高等数学-第三章-泰勒公式-同济大学
(完整版)同济大学高等数学上第七版教学大纲(64学时)
福建警察学院《高等数学一》课程教学大纲课程名称：高等数学一课程编号：学分：4适用对象：一、课程的地位、教学目标和基本要求(一)课程地位高等数学是各专业必修的一门重要的基础理论课程，它具有高度的抽象性、严密的逻辑性和应用的广泛性，对培养和提高学生的思维素质、创新能力、科学精神、治学态度以及用数学解决实际问题的能力都有着非常重要的作用。
高等数学课程不仅仅是学习后继课程必不可少的基础，也是培养理性思维的重要载体，在培养学生数学素养、创新意识、创新精神和能力方面将会发挥其独特作用。
（二）教学目标通过本课程的学习，逐步培养学生使其具有数学运算能力、抽象思维能力、空间想象能力、科学创新能力，尤其具有综合运用数学知识、数学方法结合所学专业知识去分析和解决实际问题的能力，一是为后继课程提供必需的基础数学知识；二是传授数学思想，培养学生的创新意识，逐步提高学生的数学素养、数学思维能力和应用数学的能力。
（三）基本要求1、基本知识、基本理论方面：掌握理解极限和连续的基本概念及其应用；熟悉导数与微分的基本公式与运算法则；掌握中值定理及导数的应用；掌握不定积分的概念和积分方法；掌握定积分的概念与性质；掌握定积分在几何上的应用。
2、能力、技能培养方面：掌握一元微积分的基本概念、基本理论、基本运算技能和常用的数学方法，培养学生利用微积分解决实际问题的能力。
二、教学内容与要求第一章函数与极限【教学目的】通过本章学习1、理解函数的概念，了解函数的几种特性（有界性），掌握复合函数的概念及其分解，掌握基本初等函数的性质及其图形，理解初等函数的概念。
2、理解数列极限的概念、掌握数列极限的证明方法、了解收敛数列的性质。
3、理解函数极限和单侧极限的概念，掌握函数极限的证明方法、理解极限存在与左、右极限之间的关系，了解函数极限的性质。
4、理解无穷小和无穷大的概念、掌握无穷大和无穷小的证明方法。
5、掌握极限运算法则。
6、了解极限存在的两个准则，并会利用它们求极限，掌握利用两个重要极限求极限的方法。
同济大学《高等数学》(第四版)第三章习题课
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求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x ); ( 2) 求驻点，即方程 f ′( x ) = 0 的根; 求驻点，
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号或 f ′′( x ) 在 该点的符号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
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(3) 最大值、最小值问题 最大值、
做函数 f ( x )的驻点.
驻点和不可导点统称为临界点. 驻点和不可导点统称为临界点. 临界点
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定理(第一充分条件) 定理(第一充分条件) x (1)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) > 0;而 ∈(x0, x0 +δ ), 如 果 x 取 极 值 有f '(x) < 0， f (x)在 0处 得 大 . 则 x (2)如 x∈(x0 −δ , x0),有f '(x) < 0;而 ∈(x0, x0 +δ ) 如 果 x 取 极 值 有f '(x) > 0， f (x)在 0处 得 小 . 则 x (3)如 当x∈(x0 −δ , x0)及 ∈(x0, x0 +δ )时 f '(x) 符 如 果 , (x x 无 值 号 同则f (x)在 0处 极 . 相 ,则 定理(第二充分条件) 定理(第二充分条件)设f (x)在 0 处 有 阶 数 x 具 二 导 , 且f '(x0 ) = 0, f ''(x0 ) ≠ 0, 那 末 f ''(x0 ) < 0时 函 f (x)在 0 处 得 大 ; x 取 极 值 (1)当 , 数 当 '' x 取 极 值 (2)当f (x0) > 0时 函 f (x)在 0 处 得 小 . , 数 当
《高等数学》(同济大学第七版)上册知识点总结
高等数学(同济第七版)上册-知识点总结第一章 函数与极限一. 函数的概念1.两个无穷小的比较设0)(lim ,0)(lim ==x g x f 且l x g x f =)()(lim（1）l = 0，称f (x)是比g(x)高阶的无穷小，记以f (x) = 0[)(x g ]，称g(x)是比f(x)低阶的无穷小。
（2）l ≠ 0，称f (x)与g(x)是同阶无穷小。
