定条件，利用复数乘法运算计算即得. [解]由i ·z=1-i ，得-i ²∙z=(1-i)·(-i)，所以z=-1-i.故选:D 3.若a<b<0，则下列不等式成立的是( ) A.a 2<b 2 B. a 2<ab C. ba >ab D.ba +ab ->2【分析]根据不等式的性质及基本不等式，逐项分析即可得解.【解]因为a<b<0，所以-a>-b>0，所以(−a)2>(−b)2，即a 2>b 2 ，故A 错误; 因为a<b<0，所以a 2> ab ，故B 错误;4. 已知 f(x) = sin xcos x ，则f'(π4) = ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2【分析]求出函数的导函数，计算得解. 【解]：因为f(x)= sin x cos x ,所以f'(π4) = 112=2.故选:B5. 下列不等式成立的是( )【分析]根据指数函数和对数函数的单调性判断各选项即可. 【解]因为函数y=log 0.3x 在(0,+∞)上单调递减，因为函数y=0.2x 在R 上单调递减，6. 若f(x)={x 2，x ≥a 2x +3,x <a在R 上为增函数，则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.[3,+∞)C.[-1,3]D.(-∞,-1]U[3,+∞)【分析]根据分段函数的单调性列式运算得解.[解]因为f(x)是R 上单调递增函数所以{a ≥0a 2≥2a +3解得a≥3.所以实数a 的取值范围为[3,+∞),故选:B.画图像法：选B(7)已知向量a ⃗ = (x ，1)，b⃗⃗=(-1，y)，则下列等式中，有且仅有一组实数x ，y 使其成立的是 (A)a ⃗·b ⃗⃗=0 ( B) l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2 (C) |a ⃗| =|b ⃗⃗| (D) l a ⃗+b⃗⃗| = 2 解：分析A ：a ⃗·b ⃗⃗=0，-x+y=0.x ，y 有无数组解. 分析B ： l a ⃗l+|b ⃗⃗| = 2,a ⃗⃗⃗⃗·b⃗⃗=0，√x 2+1+√y 2+1=2,x=0,y=0, 有且仅有一组实数x ，y 使其成立的.故B 正确。
北京市海淀区2023~2024学年高三上期中数学参考答案
第 1 页（共 7 页）海淀区2023—2024学年第一学期期中练习高三数学参考答案一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分） （1）B （2）A （3）D （4）C （5）C （6）D（7）C（8）C（9）B （10）A二、填空题（共5小题，每小题5分，共25分） （ 11 ）(1,0)(0,)-+∞（12）43（13）1- 1（答案不唯一）（14）3π2 π8（15）①③三、解答题（共6小题，共85分） （16）（共14分）解：（Ⅰ）设等比数列{}n a 的公比为q .因为23a =，1310a a +=， 所以13a q ⋅=，21110a a q +⋅=． 所以13,1,q a =⎧⎨=⎩或11,39.q a ⎧=⎪⎨⎪=⎩因为n a 均为整数， 所以13,1.q a =⎧⎨=⎩所以13n n a -= (1,2,3,)n =．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，312n n S -=(1,2,3,)n =．所以1113131132323222k k k k k S S +++--+-=⋅-⋅=， 2112131311322222k k k k k S S +++++--+-=-⋅=．第 2 页（共 7 页）所以1121132322k k k k k S S S S +++++-=-=.所以3k S ，12k S +，2k S +是以1132k ++为公差的等差数列．（17）（共14分）解：选择条件①：π()13f =.（Ⅰ）因为()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+，所以ππ2cos cos()133ϕ⋅+=，即πcos()13ϕ+=.所以π2π()3k k ϕ=-∈Z .因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-． （Ⅱ）由（Ⅰ）可得：π()2cos cos()3f x x x =⋅-12cos (cos )2x x x =212cos 22x x =⋅11cos2222x x =+ π1cos(2)32x =-+.因为π[,0]2x ∈-，所以4πππ2333x ---≤≤．所以当π2π3x -=-，即π3x =-时，πcos(2)3x -取得最小值1-. 所以()f x 在区间π[,0]2-上的最小值是12-；当ππ233x -=-，即0x =时，πcos(2)3x -取得最大值12． 所以()f x 在区间π[,0]2-上的最大值是1．第 3 页（共 7 页）选择条件③：x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥. （Ⅰ）由题意得：()2cos cos()f x x x ϕ=⋅+2cos (cos cos sin sin )x x x ϕϕ=⋅-⋅ 22cos cos sin 2sin x x ϕϕ=⋅-⋅cos2cos sin 2sin cos x x ϕϕϕ=⋅-⋅+ cos(2)cos x ϕϕ=++.因为x ∀∈R ，2π()()3f x f ≥， 所以()f x 的最小值为2π()3f ，即4πcos()13ϕ+=-.所以4ππ(21)π2π()33k k k ϕ=+-=-∈Z . 因为||2ϕπ<，所以π3ϕ=-． （Ⅱ）同选择条件①的（Ⅱ）.（18）（共12分）解：（Ⅰ）由题意令240x -=得2x =±．所以(2,0)A -，(2,0)B .因为点(,0)P t 在线段AB 上（不与端点重合）， 所以22t -<<.因为APQ △为等腰直角三角形， 所以||||PQ AP =.由题意可知点Q 在x 轴上方， 所以(,2)Q t t +． 因为点Q 在曲线C 上， 所以224t t +=-.所以12t =-（舍），21t =，即(1,3)Q .所以APQ △的面积为119||||33222AP PQ =⨯⨯=．第 4 页（共 7 页）（Ⅱ）由题意可知2(,4)Q t t -，22t -<<.所以23211()(2)(4)(248)22S t t t t t t =+-=--++．所以21'()(344)2S t t t =--+.令23440t t --+=，得12t =-，223t =． ()S t 与'()S t 在区间(2,2)-上的情况如下：因为2()327S =，所以当23t =时，()S t 取得最大值12827．（19）（共13分）解：（Ⅰ）连接AB .因为135ADB ∠=︒，120BDC ∠=︒，所以105ADC ∠=︒． 因为45ACD ∠=︒， 所以30CAD ∠=︒. 在ACD △中，sin sin CD ADCAD ACD=∠∠． 所以AD =． 因为30BCD ∠=︒， 所以30DBC ∠=︒． 所以BD CD =.在ABD △中，2222cos135AB AD BD AD BD =+-⋅︒25CD =.因为50CD =，第 5 页（共 7 页）所以AB ==，即A ，B两点之间的距离为m . （Ⅱ）CD 与AB 不垂直．理由如下：延长CD 交AB 于点E . 在ABD △中，sin sin AB ADADB ABD=∠∠.所以1sin 2ABD ∠<. 因为090ABD ︒<∠<︒， 所以30ABD ∠<︒.所以18090BEC CBE BCD ∠=︒-∠-∠>︒. 所以直线CD 与直线AB 不垂直．（20）（共14分）解：（Ⅰ）因为1(1)4f =，2(4)19f =，所以11,1422,1619a b a b +⎧=⎪⎪+⎨+⎪=⎪+⎩解得0,3.a b =⎧⎨=⎩（Ⅱ）由（Ⅰ）得()f x =．所以'()f x =2=.令'()0f x =，得1x =．当(0,1)x ∈时，'()0f x >；当(1,)x ∈+∞时，'()0f x <. 所以()f x 的单调递增区间是(0,1)；单调递减区间是(1,)+∞. （Ⅲ）由（Ⅱ）可知当1x =时，()f x 取得最大值14. ①当14m =时，存在直线14y =是曲线()y f x =在点1(1,)4处的切线，且1()4f x ≤EDCBA第 6 页（共 7 页）对[0,)x ∈+∞恒成立，符合题意． ②当14m >时，设直线y kx m =+为曲线()y f x =的切线，切点为00(,)x y ，则000,1.4x y >⎧⎪⎨≤⎪⎩ 所以000y mk x -=<． 取1mx k=-，则10x >.因为11()03f x x =>+，10kx m +=，所以11()kx m f x +<，即存在1(0,)x ∈+∞，11()kx m f x +<，不符合题意. 综上可知，m 的最大值是14．（21）（共15分）解：（Ⅰ）19A =,235A =． （Ⅱ）由题意知221()332n n S =-⨯-. ①若j 为奇数，则111()02j j j j S S a ++-==-<.所以 j ∉Ω．②若j 为偶数，则当1,2,k j j =++时，211211[()()][()()]0322322j k j k k j S S -=⨯---≥⨯->. 所以 j ∈Ω．所以 {|2,1,2,}x x m m Ω===.（Ⅲ）（1）若Ω为有限集，设其最大元素为m （若Ω为空集，取0m =），则当1,2,j m m =++时，存在k j >满足0k j S S -<.令11i m =+，1min{*|,0}n n n k i i k k i S S +=∈>-<N （1,2,n =），则第 7 页（共 7 页）10n n n i i A S S +=-<. 所以 sgn()1n A =-（1,2,n =）；（2）若Ω为无限集，设12{,,}j j Ω=，其中12j j <<，记1n n n j j B S S +=-，则0n B ≥（1,2,n =）.①若数列{}n B 中只有有限项为正数，记max{*|0}n m n B =∈>N （若{}n B 中没有正数项，取0m =），则0m n B +=（1,2,n =）．令n m n i j +=（1,2,n =），则10n n n i i m n A S S B ++=-==（1,2,n =）.所以 sgn()0n A =（1,2,n =）；②若数列{}n B 中有无穷项为正数，将这些项依次记为12,,t t B B ，其中12t t <<，则10n t t nnt j j B S S +=->（1,2,n =）.令n n t i j =（1,2,n =），则+1+1+11+++=0tt n n n n n nn j j t t t t A S S B B B B -=-=>.所以 sgn()1n A =（1,2,n =）.综上所述，对任意的无穷数列{}n a 都存在数列{}n i ，使得{sgn()}n A 为常数列.。
