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高二数学上学期期末考试题精选及答案

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高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案

高二上学期的数学期末考试题目及答案一、选择题（共10题，每题2分，共20分）1. 以下哪个是等差数列？- A. 2, 4, 6, 8- B. 3, 6, 9, 12- C. 1, 3, 9, 27- D. 2, 5, 8, 11答案：A2. 函数y = x^2 + 3x + 2的图像是一个什么形状？- A. 抛物线- B. 直线- C. 双曲线- D. 圆答案：A3. 若a + b = 7，且a^2 + b^2 = 37，则a和b的值分别为多少？- A. a = 4, b = 3- B. a = 3, b = 4- C. a = 5, b = 2- D. a = 2, b = 5答案：B4. 在一个等边三角形中，每个内角是多少度？- A. 60°- B. 90°- C. 120°- D. 180°答案：A5. 已知一个正方形的边长为2cm，那么它的周长是多少？- A. 4cm- B. 6cm- C. 8cm- D. 12cm答案：C6. 若sinθ = 0.5，那么θ的值是多少？- A. 30°- B. 45°- C. 60°- D. 90°答案：B7. 以下哪个是素数？- A. 12- B. 17- C. 20- D. 25答案：B8. 一辆汽车以每小时60公里的速度行驶，行驶了2小时30分钟，那么它行驶的距离是多少公里？- A. 75公里- B. 100公里- C. 125公里- D. 150公里答案：C9. 若a:b = 3:5，且b:c = 4:7，则a:c的比值是多少？- A. 12:20- B. 9:20- C. 3:7- D. 12:35答案：B10. 一个扇形的半径为5cm，弧长为10πcm，那么它的圆心角是多少度？- A. 36°- B. 54°- C. 72°- D. 90°答案：C二、填空题（共5题，每题4分，共20分）1. 当x = 2时，函数y = 2x^2 + 3x - 1的值为 \_\_\_。

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案(高二上学期)

数学期末考试试卷及答案（高二上学期）一、选择题（每题4分，共40分）1. 若复数z满足|z-1|=|z+1|，则z在复平面内表示的点位于（）A. 实轴B. 虚轴C. 线段AB的中点D. 圆心O答案：C2. 已知函数f(x)=2x+1，若f(f(x))=3，则x等于（）A. -1B. 0C. 1D. 2答案：A3. 设函数g(x)=x²-4x+c，若g(x)的图象上存在两个点A、B，使得∠AOB=90°（其中O为坐标原点），则c的取值范围是（）A. (-∞, 1]B. [1, +∞)C. (-∞, 3]D. [3, +∞)答案：A4. 已知等差数列{an}的前5项和为25，第5项为15，则该数列的首项为（）A. 1B. 3C. 5D. 7答案：B5. 若平行四边形ABCD的对角线交于点E，已知BE=4，CE=6，∠DCE=30°，则BD的长度为（）A. 8B. 10C. 12D. 16答案：B6. 已知函数h(x)=x³-3x，若h(x)的图象上存在一个点P，使得∠AOP=90°（其中O为坐标原点），则x的取值范围是（）A. (-∞, 0]B. [0, +∞)C. (-∞, 1]D. [1, +∞)答案：C7. 若等比数列{bn}的前三项分别为1、2、4，则该数列的公比为（）A. 2B. 3C. 4D. 5答案：A8. 已知函数p(x)=x²-2x+1，若p(p(x))=0，则x等于（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B9. 设函数q(x)=|x-1|+|x+1|，则q(x)的最小值为（）A. 0B. 1C. 2D. 3答案：C10. 若三角形ABC中，∠A=60°，AB=3，AC=4，则BC的长度为（）A. 5B. 6C. 7D. 8答案：B二、填空题（每题4分，共40分）11. 若复数z=a+bi（a、b为实数），且|z|=2，则___。

浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

浙江省宁波市慈溪市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

慈溪市2023学年第一学期期末测试卷高二数学学科试卷（答案在最后）说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A.()2,3,4--- B.()2,3,4- C.()2,3,4- D.()2,3,42.双曲线229436x y -=的一个焦点坐标为（）A.)B.( C.)D.(3.已知曲线2by ax x=+在点()1,4处的切线方程为50x y +-=，则a b -=（）A.1B.0C.1- D.2-4.已知等差数列{}n a 的前5项和5120S =，且()123454a a a a a ++=+，则公差d =（）A.6- B.7- C.8- D.9-5.过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.14B.4C.4-D.14-6.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且2AF FC =，则AE DF ⋅=（）A.53-B.23-C.0D.537.已知A ，B 是椭圆E ：222125x y b+=（05b <<）的左右顶点，若椭圆E 上存在点M 满足49MA MB k k ⋅<-，则椭圆E 的离心率的取值范围为（）A.0,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ B.0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ C.,19⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭ D.,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 210f x f x ⎡'+⎤⎣⎦->，则（）A.()20ef -> B.()40442023ef < C.()22ef < D.()40462024ef >二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l 的方程为210x ay +-=，直线2l 的方程为()3110a x ay ---=，（）A.则直线1l 的斜率为12a-B.若12//l l ，则16a =C.若12l l ⊥，则1a =或12D.直线2l 过定点()1,3--10.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数()()cos f x x =-，则()sin f x x '=B.若函数()xf x a-=（0a >且1a ≠），则()ln xf x aa-'=-C.若函数()lg f x x =，则()lg ef x x '=（e 是自然对数的底数）D.若函数()tan f x x =，则()21cos f x x='11.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（*n ∈N ）．若51a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.2m =或16B.20241a = C.20244721S = D.312n a +=12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．Q 是线段1A N 上动点，R 是线段PQ 上动点，则（）A.当Q 为线段1A N 中点时，PQ ∥平面1A CMB.当Q 为111A B C △重心时，R 到平面1A CM 的距离为定值C.当Q 在线段1A N 上运动时，直线PQ 与平面1A CM 所成角的最大角为π3D.过点P 平行于平面1A CM 的平面α截直三棱柱111ABC A B C -+第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C 的方程为222230x y ax a +--+=，则圆C 的半径为______.14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =______.15.已知函数()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．16.设F 为抛物线24y x =的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，且FA FB ⊥，则AFB △的面积最小值为______.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()ln f x a x x =-．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 的最大值．18.已知圆224x y +=内有一点,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，直线l 过点M ，与圆交于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为120°，求AB ；（2）若圆上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程．19.如图，在直四棱柱ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是正方形，2AB =，'3AA =，,E F 分别是棱,AB BC 上的动点．（1）若,E F 分别为棱,AB BC 中点，求证：DE ⊥平面A AF '；（2）若()1AE BF t t ==>，且三棱锥A BEF '-的体积为38，求平面B EF '与平面A EF '的夹角的余弦值．20.已知数列{}n a 的首项123a =，且满足121n n na a a +=+（*n ∈N ）．（1）求证：数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若()()621nn b n =-+，令n n n c a b =，求数列{}n c 的前n 项和n S ．21.已知函数()2e 1xx f x a =-+（0x >）．（其中e 是自然对数的底数）（1）若对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）若6a ≤，求证：()0f x >．（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）22.已知双曲线C 的渐近线方程为22y x =±，且点()2,1M -在C 上．（1）求C 的方程；（2）点,A B 在C 上，且,,MA MB MD AB D ⊥⊥为垂足．证明：存在点N ，使得DN 为定值．慈溪市2023学年第一学期期末测试卷高二数学学科试卷说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卡上．第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.在空间直角坐标系O-xyz 中，点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为（）A.()2,3,4--- B.()2,3,4- C.()2,3,4- D.()2,3,4【答案】B 【解析】【分析】根据对称即可求解.【详解】点()2,3,4P --关于平面yOz 对称的点的坐标为()2,3,4-，故选：B2.双曲线229436x y -=的一个焦点坐标为（）A.)B.( C.)D.(【答案】A 【解析】【分析】根据标准方程即可求解.【详解】双曲线229436x y -=转化为标准方程为22149x y -=，故224,9,a b c ====，故焦点为)和()，故选：A3.已知曲线2by ax x=+在点()1,4处的切线方程为50x y +-=，则a b -=（）A .1B.0C.1- D.2-【答案】D 【解析】【分析】求导，根据()()11,14f f '=-=即可求解1,3a b ==，进而可求解.【详解】()22bf x ax x '=-,则()121f a b '=-=-，又()14f a b =+=，所以1,3a b ==，故2a b -=-，故选：D4.已知等差数列{}n a 的前5项和5120S =，且()123454a a a a a ++=+，则公差d =（）A.6-B.7- C.8- D.9-【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的性质即可求解.【详解】由()123454a a a a a ++=+可得()5123454545512024S a a a a a a a a a =++++=+=⇒+=，1232239632a a a a a ++==⇒=，故274578a a a a a +=+⇒=-，所以7258a a d =+=-，解得8d =-.故选：C5.过点()0,2与圆22410x y x ++-=相切的两条直线的夹角为α，则cos α=（）A.14B.4C.4-D.14-【答案】A 【解析】【分析】设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，先利用勾股定理求出切线长，再求出cos ,sin ADC ADC ∠∠，再根据二倍角的余弦公式即可得解.【详解】因为2202421110++⨯-=>，所以点()0,2在圆外，设圆心为C ，点()0,2为点D ，切点为,A B ，圆22410x y x ++-=化为标准方程得()2225x y ++=，则圆心()2,0C -，半径r =，在Rt ACD △中，CD AC ==AD ==，故cosADC ADC ∠=∠=由圆的切线的性质可得ADC BDC ∠=∠，所以351cos cos cos 2884ADB ADC α=∠=∠=-=.故选：A.6.已知正四面体ABCD 的棱长为2，E 是BC 的中点，F 在AC 上，且2AF FC = ，则AE DF ⋅=（）A.53-B.23-C.0D.53【答案】C 【解析】【分析】先将,AE DF 分别用,,AB AC AD表示，再根据数量积得运算律即可得解.【详解】由正四面体ABCD ，得60BAC BAD CAD ∠=∠=∠=︒，则2,2,2AB AC AB AD AD AC ⋅=⋅=⋅=，由E 是BC 的中点，得()12AE AB AC =+，由2AF FC =，得23AF AC = ，则23DF AF AD AC AD =-=- ，所以()1223A A AB AC C AD E DF ⎛⎫+⋅- ⎪⎝⋅=⎭2122233AB AC AB AD AC AD AC ⎛⎫=⋅-⋅+-⋅ ⎪⎝⎭148220233⎛⎫=⨯-+-= ⎪⎝⎭.故选：C.7.已知A ，B 是椭圆E ：222125x y b+=（05b <<）的左右顶点，若椭圆E 上存在点M 满足49MA MB k k ⋅<-，则椭圆E 的离心率的取值范围为（）A.0,9⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B.0,3⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C.,19⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭D.,13⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】B 【解析】【分析】根据斜率公式，即可得21009b >，进而根据离心率公式即可求解.【详解】设(),M m n ，则222125m n b+=，()5,0,(5,0)A B -,故2222221255529524525MA MBk m b n n n b m k m m m ⎛⎫- ⎪⎝⎭=⋅==-+--=<⋅--，所以21009b >，故离心率为3c e a ===，又01e <<，故0,3e ⎛⎫∈ ⎪ ⎪⎝⎭，故选：B8.已知定义在R 上的函数()f x 的导函数为()f x '，若()11f =，()()ln 210f x f x ⎡'+⎤⎣⎦->，则（）A.()20e f -> B.()40442023ef < C.()22ef < D.()40462024ef >【答案】D 【解析】【分析】由()()ln 210f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，可得()()20f x f x -'>，构造函数()()2e xf xg x =，利用导数判断出函数的单调性，再根据函数()g x 的单调性逐一判断即可.【详解】因为()()ln 210f x f x ⎡⎤-+>⎣⎦'，所以()()211f x f x +'->，即()()20f x f x -'>，令()()2exf xg x =，则()()()220exf x f xg x '-'=>，所以函数()g x 是增函数，对于A ，由()()01g g <，得()2210e e f -<=，故A 错误；对于B ，由()()20231g g >，得()4046220231e ef >，所以()40442023ef >，故B 错误；对于C ，由()()21g g >，得()4221e ef >，所以()22e f >，故C 错误；对于D ，由()()20241g g >，得()4048220241e e f >，所以()40462024ef >，故D 正确.故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数()()2e xf xg x =，利用导数判断出函数的单调性是解决本题的关键.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知直线1l 的方程为210x ay +-=，直线2l 的方程为()3110a x ay ---=，（）A.则直线1l 的斜率为12a-B.若12//l l ，则16a =C.若12l l ⊥，则1a =或12 D.直线2l 过定点()1,3--【答案】CD 【解析】【分析】根据0a =时，直线1l 的斜率不存在，即可判断A ；根据两直线平行的充要条件计算即可判断B ；根据两直线垂直的充要条件计算即可判断C ；令a 的系数等于零求出定点即可判断D .【详解】对于A ，当0a =时，直线1l 的斜率不存在，故A 错误；对于B ，若12//l l ，则()2310a a a ---=，解得0a =或16a =，经检验，两个都符合题意，所以0a =或16a =，故B 错误；对于C ，若12l l ⊥，则23120a a --=，解得1a =或12，故C 正确；对于D ，直线2l 的方程化为()310x y a x ---=，令3010x y x -=⎧⎨--=⎩，解得13x y =-⎧⎨=-⎩，所以直线2l 过定点()1,3--，故D 正确.故选：CD.10.下列函数的导数计算正确的是（）A.若函数()()cos f x x =-，则()sin f x x '=B.若函数()xf x a-=（0a >且1a ≠），则()ln xf x a a-'=-C.若函数()lg f x x =，则()lg ef x x '=（e 是自然对数的底数）D.若函数()tan f x x =，则()21cos f x x='【答案】BCD 【解析】【分析】根据复合函数的求导法则，结合基本初等函数求导公式以及求导法则即可逐一求解.【详解】对于A ，()()cos cos f x x x =-=，所以()sin f x x =-'，A 错误，对于B ，()()'ln ln x x f x a a x a a --=⨯-=-'，故B 正确，对于C ，()1ln e lg eln10ln10f x x x x=='=，C 正确，对于D ，()()()222cos sin sin sin 1tan cos cos cos x x x x f x x x x x ''--⎛⎫='=== ⎪⎝⎭，D 正确，故选：BCD11.任取一个正数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2．反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1．这是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列{}n a 满足：1a m =（m 为正整数），1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数（*n ∈N ）．若51a =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则（）A.2m =或16B.20241a = C.20244721S = D.312n a +=【答案】ABD 【解析】【分析】先根据2a 的奇偶性求出2a ，再根据1a 的奇偶性即可求出m ，即可判断A ；分类讨论m ，求出数列的周期，进而可判断BCD.【详解】因为51a =，由“冰雹猜想”可得432,4a a ==，①若2a 为偶数，则2342a a ==，所以28a =，当1a 为偶数时，则1282aa ==，所以116a =，即16m =，当1a 为奇数时，则21318a a =+=，解得173a =（舍去），②若2a 为奇数，则32314a a =+=，解得21a =，当1a 为偶数时，则1212a a ==，所以12a =，即2m =，当1a 为奇数时，则21311a a =+=，解得10a =（舍去），综上所述，2m =或16，故A 正确；当2m =时，由1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，得234561,4,2,1,4a a a a a =====，所以数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，因为202423674-=⨯，所以520241a a ==，()2024216744214721S =++⨯++=，当16m =时，由1,231,nn n n n a a a a a +⎧⎪=⎨⎪+⎩为偶数为奇数，23456788,4,2,1,4,2,1a a a a a a a =======，所以数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，因为202423674-=⨯，所以520241a a ==，()20241686744214742S =++⨯++=，综上所述，20241a =，20244721S =或4742，故B 正确，C 错误；对于D ，数列{}n a 从第三项起是以3为周期的周期数列，所以3142n a a +==，故D 正确.故选：ABD.12.如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，2AB AC ==，13AA =，M 是AB 的中点，N 是11B C 的中点，P 是1BC 与1B C 的交点．Q 是线段1A N 上动点，R 是线段PQ 上动点，则（）A.当Q 为线段1A N 中点时，PQ ∥平面1A CMB.当Q 为111A B C △重心时，R 到平面1A CM 的距离为定值C.当Q 在线段1A N 上运动时，直线PQ 与平面1A CM 所成角的最大角为π3D.过点P 平行于平面1A CM 的平面α截直三棱柱111ABC A B C -+【答案】BD 【解析】【分析】建立直角坐标系，利用法向量与方向向量的关系即可求解A ，根据线面角的向量法，结合不等式的性质即可判定C ，根据线面平行即可求解B,根据面面平行即可求解长度判断D.【详解】以A 为原点，以AC ，AB ，1AA 所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系A xyz -，设12,3AB AC AA ===，则1(0A ,0,3)，(2C ,0,0)，(0B ,2,0)，(0M ,1,0)，(1N ,1,3)，(1P ,1,3)2，所以1113(1,1,0),(1,1,(2,1,0),(2,0,3)2A N A P CM CA ==-=-=-，设平面1A CM 的法向量为(,,)n x y z =，则123020n CA x z n CM x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩ ，令3x =，可得(3,6,2)n = ，设11(,,0),(01)AQ mA N m m m ==≤≤ ，则113(1,1,)2PQ AQ A P m m =-=-- ，当Q 为线段1A N 中点时，12m =，则113(,,)222PQ =-- 3333022PQ n ⋅=--+=-≠ ，故此时PQ 不平行平面l A CM ，A 错误，当Q 为111A B C △重心时，则所以320m -=，即23m =，113(,,332PQ =-- ，此时1230PQ n ⋅=--+=，此时PQ ∥平面1A CM ，由于R 是线段PQ 上的点，故P 到平面1A CM 的距离即为R 到平面1A CM 的距离，故为定值，B 正确，由于3(1,1,)2PQ m m =-- ，设直线PQ 与平面1A CM 所成角为θ，则sin cos ,PQ n PQ n PQ n θ⋅===由于01,m ≤≤所以()()()2223232416999921444m m m --≤≤=-+，所以43sin ,72θ=≤=<ππ0,,23θθ⎡⎤∈∴<⎢⎥⎣⎦，故C 错误对于D ，取11A B 的中点H ，连接1,HB HC ,由于,H M 均为中点，所以11//,//HB A M C H CM ,而1A M ⊂平面1A CM ，CM ⊂平面1A CM ，而HB ⊄平面1A CM ，1C H ⊄平面1A CM ，故//HB 平面1A CM ，1//C H 平面1A CM ，11,,C H HB H C H HB ⋂=⊂平面1C HB ，故平面1//C HB 平面1A CM ，故过点P 平行于平面1A CM 的平面α即为平面1CHB ，故截面为三角形1C HB，由于111BH A M C H CM BC ======,D 正确，故选：BD【点睛】方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知圆C 的方程为22222330x y ax ay a +--+=，则圆C 的半径为______.