（3）l = 1，称f (x)与g(x)是等价无穷小，记以f (x) ~ g(x)2.常见的等价无穷小 当x →0时sin x ~ x ，tan x ~ x ，x arcsin ~ x ，x arccos ~ x ，1− cos x ~ 2/2^x ， x e −1 ~ x ，)1ln(x + ~ x ，1)1(-+αx ~ x α二．求极限的方法1．两个准则准则 1. 单调有界数列极限一定存在准则 2.（夹逼定理）设g (x ) ≤ f (x ) ≤ h (x )若A x h A x g ==)(lim ,)(lim ，则A x f =)(lim2．两个重要公式公式11sin lim 0=→x xx公式2e x x x =+→/10)1(lim3．用无穷小重要性质和等价无穷小代换 4．用泰勒公式当x 0→时，有以下公式，可当做等价无穷小更深层次)()!12()1(...!5!3sin )(!...!3!2112125332++++-+++-=++++++=n n n n nxx o n x x x x x x o n x x x x e )(!2)1(...!4!21cos 2242n n n x o n x x x x +-+++-= )()1(...32)1ln(132n nn x o nx x x x x +-++-=++ )(!))1()...(1(...!2)1(1)1(2n n x o x n n x x x +---++-++=+ααααααα)(12)1(...53arctan 1212153+++++-+-+-=n n n x o n x x x x x 5．洛必达法则定理1 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）0)(lim 0=→x f x x ，0)(lim 0=→x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 这个定理说明：当)()(lim 0x F x f x x ''→存在时，)()(lim 0x F x f x x →也存在且等于)()(lim 0x F x f x x ''→；当)()(lim0x F x f x x ''→为无穷大时，)()(lim 0x F x f x x →也是无穷大． 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的极限值的方法称为洛必达（H L 'ospital ）法则.∞∞型未定式 定理2 设函数)(x f 、)(x F 满足下列条件：（1）∞=→)(lim 0x f x x ，∞=→)(lim 0x F x x ；（2）)(x f 与)(x F 在0x 的某一去心邻域内可导，且0)(≠'x F ；（3）)()(lim 0x F x f x x ''→存在（或为无穷大），则 注：上述关于0x x →时未定式∞∞型的洛必达法则，对于∞→x 时未定式∞∞型同样适用．使用洛必达法则时必须注意以下几点：（1）洛必达法则只能适用于“00”和“∞∞”型的未定式，其它的未定式须先化简变形成“00”或“∞∞”型才能运用该法则； )()(lim)()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→)()(lim )()(lim 00x F x f x F x f x x x x ''=→→（2）只要条件具备，可以连续应用洛必达法则；（3）洛必达法则的条件是充分的，但不必要．因此，在该法则失效时并不能断定原极限不存在． 6．利用导数定义求极限基本公式)()()(lim 0'000x f xx f x x f x =∆-∆+→∆(如果存在）7.利用定积分定义求极限基本格式⎰∑==∞→11)()(1lim dx x f n kf n n k n （如果存在）三．函数的间断点的分类函数的间断点分为两类：（1）第一类间断点设0x 是函数y = f (x )的间断点。
(同济大学)高等数学课件D3_3泰勒
4 3x
1( 9 n) o( x 2 n1 n1 x2 ) ( 1) 16 (1 x) 9 x 原式 lim 2 32 (n x0 1) ! x2
(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为 可见
f ( ) ( x x0 ) 2 f (x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2!
( 在 x0 与 x 之间)
df
返回 结束
误差
( 在 x0 与 x 之间)
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在泰勒公式中若取 x0 0 , x (0 1) , 则有 f (0) 2 f ( n ) (0) n x x f (0) f (0) x 2! n!
其中 R2 m ( x)
sin() m x 2 x ) 2 m1 (1 cos(m 1 ) 2 (0 1) x (2m 1) !
机动
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下页返回结束 Nhomakorabea类似可得
x2 x4 x 2m cos x 1 (1) m R2m1 ( x) 2! 4! ( 2 m) !
其中 Rn (x)
( 1)( n)
(n 1) !
(1 x) n1 x n1
(0 1)
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已知 f 类似可得
(k )
( x) (1)
k 1
(k 1)! (k 1, 2 ,) k (1 x)
x 2 x3 xn ln(1 x) x (1) n 1 Rn (x) 2 3 n
其中
(1) m1 cos( x) 2 m 2 R2m1 ( x) x (2m 2) !
同济大学高等数学7.泰勒公式
注意到 f (n1) ( ) e 代入公式,得
ex 1 x x2 xn e xn1
2!
n! (n 1)!
(在x与0之间).
由公式可知
ex 1 x x2 xn
2!
n!
估计误差 (设 x 0)
Rn (x)
e xn1 (n 1)!
ex xn1(0
(n 1)!
x).
