北京市海淀区高三(上)期中数学试卷含答案

高三（上）期中数学试卷

题号

一二三总分

得分

一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1.

已知集合A ={x|x +1≤0}，B ={x|x ≥a}，若A ∪B =R ，则实数a 的值可以为

( )

A. 2

B. 1

C. 0

D. −2

2.

下列函数中，在区间(0,+∞)上不是单调函数的是( )

A. y =x

B. y =x 2

C. y =x +x

D. y =|x−1|

3.

已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3=a 3，且a 3≠0，则S 4

S 3=( )

A. 1

B. 5

3

C. 8

3

D. 3

4.

不等式1

x >1成立的一个充分不必要条件是( )

A. 0

2

B. x >1

C. 0

D. x <0

5.

如图，角α以Ox 为始边，它的终边与单位圆O 相交于点P ，且点P 的横坐标为3

5，则sin(π

2+α)的值为( )

A. −3

5

B. 3

5

C. −4

5

D. 4

5

6.

在四边形ABCD 中，AB//CD ，设AC =λAB +μAD (λ,μ∈R).若λ+μ=3

2，则

|CD ||AB |

=( )

A. 1

3B. 1

2

C. 1

D. 2

7.已知函数f(x)=x3+x2−2|x|−k.若存在实数x0，使得f(−x0)=−f(x0)成立，则实

数k的取值范围是( )

A. [−1,+∞)

B. (−∞,−1]

C. [0,+∞)

D. (−∞,0]

8.设集合A是集合N∗的子集，对于i∈N∗，定义φi(A)={1,i∈A

0,i∉A，给出下列三个结论：

①存在N∗的两个不同子集A，B，使得任意i∈N∗都满足φi(A∩B)=0且φi

(A∪B)=1；

②任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∩B)=φi(A)⋅φi(B)；

③任取N∗的两个不同子集A，B，对任意i∈N∗都有φi(A∪B)=φi(A)+φi(B)

其中，所有正确结论的序号是( )

A. ①②

B. ②③

C. ①③

D. ①②③

二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）

9.已知向量a=(1,2)，b=(3,x)，若a//b，则实数x=______ ．

10.函数f(x)=x−x−6的零点个数是______．

11.已知数列{a n}的前n项和为S n=log2n，则a1=______，a5+a6+a7+a8=

______．

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取

两个点作为向量b的始点和终点，则a⋅b的最大值为______．

13.已知数列{a n}的通项公式为a n=lnn，若存在p∈R，使得a n≤pn对任意的n∈N∗

都成立，则p的取值范围为______．

14.已知函数f(x)=2sinωx，g(x)=2cosωx，其中ω>0，A，B，C是这两个函

数图象的交点，且不共线．

①当ω=1时，△ABC面积的最小值为______；

②若存在△ABC是等腰直角三角形，则ω的最小值为______．

三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）

15.已知数列{a n}为各项均为正数的等比数列，S n为其前n项和，a2=3，a3+a4=36

(Ⅰ)求数列{a n}的通项公式；

(Ⅱ)若S n<121，求n的最大值．

16.已知函数f(x)=2sinxcos(x+π

3

)+3

2

．

(Ⅰ)求函数f(x)的最小正周期；

(Ⅱ)若f(x)+m≤0对x∈[0,π

2

]恒成立，求实数m的取值范围．

17.已知函数f(x)=1

3

ax3+x2+bx+c，曲线y=f(x)在(0,f(0))处的切线方程为

y=x+1．

(Ⅰ)求b，c的值；

(Ⅱ)若函数f(x)存在极大值，求a的取值范围．

18.在△ABC中，a=7，b=5，c=8．

(Ⅰ)求sin A的值；

(Ⅱ)若点P为射线AB上的一个动点(与点A不重合)，设AP

PC

=k．

①求k的取值范围；

②直接写出一个k的值，满足：存在两个不同位置的点P，使得AP

PC

=k．

19.已知函数f(x)=lnx

e x

．

(Ⅰ)判断函数f(x)在区间(0,1)上的单调性，并说明理由；

(Ⅱ)求证：f(x)<1

2

．

20.已知集合M⊆N∗，且M中的元素个数n大于等于5.若集合M中存在四个不同的元

素a，b，c，d，使得a+b=c+d，则称集合M是“关联的”，并称集合{a,b，c，d}是集合M的“关联子集”；若集合M不存在“关联子集”，则称集合M是“独立的”．

(Ⅰ)分别判断集合{2,4，6，8，10}和集合{1,2，3，5，8}是“关联的”还是“独立