第五节极限的运算法则07653

例如，
lim 1 1 1 1
n n n
n
n个
定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
证: 设
u M
又设 lim 0, 即 0,
当
x x0
时, 有
M
取 min1 , 2 , 则当 x (x0 , ) 时 , 就有
u u M
M
故
即是
时的无穷小 .
x2 1
( x 1)( x 1)
lim
x1
x2
2x
3
lim
x1
(x
3)( x
1)
lim x 1 1 . x1 x 3 2
(消去零因子法)
例5
求
lim
x
2x3 7x3
3 4
x2 x2
5 1
.
解 x 时, 分子,分母的极限都是无穷大.( 型 )
先用x3去除分子分母,分出无穷小, 再求极限.
lim
x
(2 x 1)50
分子, 分母都是50次多项式
lim
x
220 330 x50 250 x50
分子, 分母同除以x50, 再取极限
220 330 250
3 2
30 .
例10 .
arctan x
lim
x
x
=0
因为
arctan x
x
1 x
arctan x ,
lim arctan x
推论: 若 lim f ( x) A, lim g( x) B,且 f ( x) g( x),
则 A B . ( P45 定理 5 )
证明: 令 ( x) f ( x) g( x) 0
利用保号性知:
lim( x) lim f ( x) lim g( x) 0
x x0
x x0
即 A B 0 A B.
第五节 极限运算法则
一 、无穷小运算法则 二、 极限的四则运算法则 三、 复合函数的极限运算法则
复习P 40 . 定理 2 . 在 x 的同一趋限过程中:
f (x) 为无穷大
f
1 (x)
为无穷小;
f (x) 为无穷小且 f (x) 0
f
1 (x)
为无穷大
.
用定义证明的结论：lim C x x0
三、 复合函数的极限运算法则
定理6. 设
且 x 满足
时,
(x) a , 又 lim f (u) A, 则有 ua
则 lim f ( x) g( x) A B lim f ( x) lim g( x) .
lim f ( x) g( x) A B lim f ( x) lim g( x) .
lim
f (x) g( x)
A B
lim lim
f (x) g( x)
.
(B0)
即 . 极限可以进行加, 减 , 乘 , 除四则运算.
x x2
1 1
,
则
lim
x1
f
(x)
lim
x1
x1 x2 1
0
.
lim
x 1
x2 1 x 1
lim
x 1
f
1 (x)
.
分母极限为0, 分子极限不为0, 则分式极限为无穷大!
例4
求
lim
x1
x2
x2 1 2x
3
.
解 x 1时,分子,分母的极限都是零. ( 0 型 ) 0
先约去不为零的无穷小因子x 1后再求极限.
如果 lim f ( x) , lim g( x) 存在 , 则由 f ( x) g( x) lim f ( x) lim g( x) .
保序性 : ""两侧可同时取极限, 只要两侧极限存在即可.
例题综合
例3.
lim
x1
x2 x
1 1
以 x 1 代入 , 分母为0, 分子不为0
设
f
(x)
x
2
lim
x
arctan x
2
当x 时,
1 x
为无穷小,
arctan x
有界 .
例11 .
1
lim e x lim e y ,
1
lim
x
e
lim
ey 0,
x0
y
x0
y
1x
lim e
不存在 , 也不是无穷大.
x0
常用变换:
lim
x0
f
( x)y 1x lim y
f
1 y
x 0; y x 0; y
推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小 .
推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小 .
例1. 求
解:
lim 1 0 x x
利用定理 2 可知
说明 : y = 0 是
的渐近线 .
y sin x x
二、 极限的四则运算法则 P 43 定理 3 .
设 lim f ( x) A , lim g( x) B .
=?
一般有如下结果：
lim
x
a0 xm b0 xn
a1xm1 b1xn1
am bn
(例5 )
(例6 )
(例7 )
为非负常数 )
例 8 . lim x cos x x 2x sin x
lim
1
cos x
x
x
2
sin x
x
10 20
1 2
.
例9.
(2 x 3)20 (3 x 2)30
C
;
lim
x x0
x0
x0
;
lim 1 0. x x
一、 无穷小运算法则
定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小 . 证: 考虑两个无穷小的和 . 设
当
时,有
当
时,有
取
则当
时, 有
因此 这说明当
时,
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为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 . 说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
f (x) A , g(x) B ,
其中 , 为无穷小.
f ( x) g( x) AB A B .
( 由定理1, 2 及推论知 ) A B 为无穷小,
从而 lim f ( x) g( x) A B .
定理1, 2, 3 及推论对于数列{xn}的极限也适用. 1 . 有限个无穷小的和也是无穷小. 2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 3 . 极限可以进行加, 减 , 乘 , 除四则运算.
lim
x
2x3 7x3
3x2 4x2
5 1
lim
x
2 7
3
x 4
x
5 x3 1 x3
2. 7
(无穷小因子分出法)
例6 .
lim
x
2x2 6x 1 x3 5x 2
分子分母同除以
x
3
,
lim x
2 x
6 x2
1 x3
1
5 x2
2 x3
0000. 1 0 0
例 7.
lim
x
x3 5x 2 2x2 6x 1
注 . 加 , 乘运算可以推广到多个极限的运算.
推论 .设 lim f ( x) A , c 为常数 , n 为正整数 .
则 limc f ( x) c lim f ( x) c A , (lim c c )
lim f ( x)n lim f ( x)n An .
只证乘法, 加 , 减及除法阅读课本. 证 . lim f ( x) A , lim g( x) B .