【答案】a 【解析】【分析】将一般式转化为标准式即可求解半径.【详解】由22222330x y ax ay a +--+=可得()()2223x a y a a -+=，所以半径为a ，故答案为：a14.已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且510S =，1030S =，则20S =______.【答案】150【解析】【分析】根据等比数列前n 项和的性质计算即可.【详解】由题意可得510515102015,,,S S S S S S S ---成等比数列，由510S =，1030S =，得10552S S S -=，得()1510105240S S S S -=-=，所以1570S =，则()20151510280S S S S -=-=，所以20150S =.故答案为：150.15.已知函数()(ln 2)f x x x ax =-有两个极值点，则实数a 的取值范围是_________．【答案】10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】直接求导得()ln 14f x x ax '=+-，再设新函数()ln 14g x x ax =+-，首先讨论0a ≤的情况，当0a >时，求出导函数的极值点，则由题转化为11ln044g a a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，解出即可.【详解】2()ln 2(0)f x x x ax x =->，()ln 14f x x ax '=+-，令()ln 14g x x ax =+-,函数()()ln 2f x x x ax =-有两个极值点,则()0g x =在区间(0,)+∞上有两个实数根.114()4axg x a x x'-=-=,当0a ≤时,()0g x '>,则函数()g x 在区间(0,)+∞单调递增,因此()0g x =在区间(0,)+∞上不可能有两个实数根,应舍去.当0a >时,令()0g x '=,解得14x a=.令()0g x '>,解得104x a<<,此时函数()g x 单调递增;令()0g x '<,解得14x a>,此时函数()g x 单调递减.∴当14x a=时,函数()g x 取得极大值.当x 趋近于0与x 趋近于+∞时,()g x →-∞,要使()0g x =在区间(0,)+∞上有两个实数根,只需11ln 044g a a ⎛⎫=>⎪⎝⎭,解得10a 4<<.故答案为：10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭.16.设F 为抛物线24y x =的焦点，直线l 与抛物线交于,A B 两点，且FA FB ⊥，则AFB △的面积最小值为______.【答案】12-【解析】【分析】设直线l 的方程为()()1122,,,,x my t A x y B x y =+，联立方程，利用韦达定理求出1212,y y y y +，由FA FB ⊥，得0FA FB ⋅=，求出,m t 的关系，进而可求出t 的范围，再根据1211122AFB S t y y t =--=- 计算即可.【详解】由已知()1,0F ，设直线l 的方程为()()1122,,,,x my t A x y B x y =+，联立24x my ty x =+⎧⎨=⎩，消x 得2440y my t --=，216160m t ∆=+>，则12124,4y y m y y t +==-，由FA FB ⊥，得0FA FB ⋅=，即()()()()112212121,1,110x y x y x x y y -⋅-=--+=，所以()()1212110my t my t y y +-+-+=，化简得()()()()2212121110m y y m t y y t ++-++-=，所以()()()222414110t m mt t -++-+-=，化简得224610m t t =-+≥，解得3t ≥+3t ≤-则()()222Δ161646116410m t t t t t =+=-++=->，则1t >或1t <，所以3t ≥+3t ≤-1211122AFB S t y y t =--=-()211122t t t =-=-=-，所以当3t =-()(2min 212AFB S =-=- ，所以AFB △的面积最小值为12-故答案为：12-【点睛】方法点睛：圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种：一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值；二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.已知函数()ln f x a x x =-．（1）当1a =时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a >时，求函数()f x 的最大值．【答案】（1）()f x 在(0,1)上为增函数；()f x 在(1,)+∞上为减函数；（2）(ln 1)a a -【解析】【分析】（1）直接利用函数的导数确定函数的单调区间．（2）求导根据函数的单调性即可求解最值．【小问1详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，当1a =时，()ln f x x x =-，()111x f x x x-=-='，当()10xf x x -'=>，解得：01x <<，当()10xf x x-'=<，解得：1x >．()f x ∴在(0,1)上为增函数；()f x 在(1,)+∞上为减函数；【小问2详解】()f x 的定义域为(0,)+∞，()1a a xf x x x-=-='，当0a >时，令()0f x '>，得0x a <<，令()0f x '<时，得x a >，()f x ∴的递增区间为()0,a ，递减区间为(),a +∞．max ()ln (ln 1)f x a a a a a =-=-.18.已知圆224x y +=内有一点,12M ⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，直线l 过点M ，与圆交于A ，B 两点．（1）若直线l 的倾斜角为120°，求AB ；（2）若圆上恰有三个点到直线l 的距离等于1，求直线l 的方程．【答案】（1）372（2）10y -=或70y -+=．【解析】【分析】（1）由已知条件可得直线l 的方程，再结合点到直线的距离公式即可求出弦AB 的长；（2）由已知条件可求出圆心到直线l 的距离12d r =，再分类讨论，结合点到直线的距离公式可求出k 值，则直线l 的方程可求．【小问1详解】直线l 过点,12M ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，且斜率为tan120k ==∴直线l的方程为1y x -=+，即210y ++=， 圆心(0,0)到直线的距离为14d =，||2AB ∴==；【小问2详解】圆上恰有三点到直线l 的距离等于1，∴圆心(0,0)到直线l 的距离为12rd ==，当直线l 垂直于x轴时，直线方程为2x =-，不合题意；当直线l 不垂直于x 轴时，设直线l的方程为1(2y k x -=+，即10kx y -++=，由1d ==，可得20k -=，解得0k =或k =，故直线l 的方程为10y -=或70y -+=．19.如图，在直四棱柱ABCD A B C D -''''中，底面ABCD 是正方形，2AB =，'3AA =，,E F 分别是棱,AB BC上的动点．（1）若,E F 分别为棱,AB BC 中点，求证：DE ⊥平面A AF '；（2）若()1AE BF t t ==>，且三棱锥A BEF '-的体积为38，求平面B EF '与平面A EF '的夹角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）287【解析】【分析】（1）以点D 为原点建立空间直角坐标系，利用向量法求证即可；（2）先根据三棱锥的体积求出t ，再利用向量法求解即可.【小问1详解】如图，以点D 为原点建立空间直角坐标系，则()()()()()()()2,0,0,2,0,3,2,2,0,2,2,3,0,2,0,2,1,0,1,2,0A A B B C E F ''，故()()()2,1,0,0,0,3,1,2,0DE AA AF '===- ，因为0,0DE AA DE AF '⋅=⋅= ，所以,DE AA DE AF '⊥⊥，又,,AA AF A AA AF ''⋂=⊂平面A AF '，所以DE ⊥平面A AF '；【小问2详解】因为()1113232328A BEF V S BEF AA t t '-'=⋅=⨯⨯⨯-⨯= ，解得12t =或32t =，又因为1t >，所以32t =，故312,,0,,2,022E F ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以33110,,3,,,0,0,,32222A E EF B E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫''=-=-=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，设平面A EF '的法向量为(),,n x y z = ，则有330231022n A E y z n EF x y ⎧⋅=-=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩' ，可取()2,6,3n = ，设平面B EF '的法向量为(),,m a b c = ，则有130231022m B E b c m EF a b ⎧⋅=--=⎪⎪⎨⎪⋅=-+=⎪⎩' ，可取()2,6,1m =-- ，所以cos,287m nm nm n⋅===，所以平面B EF'与平面A EF'的夹角的余弦值为287．20.已知数列{}n a的首项123a=，且满足121nnnaaa+=+（*n∈N）．（1）求证：数列11na⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列；（2）若()()621nnb n=-+，令n n nc a b=，求数列{}n c的前n项和n S．【答案】（1）证明见解析（2）()()117214,672242,7nn nn nSn n++⎧--≤⎪=⎨-+≥⎪⎩【解析】【分析】（1）根据递推公式证明11111nnaa+--为定值即可；（2）先利用错位相减法求出数列{}n a的前n项和，再分6n≤和7n≥两种情况讨论即可.【小问1详解】由121nnnaaa+=+，得1112121111221111121n n n n n n n n n n n n n n na a a a a a a a a a a a a a a +-+---+====----，所以数列11n a ⎧⎫-⎨⎬⎩⎭是以11112a -=为首项，12为公比的等比数列；【小问2详解】由（1）得1112n n a -=，所以221n n n a =+，所以()62nn n n c a b n ==-，设数列{}n a 的前n 项和为n T ，则()2352423262nn T n =⨯+⨯+⨯++- ，()()234125242327262n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-+- ，两式相减得()2311022262n n n T n +-=------ ()()()21112121062721412n n n n n -++-=-+-=-+-，所以()17214n n T n +=--，令()620n n c n =-≥，则6n ≤，令()620n n c n =-<，则6n >，故当6n ≤时，n n c c =，当7n ≥时，n n c c =-，所以当6n ≤时，()1127214n n n n S c c c S n +=+++==-- ，当7n ≥时，()()1267862n n nS c c c c c c S S =+++-+++=- ()()11228721472242n n n n ++⎡⎤=---=-+⎣⎦，综上所述，()()117214,672242,7n n n n n S n n ++⎧--≤⎪=⎨-+≥⎪⎩.21.已知函数()2e 1xx f x a =-+（0x >）．（其中e 是自然对数的底数）（1）若对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，求实数a 的取值范围；（2）若6a ≤，求证：()0f x >．（参考数据：ln 20.693≈，ln 3 1.099≈）【答案】（1）(],1-∞（2）证明见解析【解析】【分析】（1）令()()x f x x ϕ=-，由题意可得函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，()0x ϕ'≥在()0,∞+上恒成立，分离参数，进而可得出答案；（2）要证()()00f x x >>，即证2e 1x a x +<，令()()2e 10x g x x x+=>，利用导数求出()min 6g x >即可得证.【小问1详解】对任意的210x x >>时，都有()()2121f x f x x x ->-，即对任意的210x x >>时，都有()()2211f x x f x x ->-，令()()x f x x ϕ=-，则函数()x ϕ在()0,∞+上单调递增，则()()12e 10xx f x a ϕ''=-=--≥在()0,∞+上恒成立，即2e 1x a ≤-在()0,∞+上恒成立，因为当0x >时，2e 11x ->，所以1a ≤，经检验符合题意，所以实数a 的取值范围为(],1-∞；【小问2详解】要证()()00f x x >>，即证2e 1x a x+<，令()()2e 10x g x x x +=>，则()22e 2e 1x x x g x x--'=，令()()2e 2e 10x x h x x x =-->，则()()2e 00xh x x x '=>>，所以函数()h x 在()0,∞+上单调递增，又()7671110,e 163h h ⎛⎫=-<=- ⎪⎝⎭，因为6ln 36 1.099 6.5947≈⨯=<，所以7ln 36>，所以76e 3>，所以7671e 1063h ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，故存在071,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，使得()00002e 2e 10x x h x x =--=，即()00g x '=，当00x x <<时，()0g x '<，当0x x >时，()0g x '>，所以函数()g x 在()00,x 上单调递减，在()0,x +∞上单调递增，所以()()00min 02e 1x g x g x x +==，因为0002e 2e 10x x x --=，所以0012e 1x x =-，所以()00min 0001112e 111x x g x x x x +-+===-，因为071,6x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以0161x >-，即()min 6g x >，又因为6a ≤，所以2e 1x a x+<，所以若6a ≤，()0f x >．【点睛】方法点睛：利用导数证明不等式问题，方法如下：（1）直接构造函数法：证明不等式()()f x g x >（或()()f x g x <）转化为证明()()0f x g x ->（或()()0f x g x -<），进而构造辅助函数()()()h x f x g x =-；（2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论；（3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数.22.已知双曲线C的渐近线方程为2y x =±，且点()2,1M -在C 上．（1）求C 的方程；（2）点,A B 在C 上，且,,MA MB MD AB D ⊥⊥为垂足．证明：存在点N ，使得DN 为定值．【答案】（1）2212x y -=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）设双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠，利用待定系数法求出λ即可得解；（2）分直线AB 的斜率是否为零两种情况讨论，根据MA MB ⊥，可得121211122y y x x ++⋅=---，双曲线方程可变形为()()22222222211x y x y =-=-+-+-，再由直线AB 的方程x my t =+可得()12112x m y t m ⎡⎤--+=⎣⎦--，代入变形后的双曲线方程，再利用韦达定理即可得出,t m 间的关系，进而可求出直线AB 所过的定点，即可得出结论.【小问1详解】设双曲线的方程为()2202x y λλ-=≠，因为点()2,1M -在C 上，所以412λ-=，解得1λ=，所以C 的方程为2212x y -=；【小问2详解】设()()1122,,,A x y B x y ，当直线AB 的斜率为0时，则()11,B x y -，因为点,A B 在C 上，所以221112x y -=，则221122x y =+，由MA MB ⊥，得0MA MB ⋅=，即()()()221111112,12,14410x y x y x y -+⋅--+=-+++=，()()2211422410y y -++++=，解得13y =或11y =-（舍去），故直线AB 的方程为3y =，当直线AB 的斜率不等于0时，设直线AB 的方程为x my t =+，当MA 的斜率不存在时，则MB 的斜率为0，此时直线MA 的方程2x =，直线MB 的方程为1y =-，联立22212x x y =⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得1y =（1y =-舍去），联立22112y x y =-⎧⎪⎨-=⎪⎩，解得2x =-（2x =舍去），所以()()2,1,2,1A B --，则12AB k =，所以直线AB 的方程为()1122y x -=-，令3y =，则6x =，故直线AB 过点()6,3，同理可得当MB 的斜率不存在时，则MB 的斜率为0，此时直线AB 的方程为()1122y x -=-，直线AB 过点()6,3，当直线,MA MB 的斜率都存在且都不等于零时，因为MA MB ⊥，所以121211122y y x x ++⋅=---，由2212x y -=，得()()22222222211x y x y =-=-+-+-()()()()22242421412x x y y =-+-+-+++-，所以()()()()2224221410x x y y -+--+++=，由x my t =+，得()221x m y m t -+=+-+，则()212x m y m t --+=-+-，所以()12112x m y t m ⎡⎤--+=⎣⎦--，所以()()()()22124221212x x x m y y t m ⎡⎤-+---+-+⎣⎦--()()1412102y x m y t m ⎡⎤++--+=⎣⎦--，整理得()()()()2224424222110222t m m t m x x y y t m t m t m +---+-+-+-+=------即224214412022222t m y m y t m t m x t m x t m-++-++-⎛⎫-+⋅+= ⎪--------⎝⎭，所以()1212211221242222422t m y y t m t m t m x x t m t m+-+++---⋅===--+----+---所以63t m =-，所以直线AB 得方程为()6336x my m y m =+-=-+，所以直线AB 过定点()6,3，综上所述，直线AB 过定点()6,3Q ，因为MD AB ⊥，所以存在MQ 的中点()4,1N，使得12DN MQ ==.【点睛】方法点睛：求解直线过定点问题常用方法如下：（1）“特殊探路，一般证明”：即先通过特殊情况确定定点，再转化为有方向、有目的的一般性证明；（2）“一般推理，特殊求解”：即设出定点坐标，根据题设条件选择参数，建立一个直线系或曲线的方程，再根据参数的任意性得到一个关于定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所求点；（3）求证直线过定点()00,x y ，常利用直线的点斜式方程()00y y k x x -=-或截距式y kx b =+来证明.。