取x 1, e 1 1 1 1
于是(i) Rn (x)与f (x)有相同的连续性,可导性;
(ii )
Rn (x0 )
Rn (x0) Rn(x0)
R(n) n
(
x0
)
0.
lim x x0
Rn (x) (x x0 )n
lim
x x0
Rn (x) n(x x0 )n1
lim
Rn( x)
xx0 n(n 1)( x x0 )n2
a2.
P2 (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2
)
(
x
x0
)
2
P2(x)近似f (x)的误差:
f
(x) P2 (x) (x x0 )2
0
(x x0 )
f (x)
f
(x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
(x0 2
)
(
x
x0
)2
o(x x0 )2.
)
f
(x2 )
2
2
证：不妨设 x1
x2 ,记
x0
x1
x2 2
,有
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
同济大学高等数学第六版上册第三章第三节Taylor泰勒公式
o
x0
x
LL LL
假设
0
Pn( k ) ( x0 ) = f ( k ) ( x0 ) k = 1,2,L, n
a = f ( x ),
1 ⋅ a = f ′( x ),
1 0
2!⋅a = f ′′( x )
2 0
L L , n!⋅a n = f ( n ) ( x 0 ) 1 (k ) 得 ak = f ( x0 ) ( k = 0,1,2,L , n ) k!
f ( x ) = f ( x 0 ) + f ′(ξ )( x − x 0 ) (ξ在x 0与x之间)
2.取 x 0 = 0, ξ 在0 与 x 之间,令ξ = θx
(0 < θ < 1) f ( n + 1) (θx ) n + 1 x 则余项 Rn ( x ) = ( n + 1)!
四、简单的应用
即 Rn ( x ) = o[( x − x0 )n ].
M ≤ ( x − x0 )n+1 (n + 1)!
皮亚诺形式的余项
∴ f ( x) = ∑
k =0
n
f
(k )
( x0 ) ( x − x0 )k + o[( x − x0 )n ] k!
注意:
1. 当 n = 0 时,泰勒公式变成拉氏中值公式
(n + 1) !
(1 + θ x)α −n−1 x n+1 (0 < θ < 1)
(5) f ( x) = ln(1 + x) ( x > −1) k −1 ( k − 1) ! (k ) (k = 1, 2 ,L) 已知 f ( x) = (−1) k (1 + x) 类似可得 x 2 x3 xn n −1 ln(1 + x) = x − − L + (−1) + + Rn (x) 2 3 n
同济高数（第七版）--第三章
第三章：泰勒公式以及导数运用1.泰勒公式（注意：麦克劳林公式是特殊的泰勒公式，即00=x ）（1）)(!!212x xxe n nx o n x +++= 证：令e x x f =)(，e f x n x x f x f x f ='''=''=')()()()()( ，那么就有1)0()0()0()0()(='''=''='f n f f f ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()(x x fennn xo n x f f +'+==)(!!212x xxn no n x +++ （2）)()!12(!5!3sin 121253)1(x xxxm m mo m x x ++++++-=- 证：令x x f sin )(=，)2sin()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,2,02sin )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n m n n mn f π，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+= ，故)()!12(!5!3)(121253)1(x xxxm m mo m x x f ++++++-=- （3）)()!2(!4!21cos 2242)1(x xx x m mm o m x +++-=- 证：令x x f cos )(=，)2cos()()(π⋅+=n x x f n ，故 2,1,0,12,02,2cos )0()1()(=⎪⎩⎪⎨⎧+===⋅=-m m n mn n m n f π,而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)()!2(!4!21)(2242)1(x xxxm mmo m x f +++-=- （4）)(!)1()1(!2)1(12)1(x x x x n n o n n x ++--+-++=+ααααααα 证：令)1()(x x f +=α，)1()1()1()()(x fnn n x +-+--=αααα ，故)1()1()0()(+--=n f n ααα ，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(!)1()1(1)(x x n no n n x x f ++--++=αααα（5）)(3!2)1ln()1(132x x x x n nn o nx x ++-=+-- 证：令)1ln()(x x f +=，)1()1()!1()(1)(x f nn n n x +--=-，故)!1()0()1(1)(-⋅=--n n n f，而根据带有佩亚诺余项的麦克劳林的公式则有)(!)0()0()0()()(x x fn nn o n x f f x f +'+=，故)(3!2)()1(132x x x x n nn o nx x f +++-=-- （6）按（4-x ）的幂展开多项式435)(234+-+-=x x f x x x 由32154)(23-+-='x x f x x ，23012)(2+-=''x x f x ，3024)(-='''x x f ，24)()4(=x f ，)5(0)()(≥=n x f n ，而21)4(='f ，74)4(=''f ，66)4(='''f ，根据泰勒公式得!)4()4)(4()4()()4()(n x f f x f x fnn -+-'+=（未带有余项），故)4()3()4(4321137)4(2156)(---+++-+-=x x x x x f 解：x x f 2121)(-='，x x f 2341)(--=''，x x f 2583)(-='''，x f x 27)4(1615)(--=，故41)4(='f ，321)4(-=''f ，2563)4(='''f ，ξ27)4(1615)(--=f，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式则有)!1()(!)4()4)(4()4()()4()4(1)1()(+++-'+=--++n n x f f x f x fx f n n nn ξ)4()4()4(42732384155121641)4(412)(-----+--+=⇒x x x x x f ξ（ξ在x 与4之间）（8）求函数x x f ln )(=按)2(-x 的幂展开的带有佩亚诺余项的n 阶泰勒公式解：xf n n n n x 1)!1()()1(1)(-=--2)1(1)!1()2(1)(n n n n f -=⇒--,故根据带有佩亚诺余项的泰勒公式则有][!)2()2)(2()2()()2()2()(--+++-'+=⇒x x fnnn o n x f f x f ][81)2(212ln )()2()2()1()2(12----+⋅+--+=⇒-x x x nnnn o n x x f解：⇒=+-xfn nn n x 1)(1!)()1()1()1(1)(1!)1(--+=-n nn n f)1()1(!)1()(++-=-⇒x x fnnn n ，故根据带有拉格朗日余项的泰勒公式得)!1()(!)1()1)(1()1()()1()1(1)1()(++-+-'+-=++++n n x f f x f x fx fn n n n ξξ2112)1()1()1()1()1(1)(++++-+++--+--=⇒n n n nx x x x x f ξ在1-与x 之间。
大学教材全解——高等数学(同济六版)上册知识资料内容简介
大学教材全解—高等数学（同济六版）上册基本信息作者：曹圣山主编出版社：中国海洋大学出版社出版时光：2023年年-8字数：403.2千版次：1页数：448印刷时光：2023年年-6开本：32开印次：5纸张：胶版纸I S B N ：978-7-81125-734-2包装：平装定价：23.80内容简介“教材全解”系列图书十多年来向来是初高中学生的首选辅导材料，每年销售量位居同类辅导书首位。
为协助广大读者学好《高等数学》这门课程(该课程不仅是理工、经济、管理类等专业学生必修的一门课程，同时也是全国硕士研究生入学考试的重点科目)，我们特邀请了全国各地治学严谨的一线名师，郑重遵循教诲部高等院校教学指导委员会审订的“本科数学基础课程教学基本要求”（教学大纲）和教诲部最新的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲”，精心编写了这本《大学教材全解—高等数学》。
本书是同济大学数学系编写的《高等数学》上册（第六版，高等教诲出版社）的配套用书。
其章节内容与教材保持一致，讲解顺序与课堂授课彻低同步，每章内容编写如下：第 1 页/共 6 页本章知识结构图解以清晰的结构图形式，展示本章的知识体系及知识点间的内在逻辑关系。
本节考试出题点概括本节在考试时重点考查知识点的哪些方面，出哪些类型的试题。
重要考点和题型一目了然，为考试复习指明方向，使备考越发轻巧、高效。
教材内容全解这部分突出必须控制或考频较高的核心内容，以知识点举行分类，对重点和难点，在知识点后举行标注, 方便读者在课后复习及期末考试复习时迅速寻找本节重点。
与众不同的是，本书在重要知识点后面配了相应例题，而且异常注重讲解知识点实际应用时易混淆、不容易理解之处以及解题过程中需要注重的事项，并列举与此知识点相关、在解题中广泛使用的核心结论，协助读者学好、吃透本节重要概念、定理（公理）、公式、性质等。
常考基本题型以每节的重点问题为主线，对每节涉及的小学期中、期末考试，全国硕士研究生入学考试等常考基本题型做全面、详尽分析，揭示解题思路、传授主意技巧。
同济第3版-高数-(3.3) 第三节 泰勒公式
(1) 泰勒中值定理及其意义
泰勒中值定理
如果函数 f( x )在含有 x 0 的某个开区间( a ,b )内具 有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x ( a ,b )，有
f x
f x0
f x0 x x0
1 2!
f x0 x x0 2 L
究竟有多小，即 R n( x )具体是( x - x 0 )的几阶无穷小。 由高阶无穷小阶的定义，就是要由极限
lim
xx0
Rn x x x0k
A0
去推断 k 的值有多大。
因此余项 R n( x )定量估计的问题最终归结为确定 k
的值。从计算精度考虑，自然希望 k 的值越大越好。
从形式上看
lim
于 x 和 0 之间，故可表为 = x ，0 < < 1 . 通常称此
时的泰勒公式为马克劳林公式，即
f x
f 0
f 0 x
1 2!
f 0 x 2 L
1 n!
f n 0 x n
f n1 x
n 1 !
x n1.