2019-2020学年北京市海淀区高三上学期期中数学试卷及答案
2019-2020学年北京市海淀区高三（上）期中数学试卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（5分）已知集合{|10}A x x =+，{|}B x x a =，若A B R =，则实数a 的值可以为( )A ．2B ．1C ．0D ．2−2．（5分）下列函数中，在区间(0,)+∞上不是单调函数的是( )A ．y x=B ．2y x =C ．y x x=+D ．|1|y x =− 3．（5分）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43(S S = ) A ．1 B ．53C ．83D ．34．（5分）不等式11x>成立的一个充分不必要条件是( ) A ．102x <<B ．1x >C ．01x <<D ．0x <5．（5分）如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2πα+的值为( )A ．35−B ．35C ．45−D ．456．（5分）在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈．若32λμ+=，则||(||CD AB = ) A ．13B ．12C ．1D ．27．（5分）已知函数32()2||f x x x x k =+−−．若存在实数0x ，使得00()()f x f x −=−成立，则实数k 的取值范围是( ) A ．[1−，)+∞B ．(−∞，1]−C ．[0，)+∞D ．(−∞，0]8．（5分）设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i A B ϕ=且()1i AB ϕ=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ⋅（B ）；③任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()i i A B ϕϕ=（A ）i ϕ+（B ）．其中，所有正确结论的序号是( ) A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分． 9．（5分）已知向量(1,2)a =，(3,)b t =，且//a b ，则t = ． 10．（5分）函数()6f x x x =−−的零点个数是 ．11．（5分）已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a = ，5678a a a a +++= ．12．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1．从A ，B ，C ，D 四点中任取两个点作为向量b 的始点和终点，则a b ⋅的最大值为 ．13．（5分）已知数列{}n a 的通项公式为n a lnn =，若存在p R ∈，使得n a pn 对任意的*n N ∈都成立，则p 的取值范围为14．（5分）已知函数()2f x x ω=，()2g x x ω=，其中0ω>，A ，B ，C 是这两个函数图象的交点，且不共线．①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为 ；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为 ．三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15．（13分）已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其前n 项和，23a =，3436a a += （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若121n S <，求n 的最大值．16．（13分）已知函数()2sin cos()3f x x x π=+．（Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）若()0f x m +对[0,]2x π∈恒成立，求实数m 的取值范围．17．（13分）已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0，(0))f 处的切线方程为1y x =+．（Ⅰ）求b ，c 的值；（Ⅱ）若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围．18．（13分）在ABC ∆中，7a =，5b =，8c =． （Ⅰ）求sin A 的值；（Ⅱ）若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=． ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC =．19．（14分）已知函数()xlnxf x e =． （Ⅰ）判断函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，并说明理由； （Ⅱ）求证：1()2f x <．20．（14分）已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5．若集合M 中存在四个不同的元素a ，b ，c ，d ，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{a ，b ，c ，}d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”．（Ⅰ）分别判断集合{2，4，6，8，10}和集合{1，2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；（Ⅱ）已知集合1{a ，2a ，3a ，4a ，5}a 是“关联的”，且任取集合{i a ，}j a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{i a ，}j a A ⊆．若12345a a a a a <<<<，求证：1a ，2a ，3a ，4a ，5a 是等差数列；（Ⅲ）集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x −+>．。
2021-2022学年北京市海淀区高三上学期期中练习数学试卷 含答案
2021北京海淀高三（上）期中数学一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．（4分）在复平面内，复数(2)z i i =+对应的点的坐标为()A ．(1,2)B ．(1,2)-C ．(2,1)D ．(2,1)-2．（4分）已知向量(,2)a x =，(1,1)b =- ，若//a b ，则(x =)A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．（4分）已知全集{1U =，2，3，4}，集合{1}A =，(){3}U A B = ð，则集合B 可能是()A ．{4}B ．{1，4}C ．{2，4}D ．{1，2，3}4．（4分）已知命题:(0,)p a ∀∈+∞，12a a+>，则p ⌝是()A ．(0,)a ∃∈+∞，12a a +>B ．(0,)a ∃∉+∞，12a a +>C ．(0,)a ∃∈+∞，12a a+D ．(0,)a ∃∉+∞，12a a +5．（4分）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是()A ．sin y x=B ．||y x x =C ．tan y x =D ．1y x x=-6．（4分）“a b c >>”是“ab ac >”的()A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件7．（4分）已知等比数列{}n a 的公比为q ．若{}n a 为递增数列且20a <，则()A ．1q <-B ．10q -<<C ．01q <<D ．1q >8．（4分）将函数sin 2y x =的图像向右平移6π个单位，得到函数()f x 的图像，则下列说法正确的是()A ．()sin(26f x x π=-B ．3x π=-是函数()f x 的图像的一条对称轴C ．()f x 在[,63ππ-上是减函数D ．()f x 在5[,]1212ππ-上是增函数9．（4分）下列不等关系中正确的是()A ．52322ln ln ln +>B ．113232ln ln <-<C ．231ln ln ⋅>D ．3322ln ln <10．（4分）如图，A 是轮子外边沿上的一点，轮子半径为0.3m ．若轮子从图中位置向右无滑动滚动，则当滚动的水平距离为2.2m 时，下列描述正确的是()（参考数据：721.991)π≈A ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.15m B ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.15m C ．点A 在轮子的左下位置，距离地面约为0.26m D ．点A 在轮子的右下位置，距离地面约为0.04m 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。
2023—2024学年北京市海淀区高三上学期期中练习数学试题(含答案)
a
2
2 cos
2
2 sin 2 可看作是点 Q
2 cos, 2 sin 到点 R a, 2 的距离，即可
求解. 【详解】以 M 为圆心，以 MA, MC 为 x, y 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
由于 AB AC 2, 所以 BC 2 2, BM CM 2 ，
(1)求 A, B 两点之间的距离；
(2)判断直线 CD 与直线 AB 是否垂直，并说明理由．