福建高二上学期期末考试数学试题(解析版)

福建高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1的下一项应该是（ ）AB ．C ．D【答案】C【分析】观察数列的项之间的变化规律，即可求得答案. 【详解】可得根号下的数依次增加4，=故选：C2．已知方程表示的曲线是椭圆,则实数的取值范围是22121x y m m +=-+m A ． B ． C ． D ．(1,2)-11(1,)(,2)22-⋃1(1,2-1(,2)2【答案】B【详解】因为方程表示的曲线是椭圆，所以，解得且22121x ym m +=-+201021m m m m ->⎧⎪+>⎨⎪-≠+⎩12m -<<12m ≠，即实数的取值范围是，故选B.m 111,,222⎛⎫⎛⎫-⋃ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3．若向量，，则（ ） (1,2,0)a = (2,0,1)b =-A ．B ．C ．D ．1cos ,2a b =- <>a b ⊥//a ba b =r r 【答案】D【分析】由向量数量积的坐标运算求得数量积，模，结合向量的共线定义判断． 【详解】==，与不垂直．1(2)20012a b ⋅=⨯-+⨯+⨯=- b a，2cos ,5a b a b a b⋅<>===-若，则，，但是，，因此与不共线． b ka =02k =0k =100≠⨯b a 故选：D ．4．若直线与直线平行，则m 的值为（ ） 1:340l mx y ++=2:2(1)40l x m y +++=A ．2 B ．C ．2或D ．或3-3-2-3-【答案】B【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m 的值，验证直线是否重合，即得答案. 【详解】由题意知直线与直线平行， 1:340l mx y ++=2:2(1)40l x m y +++=而直线的斜率为， 1:340l mx y ++=13m k =-则直线必有斜率，即，则， 2:2(1)40l x m y +++=1m ≠-221k m =-+故，解得或， 231m m -=-+2m =3-当时，直线与直线重合，不合题意； 2m =1:2340l x y ++=2:2340l x y ++=当时，直线与直线平行，符合题意， 3m =-14:03l x y --=2:20l x y -+=故， 3m =-故选：B5．设为直线上的动点，为圆的两条切线，为切点，P 3440x y -+=,PA PB 22:(2)1C x y -+=,A B则四边形面积的最小值为（ ） APBC AB ．CD ．【答案】A【解析】由切线的性质可得四边形面积为，又APBC 2||||PAB S PA CA ==A min ||PC 为圆心到直线的距离，即可求解. min ||PC C 3440x y -+=【详解】圆的圆心，半径为，22:(2)1C x y -+=(2,0)C 1为两条切线，为切点，，,PA PB ,A B ,PA AC PB BC ∴⊥⊥四边形面积为∴APBC 2||||PAB S PA CA ==A 故当最小时，四边形面积最小，||PC APBC 又最小值为圆心到直线的距离，||PC C 3440x y -+=d ，d =故四边形APBC 故选：A.【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，等价转化为点到直线距离是解题的关键，属于中档题.6．设正项等比数列的前n 项和为，若，则的最小值为（ ） {}n a n S ()75453S S a a -=+3794a a +A ．2B ．4C ．8D ．16【答案】B【分析】根据等比数列满足的条件求得公比，将化为，利用基本不等式即可求得3794a a +111123a a +答案.【详解】由题意知正项等比数列满足， {}n a ()75453S S a a -=+设的首项和公比分别为 ，{}n a 11(0),(0)a a q q >>则，即，563411()3()a q q a q q +=+2(1)3(1)q q q +=+则q 故，31719141243a a a a +=+≥=当且仅当，即时取等号， 111123a a =116a =故选：B7．已知抛物线的焦点为F ，准线为l ，点P 在C 上，直线PF 交y 轴于点Q ，若2:4C y x =，则点P 到准线l 的距离为（ ）3PF FQ =A ．3B ．4C ．5D ．6【答案】C【分析】求出焦点的坐标，过点作轴的垂线，垂足为，由可得，F P y N OF PN ∥||||1||||4OF FQ PN QP ==求出，结合抛物线的定义，即可得解．||PN 【详解】解：由抛物线，可知，准线的方程为， 2:4C y x =(1,0)F l =1x -过点作轴的垂线，垂足为， P y N 因为，所以， OF PN ∥||||1||||4OF FQ PN QP ==所以，||4||4PN FO ==所以点到准线的距离为． P l 415+=故选：C ．8．如图所示，平行六面体中，以顶点A 为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为1111ABCD A B C D -，求的值是（ ）60︒1AC BD ⋅A ．B ．1C D1-【答案】B【分析】选定基底，根据空间向量的加减运算表示出，再根据空间向量的数量积的运算，1,AC BD即可求得答案.【详解】由题意得， ，111BD BA AD DD AD AB AA =++=-+ AC AB AD =+则221111()()BD AC AD AB AA AB AD AD AB AA AB AA AD ⋅=-+⋅+=-+⋅+⋅ , 1111cos6011cos601=-+⨯⨯+⨯⨯= 故选：B二、多选题9．已知为直线l 的方向向量,分别为平面,的法向量（,不重合）,那么下列说法中正v12,n n αβαβ确的有（ ）．A ．B ．12n n αβ⇔∥∥12n n αβ⊥⇔⊥C ．D ．1v n l ⇔α∥∥1v n l ⊥⇔⊥α【答案】AB【分析】根据法线面垂直平行的性质及法向量、方向向量的概念即可选出选项.【详解】解:若,因为,不重合,所以,12n n∥αβαβ∥若,则共线,即,故选项A 正确; αβ∥12,n n 12n n∥若,则平面与平面所成角为直角,故, 12n n ⊥αβαβ⊥若,则有,故选项B 正确; αβ⊥12n n ⊥若,则,故选项C 错误;1v n∥l α⊥若,则或,故选项D 错误. 1v n ⊥l α∥l ⊂α故选:AB10．已知曲线，则下列结论正确的是（ ）222:1()2x y C m R m m +=∈+A ．若曲线C 是椭圆，则其长轴长为B ．若，则曲线C 表示双曲线0m <C ．曲线C 可能表示一个圆D ．若，则曲线C 1m =【答案】BD【分析】因为恒成立，所以，曲线C 不可能为圆，可判断选项C 错误，当220m m +->22m m +≠时为椭圆，且焦点在轴上，可判断选项A 错误，时为双曲线，所以选项B 正切，0m >x 0m <时，曲线方程确定，需要用弦长公式求解弦长的最小值1m =【详解】解：由题意，若曲线C 是椭圆，则，因为恒成立，所以椭圆0m >220m m +->的焦点在x 轴上，所以其长轴长为，故A 错误； 222:12x y C m m +=+若，根据双曲线的定义可知曲线C 表示双曲线，故B 正确；0m <因为对任意的m 恒成立，所以曲线C 不可能表示一个圆，故C 错误；220m m -+>若，则曲线C 为椭圆，方程为，焦点坐标为，1m =2213x y +=(若过焦点的直线斜率为0时，此时该直线截椭圆C 的弦长为若过焦点的直线斜率不为0时，不妨设该直线过椭圆C 的右焦点，方程为C x ny =的两个交点分别为，()()1122,,,A x y B x y由，可得，2213x y x ny ⎧+=⎪⎨⎪=⎩22(3)10n y ++-=则有2221212284(3)12(1)012n n n y y y y n ⎧=++=+>⎪⎪⎪+=⎨⎪⎪=-⎪+⎩A12||||AB y y -==22212)33n n n +===-≥++当时，上式不等式可取等号，即0n=min ||AB =综上，可知椭圆D 正确；22:13x C y +=故选：BD11．已知直线，圆C 的方程为，则下列选项正确的是:10l kx y k --+=22(2)(2)16x y -++=（ ）A ．直线l 与圆一定相交B ．当k =0时，直线l 与圆C 交于两点M ，N ，点E 是圆C 上的动点，则面积的最大值为MNE A C ．当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小值为D ．若圆C 与坐标轴分别交于A ，B ，C ，D 四个点，则四边形ABCD 的面积为48 【答案】AC【分析】由直线过定点在圆内判断A ，由圆上点到直线的距离的最大值，求得三角形面积最大值判断B ，当定点与圆心连线垂直于直线时，弦长最短，由勾股定理计算可得弦长，判断C ，求出圆l 与坐标轴的交点坐标，由面积公式计算面积判断D ．【详解】直线过定点，，在圆内，因此直线一定与:10l kx y k --+=(1,1)P 22(12)(12)16-++<P l 圆相交，A 正确；时，直线为，代入圆方程得，，因此0k =1y =2(2)916x -+=2x =±MN =圆心为，圆半径为，圆心到直线的距离为，因此到直线的距离的最大值为(2,2)C -4r =l 3d =E l，的面积最大值为B 错；437h =+=MNE A 172S =⨯⨯=当l 与圆有两个交点M ，N 时，|MN |的最小时，， PC l ⊥=因此，C 正确；minMN==在圆方程中分别令和可求得圆与坐标轴的交点坐标为22(2)(2)16x y -++=0x =0y =，(2((2(0,2(0,2A B C D -+-+--，，四边形面积为，D 错．AB =CD =ABCD 1242S '=⨯=故选：AC ．12．如图的形状出现在南宋数学家扬辉所著的《详解九章算法·商功》中后人称为“三角垛”，“三角垛”最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设第n 层有个球，从上往下n 层n a 球的总数为，则（ ）n SA ．B ．535a =535S =C ． D ．不存在正整数，使得为质数11n n a a n +-=+2m >m a 【答案】BCD【分析】根据每层的球的个数可得，利用累加法求得，即可求得的1n n a a n --=(1)2n n n a +=55,a S 值，判断A ，B ；根据，可判断C ；根据，结合数的奇偶性，可判断D. 1n n a a n --=(1)2n n n a +=【详解】依题意因为， 1213211,2,3,n n a a a a a a a n -=-=-=-=， 以上n 个式子累加可得︰, (1)123,(2)2n n n a n n +=++++=≥ 又满足上式，所以,故，故A 错误； 11a =(1)2n n n a +=556152a ⨯==因，123451,3,6,10,15a a a a a =====所以，故B 正确； 512345136101535S a a a a a =++++=++++=因为，所以，故C 正确；1n n a a n --=11n n a a n +-=+因为，故当且为整数时，，(1)2n n n a +=2m >(1)2m m m a +=此时必为偶数，则为整数，且为合数， (1)m m +(1)2m m +则不存在正整数，使得为质数，D 正确， 2m >m a 故选：BCD三、填空题13．过点且与直线平行的直线的方程为________________. ()11A ，2310x y +-=l 【答案】2350x y +-=【分析】根据两条直线平行的关系，可知所求直线的斜率，可得结果. 【详解】由直线与直线平行 l 2310x y +-=所以直线的斜率为：l 23-又直线过点，所以根据点斜式 l ()11A ，可得直线方程为： l ()2113y x æöç÷-=--ç÷ç÷èø即2350x y +-=故答案为：2350x y +-=【点睛】本题考查直线方程，对于平面中两条直线的位置关系，可想到斜率之间的联系，属基础题.14．已知O 为坐标原点，向量，点若点E 在直线AB 上，且()211，，a =-r ()()3,1,4,2,2,2A B ----，则点E 的坐标为__________． a OE ⊥u u u r r【答案】6142,,555⎛⎫-- ⎪⎝⎭【分析】利用点E 在直线AB 上，可得，然后利用，(3,1,42)OE t t t =-+---u u u r 0OE OE a a ⊥⇔⋅=u u u r u u u rr r 即可求解E 的坐标.【详解】由题意可得：， ()1,1,2AB =--∵点E 在直线AB 上，∴， OE OA AE OA t AB =+=+u u u r u u r u u u r u u r u u u r(3,1,4)(1,1,2)t =--+--(3,1,42)t t t =-+---又∵，则，a OE ⊥u u u r r()()()23111420OE a t t t ⋅=--++⨯--+⨯-=u u u r r∴， 95t =故点E 的坐标为.6142(,,)555--故答案为：6142(,,).555--15．已知数列{an }满足a 1=1，，则{an }的前20项和等于___________.11,2,n n n a n a a n ++⎧⎨+⎩为奇数＝为偶数【答案】300【分析】由数列的通项公式可求得，推出数列的通项公式可得数列的奇数项和{}n a 24,a a {}n a {}n a 偶数项分别为等差数列，求解即可.【详解】因为 111,1,2,n n na n a a a n ++⎧==⎨+⎩为奇数为偶数所以， 21324312,24,15a a a a a a =+==+==+=由题意可得， 21212223,3n n n n a a a a +-+=+=+其中，1211,12a a a ==+=可得，*231,n a n n =-∈N 则， 212223(1)1232,2n n a a n n n --=+=--+=-≥当时，也适合上式， 1n =11a =所以，*2132,n a n n -=-∈N 所以数列的奇数项和偶数项分别为等差数列， {}n a 则的前20项和为{}n a122013192420()()a a a a a a a a a ++⋯+=+++++++L L 109109103102330022⨯⨯=+⨯+⨯+⨯=故答案为：300.16．设、分别为双曲线的左、右顶点，、是双曲线上关于轴对A B 2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>P Q C x 称的不同两点，设直线、的斜率分别为、，若，则双曲线的离心率是AP BQ m n 1mn =-C e ________.【分析】设，有，结合已知得，进而求离心率即0000(,),(,)P x y Q x y -0000,y ym n x a x a==-+-22b a =e 可.【详解】设，而，则， 0000(,),(,)P x y Q x y -(,0),(,0)A a B a -0000,y ym n x a x a==-+-∵，又，则，而，20220y mn x a =--2200221x ya b -=22b mn a =-1mn =-∴，即. 22ba =e =.【点睛】关键点点睛：利用点在双曲线上且关于x 轴对称，结合已知条件得到，应用离心率22b a =公式求即可.e四、解答题17．已知等差数列中，为其前n 项和，． {}n a n S 272,28a S ==(1)求数列的通项公式； {}n a (2)求． 12233411111n n a a a a a a a a +++++ 【答案】(1). n a n =(2). 1n n +【分析】（1）根据题意列出方程组，求得首项和公差，即可求得数列的通项公式. {}n a （2）由（1）可得，利用裂项求和即可求得答案. 11111n n a a n n +=-+【详解】（1）由题意等差数列中，，设公差为d ，{}n a 272,28a S ==可得，解得，11272128a d a d +=⎧⎨+=⎩111a d =⎧⎨=⎩故.11n a n n =+-=（2）由（1）可得， 11111(1)1+==-++n n a a n n n n故 122334111111111112231n n a a a a a a a a n n +++++=-+-++-+ . 1111n n n =-=++18．已知以点为圆心的圆与直线相切．(1,1)C -:3440m x y ++=(1)求圆C 的方程；(2)过点的作圆C 的切线，求切线方程．(2,3)P -【答案】(1)；22(1)(1)1x y ++-=(2)和．3460x y +-=2x =-【分析】（1）由点到直线距离公式得圆半径后可得圆方程；（2）分类讨论，检验斜率不存在的直线是否为切线，斜率存在时设出切线方程，由圆心到切线的距离等于半径得结论．【详解】（1）由题意，圆半径不，r 所以圆方程为；22(1)(1)1x y ++-=（2）易知过点斜率不存在的直线是圆的切线，P 2x =-再设斜率存在的切线方程为，即，3(2)y k x -=+230kx y k -++=，解得，直线方程为，即． 34k =-363044x y ---+=3460x y +-=所以切线方程是和．3460x y +-=2x =-19．已知过点的抛物线方程为，过此抛物线的焦点的直线与抛物线交于，(1, 2)22(0)y px p =>A 两点，且.B ||5AB =（1）求抛物线的方程、焦点坐标、准线方程；（2）求所在的直线方程.AB 【答案】(1)抛物线的方程为，焦点，准线方程为；(2)或24y x =(1,0)F =1x -220x y --=.220x y +-=【分析】(1)根据给定条件求出p 值即可求解；(2)设出直线AB 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理并借助弦长公式求解即得.【详解】(1)因点在抛物线方程上，则，(1, 2)22y px =2p =所以抛物线的方程为，焦点，准线方程为：；24y x =(1,0)F =1x -(2)显然，直线不垂直y 轴，设直线方程为：，AB AB 1x my =+由消去x 得：，设，则有， 214x my y x=+⎧⎨=⎩2440y my --=1122(,),(,)A x y B x y 12124,4y y m y y +==-于是得，解得，即直线212|||4(1)5AB y y m =-==+=12m =±AB ：， 112x y =±+所以所在的直线方程：或.AB 220x y --=220x y +-=20．如图，四棱锥中，平面，E P ABCD -PA ⊥ABCD ,//,22,AB AD AD BC AD BC AB ⊥===为中点．CD(1)求证：平面；CD ⊥PAE(2)若的余弦值．PA =--A PB E 【答案】(1)证明见解析【分析】（1）证明，，可得平面.CD AE ⊥PA CD ⊥CD ⊥PAE （2）分别求平面和平面的法向量，利用法向量求二面角的余弦值.PAB PBE 【详解】（1）连接，如图所示： AC中，，Rt ABC △2AC ===，为等腰三角形，E 为中点，∴，AC AD =ACD A CD AE ⊥平面，平面，∴PA ⊥ABCD DC ⊂ABCD PA CD ⊥，平面，PA AE A = ,PA AE ⊂PAE 所以平面.CD ⊥PAE （2）以A 为原点，，，的方向分别为x 轴、y 轴、z 轴正方向建立如图所示的空间直角AB AD AP 坐标系，有，，，，，， ()0,0,0A )B (P 3,02E ⎫⎪⎪⎭(BP =23,PE = 平面的一个法向量，PAB ()0,1,0m = 设平面的一个法向量为 ，PBE (),,n x y z = 则，令，得,∴, 0302n BP n PE y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩ 1y =x z =n = 二面角的平面角为， --A PB E θcos m n m n θ⋅=== 所以二面角. --A PB E 21．已知数列的前n 项和为，满足．{}n a n S 22n n S a =-（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和．()21n n b n a =-{}n b n T 【答案】（1）；（2）2n n a =()12326n n T n +=-⨯+【解析】（1）利用，，可得为等比数列，利用等比数列的通项公式即1(2)n n n a S S n -=-≥11a S ={}n a 可求得通项公式；n a （2）利用错位相减法求和即可求．n T【详解】（1）当时，，解得，1n =11122a S a ==-12a =当时，由可得1n >22n n S a =-，1122n n S a --=-1n >两式相减可得，即， 122n n n a a a -=-12n n a a -=所以是以为首项，以为公比的等比数列，{}n a 22所以1222n n n a -=⋅=（2）由（1），(21)2n n b n =-⋅，23123252(21)2n n T n =⨯+⨯+⨯++-⋅ 则，23412123252(23)2(21)2n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯L 两式相减得2312222222(21)2n n n T n +-=+⨯+⨯++⨯--⨯ ， ()112118(12)2(21)226(21)2232612n n n n n n n n -++++-=+--⨯=---⨯=--⋅--所以．()12326n n T n +=-⨯+【点睛】方法点睛：由数列前项和求通项公式时，一般根据求解，考查学生的计算能力. n 11,2,1n n n S S n a S n --≥⎧=⎨=⎩22．设a ，b 是实数，若椭圆过点，且离心率为. ()2222:10x y E a b a b+=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭12(1)求椭圆E 的标准方程；(2)过椭圆E 的上顶点P 分别作斜率为，的两条直线与椭圆交于C ，D 两点，且，试1k 2k 1212k k +=探究过C ，D 两点的直线是否过定点？若过定点，求出定点坐标；否则，说明理由. 【答案】(1)； 22143x y +=(2)过定点，坐标为.(-【分析】（1）根据椭圆的离心率公式，结合代入法进行求解即可；（2）根据直线斜率公式和一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.【详解】（1）因为椭圆的离心率为， 12所以有. 2222222144()43(1)2c a c a a b b a a =⇒=⇒=-⇒=椭圆过点，所以，由可解： ()2222:10x y E a b a b +=>>31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭229141(2)a b+=(1)(2)，所以该椭圆方程为：； 224,3a b ==22143x y +=（2）由（1）可知：， P 设直线的方程为：，若，由椭圆的对称性可知：，不符合题意， CD y kx m =+0k =120k k +=当时，0k ≠直线的方程与椭圆方程联立得：， CD 222221(34)8412043x y k x kmx m y kx m ⎧+=⎪⇒+++-=⎨⎪=+⎩设， ，11(,)C x y 22(,)D x y ， 21212228412,3434mk m x x x x k k--+==++因为，所以1212k k+=12212112111((,222kx x mx kx x m x x x =⇒=⇒+++=，把代入得： 21121()(2),2m x x k x x +=-21212228412,3434mk mx x x x kk--+==++222222814121((2)8((212)()342342mk m m kmk m k m mk k --⋅=-⋅⇒=--⇒-=++，所以有，m -=m -=-解得：，m =m =当时，直线，直线恒过定点，my kx =此时与点重合， 不符合题意，P当， m =(y kx k x =+=-(-当直线不存在斜率时，此时， ，因为，所以CD 11(,)Cx y 11(,)D x y -1212k k +=，两点不在椭圆上，不符合题意， 111222x =⇒=⇒=-<-综上所述：过C ，D 两点的直线过定点，定点坐标为. (-【点睛】关键点睛：根据一元二次方程根与系数关系是解题的关键.。