马克劳林公式形式简单，应用方便，且以马克劳
林公式对函数进行讨论并不会损失讨论的一般性。
(2) 多项式系数的选择及相应条件的设置 考虑在点 x = x0 的邻域内用多项式 P n( x )表示函数
f( x )，就是选择合当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n，使多项式 曲线 y = Pn( x )与函数曲线 y = f( x )尽可能“吻合”。
从理论和实际两个方面考虑，选择多项式 P n( x ) 的适当系数 a 0 ,a1,a 2,… , a n 在点 x 0 的邻域内表示函数 f( x )应满足两个基本要求： • 有较好的精度，使得 f( x ) P n( x )； • 能够估计误差，即能对误差 R n( x )= f( x )- P n( x )作
同济大学高等数学教材答案
同济大学高等数学教材答案答案提供如下：同济大学高等数学教材答案第一章：函数与极限1.1 函数的概念与性质1.2 极限与连续1.3 无穷小与无穷大1.4 间断点与间断1.5 极限运算法则1.6 无穷小的比较1.7 函数的连续性第二章：导数与微分2.1 导数的概念与性质2.2 基本初等函数的导数2.3 函数的求导法则2.4 高阶导数与莱布尼茨公式2.5 隐函数与参数方程的导数2.6 函数的微分与局部线性化2.7 线性近似与割线法2.8 高阶导数的应用2.9 曲率与曲率半径第三章：微分中值定理与导数的应用3.1 罗尔中值定理与拉格朗日中值定理3.2 柯西中值定理与洛必达法则3.3 微分中值定理的应用3.4 泰勒公式与麦克劳林公式3.5 函数的渐近线与渐近曲线3.6 导数的应用第四章：不定积分4.1 不定积分的概念与基本性质4.2 基本初等函数的不定积分4.3 不定积分的基本运算法则4.4 函数的定积分与原函数4.5 牛顿—莱布尼茨公式与换元积分法4.6 函数的面积与定积分的应用4.7 罗尔定理与中值定理在积分中的应用第五章：定积分及其应用5.1 定积分的概念与性质5.2 定积分的基本运算法则5.3 定积分的计算方法5.4 牛顿—莱布尼茨公式与变限积分5.5 定积分的应用5.6 广义积分与收敛性第六章：定积分的计算技巧6.1 分部积分法6.2 降阶与换元积分法6.3 罗利尔定理与定积分6.4 狄利克雷函数与阶跃函数6.5 W形曲线6.6 三角换元法6.7 参数化曲线的弧长6.8 数列与级数第七章：微分方程7.1 微分方程的基本概念7.2 可分离变量的微分方程7.3 齐次线性微分方程7.4 一阶线性微分方程7.5 Bernoulli方程7.6 高阶线性微分方程7.7 常系数线性微分方程的解法7.8 非齐次线性微分方程的解法7.9 变量分离与齐次方程组的解法这是一个针对同济大学高等数学教材的章节答案提纲。
每个章节的答案内容都应细致详尽，力求准确解答各个习题及相关概念、性质的说明。
同济版《高等数学》 多元函数泰勒展开
同济大学的《高等数学》教材是一部经典的数学教材，其中关于多元函数的泰勒展开是数学学习者所必须掌握的重要内容。
本文将从多元函数泰勒展开的基本概念、公式推导和具体实例分析三个方面来详细介绍该内容。
一、多元函数泰勒展开的基本概念1.1 多元函数的概念多元函数是指自变量不止一个的函数，通常表示为$f(x_1, x_2,\cdots, x_n)$，其中$x_1, x_2, \cdots, x_n$为自变量，$f$为因变量。
在实际问题中，常常遇到多个自变量同时改变而导致因变量发生变化的情况，所以研究多元函数的泰勒展开对于理解函数的性质和应用具有重要意义。
1.2 泰勒展开的定义若函数$f(x)$在某点$x=a$处有各阶导数，那么$f(x)$在点$x=a$处可以展开为以$a$为中心的幂级数，即泰勒展开式：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)(x-a)^2}{2!}+\cdots+\frac{f^{(n)}(a)(x-a)^n}{n!}+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为泰勒余项。
1.3 多元函数的泰勒展开对于多元函数$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)$，若其各阶偏导数在点$(a_1, a_2, \cdots, a_n)$处存在，那么可以利用多元函数的偏导数来推广泰勒展开式，得到多元函数的泰勒展开式：$$f(x_1, x_2, \cdots, x_n)=f(a_1, a_2, \cdots,a_n)+\sum_{i=1}^n\frac{\partial f}{\partial x_i}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)$$$$+\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n\frac{\partial^2 f}{\partialx_i\partial x_j}(a_1, a_2, \cdots, a_n)(x_i-a_i)(x_j-a_j)+\cdots+R_n(x)$$其中$R_n(x)$为多元函数的泰勒余项。
同济第六版《高等数学》教案WORD版-第03章-中值定理与导数的应用
第三章 中值定理与导数的应用教学目的：1、 理解并会用罗尔定理、拉格朗日中值定理，了解柯西中值定理和泰勒中值定理。
2、 理解函数的极值概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其简单应用。
3、 会用二阶导数判断函数图形的凹凸性，会求函数图形的拐点以及水平、铅直和斜渐近线，会描绘函数的图形。
4、 掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
5、 知道曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。