20．已知函数
f x
x a ，且 f 1 1 , f 4 2 ．
x2 b
4
19
(1)求 a,b 的值；
(2)求 f x 的单调区间；
(3)设实数 m 满足：存在 k R ，使直线 y kx m 是曲线 y f x 的切线，且 kx m f x 对
A． 9 4
B．3
6．设
a
log4 6,b
log23, c
3 2
，则（
）
A． a b c
B． c b a
C．9 C． b a c
D．36 D． b c a
7．“ sin tan 0”是“ 为第一或第三象限角”的（ ）
A．充分而不必要条件
B．必要而不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
x 0, 恒成立，求 m 的最大值．
21．设无穷数列an 的前 n 项和为 Sn ,in 为单调递增的无穷正整数数列，记 An Sin1 Sin ，
n 1, 2, ，定义 Ω j N* Sk S j 0, k j 1, j 2, ．
(1)若 an n, in n2 n 1, 2, ，写出 A1, A2 的值；
因为 y log2 x 是增函数， 6 8 9 ，
海淀区高三数学(文)期中试卷及答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（文科）2015.11本试卷共4页，150分。
考试时长120分钟。
考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。
在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
1．已知集合P{｜-≤0}，M{0,1,3,4}，则集合P M中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是A．B．|| C．D．3．在中，∠A60°，||2，||1，则的值为-1 A．B．-C．1 D．4．数列{}的前项和，若－2－1(≥2)，且3，则1的值为A．0 B．1 C．3 D．55．已知函数，下列结论中错误．．的是A．B．的最小正周期为C．的图象关于直线对称D．的值域为[,]6．“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件7．如图，点O 为坐标原点，点A （1,1）.若函数（>0，且≠1）及（，且≠1）的图象与线段OA 分别交于点M ，N ，且M ，N 恰好是线段OA 的两个三等分点，则，满 足 A ．<<1 B ．<<1 C ．>>1 D ．>>18.已知函数()1,1,,11,1,1,x f x x x x -≤-⎧⎪=-<<-⎨⎪≥⎩，函数21()4g x ax =+.若函数()()y f x g x =-恰好有2个不同的零点，则实数a 的取值范围是 A.(0,)+∞ B.(,0)(2,)-∞+∞C.1(,)(1,)2-∞-+∞ D.(,0)(0,1)-∞s二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
9.函数()22x f x =-的定义域为_____. 10.若角α的终边过点（1，-2），则cos()2πα+=_____.11. 若等差数列{}n a 满足14a =-，39108a a a a +=-，则n a = ______.12.已知向量(1,0)a =，点()4,4A ，点B 为直线2y x =上一个动点.若AB //，则点B 的坐标为____.13.已知函数()sin()(0)f x x ωϕω=+>.若()f x 的图像向左平移3π个单位所得的图像与()f x 的图像重合，则ω的最小值为____.14.对于数列{}n a ，若m ∀，()n N m n *∈≠，均有()为常数m na a t t m n-≥-，则称数列{}n a 具有性质()P t .（i ）若数列{}n a 的通项公式为2n a n =，且具有性质()P t ，则t 的最大值为____；（ii ）若数列{}n a 的通项公式为2n aa n n=-，且具有性质(7)P ，则实数a 的取值范围是____.三、解答题共6小题，共80分。
北京市海淀区高三上期中考试数学试题(理)含答案
海淀区高三年级第一学期期中练习数学（理科） .11本试卷共4页，150分．考试时长120分钟．考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．一、选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知集合，则集合中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．42．下列函数中为偶函数的是3．在△ABC中，的值为A．1 B．－1 C．12D．－124．数列的前n项和为，则的值为A．1 B．3 C．5 D．65．已知函数，下列结论错误的是A． B．函数的图象关于直线x＝0对称C．的最小正周期为 D．的值域为6．“x＞0 ”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件7．如图，点O为坐标原点，点A（1,1）．若函数且）的图象与线段OA分别交于点M，N，且M，N恰好是线段OA的两个三等分点，则a，b满足8． 已知函数函数．若函数恰好有2个不同零点，则实数a 的取值范围是二、填空题（共6小题，每小题5分，共30分） 9．10．在△AB C 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若 c ＝4，则11．已知等差数列的公差，且39108a a a a +=-．若n a ＝0 ，则n ＝12．已知向量，点A （3,0） ，点B 为直线y ＝2x 上的一个动点．若AB a ，则点B 的坐标为 ． 13．已知函数，若的图象向左平移个单位所得的图象与的图象向右平移个单位所得的图象重合，则的最小值为 14．对于数列，都有为常数）成立，则称数列具有性质． ⑴ 若数列的通项公式为，且具有性质，则t 的最大值为 ；⑵ 若数列的通项公式为，且具有性质，则实数a 的取值范围是三、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程． 15．（本小题满分13分） 已知等比数列的公比，其n 前项和为（Ⅰ）求公比q 和a 5的值； （Ⅱ）求证：16．（本小题满分13分）已知函数．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求函数的最小正周期和单调递增区间．17．（本小题满分13分）如图，在四边形ABCD中，AB＝8，BC＝3，CD＝5，（Ⅰ）求BD的长；（Ⅱ）求证：18．（本小题满分13分）已知函数，曲线在点（0,1）处的切线为l（Ⅰ）若直线l的斜率为－3，求函数的单调区间；（Ⅱ）若函数是区间［－2，a］上的单调函数，求a的取值范围．19．（本小题满分14分）已知由整数组成的数列各项均不为0，其前n项和为，且（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的通项公式；（Ⅲ）若=15时，Sn取得最小值，求a的值．20．（本小题满分14分）已知x为实数，用表示不超过x的最大整数，例如对于函数f(x)，若存在，使得，则称函数函数．（Ⅰ）判断函数是否是函数；（只需写出结论）（Ⅱ）设函数f(x)是定义R在上的周期函数，其最小正周期为T，若f(x)不是函数，求T的最小值．（Ⅲ）若函数是函数，求a的取值范围．海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 数 学 （理科） .11阅卷须知:1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数。
2020届北京市海淀区高三上学期期中数学试题(解析版)
北京市海淀区高三上学期期中数学试题一、单选题1．已知集合{}10A x x =+≤，{|}B x x a =≥，若A B R =U ，则实数a 的值可以为（ ） A ．2 B ．1C ．0D ．2-【答案】D【解析】由题意可得{|1}A x x =≤-，根据A B R =U ，即可得出1a ≤-，从而求出结果． 【详解】{|},1{|}A x x B x x a =≤-=≥Q ，且A B R =U ，1a ∴≤-，∴a 的值可以为2-． 故选：D ． 【点睛】考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算． 2．下列函数值中，在区间(0,)+∞上不是．．单调函数的是（ ）A ．y x =B ．2y x =C ．y x =D ．1y x =-【答案】D【解析】结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断． 【详解】由一次函数的性质可知，y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由二次函数的性质可知，2y x =在区间(0,)+∞上单调递增； 由幂函数的性质可知，y x =+(0,)+∞上单调递增；结合一次函数的性质可知，1y x =-在()0,1上单调递减，在()1,+∞ 上单调递增． 故选：D ． 【点睛】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题． 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若33S a =，且30a ≠，则43S S =（ ） A ．1 B ．53C ．83D ．3【答案】C【解析】利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出结果． 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，33S a =Q ，且30a ≠，11332a d a d ∴+=+，可得120a d -=≠．∴()11143111434232282 3232332a da a S S a a a d ⨯++⨯-==⨯=⨯-+． 故选：C ． 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．4．不等式11x >成立的一个充分不必要条件是（ ） A ．102x << B ．1x > C ．01x <<D ．0x <【答案】A【解析】解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件． 