2024北京东城区高二上学期期末数学试题及答案

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东城区2023-2024学年度第一学期期末教学统一检测 高二数学参考答案及评分标准 2024.1一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）（1）A （2）C （3）B （4）C （5）A（6）D （7）B （8）B （9）A （10）C二、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）（11）1−，20x y −+= （12）5（13）(1,2)−，1 （14）0.8 （15）① ② ③ 三、解答题（共5小题，共50分）（16）（本小题10分）解：（Ⅰ）因为111ABC A B C −是直三棱柱，所以1CC ⊥底面ABC ．因为AC ⊂底面ABC ，BC ⊂底面ABC ，所以1CC AC ⊥，1CC BC ⊥．因为AC BC ⊥，如图建立空间直角坐标系C xyz −. 设2AC =，则(2,0,0)A ，(0,2,0)B ，(0,0,0)C ， 1(2,0,2)A ，1(0,0,2)C .因为D ，E 分别为1CC ，1BA 的中点，所以(0,0,1)D ，(1,1,1)E .所以(1,1,0)DE =，1(0,0,2)CC =．因为1CC ⊥底面ABC ，所以1CC 是平面ABC 的一个法向量．因为11010020DE CC ⋅=⨯+⨯+⨯=，所以1DE CC ⊥．因为DE ⊄平面ABC ，所以//DE 平面ABC ． ………………6分（Ⅱ）因为1(2,2,2)BA =−，(0,2,1)BD =−，设平面1A BD 的法向量为(,,)x y z =n ，所以10,0.BA BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩n n 即2220,20.x y z y z −+=⎧⎨−+=⎩ 令1y =，则2z =，1x =−．于是(1,1,2)=−n ． 设平面1A BD 与平面ABC 的夹角为θ，1x所以111||cos|cos,||||||CCCCCCθ⋅=<>===⋅nnn所以平面1A BD与平面ABC………………10分（17）（共10分）解：（Ⅰ）因为该地区观看了亚运会开幕式的学生的频率为0.50.20.10.8++=，所以该地区观看了亚运会开幕式的学生人数估计为100000.88000⨯=.………………………4分（Ⅱ）设事件A：从该地区所有学生中随机抽取1人，该学生观看了亚运会开幕式.由频率估计概率，得()0.8P A=.设事件B：从该地区所有学生中随机抽取2人，这2名学生都观看了亚运会开幕式. 由于这两名学生观看亚运会开幕式相互独立，则2()0.80.64P B==. …7分（Ⅲ）设事件C：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取1人，该学生使用电脑观看了开幕式，则0.21()10.24P C==−.设事件D：从该地区所有观看了亚运会开幕式的学生中随机抽取2人，至少1人用电脑观看了开幕式，则()P D=2171(1)416−−=. ……………10分（18）（共10分）解：(Ⅰ) 因为{}n b为等比数列，11b=，48b=，设{}n b的公比为q，则3418b b q==.解得2q=.所以22b=.因为222a b+=，所以2a=.因为{}n a为等差数列，11a=，所以31a=−. ………………………4分（Ⅱ）选择条件②：因为{}n a为等差数列，{}n b为等比数列，111a b==，222a b+=，333a b+=，设{}n a的公差为d，{}n b的公比为q，则112112,2 3.a d a q a d a q ++=⎧⎪⎨++=⎪⎩即21,2 2.d q d q +=⎧⎨+=⎩ 解得2q =或0q =（舍）.所以1112n n n b b q −−==，1211n n n b b q T q−==−−. ……………………………10分（19）（共10分） 解：（Ⅰ）由题意得1b =，则椭圆C 的方程为222 1 x y a +=，代入1)2N −，可得a =故椭圆C 的方程为22 1 2x y +=. ………………4分 （Ⅱ）设直线l 的方程为2y kx =+，(,)Q Q Q x y . 由22,212x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得22(21)860k x kx +++=. 由0∆>，得232k >. 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则11(,)D x y −.122821k x x k +=−+，122621x x k =+. 直线BD 的方程为212221()y y y y x x x x +−=−−， 令0y =，得()()()()1221122112121212122222()22()4Q x kx x kx x y x y kx x x x x y y kx kx k x x ++++++===++++++. 所以2222121621218421Q k k k k x k k k −++==−−++. 因为12||||22OPQ Q S x k ∆=⨯⋅=−=, 所以2k =±.经检验满足0∆>. 所以直线l 的斜率为2. …………………10分（20）（共10分）解：（Ⅰ）①4:3,1,7,5A ，任意两项和的结果有4,6,8,10,12共5个，而45a =，所以具有性质P ．②5:2,4,8,16,32A ，任意两项和的结果有6,10,12,18,20,24,34,36,40,48共10个，而532a =，所以不具有性质P ． ……………………2分（Ⅱ）对于数列6:2,4,8,16,32,A m ，任意两项和不同的取值最多有15个，所以15m ≤．而5:2,4,8,16,32A 中任意两项和的结果有10个，且全是偶数．（1）当m 为奇数时，(15)i a m i +≤≤都是奇数，与前5项中任意两项和的值均不相同，则6:2,4,8,16,32,A m 中所有(16)i j a a i j +<≤≤的值共有15个，所以15m =．（2）当m 为偶数时，(15)i a m i +≤≤都是偶数，所以1015m ≤<．所以{10,12,14}m ∈.10m =时，103242+=在前5项中任两项和的结果中未出现， 所以6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值的个数大于10，即10m >，矛盾．12m =时，123244+=，121628+=，12214+=这三个结果在前5项中任意两项和的结果中未出现，所以6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值的个数大于12，即12m >，矛盾．14m =时，6:2,4,8,16,32,A m 中任意两项和的不同值有6,10,12,16,18,20,22,24,30,34,36,40,46,48共14个，成立． 综上， 14m =或15m =． ……………………6分 （Ⅲ）2024a 存在最小值，且最小值为4045．将2024A 的项从小到大排列构成新数列2024122024:,,,B b b b ， 所以2024121312202202420243b b b b b b b b b b +<+<⋯<+<+<⋯<+. 所以(12024)i j b b i j +<≤≤的值至少有202320224045+=个.即(12024)i j a a i j +<≤≤的值至少有4045个，即20244045a ≥． 数列2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 符合条件． 2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 可重排成等差数列2024:1,3,5,,4045,4047B ， 考虑(12024)i j b b i j +<≤≤，根据等差数列的性质，5当2024i j +≤时，11i j i j b b b b +−+=+；当2024i j +>时，i j i j n n b b b b +−+=+， 因此每个(12024)i j b b i j +<等于1(22024)k b b k +≤≤中的一个，或者等于 2024(12023)l b b l +≤≤中的一个．所以2024:1,3,5,,4045,4047B 中(12024)i j b b i j +<≤≤共有4045个不同值． 即2024:1,3,5,,4043,4047,4045A 中(12024)i j a a i j +<≤≤共有4045个不同值．综上，2024a 的最小值是4045， 一个满足条件的数列2024:1,3,5,,4043,4047,4045A ．…………………………10分。