6、 知道方程近似解的二分法及切线性。
教学重点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理；2、函数的极值 ，判断函数的单调性和求函数极值的方法；3、函数图形的凹凸性；4、洛必达法则。
教学难点：1、罗尔定理、拉格朗日中值定理的应用；2、极值的判断方法；3、图形的凹凸性及函数的图形描绘；4、洛必达法则的灵活运用。
§3. 1 中值定理一、罗尔定理费马引理设函数f (x )在点x 0的某邻域U (x 0)内有定义, 并且在x 0处可导, 如果对任意x ∈U (x 0), 有 f (x )≤f (x 0) (或f (x )≥f (x 0)),那么f '(x 0)=0.罗尔定理 如果函数y =f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 且有f (a )=f (b ), 那么在(a , b )内至少在一点ξ , 使得f '(ξ)=0.简要证明: (1)如果f (x )是常函数, 则f '(x )≡0, 定理的结论显然成立.(2)如果f (x )不是常函数, 则f (x )在(a , b )内至少有一个最大值点或最小值点, 不妨设有一最大值点ξ∈(a , b ). 于是0)()(lim )()(≥--='='-→-ξξξξξx f x f f f x , 0)()(lim )()(≤--='='+→+ξξξξξx f x f f f x , 所以f '(x )=0.罗尔定理的几何意义:二、拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 如果函数f (x )在闭区间[a , b ]上连续, 在开区间(a , b )内可导, 那么在(a , b )内至少有一点ξ(a <ξ<b ), 使得等式f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )成立.拉格朗日中值定理的几何意义:f '(ξ)=ab a f b f --)()(, 定理的证明: 引进辅函数令 ϕ(x )=f (x )-f (a )-a b a f b f --)()((x -a ). 容易验证函数f (x )适合罗尔定理的条件: ϕ(a )=ϕ(b )=0, ϕ(x )在闭区间[a , b ] 上连续在开区间(a , b )内可导, 且ϕ '(x )=f '(x )-ab a f b f --)()(. 根据罗尔定理, 可知在开区间(a , b )内至少有一点ξ, 使ϕ '(ξ)=0, 即f '(ξ)-a b a f b f --)()(=0. 由此得 ab a f b f --)()(= f '(ξ) , 即 f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ).定理证毕.f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a )叫做拉格朗日中值公式. 这个公式对于b <a 也成立.拉格朗日中值公式的其它形式:设x 为区间[a , b ]内一点, x +∆x 为这区间内的另一点(∆x >0或∆x <0), 则在[x , x +∆x ] (∆x >0)或[x +∆x , x ] (∆x <0)应用拉格朗日中值公式, 得f (x +∆x )-f (x )=f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).如果记f (x )为y , 则上式又可写为∆y =f '(x +θ∆x ) ⋅∆x (0<θ<1).试与微分d y =f '(x ) ⋅∆x 比较: d y =f '(x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的近似表达式, 而f '(x +θ∆x ) ⋅∆x 是函数增量∆y 的精确表达式.作为拉格朗日中值定理的应用, 我们证明如下定理:定理 如果函数f (x )在区间I 上的导数恒为零, 那么f (x )在区间I 上是一个常数. 证 在区间I 上任取两点x 1, x 2(x 1<x 2), 应用拉格朗日中值定理, 就得f (x 2)-f (x 1)=f '(ξ)(x 2 - x 1) (x 1<ξ< x 2).由假定, f '(ξ)=0, 所以f (x 2)-f (x 1)=0, 即f (x 2)=f (x 1).因为x 1, x 2是I 上任意两点, 所以上面的等式表明: f (x )在I 上的函数值总是相等的, 这就是说, f (x )在区间I 上是一个常数.例2. 证明当x >0时, x x xx <+<+)1ln(1. 证 设f (x )=ln(1+x ), 显然f (x )在区间[0, x ]上满足拉格朗日中值定理的条件, 根据定理, 就有 f (x )-f (0)=f '(ξ)(x -0), 0<ξ<x 。
高等数学同济7版精品智能课件-第3章-第3节-泰勒公式
第三节 泰勒公式
于是提出如下的问题：
设函数 f (x) 在含有 x0 的开区间内具有直到 (n + 1) 阶导数，试找出一个关于 (x – x0) 的 n 次多项式
pn (x) a0 a1(x x0 ) a2 (x x0 )2 an (x x0 )n 来近似表达 f (x)，要求
f (x) pn (x) o((x x0 )n ) ,
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理 二、几个初等函数的麦克劳林公式 三、泰勒公式的应用
第三节 泰勒公式
一、泰勒中值定理
1. 问题的提出
在微分的应用中已经知道，当 |x – x0| 很小时，有近 似计算公式
f (x) f (x0) + f (x0)(x – x0) . 在上述近似计算公式的右边是一个 x – x0 的一次多 项式，因此其实质是用一个一次多项式来表达一个较 复杂的函数. 这种近似表达存在以下不足之处：
x0
)n
.