【详解】 不等式11x >的解集为()0,1，则其一个充分不必要条件可以是10,2⎛⎫⎪⎝⎭； 故选：A ． 【点睛】本题考查了充分、必要条件的判断与应用，属于基础题．5．如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin()2απ+的值为（ ）A ．35-B ．35C ．45-D ．45【答案】B【解析】由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin()2απ+的值． 【详解】角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，所以3cos 5α=则sin()3cos 52παα==+； 故选：B ． 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．6．在四边形ABCD 中，//AB CD ，设(,)AC AB AD R λμλμ=+∈u u u r u u u r u u u r .若32λμ+=，则=CDABu u u r u u u r （ ） A ．13B ．12C ．1D ．2【答案】B【解析】作出草图，过C 作//CE AD ，又//CD AB ．可得四边形AECD 是平行四边形． AC AE AD =+u u u r u u u r u u u r，根据() ,AC AB AD R λμλμ+∈u u u r u u u r u u u r ＝．可得1,AE AB μλ==u u u r u u u r ，又3 2λμ+=，可得12λ=，据此即可得出结果．【详解】如图所示，过C作//CE AD，又//CD AB．∴四边形AECD是平行四边形．AC AE AD∴=+u u u r u u u r u u u r，又(),AC AB AD Rλμλμ+∈u u u r u u u r u u u r＝．1,AE ABμλ∴==u u u r u u u r，又3122λμλ+=∴=,，则1==2CD AEAB ABu u u r u u u ru u u r．故选：B．【点睛】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理、方程思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．已知函数32()2f x x x x k=+--.若存在实数0x，使得00()()f x f x-=-成立，则实数k的取值范围是（）A．[1,)-+∞B．(,1]-∞-C．[0,)+∞D．(,0]-∞【答案】A【解析】根据题意将存在实数x，使得00()()f x f x-=-成立转化为()()00f x f x-=-有根，再根据方程变形可得，原问题转化为22x x k-=有根，进而转化为22y x x=-与y k=的图象有交点，根据数形结合即可求出结果．【详解】∵32()2f x x x x k =+--且00()()f x f x -=-，323222x x x k x x x k ∴-+--=-+--（） 整理得22x x k -= ，∴原问题转化为22y x x =-与y k =的图象有交点， 画出22y x x =-的图象如下：当1x =时，1y =-，由图可知，1k ≥-． 故选：A ． 【点睛】本题考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．8．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩，给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集,A B ，使得任意*i ∈N 都满足()0i A B ϕ=I 且()1i A B ϕ=U ；②任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=I ()i A ϕg ()i B ϕ；③任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i A B ϕ=U ()+i A ϕ()i B ϕ；其中，所有正确结论的序号是（ ）A ．①②B ．②③C ．①③D ．①②③【答案】A【解析】根据题目中给的新定义，对于*,0i i N Aϕ∈=（）或1，可逐一对命题进行判断，举实例例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题． 【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i Aϕ∈⎧=⎨∉⎩，∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*A B A B N ∴=∅=I U ，()()01i i A B A B ϕϕ∴==I U ;，故①正确；对于②，若()0i A B ϕ=I ，则()i A B ∉I ，则i A ∈且i B ∉，或i B ∈且i A ∉，或i A ∉且i B ∉；()()0i i A B ϕϕ∴⋅=；若()1i A B ϕ=I ，则()i A B ∈I ，则i A ∈且i B ∈； ()()1i i A B ϕϕ∴⋅=；∴任取*N 的两个不同子集,A B ，对任意*i ∈N 都有()i i A B Ai B ϕϕϕ=⋅I （）（）；正确，故②正确；对于③，例如：{}{}{}1232341234A B A B ===U ,,,,,,,,,，当2i =时，1i A B ϕ=U （）；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+U ； 故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②； 故选：A ． 【点睛】本题考查了简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．二、填空题9．已知向量()1,2,(3,)a b t ==r r ，且//a b r r，则t = _____ 【答案】6【解析】直接利用向量的共线的充要条件求解即可． 【详解】由向量()()1,2, 3,a b x ==r r ，若 //a b r r，可得236x =⨯=． 故答案为：6．【点睛】本题考查平行向量坐标运算公式的应用，考查计算能力．10．函数()6f x x =的零点个数是________ 【答案】1【解析】首先求出函数()f x 的定义域为{}|0x x ≥，将原问题转化为260=，解方程，即可得出()f x 的零点个数．【详解】由题意可知()f x 的定义域为{}|0x x ≥，令()60f x x =-=，可得260-=，2=-（舍去）或3=，9x ∴=；所以函数()6f x x =的零点个数为1个． 故答案为：1． 【点睛】本题把二次函数与二次方程有机的结合来，由方程的根与函数零点的关系可知，求方程的根，就是确定函数的零点．11．已知数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =，则1a =____，5678a a a a +++=_____ 【答案】0 1【解析】直接利用数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥，求出数列的首项和5678a a a a +++的值．【详解】数列{}n a 的前n 项和为2log n S n =， 则112log 10a S ===； 又567884567822,log 8log 41a a a a S S a a a a +++=-∴+++=-=； 故答案为：0,1． 【点睛】本题考查了数列的数列的递推关系式11n nn S a S S -⎧=⎨-⎩12n n =≥的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12．如图，网格纸上小正方形的边长为1.从,,,A B C D 四点中任取两个点作为向量b r的始点和终点，则a b ⋅r r的最大值为____________【答案】3【解析】由图可知，要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】由题意可知：则 cos cos ,a b a b a b b a b ⋅=⋅<⋅>=<>r r r r r r r r r，所以要使a b ⋅r r 取到最大值，即要求向量b r 在向量a r上的投影最大， 由图形可知：当向量b AC =r u u u r 时，向量b r 在向量a r上的投影最大，即cos ,=1010a b b a b ⋅=<>r r r r r 即a b ⋅r r的最大值为3．故答案为：3． 【点睛】本题考查向量的数量积几何意义的应用，考查数形结合以及计算能力．13．已知数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意*n N ∈都成立，则p 的取值范围为__________ 【答案】ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【解析】根据题意，利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果． 【详解】数列{}n a 的通项公式为ln n a n =，若存在p R ∈，使得n a pn ≤对任意的*n N ∈都成立， 则maxln n p n ⎛⎫⎪⎝⎭≥， 设()ln x f x x＝，则()21ln x xx f x x⋅-'＝ ，令()21ln 0xf x x-'＝＝，解得x e =， 所以函数的单调增区间为()0,e ，函数的减区间为(),e +∞， 所以函数在x e =时函数取最大值， 由于n N ∈，所以当3n =时函数最大值为ln 33． 所以p 的取值范围是ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 故答案为：ln 3,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭． 【点睛】本题主要考查了利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．14．已知函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图像的交点，且不共线.