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

河北省石家庄市2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（答案在最后）（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为，则该圆的一般方程为()A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---= D.224440x y x y ++++=4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12B.24C.30D.325.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.146.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.27.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020B.2021C.2022D.20238.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.265C.7010D.3010二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF +=B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为63D.1PF PA +最小值为-11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为1312.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12nk += B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.15.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．石家庄市2023~2024学年度第一学期期末教学质量检测高二数学（时间120分钟，满分150）注意事项：本试卷分为第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，答第I 卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目写在答题卡上.第I 卷（选择题，共60分）一、单项选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.直线10+-=的倾斜角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°【答案】C 【解析】【分析】化成斜截式方程得斜率为k =.【详解】将直线一般式方程化为斜截式方程得：y =+，所以直线的斜率为k =，所以根据直线倾斜角与斜率的关系得直线的倾斜角为120︒.故选：C2.空间直角坐标系O xyz -中，平行四边形ABCD 的,,A B C 三点坐标分别为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，则D 的坐标为（）A.()0,1,3-- B.()2,5,3- C.()4,1,3- D.()3,2,0-【答案】B 【解析】【分析】利用在平行四边形ABCD 中有AB DC =，计算即可.【详解】结合题意：设D 的坐标为(),,x y z ，因为()1,2,3A ，()2,1,0B -，()1,2,0C -，所以()1,3,3AB =--,()1,2,DC x y z =---- ，因为在平行四边形ABCD 中有AB DC =，所以11323x y z =--⎧⎪-=-⎨⎪-=-⎩，解得253x y z =-⎧⎪=⎨⎪=⎩，所以D 的坐标为()2,5,3-.故选：B.3.若圆心坐标为(2,2)的圆被直线0x y +=截得的弦长为)A.224480x y x y +---=B.224480x y x y +++-=C.2244160x y x y +---=D.224440x y x y ++++=【答案】A 【解析】【分析】根据题意，设圆的半径为r ，求出圆心到直线0x y +=的距离，由直线与圆的位置关系可得r 的值，即可得圆的标准方程，变形可得答案.【详解】根据题意，设圆的半径为r ，圆心坐标为()2,2，到直线0x y +=的距离d ==，该圆被直线0x y +=截得的弦长为22216r =+=，则圆的方程为22221)6()(x y -+-=，变形可得224480x y x y +---=，故选：A.4.设{}n a 是等比数列，且1231a a a ++=，234+2a a a +=，则678a a a ++=（）A.12 B.24 C.30D.32【答案】D 【解析】【分析】根据已知条件求得q 的值，再由()5678123a a a qa a a ++=++可求得结果.【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，则()2123111a a a a q q++=++=，()232234111112a a a a q a q a q a q q q q ++=++=++==，因此，()5675256781111132a a a a q a q a q a q q q q++=++=++==.故选：D.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的计算，属于基础题．5.将一颗骰子先后抛掷2次，观察向上的点数，将第一次向上的点数记为m ，第二次向上的点数记为n ，则2n m n <≤的概率等于（）A.56B.16C.34D.14【答案】D 【解析】【分析】根据题意，利用列举法求得所求事件中所包含的基本事件的个数，结合古典概型的概率计算公式，即可求解.【详解】由题意，将一颗骰子先后抛掷2次，第一次所得点数m ,第二次所得点数n ,记为(),m n .1,2,3,4,5,6m =，1,2,3,4,5,6n =，共有6636⨯=种结果，其中满足2n m n <≤的有：(2,1),(3,2),(4,2),(4,3),(5,3),(5,4)(6,3),(6,4),(6,5)，，共有9种结果，由古典概型的概率计算公式，可得满足2n m n <≤的概率为91364P ==.故选：D.6.若抛物线22(0)y px p =>上的点(0A x 到其焦点的距离是A 到y 轴距离的3倍，则p 等于A.12B.1C.32D.2【答案】D 【解析】【分析】根据抛物线的定义及题意可知3x 0=x 0+2p,得出x 0求得p ，即可得答案．【详解】由题意，3x 0=x 0+2p ，∴x 0=4p ∴222p =∵p ＞0，∴p=2.故选D ．【点睛】本题主要考查了抛物线的定义和性质．考查了考生对抛物线定义的掌握和灵活应用，属于基础题．7.斐波那契数列因意大利数学家斐波那契以兔子繁殖为例引入，故又称为“兔子数列”，即1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，….在实际生活中，很多花朵（如梅花、飞燕草、万寿菊等）的瓣数恰是斐波那契数列中的数，斐波那契数列在现代物理及化学等领域也有着广泛的应用.斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则35720211a a a a ++++⋅⋅⋅+是斐波那契数列{}n a 中的第（）项A.2020 B.2021C.2022D.2023【答案】C 【解析】【分析】根据题意，结合121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，利用累加法，即可求解.【详解】由斐波那契数列{}n a 满足：121a a ==，()*21N n n n a a a n ++=+∈，则2231375720520211a a a a a a a a a =+++++++++⋅⋅⋅+ 45720216792021a a a a a a a a =++++=++++ 8920212022a a a a =+++== .故选：C.8.在三棱锥A BCD -中，3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，E 是BC 的中点，F 满足14AF AD =，则异面直线AE ，CF 所成角的余弦值为（）A.15B.5C.10D.10【答案】D 【解析】【分析】根据三棱锥A BCD -的对棱相等可以补成长方体AGBI HCJD -，计算长方体的长宽高，建立空间直角坐标系，利用空间向量的坐标运算即可求得异面直线AE ，CF 所成角的余弦值.【详解】解：三棱锥A BCD -中，由于3AB AC BD CD ====，4AD BC ==，则三棱锥A BCD -可以补在长方体AGBI HCJD -，则设长方体的长宽高分别为,,AG a AI b AH c ===，则2222222229,9,16a c AC a b AB b c AD +==+==+==，解得1,a b c ===，如图以C 为原点，,,CH CJ CG 分别为,,x y z轴建立空间直角坐标系，则((()()(1,0,,0,,0,0,0,1,,0,A B C D E ，所以(110,0,,4422AF AD ⎛⎫==-=- ⎪ ⎪⎝⎭，则(AE =-，(1,0,0,,1,,2222CF CA AF ⎛⎫⎛⎫=+=+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以cos ,10AE CF AE CF AE CF⋅===-⋅，则异面直线AE ，CF所成角的余弦值为10.故选：D .二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.）9.袋子中有六个大小质地相同的小球，编号分别为1，2，3，4，5，6，从中随机摸出两个球，设事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，则下列说法全部正确的是（）A.事件A 与B 是互斥事件B.事件A 与C 是互斥事件C.事件B 与C 是对立事件D.事件A 与B 相互独立【答案】BC 【解析】【分析】由题意可知摸出的两球的编号可能都是奇数或都是偶数或恰好一个奇数一个偶数，共三种情况，由此可判断,,A B C 之间的互斥或对立的关系，再由古典概型求出(),(),()P AB P A P B 判断是否相互独立可得答案.【详解】由题意知，事件A 为摸出的小球编号都为奇数，事件B 为摸出的小球编号之和为偶数，即摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故事件A ，B 不互斥，故A 错误；事件C 为摸出的小球编号恰好只有一个奇数，即摸出的两球编号为一个奇数和一个偶数，其反面为摸出的小球编号都为奇数或都为偶数，故B ，C 是对立事件，故C 正确；事件A ，C 不会同时发生，故A ，C 是互斥事件，故B 正确；每次摸出两个小球，所有基本事件为：()()()()()()()()1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,()()()()2,6,3,4,3,5,3,6,()()()4,5,4,6,5,6，共有15个，所以由古典概型可得31()155P A ==，62()155P B ==，31()155P AB ==,所以()()()P AB P A P B ≠，故事件A 与B 不相互独立，故D 错误.故选：BC.10.已知椭圆C ：22162x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，P 是椭圆C 上的动点，点()1,1A ，则下列结论正确的是（）A.12PF PF += B.12PF F △面积的最大值是C.椭圆C 的离心率为3D.1PF PA +最小值为-【答案】ACD 【解析】【分析】A 选项，根据椭圆定义求出答案；B 选项，数形结合得到当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，求出最大值；C 选项，由ce a=直接求解即可；D 选项，作出辅助线，结合椭圆定义得到()12PF PA PA PF +=+-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时,2PA PF -取得最小值，得到答案.【详解】A 选项，由题意得2a b c ====，由椭圆定义可得122PF PF a +==A 正确；B 选项，当P 在上顶点或下顶点时，12PF F △面积最大，最大值为1212F F b bc ⋅==B 错误；C 选项，离心率3c e a ===，C 正确；D 选项，因为2211162+<，所以点()1,1A 在椭圆内，连接2PF ，由椭圆定义可知12PF PF +=，故12PF PF =，故()122PF PA PF PA PA PF +=-+=-，当2,,P A F 三点共线且A 在2PF 之间时，2PA PF -取得最小值，最小值为2AF -==，所以1PF PA +最小值为D 正确.故选：ACD11.已知向量()1,2,2a = ，(2,1,1)b =-，则下列说法不正确的是（）A.向量(2,4,4)--与向量,a b共面B.向量b 在向量a上的投影向量为244,,999⎛⎫⎪⎝⎭C.若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，则αβ⊥D.若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，则直线l 与平面α所成角的余弦值为13【答案】ACD 【解析】【分析】根据空间向量的基本定理，可判定A 错误；根据投影向量的求法，可判定B 正确；根据20a b ⋅=≠，可判定C 错误；根据线面角的空间的向量求法，可判定D 错误.【详解】对于A 中，设()(2,4,4)1,2,2(2,1,1)x y --=+-，可得222424x y x y x y -=-⎧⎪+=-⎨⎪+=⎩，此时，方程组无解，所以向量(2,4,4)--与向量,a b不共面，所以A 错误；对于B 中，由向量()1,2,2,(2,1,1)a b ==-，可得向量b 在向量a 上的投影向量为21244(1,2,2),,33999a ba aa ⋅⎛⎫⋅=⨯⋅= ⎪⎝⎭，所以B 正确；对于C 中，若两个不同的平面,αβ的法向量分别是,a b，因为20a b ⋅=≠ ，所以a 与b不垂直，所以平面α与平面β不垂直，所以C 错误；对于D 中，若平面α的法向量是a ，直线l 的方向向量是b，设直线l 与平面α所成角为θ，其中π02θ≤≤，则·sin cos ,a b a b a b θ===，所以cos 9θ==，所以D 错误.故选：ACD.12.在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第()*n n ∈N次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2；…记1212n k a x x x =+++++ ，数列{}n a 的前n 项为n S ，则（）A.12n k +=B.133n n a a +=- C.()2332n a n n =+ D.()133234n n S n +=+-【答案】ABD 【解析】【分析】根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，再进行推理运算即可.【详解】由题意可知，第1次得到数列1,3,2，此时1k =第2次得到数列1,4,3,5,2，此时3k =第3次得到数列1,5,4,7,3,8,5,7,2，此时7k =第4次得到数列1,6,5,9,4,11,7,10,3,11,8,13,5,12,7,9,2，此时15k =第n 次得到数列1，123,,,,k x x x x ，2此时21n k =-所以12n k +=，故A 项正确；结合A 项中列出的数列可得：123433339339273392781a a a a =+⎧⎪=++⎪⎨=+++⎪⎪=++++⎩123333(*)n n a n N ⇒=++++∈ 用等比数列求和可得()33132n na -=+则()121331333322n n n a +++--=+=+23322n +=+又()3313333392n n a ⎡⎤-⎢⎥-=+-=⎢⎥⎣⎦22393332222n n +++--=+所以133n n a a +=-，故B 项正确；由B 项分析可知()()331333122n nn a -=+=+即()2332n a n n ≠+，故C 项错误.123n nS a a a a =++++ 23133332222n n+⎛⎫=++++ ⎪⎝⎭ ()231331322nn --=+2339424n n +=+-()133234n n +=+-，故D 项正确.