n 阶泰勒多项式
下面的定理将证明该多项式的确是所要找的 n 次多 项式.
第三节 泰勒公式
2. 泰勒(Taylor)中值定理
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开
区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一 x
(a
,
b)
，有
f
(x)
f
(x0 )
f
所以
f (k) (0) 1 (k 0 , 1, 2 , , n).
例2 求出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式..
于是解可ex 得因1为sxinfx1(n)x(x2x)31!sxin3 1x51x!nxn5
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代入⑹式, 得
ex 1 x 1 x2 2!
1 n!
xn
e x
n 1!
xn1
0 1.
因而相应的近似表达式为
ex 1 x 1 x2 2!
1 xn. n!
当 x 0 时, 相应的误差估计式为
Rn x
e x xn1
n 1!
ex xn1,
n 1!
如果取 x 1, 即得到 e的近似表达式:
2!
f n 0 xn.
⑺
n!
上式称为函数 f x的n阶麦克劳林多项式. 而相应的误
差估计式为
Rn x
M
n 1!
x
n1 .
⑻
例2 求出函数 f x ex 的n 阶麦克劳林展开式.
解 因 f x f x f x f n x ex ,
所以: f 0 f 0 f 0 f n 0 1,
来近似表示 f x 并给出误差的具体表达式.
为了使所求出的多项式与函数 f x在数值与性质方 面吻合得更好, 进一步要求 Pn x 在点 x0处的函数值以 及它的n 阶导数值与 f x在 x0处的函数值以及它的n
阶导数值分别相等. 即
Pnk x0 f k x0 k 0,1, ,n.
e 11 1 1 . 2! n!
例3
求
y
x
x
1
在
x0
2 处的三阶泰勒展开式.
解因
y x 1 1 , y2 2,
x 1 x 1
y
x
1
12
,
y2 1, y2 2,
y
2
6,
y4
x
x
4!
15
,
y4 2 24 4!
所以
x 2 x 2 x 22 x 23
x 1
1
15
x
x a,b, 有
f
x
f
x0
f x0 x x0
f
x0
2!
x
x0
2
f
n x0
n!
x
x0
n
Rn
x,
⑷
其中
Rn x
f n1
n
1!
x
x0
n
1
,
⑸
这里, 是 x0与 x 之间的某个值.
注 公式⑷称为 f x在 x0 处关于 x x0 的 n 阶泰勒
公式, 而⑸称为拉格朗日型余项.
n
.
⑶
上式称为函数 f x 的 n 阶泰勒多项式.
例1 求 f x ex 在 x 0 处的1阶和2阶泰勒多项式.
解 因 f 0 1, f 0 1, f 0 1
故而1阶泰勒多项式为:
P1 x f 0 f 0 x 1 x.
2阶泰勒多项式为:
P2 x
f
0
f 0x
f 0 x2
2
1 x
3! 5!
2m 1!
cos x 1 1 x2 1 x4 1m x2m o x2m ,
2! 4!
2m!
ln 1 x x 1 x2 1 x3 1n1 xn o xn ,
23
n
1 x 1 x 1 x2
2!
1
n 1 xn oxn .
n!
cos x ln 1 x x
1
lim
x0
sin x
x
x2
1
e 6.
例5 求极限 lim x0
x2
.