①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为___________；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，则ω的最小值为__________.【答案】2π2π【解析】①利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积；②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值． 【详解】函数(),()f x x g x x ωω==，其中0>ω，,,A B C 是这两个函数图象的交点，当1ω=时，()2sin ,()2cos f x x g x x ωω==． 所以函数的交点间的距离为一个周期2π，高为22 22222⋅+⋅=． 所以：()121122ABC S ππ∆⋅⋅+＝＝． 如图所示：①当1ω=时，ABC ∆面积的最小值为2π；②若存在ABC ∆是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则222222πω⎭⋅＝， 解得ω的最小值为 2π． 故答案为：2π， 2π． 【点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．三、解答题15．已知数列{}n a 为各项均未正数的等比数列，n S 为其n 前项和，23a =，3436a a +=.()1求数列{}n a 的通项公式； ()2若121nS<，求n 的最大值.【答案】()113-=n n a ；()2 4【解析】（1）设等比数列{}n a 的公比为q ，由2343,36a a a =+=，可得123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩，即可求出结果． （2）3112131n n S -=<- ，即可得出结论．【详解】解:()1在等比数列{}n a 中，设{}n a 公比为q . 因为2343,36a a a =+=所以123113,36.a q a q a q =⎧⎨+=⎩ 所以23336q q +=.即2120q q +-=. 则3q =或4q =-. 因为0n a >， 所以0q >， 所以3q =. 因为213a a q ==， 所以11a =.所以数列{}n a 的通项公式1113n n n a a q --==()2在等比数列{}n a 中，因为()()1111nn a q S q q-=?-所以()13131132n nn S -==--因为121n S <， 所以()1311212nn S =-<. 所以3243n <. 所以5n <.因为*n N ∈.所以4n ≤.即n 的最大值为4. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．16．已知函数π()=2sin cos()3f x x x ++.()1求函数()f x 的最小正周期； ()2若()0f x m +≤对π[0,]2x ∈恒成立，求实数m 的取值范围. 【答案】()1π；()2(,1]-∞-【解析】（1）首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式的变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．（2）利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果． 【详解】解:()1因为()2sin cos 32f x x x π⎛⎫=++ ⎪⎝⎭2sin cos cos sin sin 33x x x ππ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭12sin cos 2x x x ⎛⎫=-+ ⎪ ⎪⎝⎭2sin cos x x x =1sin 2cos 222x x =+ sin 23x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭所以()f x 的最小正周期为22T ππ== ()2“()0f x m +≤对0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦恒成立”等价于“()max 0f x m +≤”因为0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦所以42,333x πππ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦当232x ππ+=，即12x π=时()f x 的最大值为112f π⎛⎫= ⎪⎝⎭.所以10m +≤，所以实数m 的取值范围为(,1]-∞-. 【点睛】本题考查了三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 17．已知函数321()3f x ax x bx c =+++，曲线()y f x =在(0,(0))f 处的切线方程为1y x =+()1求,b c 的值；()2若函数()f x 存在极大值，求a 的取值范围.【答案】()111b c =⎧⎨=⎩；()2()(),00,1-∞⋃ 【解析】（1）求出函数的导数，结合切线方程得到关于,b c 的方程组，解出即可； （2）求出函数的导数，通过讨论a 的范围，结合二次函数，求出函数的单调区间，结合函数的存在极大值，确定a 的范围即可． 【详解】解：()1()2'2f x ax x b =++因为()f x 在点()()0,0f 处的切线方程为1y x =+，所以()()0101f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩解得11b c =⎧⎨=⎩()2()32113f x ax x x =+++，①当0a =时，()21f x x x =++不存在极大值，不符合题意.②当0a >时，()221f x ax x =++.令2210ax x ++=.(i )当440a =-≤V ，即1a ≥时，不符合题意.(ii )当440a =->V，即01a <<时，方程2210ax x ++=有两个不相等的实数根. 设方程两个根为12,x x ，且12x x <.()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以()1f x 为极大值.③当0a <时，440a =->V恒成立.设方程两个根为12,x x ，且12x x <. ()(),,x f x f x '的变化如表所示:所以，()2f x 为极大值.综上，若函数()f x 存在极大值，a 的取值范围为()(),00,1-∞⋃. 【点睛】本题考查了切线方程问题，导数在函数的单调性和极值问题中的应用，考查分类讨论思想，转化思想等数学思想，是一道综合题． 18．在ABC ∆中，7,5,8a b c ===.()1求sin A 的值；()2若点P 为射线AB 上的一个动点（与点A 不重合），设APk PC=. ①求k 的取值范围；②直接写出一个k 的值，满足：存在两个不同位置的点P ，使得APk PC=.【答案】()1()2①⎛ ⎝⎦；②答案不唯一，取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确 【解析】（1）利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值； （2）①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围；②根据共线的条件求出在区间1,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭上即可【详解】解:()1在ABC V 中，7,5,8,a b c ===根据余弦定理2222b c a cosA bc +-=所以2225871cos 2582A +-==⨯⨯因为()0,A π∈，所以sinA ==()2①在ABC V 中，根据正弦定理，得sin sin CP APA ACP =∠sin sin sin sin3AP ACP ACP k ACPPC A π∠∠====∠ 因为点P 为射线AB 上一动点， 所以20,3ACR π⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭所以k的取值范围为⎛ ⎝⎦②答案不唯一.取值在区间⎛ ⎝⎭上均正确.【点睛】本题主要考查了正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型． 19．已知函数ln ()xx f x e =. ()1判断函数()f x 在区间(0)1，上的单调性，并说明理由； ()2求证：1()2f x <.【答案】()1单调递增，理由见解析；()2证明见解析【解析】（1）因为()0,1x ∈，对()f x 求导，可证()0f x '>恒成立，即可证明结果； （2）证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”．求()f x 的最大值即可证明．【详解】()1函数()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.理由如下:由()x lnx f x e=，得()1xlnxx f x e -'= 因为()0,1x ∈，所以11,ln 0x x ><. 因此10lnx x->.又因为0x e >， 所以()0f x '>恒成立.所以()f x 在区间()0,1上是单调递增函数.()2证明“()12f x <”等价于证明“()max 12f x <”由题意可得，(0,)x ∈+∞.因为()1xlnxx f x e -'=令()1lnx xg x -=，则()2110g x x x '=--<.所以()g x 在()0,∞+上单调递减 因为()()1110,10g g e e=>=-<， 所以存在唯一实数0x ，使得()00g x =，其中()01,x e ∈.()(),, x f x f x '的变化如表所示:所以()0f x 为函数()f x 的极大值. 因为函数()f x 在(0,)+∞有唯一的极大值. 