故选：ABD.【点睛】本题需要根据数列的构造方法先写出前面几次数列的结果，寻找规律，对于复杂问题，著名数学家华罗庚指出:善于“退”，足够的“退”，退到最原始而不失重要的地方,是学好数学的一个诀窍.所以对于复杂问题我们应该先足够的退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻深了,然后再上去，这就是以退为进的思想.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.如图所示，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a =，AD b =，1AA c = ，点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点，且115CN CA = ，若MN xa yb zc =++，则x y z ++=___________.【答案】310##0.3【解析】【分析】利用空间向量的加减及数乘运算，以{},,a b c为基底，用基向量表示MN ，再空间向量基本定理待定系数即可.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中,因为点M 是11A D 的中点，点N 是1CA 上的点,所以111114152MN A N A M A C A D =-=- ()()11111141415252AC AA A D AB AD AA A D =--=+--()14152AB AD AA AD =+--14345105AB AD AA =+-4345105a b c =+- .又MN xa yb zc =++ ，由空间向量基本定理得，434,,5105x y z ===-，则310x y z ++=.故答案为：310.14.天气预报预测在今后的三天中，每天下雨的概率都为60%.现采用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率，用1，2，3，4，5，6表示下雨，7，8，9，0表示不下雨.用计算机产生了10组随机数为180，792，454，417，165，809，798，386，196，206.据此估计这三天中恰有两天下雨的概率近似为____________.【答案】25##0.4【解析】【分析】分析数据得到三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，得到答案.【详解】10组随机数中，表示三天中恰有两天下雨的有417，386，196，206，故这三天中恰有两天下雨的概率近似为42105=.故答案为：2515.等差数列{}{},n n a b的前项和分别为n S 和n T ，若2132n n S n T n +=+，则31119715a a ab b ++=+_____.【答案】129130【解析】【分析】利用等差数列前n 项和公式，将题目所求的式子中的,n n a b 有关的式子，转化为,n n S T 有关的式子来求解.【详解】原式11111212111111212132333322111292222223212130a a a a Sb b b b T +⨯+==⋅=⋅=⋅=⋅=+⨯+.【点睛】本小题主要考查了等差数列通项公式的性质，考查了等差数列前n 项和公式，考查了通项公式和前n 项和公式的转化.对于等比数列{}n a 来说，若m n p q +=+，则有m n p q a a a a +=+，而前n 项和公式()12n n a a n S +⋅=，可以进行通项和前n 项和的相互转化.属于基础题.16.已知过点()1,1P 的直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b-=≥>交于A 、B 两点，若点P 是线段AB 的中点，则双曲线C 的离心率取值范围是____________.【答案】(【解析】【分析】利用点差法得到22l b k a=，根据题意和渐近线方程得到l b k a <，故01b a <<，从而求出离心率的取值范围.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2222221122222222b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得()()()()2212121212b x x x x a y y y y +-=+-，若12x x =，则AB 的中点在x 轴上，不合要求，若12x x =-，则AB 的中点在y 轴上，不合要求，所以2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=-+，因为()1,1P 为AB 的中点，所以1212212y y x x +==+，故22l b k a=，因为()222211,0x y a b a b-=≥>的渐近线方程为b y x a =±，要想直线l 与双曲线C ：()222211,0x y a b a b -=≥>交于A 、B 两点，则l b k a <，即22b ba a <，解得01b a <<，所以离心率(c e a ==.故答案为：(【点睛】直线与圆锥曲线相交涉及中点弦问题，常用点差法，该法计算量小，模式化强，易于掌握，若相交弦涉及AM MB λ=的定比分点问题时，也可以用点差法的升级版—定比点差法，解法快捷.四、解答题（本大题共6道小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17.已知直线l 经过点()3,4P .（1）若向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，求直线l 的方程；（2）若直线l 在两坐标轴上的截距相等，求直线l 的方程.【答案】（1）2100x y +-=；（2）70x y +-=或430x y -=.【解析】【分析】（1）根据给定的方向向量，求出直线的斜率，利用直线的点斜式方程求解即得.（2）由已知，按截距是否为0，结合直线的截距式方程分类求解即得.【小问1详解】由向量()1,2a =-是直线l 的一个方向向量，得直线l 的斜率2k =-，又l 经过点()3,4P ，则l 方程为：()423y x -=--，即：2100x y +-=，所以直线l 的方程为2100x y +-=.【小问2详解】依题意，当直线l 过原点时，而直线l 又过点()3,4P ，则直线l 的方程为43y x =，即430x y -=；当直线l 不过原点时，设直线l 的方程为x y a +=，则有34a +=，解得7a =，即直线l 的方程为70x y +-=，所以直线l 的方程为70x y +-=或430x y -=.18.已知圆C ：()22222320x x y y λλλ+-+++-=.（1）当2λ=时，求直线y x =被圆C 截得的弦长；（2）若直线y x =与圆C 没有公共点，求λ的取值范围.【答案】（1）（2）11,22⎛+⎝⎭【解析】【分析】（1）求出圆心和半径，得到圆心到直线的距离，利用垂径定理求出弦长；（2）求出圆心和半径，根据圆心()2,λλ--到y x =的距离大于半径得到不等式，求出答案.【小问1详解】当2λ=时，圆C ：22410x y y ++-=，圆心()0,2C -，半径r =，所以圆心到直线的距离d ==设直线与圆交于A 、B 两点，则弦长AB ==故直线y x =被圆C截得的弦长为【小问2详解】圆C 方程为()()2222221x y λλλλ+-++=⎡-⎤⎣+⎦，22012221122λλλ⎛⎫-+=- ⎪+⎭>⎝恒成立，因为直线y x =与圆C 没有公共点，圆心()2,λλ--到y x =>所以22221λλ>-+，即22210λλ--<，解得：1122λ-<<，故λ的取值范围是11,22⎛+ ⎝⎭.19.已知{a n }是各项均为正数的等比数列,且121236,a a a a a +==.(I)求数列{a n }通项公式；(II){b n }为各项非零的等差数列,其前n 项和S n ,已知211n n n S b b ++=,求数列n n b a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n T .【答案】（Ⅰ）2n n a =.（Ⅱ）2552n nn T +=-.【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）列出关于1,a q 的方程组,解方程组求基本量；（Ⅱ）用错位相减法求和.试题解析：（Ⅰ）设{}n a 的公比为q ，由题意知：22111(1)6,a q a q a q +==.又0n a >，解得：12,2a q ==，所以2n n a =.（Ⅱ）由题意知：121211(21)()(21)2n n n n b b S n b +++++==+，又2111,0,n n n n S b b b +++=≠所以21n b n =+,令nn nb c a =,则212n nn c +=，因此12231357212122222n n n n n n T c c c --+=+++=+++++ ,又234113572121222222n n n n n T +-+=+++++ ,两式相减得2111311121222222n n n n T -++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 所以2552n nn T +=-.【考点】等比数列的通项,错位相减法求和.【名师点睛】(1)等比数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公比q ,然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．等比数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1,a n ,q ,n ,S n ,知其中三个就能求另外两个,体现了方程的思想．(2)用错位相减法求和时,应注意：在写出“S n ”与“qS n ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确写出“S n －qS n ”的表达式，若等比数列的公比为参数,应分公比等于1和不等于1两种情况求解．20.如图，在四棱锥P ABCD -中，PB ⊥平面,2,33ABCD PB AC AD PA BC =====.（1）证明：平面PAC ⊥平面PBC .（2）若AD AB ⊥，求平面PBC 与平面PAD 夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）4515【解析】【分析】（1）先证明线面垂直，再应用面面垂直判定定理证明即可；（2）应用空间向量法求出二面角余弦.【小问1详解】因为PB ⊥平面ABCD ，所以PB AB ⊥.在Rt PAB中可求得AB ==在ABC 中，因为1,2BC AC ==，所以2225AC BC AB +==，所以ACBC ⊥.又PB ⊥平面ABCD ，所以AC PB ⊥.因为PB BC B ⋂=，PB BC ⊂，平面PBC ，所以AC ⊥平面PBC .又AC ⊂平面PAC ，所以平面PAC ⊥平面PBC .【小问2详解】因为,AB AD PB ⊥⊥平面ABCD ，所以分别以,,AD BA BP的方向为,,x y z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，则()()()()0,2,,2,0,0,2,0,0,0,55P C D AD AP ⎛⎫-==- ⎪ ⎪⎝⎭.由（1）知AC ⊥平面PBC ，所以,,055AC ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭ 为平面PBC 的一个法向量.设平面PAD 的法向量为(),,n x y z =r，可得2020x z =⎧⎪⎨+=⎪⎩，令2y =，得(n =.设平面PBC 与平面PAD 的夹角为θ，则cos cos ,15n AC n AC n ACθ⋅===.21.甲，乙两人进行围棋比赛，采取积分制，规则如下：每胜1局得1分，负1局或平局都不得分，积分先达到2分者获胜；若第四局结束，没有人积分达到2分，则积分多的一方获胜；若第四周结束，没有人积分达到2分，且积分相等，则比赛最终打平．假设在每局比赛中，甲胜的概率为12，负的概率为13，且每局比赛之间的胜负相互独立．（1）求第三局结束时乙获胜的概率；（2）求甲获胜的概率．【答案】（1）427（2）265432【解析】【分析】（1）对乙来说共有两种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）,根据独立事件的乘法公式即可求解.（2）以比赛结束时的场数进行分类，在每一类中根据相互独立事件的乘法公式即可求解.【小问1详解】设事件A 为“第三局结束乙获胜”由题意知，乙每局获胜的概率为13，不获胜的概率为23．若第三局结束乙获胜，则乙第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．故()121211433333327P A =⨯⨯+⨯⨯=【小问2详解】设事件B 为“甲获胜”．若第二局结束甲获胜，则甲两局连胜，此时的概率1111224P =⨯=．若第三局结束甲获胜，则甲第三局必定获胜，总共有2种情况：（胜，不胜，胜），（不胜，胜，胜）．此时的概率211111112222224P =⨯⨯+⨯⨯=．若第四局结束甲得两分获胜，则甲第四局必定获胜，前三局为1胜2平或1胜1平1负，总共有9种情况：（胜，平，平，胜），（平，胜，平，胜），（平，平，胜，胜），（胜，平，负，胜），（胜，负，平，胜），（平，胜，负，胜），（负，胜，平，胜），（平，负，胜，胜），（负，平，胜，胜）．此时的概率311111111562662263248P =⨯⨯⨯⨯3+⨯⨯⨯⨯=若第四局结束甲以积分获胜，则乙的积分为0分，总共有4种情况：（胜，平，平，平），（平，胜，平，平），（平，平，胜，平），（平，平，平，胜）．此时的概率41111142666108P =⨯⨯⨯⨯=故()3124265432P B P P P P =+++=22.已知(2,0)A -是椭圆2222:1(0)x yC a b a b+=>>的左顶点，过点(1,0)D 的直线l 与椭圆C 交于P Q ，两点（异于点A ），当直线l 的斜率不存在时，3PQ =．（1）求椭圆C 的方程；（2）求APQ △面积的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦.【解析】【分析】（1）根据给定条件，确定椭圆C 过点3(1,)2，再代入求解作答.（2）设出直线l 的方程，与椭圆C 的方程联立，结合韦达定理求出APQ △面积的函数关系，再利用对勾函数的性质求解作答.【小问1详解】依题意，2a =，当直线l 的斜率不存在时，由3PQ =，得直线l 过点3(1,)2，于是219144b+=，解得23b =，所以椭圆C 的方程为22143x y +=．【小问2详解】依题意，直线l 不垂直于y 轴，设直线l 的方程为()()11221,,,,x ty P x y Q x y =+，由221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去x 整理得()2234690t y ty ++-=，则12122269,3434t y y y y t t --+==++，APQ △的面积121||||2S AD y y =-=218134t ==++，令1u =≥，对勾函数13y u u=+在[1,)+∞上单调递增，则134u u+≥，即4≥，从而189012<≤+，当且仅当0t =时取等号，故APQ △面积的取值范围为90,2⎛⎤ ⎥⎝⎦．【点睛】思路点睛：圆锥曲线中的几何图形面积范围或最值问题，可以以直线的斜率、横(纵)截距、图形上动点的横(纵)坐标为变量，建立函数关系求解作答.。