解 分别写出 cos x,ln 1 x 的二阶带佩亚诺型余项
的泰勒展开式:
cos x 1 1 x2 o x2 , 2
ln 1 x x 1 x2 o x2 , 2
由此得到
cos x ln 1 x x 1 x2 o x2 , 2
所以
cos x ln 1 x x
因
Pnk x k!ak k 1k k 1 2ak1 x x0
nn 1 n k 1an x x0 nk
将 x x0 代入上式, 得
ak
1 k!
f
k x0
于是有
k 0,1, ,n. ⑵
Pn x
f
x0
f
x0 x x0
f
x0
2!
x
x0
2
f
n x0
n!
x
x0
当 n 0时, 泰勒公式即为拉格朗日中值公式:
f x f x0 f x x0 .
所以, 泰勒中值定理是拉格朗日中值定理的推广.
分析 用f x 的泰勒多项式近似表示 f x时, 其误
差为 Rn x , 如果对于某个固定的n, 当 x a,b 时,
f n1 x M , 则有
Rn x
Rn x o x x0 n ,
从而⑷式改变为
f
x
f
x0
f x0 x x0
f
x0
2!
x
x0
2
f
n x0
n!
x
x0
n
o x x0 n ,
⑼
⑼称为带佩亚诺型余项的泰勒展开式. 更有下面的.
定理2 如果函数 f x在含 x0 的某个开区间a,b 内具
有直到n阶的导数, 且 f n Da,b, 则 x a,b,
有
f
x
f
x0
f x0 x x0
f
x0
2!
x
x0
2
+
f
n x0
n!
x
x0
n
o x x0 n .
常见函数带有佩亚诺型余项的麦克劳林展开式:
ex 1 x 1 x2 1 xn +o xn ,
2!
n!
sin x x 1 x3 1 x5 1 m1 x2m1 o x2m1 ,
,
所以
lim
x0
ln
y
lim
x0
ln
sin x x2
/
x
lim
x0
1 x2
ln
1
sin x
x
1
lim
x0
1 x2
sin x
x
1
lim
x0
sin x x3
x
,
再由泰勒公式:
sin x x 1 o x3 , 3!
此时上式为
sin x lim x3
x
x3 lim 3!x3
1, 6
故原极限为
x2 2
.
我们将
y ex,
y 1 x,
y 1 x x2 ,
2
的图象作一个比较.
y y ex y 1 x x2
2 y 1 x
O
x
图中显示的情况说明, 2阶泰勒多项式比1阶泰勒多项 式的近似程度要好.
二、泰勒中值定理
定理 如果函数 f x在含 x0 的某个开区间 a,b内具
有直到 n 1阶导数, 即f Dn1 a,b, 那么对于
24
.
例4 求出函数 f x sin x 的n阶麦克劳林展开式.
解
因
f
n
x
sin
x
n
π 2
所以
n 0,1, 2, ,
f
n
0
0
1m
由公式⑹得
n 2m, m 0,1, 2, .
n 2m 1,
sin x x 1 x3 1 x5 3! 5!
1m 1 2m 1!
x 2 m 1
R2m
f n1
n
1!
x
x n1 0
M
n 1!
x
x0
n1 .
⑹
在公式⑶中, 取 x 0, 若记 x0 1, 则
f x f 0 f 0 x f 0 x2
2!
f n 0 xn
n!
f
n1 x n 1!
xn1
0 1.
由此得到近似计算公式:
f x f 0 f 0 x f 0 x2
y dy f x0 x,
或
f x0 x f x0 f x0 x,
上式是用一次多项式来近似表达一个函数, 但缺点是
不能具体估计误差的大小, 并且在近似估计时精度不够
高.
设函数 f x在含 x0 的开区间内有直到 n 1阶导数,
我们的目的是用一个关于x x0 的多项式
Pn a0 a1 x x0 a2 x x0 2 an x x0 n⑴
lim
x0
x2
1 x2 o x2
lim 2 x0
x2
1. 2
例6 求极限lim x cos x sin x .
x0
x3
解 由展开式:
cos x 1 1 x2 o x2 , 2!
所以
xcos x x 1 x3 o x3 , 2!
又
sin x x 1 x3 o x3 ,
3!
故
x cos x sin x 1 x3 x 1 x3 o x3
2!
3!
1 x3 o x3 , 3
所以
lim x cos x sin x 1 .
x0
x3
3
1
例7
求极限
lim
x0
sin 1x
x
x2
.
解
令
y
sin x
x
x2
,
则ln
y
1 x2
ln
sin x
x
y sin x
y P3 x y P11 x
y P19 x
y P7 x
y P15 x
常见函数的麦克劳林展开式:
cos x 1 1 x2 1 x4 2! 4!