所以()()00max ln ox x f x f x e ==因为001lnx x =，所以()()000max 0ln 1o x x x f x f x e x e === 因为()01,x e ∈ 所以()0max 01112x f x x e e =<< 所以()12f x < 【点睛】本题主要考查了导数在函数单调性中的应用，以及利用导数求函数极值与最值，熟练掌握导数的相关性质是解题的关键，本题属于综合题．20．已知集合*M N ⊆，且M 中的元素个数n 大于等于5.若集合M 中存在四个不同的元素a b c d ,,,，使得a b c d +=+，则称集合M 是“关联的”，并称集合{},,,a b c d 是集合M 的“关联子集”；若集合M 不存在“关联子集”，则称集合M 是“独立的”.()1分别判断集合{}2,4,6,8,10和集合{}12,3,5,8，是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有．．的关联子集； ()2已知集合{}12345,,,,a a a a a 是“关联的”，且任取集合{},i j a a M ⊆，总存在M 的关联子集A ，使得{},i j a a A ⊆.若12345a a a a a <<<<，求证：12345,,,,a a a a a 是等差数列；()3集合M 是“独立的”，求证：存在x M ∈，使得294n n x -+>.【答案】()1{}2,4,6,8,10是关联的，关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，；{}1,2,3,5,8是独立的；()2证明见解析； ()3证明见解析【解析】（1）根据题中所给的新定义，即可求解；（2）根据题意，{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =，进而利用反证法求解；（3）不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<.记{}*,1,i j T t t a a i j j N ==+<<∈，进而利用反证法求解；【详解】解:()1{}2,4,6,8,10是“关联的”关联子集有{}{}{}2,4,6,84,6,8,102,4,8,10，，;{}1,2,3,5,8是“独立的”()2记集合M 的含有四个元素的集合分别为:{}12345,,,A a a a a =，{}21345 ,,,A a a a a =，{}31245 ,,,A a a a a =，{}41235 ,,,A a a a a =， {}51234 ,,,A a a a a =.所以，M 至多有5个“关联子集”.若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则{}12345,,,A a a a a =不是 “关联子集”，否则12a a =同理可得若{}21345,,,A a a a a =为“关联子集”，则34,A A 不是 “关联子集”. 所以集合M 没有同时含有元素25,a a 的“关联子集”，与已知矛盾.所以{}21345,,,A a a a a =一定不是“关联子集” 同理{}41235,,,A a a a a =一定不是“关联子集”. 所以集合M 的“关联子集”至多为135,,A A A .若1A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素35,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若3A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素15,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；若5A 不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素13,a a 的“关联子集”，与已知矛盾；所以135,,A A A 都是“关联子集”所以有2534a a a a +=+，即5432a a a a -=-1524a a a a +=+，即5421a a a a -=-.1423a a a a +=+，即4321=a a a a --，所以54433221a a a a a a a a -=-=-=-. 所以12345,,,,a a a a a 是等差数列.()3不妨设集合{}12,,(),5n M a a a n =⋅⋅⋅≥，*,1,2,...,i a N i n ∈=，且12...n a a a <<<. 记{}*,1,i j T t t a a i j j N==+<<∈.因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有()212n n n C -=个元素.假设结论错误，即不存在x M ∈，使得294n n x -+>所以任取x M ∈，294n n x -+≤，因为*x ∈N ，所以284n n x -+≤所以22228881134422i j n n n n n n n na a -+-+-+-+≤+-=-=+所以任取t T ∈，232n nt -≤+任取,123t T t ∈≥+=，所以23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭，且T 中含有()212n n n C -=个元素. (i )若3T ∈，则必有121,2a a ==成立.因为5n ≥，所以一定有121n n a a a a -->-成立.所以12n n a a --≥.所以22218822442n n n n n n n na a --+-+-+≤+-=+*232,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，284n n a n -+=，21824n n a n --+-=所以4T ∈，所以33a =，113n a a a a -+=+n 有矛盾，(ii )若3T ∉，23,4,,32n n T ⎧⎫-⊆⋅⋅⋅+⎨⎬⎩⎭而T 中含有()212n n n C -=个元素，所以*243,2n n T t t t N ⎧⎫-⎪⎪=≤≤+∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭第 21 页 共 21 页 所以284n n a n -+=，21814n n a n --+-= 因为4T ∈，所以121,3a a ==. 因为222n n T -+∈，所以2222n n n n a a --+=+ 所以22824n n a n --+-= 所以123n a a a a -+=+n ，矛盾.所以命题成立.【点睛】本题属于新定义题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，不等式缩放法，排列组合，本题属于难题.。
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高三（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为( )A. 2B. 1C. 0D. −22.下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )A. y =xB. y =x 2C. y =x +xD. y =|x−1|3.已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S 4S 3=( )A. 1B. 53C. 83D. 34.不等式1x >1成立的一个充分不必要条件是( )A. 0<x <12B. x >1C. 0<x <1D. x <05.如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)的值为( )A. −35B. 35C. −45D. 456.在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC =λAB +μAD (λ,μ∈R).若λ+μ=32，则|CD ||AB |=( )A. 13B. 12C. 1D. 27.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则实数k的取值范围是( )A. [−1,+∞)B. (−∞,−1]C. [0,+∞)D. (−∞,0]8.设集合A是集合N∗的子集，对于i∈N∗，定义φi(A)={1,i∈A0,i∉A，给出下列三个结论：①存在N∗的两个不同子集A，B，使得任意i∈N∗都满足φi(A∩B)=0且φi(A∪B)=1；②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)其中，所有正确结论的序号是( )A. ①②B. ②③C. ①③D. ①②③二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，若a//b，则实数x=______ ．10.函数f(x)=x−x−6的零点个数是______．11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=______．12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量b的始点和终点，则a⋅b的最大值为______．13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗都成立，则p的取值范围为______．14.已知函数f(x)=2sinωx，g(x)=2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函数图象的交点，且不共线．①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π3)+32．(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π2]恒成立，求实数m的取值范围．17.已知函数f(x)=13ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x+1．(Ⅰ)求b，c的值；(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．(Ⅰ)求sin A的值；(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设APPC=k．①求k的取值范围；②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得APPC=k．19.已知函数f(x)=lnxe x．(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；(Ⅱ)求证：f(x)<12．20.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立的”？若是“关联的”，写出其所有的关联子集；(Ⅱ)已知集合{a1,a2,a3,a4,a5}是“关联的”，且任取集合{a i,a j}⊆M，总存在M的关联子集A，使得{a i,a j}⊆A.若a1<a2<a3<a4<a5，求证：a1，a2，a3，a4，a5是等差数列；(Ⅲ)集合M是“独立的”，求证：存在x∈M，使得x>n2−n+9．4答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】本题考查描述法表示集合的定义，以及并集的定义及运算．可以求出A={x|x≤−1}，根据A∪B=R即可得出a≤−1，从而得出a的值可以为−2．【解答】解：∵A={x|x≤−1}，B={x|x≥a}，且A∪B=R，∴a≤−1，∴a的值可以为−2．故选：D．2.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了基本初等函数的单调性的判断，属于基础试题．结合一次函数，二次函数，幂函数的性质可进行判断．【解答】解：由一次函数的性质可知，y=x在区间(0,+∞)上单调递增；由二次函数的性质可知，y=x2在区间(0,+∞)上单调递增；由幂函数的性质可知，y=x+x在区间(0,+∞)上单调递增；结合一次函数的性质可知，y=|x−1|在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增．故选：D．3.【答案】C【解析】【分析】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：设等差数列{a n }的公差为d ，∵S 3=a 3，且a 3≠0，∴3a 1+3d =a 1+2d ，化为：−2a 1=d ≠0．∴S 4S 3=4a 1+4×32d 3a 1+3×22d=23×2a 1+3×(−2a 1)a 1−2a 1=83．故选：C ．4.【答案】A【解析】【分析】本题考查充分不必要条件的定义，属于基础题．解出不等式，进而可判断出其一个充分不必要条件．【解答】解：该不等式的解集为：(0,1)，则其一个充分不必要条件可以是：(0,12)；故选：A ．5.【答案】B【解析】【分析】本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．由题意利用任意角的三角函数的定义，求得sin(π2+α)的值．【解答】解：角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为35，则sin(π2+α)=cosα=35，故选：B ．6.【答案】B【解析】【分析】本题考查了向量平行四边形法则、向量共线定理、平面向量基本定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．过C 作CE//AD ，又CD//AB.可得四边形AECD 是平行四边形．AC =AE +AD ，根据AC =λAB +μAD (λ,μ∈R).可得μ=1，AE =λAB ，又λ+μ=32，可得λ=12.即可得出结论．【解答】解：如图所示，过C 作CE//AD ，又CD//AB ．∴四边形AECD 是平行四边形．∴AC =AE +AD ，又AC =λAB +μAD (λ,μ∈R)．∴μ=1，AE =λAB ，又λ+μ=32，∴λ=12．则|CD ||AB ||AE ||AB |12．故选：B ．7.【答案】A【解析】【分析】本题考查了函数与方程的应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于基础题．存在实数x 0，使得f(−x 0)=−f(x 0)，转化为x 2−2|x|=k 有根，进而转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点．【解答】解：∵f(x)=x 3+x 2−2|x|−k 且f(−x 0)=−f(x 0)，∴−x 30+x 20−2|x 0|−k =−(x 30+x 20−2|x 0|−k)整理得x 20−2|x 0|=k ，∴原题转化为y =x 2−2|x|与y =k 的图象有交点，画出y =x 2−2|x|的图象如下：x=1时y=−1，由图可知，k≥−1．故选A．8.【答案】A【解析】【分析】本题考查了命题正误的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．对题目中给的新定义要充分理解，对于i∈N∗，φi(A)=0或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【解答】解：∵对于i∈N∗，定义φi(A)={1,i∈A0,i∉A，∴①例如A={正奇数}，B={正偶数}，∴A∩B=⌀，A∪B=N∗，∴φi(A∩B)=0；φi(A∪B)=1，故①正确；②若φi(A∩B)=0，则i∉(A∩B)，则i∈A且i∉B，或i∈B且i∉A，或i∉A且i∉B；∴φi(A)⋅φi(B)=0；若φi(A∩B)=1，则i∈(A∩B)，则i∈A且i∈B；∴φi(A)⋅φi(B)=1；∴任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；正确，故②正确；③例如：A={1,2，3}，B={2,3，4}，A∪B={1,2，3，4}，当i=2时，φi(A∪B)=1；φi(A)=1，φi(B)=1；∴φi(A∪B)≠φi(A)+φi(B)；故③错误；∴所有正确结论的序号是：①②；故选：A．9.【答案】6【解析】【分析】本题考查向量共线，考查计算能力．直接利用向量的共线的充要条件求解即可．【解答】解：由向量a=(1,2)，b=(3,x)，若a//b，可得x=2×3=6．故答案为：6．10.【答案】1【解析】【分析】本题考查方程的根与函数零点的关系，求函数的零点，就是确定方程的根，也就是求函数的图象与x轴的交点的横坐标．解方程，根据方程的根的个数，即可得出f(x)的零点个数．【解答】解：由题意可知x≥0时，f(x)=x−x−6=0，可得(x)2−x−6=0，解得x=−2(舍去)或x=3，∴x=9；函数f(x)=x−x−6的零点个数是1．故答案为：1．11.【答案】0 ；1【解析】【分析】本题考查数列的前n项和的应用，主要考查学生的运算能力，属于基础题型．直接利用题目所给的数列的前n项和公式求出数列的首项和a5+a6+a7+a8的值．【解答】解：数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a 1=S 1=log 21=0．则a 5+a 6+a 7+a 8=S 8−S 4=log 28−log 24=1．故答案为：0；1．12.【答案】3【解析】【分析】本题考查向量的数量积与投影的应用，向量的数量积最大，需要两个向量的模以及两个向量的夹角的余弦函数值的乘积取得最大值，转化为向量的投影值即可．【解答】解：由题意可知：a ⋅b =|a |⋅|b |cos <a ,b >=|b |cos <a ,b >，其几何意义是b 在a 方向上的投影值，由图形可知：向量b =AC 时，投影值最大，且最大值为3．故答案为：3．13.【答案】[ln33,+∞)【解析】【分析】本题考查的知识要点：利用函数的导数求出函数的单调区间和最值，恒成立问题的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．直接利用数列的关系式，进一步进行转换，再利用函数的导数的应用求出函数的单调区间和最值，进一步利用函数的恒成立问题的应用求出结果．【解答】解：数列{a n }的通项公式为a n =lnn ，若存在p ∈R ，使得a n ≤pn 对任意的n ∈N ∗都成立，故p ≥(lnnn )max，设f(x)=lnxx ，则f′(x)=1x⋅x−ln x x 2，令f′(x)=1−ln x x 2=0，解得x =e ，0<x <e 时，f′(x )>0,x >e 时，f′(x )<0,故函数的单调增区间为(0,e)，函数的减区间为(e,+∞)，所以函数在x =e 时函数取最大值，由于n ∈N ∗，当n =3时函数值为ln33，当n =2时函数值为ln22，易知ln33>ln22，所以p 的取值范围是[ln33,+∞)．故答案为：[ln33,+∞)．14.【答案】2π ；π2【解析】【分析】本题考查的知识要点：三角函数的图象和性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于一般题型．①直接利用函数的图象和性质的应用求出三角形的底和高，进一步求出三角形的面积．②利用等腰直角三角形的性质的应用求出ω的最小值．【解答】解：①当ω=1时，f(x)=2sinx ，g(x)=2cosx ，当△ABC 面积最小时，如图所示：所以第一象限的两个交点间的距离为一个周期2π，△ABC 的高为2⋅22+22⋅2=2．所以：S △ABC =12⋅2π⋅2=2π．当ω=1时，△ABC 面积的最小值为2π；②若存在△ABC 是等腰直角三角形，利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，则2πω=2⋅(2⋅22+2⋅22)，解得ω的最小值为π2．故答案为：2π；π2．15.【答案】解：(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，q >0，∵a 2=3，a 3+a 4=36，∴3(q +q 2)=36，解得q =3．又3a 1=3，解得a 1=1，∴a n =3n−1．(Ⅱ)S n =3n −13−1<121，3n <243，解得：n <5．∴满足S n <121，n 的最大值为4．【解析】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．(Ⅰ)设等比数列{a n }的公比为q ，由a 2=3，a 3+a 4=36，可得3(q +q 2)=36，解得q.又3a 1=3，解得a 1，进而求得数列{a n }的通项公式．(Ⅱ)S n =3n −13−1<121，即可得出结论．16.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)=2sinxcos(x +π3)+32．=2sin x(12cos x−32sin x)+32=sin x cos x−3sin 2x +32=12sin 2x +32cos 2x=sin (2x +π3)．所以函数的最小正周期为T =2π2=π．(Ⅱ)f(x)+m ≤0对x ∈[0,π2]恒成立，所以f(x )max +m ≤0，由于x ∈[0,π2]，所以2x +π3∈[π3,4π3]．当2x +π3=π2时，即x =π12时，m +1≤0时，实数m 的取值范围为(−∞,−1]．【解析】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期．(Ⅱ)利用函数的恒成立问题的应用和函数的最值的应用求出结果．17.【答案】解：(Ⅰ)f′(x)=ax2+2x+b，∵曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为y=x+1，∴{f′(0)=1f(0)=1，解得：{b=1 c=1；(Ⅱ)法一：由(Ⅰ)f(x)=13ax3+x2+x+1，①当a=0时，f(x)=x2+x+1不存在极大值，不合题意，②当a>0时，f′(x)=ax2+2x+1，令ax2+2x+1=0，(i)当△=4−4a≤0即a≥1时，不合题意，(ii)当△=4−4a>0即0<a<1时，方程ax2+2x+1=0有2个不相等的实数根，设方程两根为x1，x2，且x1<x2，x，f′(x)，f(x)的变化如下：x(−∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)+0−0+f(x)递增极大值递减极小值递增故f(x1)为极大值；③当a<0时，△=4−4a>0恒成立，设方程两根为x1，x2且x1<x2，x，f′(x)，f(x)的变化如下：x(−∞,x1)x1(x1,x2)x2(x2,+∞)f′(x)−0+0−f(x)递减极小值递增极大值递减故f(x 2)为极大值，综上，若函数f(x)存在极大值，则a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．法二：f ′(x)=ax 2+2x +1，若函数f(x)存在极大值，则{a ≠0△=4−4a >0，解得：a <1且a ≠0，故a 的取值范围是(−∞,0)∪(0,1)．【解析】本题考查了导数的几何意义，考查运用导数研究函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，是中档题．(Ⅰ)求出函数的导数，结合切线方程得到关于b ，c 的方程组，解出即可；(Ⅱ)法一：求出函数的导数，通过讨论a 的范围，求出函数的单调区间，结合函数存在极大值，确定a 的范围即可，法二：结合二次函数以及极大值的定义判断即可．18.【答案】解：(Ⅰ)在△ABC 中，a =7，b =5，c =8．利用余弦定理cosA =b 2+c 2−a 22bc=12，由于A ∈(0,π)，所以sinA =1−(12)2=32；(Ⅱ)①由APPC =k ．根据正弦定理CPsinA =APsin ∠ACP ，所以k =AP CP=sin ∠ACP sin ∠A=sin ∠ACPsin π3=233sin ∠ACP ，由于点P 为射线AB 上的一个动点(与点A 不重合)，所以∠ACP ∈(0,2π3)，所以k 的取值范围为(0,233]．②由于P 为射线AB 上的一个动点，所以k 的取值只要在区间(1,233)上即可，故k =32时，满足条件．【解析】本题考查的知识要点：正弦定理、余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．(Ⅰ)直接利用余弦定理的应用求出A 的余弦值，进一步求出正弦值．(Ⅱ)①直接利用正弦定理和关系式的变换的应用求出k 的取值范围．②根据共线的条件求出在区间(1,233)上即可．19.【答案】解：(Ⅰ)函数f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．理由如下：由f(x)=lnx e x，得f′(x)=1x −lnxe x；因为x ∈(0,1)，所以1x >0，lnx <0，因此1x −lnx >0．又因为e x >0，所以f′(x)>0恒成立．所以f(x)在区间(0,1)上是单调递增函数．(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x )max <12”.由题意可得，x ∈(0,+∞)，因为f′(x)=1x −lnxe x ，再令g(x)=1x −lnx ，则g′(x)=−1x 2−1x <0．所以g(x)在(0,+∞)上单调递减．因为g(1)=1>0，g(e)=1e −1<0，所以存在唯一实数x 0，使得g(x 0)=0，其中x 0∈(1,e)．x ，f′(x)，f(x)变化如下表所示：x(0,x 0)x 0(x 0,+∞)f′(x)+0_f(x)↗极大值↘所以f(x 0)为函数f(x)的极大值．因为函数f(x)在(0,+∞)有唯一的极大值．所以f(x )max =f(x 0)=lnx 0ex 0．因为1x 0=ln x 0，所以f(x )max =f(x 0)=lnx 0ex 0=1x⋅ex 0．设m (x )=xe x ,x ∈(1,e )，m′(x )=(x +1)e x >0，故m (x )在(1,e)上单调递增，故m(x)>m(1)=e ．因为x 0∈(1,e)，所以f(x )max =1x 0e x 0<1e <12．所以f(x)<12．【解析】本题考查了函数单调性求法，函数极值与最值的求法，属于导数在函数中综合应用，属于综合题．(Ⅰ)对f(x)求导，判断f′(x)的符号，即可得函数的单调性；(Ⅱ)证明“f(x)<12”等价于证明“f(x )max <12”.求f(x)的最大值即可证明．20.【答案】解：(Ⅰ){2,4，6，8，10}是“关联的”，关联子集有{2,4，6，8}，{4,6，8，10}，{2,4，8，10}．{1,2，3，5，8}是“独立的”．(Ⅱ)记集合M 的含有四个元素的集合分别为：A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}，A 3={a 1,a 2,a 4,a 5}，A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}，A 5={a 1,a 2,a 3,a 4}，所以，M 至多有5个“关联子集”，若A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}为“关联子集”，则A 1={a 2,a 3,a 4,a 5}，不是“关联子集”，否则a 1=a 2，同理可得若A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}为“关联子集”，则A 3，A 4不是“关联子集”，所以集合M 没有同时含有元素a 2，a 5的“关联子集”，与已知矛盾．所以A 2={a 1,a 3,a 4,a 5}一定不是“关联子集”，同理A 4={a 1,a 2,a 3,a 5}一定不是“关联子集”，所以集合M 的“关联子集”至多为A 1，A 3，A 5，若A 1不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素a 3，a 5的“关联子集”，与已知矛盾；若A 3不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素a 1，a 5的“关联子集”，与已知矛盾；若A 5不是“关联子集”，则此时集合M 一定不含有元素a 1，a 3的“关联子集”，与已知矛盾；所以A 1，A 3，A 5都是“关联子集”，所以有a 2+a 5=a 3+a 4，即a 5−a 4=a 3−a 2；a 1+a 5=a 2+a 4，即a 5−a 4=a 2−a 1；a 1+a 4=a 2+a 3，即a 4−a 3=a 2−a 1；所以a 5−a 4=a 4−a 3=a 3−a 2=a 2−a 1，所以a 1，a 2，a 3，a 4，a 5是等差数列．(Ⅲ)不妨设集合M ={a 1,a 2,…,a n }(n ≥5)，a i ∈N ∗，i =1，2，…，n ，且a 1<a 2<…<a n ，记T ={t|t =a i +a j ,1≤i <j ≤n,i ，j ∈N ∗}，因为集合M 是“独立的”的，所以容易知道T 中恰好有C 2n =n(n−1)2个元素，假设结论错误，即不存在x ∈M ，使得x >n 2−n +94，所以任取x ∈M ，x ≤n 2−n +94，因为x ∈N ∗，所以x ≤n 2−n +84，所以a i +a j ≤n 2−n +84+n 2−n +84−1=n 2−n +82−1=n 2−n2+3，所以任取t ∈T ，t ≤n 2−n2+3，任取t ∈T ，t ≥1+2=3，所以T ⊆{3,4，…，n 2−n2+3}，且T 中含有C 2n =n(n−1)2个元素，(i)若3∈T ，则必有a 1=1，a 2=2成立，因为n ≥5，所以一定有a n −a n−1>a 2−a 1成立，所以a n −a n−1≥2，所以a n +a n−1≤n 2−n +84+n 2−n +84−2=n 2−n2+2，所以T ={t|3≤t ≤n 2−n 2+2,t ∈N ∗}，所以a n =n 2−n +84，a n−1=n 2−n +84−2，因为4∈T ，所以a 3=3，所以有a n +a 1=a n−1+a 3，矛盾；(ii)若3∉T ，则T ⊆{4,5，…，n 2−n 2+3}，而T 中含有C 2n =n(n−1)2个元素，所以T ={t|4≤t ≤n 2−n2+3,t ∈N ∗}所以a n =n 2−n +84，a n−1=n 2−n +84−1，因为4∈T ，所以a 1=1，a 2=3，因为n 2−n 2+2∈T ，所以n 2−n 2+2=a n−2+a n ，所以a n−2=n 2−n +84−2，所以a n +a 1=a n−2+a 3，矛盾，所以命题成立．【解析】本题属于信息题，考查接受新知识，理解新知识，运用新知识的能力，反证法，等差数列，组合，属于高难题；(Ⅰ)根据题意即可求解；(Ⅱ)根据题意，A1={a2,a3,a4,a5}，A2={a1,a3,a4,a5}，A3={a1,a2,a4,a5}，A4={a1,a2,a3,a5}，A5={a1,a2,a3,a4}，进而利用反证法和等差数列的定义求解；(Ⅲ)不妨设集合M={a1,a2,…,a n}(n≥5)，a i∈N∗，i=1，2，…，n，且a1<a2<…< a n，记T={t|t=a i+a j,1≤t<j≤n,i，j∈N∗}，进而利用反证法求解；。