天津市部分区2023-2024学年高二上学期期末考试 数学(含答案)

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天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学（答案在最后）第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.45.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1ACE 的距离为（）A.3B.6C.4D.148.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.22D.329.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.11.直线10x -=的倾斜角为_______________.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.14.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，求直线l 的方程.18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.19.在数列{}n a 中，11a =，()*122nn n a a n +-=∈N .（1）求2a ，3a ；（2）记()*2n n n a b n =∈N .（i ）证明数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式；（ii ）对任意的正整数n ，设,,,.n n n a n c b n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c 的前2n 项和2n T .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.天津市部分区2023～2024学年度第一学期期末练习高二数学第Ⅰ卷（共36分）一、选择题：本大题共9小题，每小题4分，共36分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =-，则2a b -= （）A.()3,4,5--B.()5,0,5-C.()3,1,2- D.()1,3,4--【答案】A 【解析】【分析】直接由空间向量的坐标线性运算即可得解.【详解】由题意空间向量()1,2,3a =-，()2,1,1b =- ，则()()()()()21,2,322,1,11,2,34,2,23,4,5a b -=---=---=--.故选：A.2.已知直线1l ：330x ay +-=与直线2l ：()210a x y +++=平行，则实数a 的值为（）A.1B.3- C.1或3- D.不存在【答案】A 【解析】【分析】求出直线1l 与2l 不相交时的a 值，再验证即可得解.【详解】当直线1l 与2l 不相交时，(2)30a a +-=，解得1a =或3a =-，当1a =时，直线1l ：330x y +-=与直线2l ：310x y ++=平行，因此1a =；当3a =-时，直线1l ：3330x y --=与直线2l ：10x y -++=重合，不符合题意，所以实数a 的值为1.故选：A3.抛物线24x y =的焦点坐标为（）A.()1,0 B.()0,1 C.()1,0- D.()0,1-【答案】B 【解析】【分析】根据抛物线的方程与焦点之间的关系分析求解.【详解】由题意可知：此抛物线的焦点落在y 轴正半轴上，且24p =，可知12p=，所以焦点坐标是()0,1.故选：B.4.在等比数列{}n a 中，135a a +=，2410a a +=，则{}n a 的公比为（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】直接由等比数列基本量的计算即可得解.【详解】由题意()()21242131110251a q q a a q a a a q ++====++（1,0a q ≠分别为等比数列{}n a 的首项，公比）.故选：B.5.若双曲线()222210,0x y a b a b -=>>经过椭圆221259x y +=的焦点，且双曲线的一条渐近线方程为20x y +=，则该双曲线的方程为（）A.221259x y -= B.221416x y -=C.2211664x y -= D.221164x y -=【答案】D 【解析】【分析】先求椭圆的焦点坐标，再代入双曲线方程可得2a ，利用渐近线方程可得2b ，进而可得答案.【详解】椭圆221259x y +=的焦点坐标为()4,0±，而双曲线()222210,0x y a b a b -=>>过()4,0±，所以()2222401a b ±-=，得216a =，由双曲线的一条渐近线方程为20x y +=可得2214y x =，则2214b a =，于是21164b =，即24b =.所以双曲线的标准标准为221164x y -=.故选：D.6.过(1,0)点且与圆224470x y x y +--+=相切的直线方程为（）A.220x y --=B.3430x y --=C.220x y --=或1x = D.3430x y --=或1x =【答案】D 【解析】【分析】由题意分直线斜率是否存在再结合直线与圆相切的条件进行分类讨论即可求解.【详解】圆224470x y x y +--+=，即圆()()22221x y -+-=的圆心坐标，半径分别为()2,2,1，显然过(1,0)点且斜率不存在的直线为1x =，与圆()()22221x y -+-=相切，满足题意；设然过(1,0)点且斜率存在的直线为()1y k x =-，与圆()()22221x y -+-=相切，所以1d r ===，所以解得34k =，所以满足题意的直线方程为3430x y --=或1x =.故选：D.7.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 为AB 的中点，则点1B 到平面1A CE 的距离为（）A.63B.66C.24D.14【答案】A 【解析】【分析】建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点到平面的距离公式即可求出结果.【详解】分别以1,,DA DC DD 所在直线为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，如图所示，()11,0,1A ,11,,02E ⎛⎫⎪⎝⎭,()0,1,0C ,()11,1,1B ,110,,12A E ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ,()11,1,1AC =-- ,()110,1,0A B = 设平面1A CE 的法向量为(),,n x y z =，1100A E n A C n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩,即1020y z x y z ⎧-=⎪⎨⎪-+-=⎩，取1,2,1x y z ===，()1,2,1n = 所以点1B 到平面1ACE的距离为113A B n d n⋅===uuu u r rr .故选：A.8.已知1F ，2F 是椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点，以12F F 为直径的圆与椭圆C 有公共点，则C 的离心率的最小值为（）A.13B.12C.2D.2【答案】C 【解析】【分析】由圆222x y c +=与椭圆有交点得c b ≥，即2222c b a c ≥=-，可得212e ≥，即可求解.【详解】由题意知，以12F F 为直径的圆的方程为222x y c +=，要使得圆222x y c +=与椭圆有交点，需c b ≥，即2222c b a c ≥=-，得222c a ≥，即212e ≥，由01e <<，解得12e ≤<，所以椭圆的离心率的最小值为2.故选：C9.设数列{}n a 满足()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为（）A.2011B.116C.5122 D.236【答案】C 【解析】【分析】由题意首项得()*121n n n a +=∈+N ，进而有()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，由裂项相消法求和即可.【详解】由题意()*1232321n a a a na n n +++⋅⋅⋅=+∈N ，则()()()*1231232111n n n a a a na n n a ++++⋅⋅⋅++++=∈N ，两式相减得()()*112n n n a ++=∈N ，所以()*121n n n a+=∈+N ，又1221131a =⨯+=≠，所以()*3,12,2n n a n n n =⎧⎪=∈⎨≥⎪⎩N ，()()*3,1221112,211n n a n n n n n n n ⎧=⎪⎪=∈⎨⎛⎫+⎪=-≥ ⎪++⎪⎝⎭⎩N ，所以数列1n a n ⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前10项和为31111113115122223341011221122⎛⎫⎛⎫+⨯-+-++-=+⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.故选：C.第Ⅱ卷（共84分）二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分.10.已知空间向量()2,1,3a =- ，()4,2,1b = ，则a b ⋅=__________.【答案】9【解析】【分析】根据空间向量数量积的坐标表示即可求解.【详解】由题意知，(2,1,3)(4,2,1)24(1)2319a b ⋅=-⋅=⨯+-⨯+⨯=.故答案为：911.直线10x -=的倾斜角为_______________.【答案】150 【解析】【分析】由直线10x +-=的斜率为3k =-，得到00tan [0,180)3αα=-∈，即可求解.【详解】由题意，可知直线10x +-=的斜率为3k =-，设直线的倾斜角为α，则00tan [0,180)3αα=-∈，解得0150α=，即换线的倾斜角为0150.【点睛】本题主要考查直线的倾斜角的求解问题，其中解答中熟记直线的倾斜角与斜率的关系，合理准确计算是解答的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题.12.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，则101112a a a ++=_________.【答案】39【解析】【分析】由题意36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，结合315S =-，612S =-即可求解.【详解】由题意n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，且315S =-，612S =-，所以()()36312151518S S S -=++=--，而36396129,,,S S S S S S S ---成等差数列，所以3101112129318155439a S a S a S =++=⨯+-+=-=.故答案为：39.13.已知空间三点()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，则点A 到直线BC 的距离为__________.【答案】2【解析】【分析】利用空间向量坐标法即可求出点到直线的距离.【详解】因为()0,2,3A ，()2,1,5B -，()0,1,5C -，所以()2,2,0BC =-，()2,1,2AB =-- 与BC同向的单位方向向量BC n BC ⎫==-⎪⎭uu u rr uu u r，2AB n ⋅=-uu u r r 则点A 到直线BC 的距离为2=.故答案为：214.圆2210100x y x y +--=与圆2262400x y x y +-+-=的公共弦长为___________.【答案】【解析】【分析】由两圆的方程先求出公共弦所在的直线方程，再利用点到直线的距离公式，弦长公式，求得公共弦长即可.【详解】 两圆方程分别为：2210100x y x y +--=①，2262400x y x y +-+-=②，由②-①可得：412400x y +-=，即3100x y +-=，∴两圆的公共弦所在的直线方程为：3100x y +-=，2210100x y x y +--=的圆心坐标为()5,5，半径为，∴圆心到公共弦的距离为：d ==，∴公共弦长为：=.综上所述，公共弦长为：故答案为：.15.已知抛物线E ：()220y px p =>的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线E 交于A ，B 两点，若直线l 与圆220x y px +-=交于C ，D 两点，且38AB CD =，则直线l 的一个斜率为___________.，答案不唯一）【解析】【分析】设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立直线方程和抛物线方程，再由焦点弦公式得12222p AB x x p p k=++=+，由圆220x y px +-=的方程可知，直线l 过其圆心，2CD r =，由38AB CD =列出方程求解即可.【详解】由题意知，l 的斜率存在，且不为0，设l 的方程为2p y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()()1122,,,A x y B x y ，联立222p y k x y px ⎧⎛⎫=-⎪ ⎪⎝⎭⎨⎪=⎩，得()22222204k p k x k p p x -++=，易知0∆>，则2122222k p p p x x p k k ++==+，所以12222p AB x x p p k =++=+，圆220x y px +-=的圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，半径2p r =，且直线l 过圆心,02p ⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以2CD r p ==，由38AB CD =得，22328p p p k ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，k =..三、解答题：本大题共5小题，共60分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.16.记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知15a =-，42S =-.（1）求{}n a 的通项公式；（2）若{}n b 是等比数列，且24b a =，335b a a =+，求{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）38n a n =-（2）122n n T +=-【解析】【分析】（1）由已知条件求出数列首项与公差，可求{}n a 的通项公式；（2）由23,b b 可得{}n b 的首项与公比，可求前n 项和n T .【小问1详解】设等差数列{}n a 公差为d ，15a =-，4143422S a d ⨯=+=-，解得3d =，所以()1138n a a n d n =+-=-；【小问2详解】设等比数列{}n b 公比为q ，244==b a ，335178b a a +=+==，得2123148b b q b b q ==⎧⎨==⎩，解得122b q =⎧⎨=⎩，所以()()11121222112nnn n b q T q +--===---.17.已知圆C 经过()4,0A ，()0,2B 两点和坐标原点O .（1）求圆C 的方程；（2）垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N两点，且MN =，求直线l 的方程.【答案】（1）()()22215x y -+-=（2）30x y --=或10x y -+=【解析】【分析】（1）由题意可知OA OB ⊥，由此得圆的半径，圆心，进而得解.（2）由直线垂直待定所求方程，再结合点到直线距离公式、弦长公式即可得解.【小问1详解】由题意可知OA OB ⊥，所以圆C 是以()4,0A ，()0,2B 中点()2,1C 为圆心，12r AB ===为半径的圆，所以圆C 的方程为()()22215x y -+-=.【小问2详解】因为垂直于直线0x y +=的直线l 与圆C 相交于M ，N 两点，且MN =，所以不妨设满足题意的方程为0x y m -+=，所以圆心()2,1C 到该直线的距离为d =所以MN ==，解得123,1m m =-=，所以直线l 的方程为30x y --=或10x y -+=18.如图，三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ⊥平面ABC ，ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.（1）求直线DE 与BC 所成角的余弦值；（2）求证：1B F ⊥平面AEF ；（3）求平面1AB E 与平面AEF 夹角的余弦值.【答案】（1）10（2）证明见解析（3）6【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，求出()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，结合向量夹角余弦公式即可得解.（2）要证明1B F ⊥平面AEF ，只需证明11,B F AE B F AF ⊥⊥，即只需证明110,0B F AF B F AE ⋅=⋅= .（3）由（2）得平面AEF 的一个法向量为()11,1,2B F =-- ，故只需求出平面1AB E 的法向量，再结合向量夹角余弦公式即可得解.【小问1详解】由题意侧棱1AA ⊥平面ABC ，又因为,AB AC ⊂平面ABC ，所以11,AA AB AA AC ⊥⊥，因为90BAC ∠=︒，所以BA BC ⊥，所以1,,AB AC AA 两两互相垂直，所以以点A 为原点，1,,AB AC AA 所在直线分别为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系：因为ABC 为等腰直角三角形，90BAC ∠=︒，且12AB AA ==，D ，E ，F 分别是1B A ，1CC ，BC 的中点.所以()()()()()()1110,0,0,2,0,0,0,2,0,0,0,2,2,0,2,0,2,2A B C A B C ，()()()1,1,0,0,2,1,1,0,1F E D ，所以()()1,2,0,2,2,0DE BC =-=- ，设直线DE与BC所成角为θ，所以cos cos,10DE BCDE BCDE BCθ⋅===⋅.【小问2详解】由（1）()()()11,1,2,1,1,0,0,2,1B F AF AE=--==，所以111100,0220B F AF B F AE⋅=-+-=⋅=-+-=，所以11,B F AE B F AF⊥⊥，又因为,,AE AF A AE AF=⊂平面AEF，所以1B F⊥平面AEF.【小问3详解】由（2）可知1B F⊥平面AEF，即可取平面AEF的一个法向量为()11,1,2B F=--，由（1）可知()()12,0,2,0,2,1AB AE==，不妨设平面1AB E的法向量为(),,n x y z=，则22020x zy z+=⎧⎨+=⎩，不妨令2z=-，解得2,1x y==，即可取平面1AB E的法向量为()2,1,2n=-，设平面1AB E与平面AEF夹角为α，则111cos cos,6B F nB F nB F nα⋅===⋅.19.在数列{}n a中，11a=，()*122nn na a n+-=∈N.（1）求2a，3a；（2）记()*2nnnab n=∈N.（i）证明数列{}n b是等差数列，并求数列{}n a的通项公式；（ii）对任意的正整数n，设,,,.nnna ncb n⎧=⎨⎩为奇数为偶数，求数列{}n c的前2n项和2n T.【答案】19.24a=，312a=20.（i ）证明见解析；()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）()()*216554929n n n n n T n +-⎛⎫=++∈⎪⎝⎭N .【解析】【分析】（1）由递推公式即可得到2a ，3a ；（2）对于（i ），利用已知条件和等差数列的概念即可证明；对于（ii ），先写出n c ，再利用错位相减法求得奇数项的前2n 项和，利用等差数列的前n 项和公式求得偶数项的前2n 项和，进而相加可得2n T .【小问1详解】由11a =，()*122n n n a a n +-=∈N ，得()*122n n n a a n +=+∈N ，所以121224a a =+=，2322212a a =+=，即24a =，312a =.【小问2详解】（i ）证明：由122n n n a a +-=和()*2n n n a b n =∈N 得，()*11111122122222n n n n n n n n n n n a a a a b b n ++++++--=-===∈N ，所以{}n b 是111122a b ==，公差为12的等差数列；因为()1111222n b n n =+-⨯=，所以()*1,22n n n a b n n ==∈N ，即()1*2n n a n n -=⋅∈N .（ii ）由（i ）得12,1,2n n n n c n n -⎧⋅⎪=⎨⎪⎩为奇数为偶数，当n 为奇数，即()*21n k k =-∈N 时，()()()221*21212214N k k k c k k k ---=-⋅=-⋅∈，设前2n 项中奇数项和为n A ，前2n 项中偶数项和为nB 所以()()0121*143454214n n A n n -=⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ①，()()123*4143454214n n A n n =⨯+⨯+⨯++-⋅∈N ②，由①-②得：()()()()()012131431453421234214n n n A n n k -⎡⎤-=⨯+-⨯+-⨯++---⋅--⋅⎣⎦，()()121121444214n n n -=-+⨯++++--⋅ ，()()1142214114nn n ⨯-=⨯--⋅--()242214133n n n ⨯=---⋅-()2521433n n ⎡⎤=---⎢⎥⎣⎦()*552433n n n ⎛⎫=--∈ ⎪⎝⎭N ，即()*5532433n n A n n ⎛⎫-=--∈ ⎪⎝⎭N ，则()*655499n n n A n -⎛⎫=+∈ ⎪⎝⎭N ；当n 为偶数，即()*2n k k =∈N 时，()*212N 2k c k k k =⨯=∈，所以()()*11232n n n B n n +=++++=∈N .综上所述，()()*216554929n n n n n n n T A B n +-⎛⎫=+=++∈ ⎪⎝⎭N .20.已知椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M .（1）求C 的方程：（2）过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），且OMN 的面积为3（O 为坐标原点），求直线l 的方程.【答案】（1）221205x y +=（2）220x y --=【解析】【分析】（1）由离心率和椭圆上的点，椭圆的方程；（2）设直线方程，代入椭圆方程，利用弦长公式和面积公式求出直线斜率，可得直线方程.【小问1详解】椭圆C ：()222210x y a b a b +=>>，离心率为2，且经过点()4,1M ，则有22222161132a b a b c c e a ⎧+=⎪⎪⎪=+⎨⎪⎪==⎪⎩，解得2220,5a b ==，所以椭圆C 的方程为221205x y +=.【小问2详解】过点M 且斜率大于零的直线l 与椭圆交于另一个点N （点N 在x 轴下方），设直线l 的方程为()41y k x =-+，椭圆左顶点为()A -，MA k =，点N 在x 轴下方，直线l的斜率k >，由()22411205y k x x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得()()222214846432160k x k k x k k ++-+--=，设(),N m n ，则有()2284414k k m k -+=+，得22168414k k m k --=+，)288414k MN k +==-=+，原点O 到直线l 的距离d =则有)2388121124OMN S MN d k k =⋅⋅++=⋅= ，当41k >时，方程化简为241270k k +-=，解得12k =；当041k <<时，方程化简为2281210k k +-=，解得114k =，不满足k >所以直线l 的方程为()1412y x =-+，即220x y --=.【点睛】方法点睛：解答直线与椭圆的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去x (或y )建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件建立有关参变量的等量关系．要强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题．。

高二上学期期末考试数学试题(解析版)

高二上学期期末考试数学试题(解析版)

2021-2022学年福建省福州闽江学院附属中学高二上学期期末考试数学试题一、单选题1．等差数列{an }中，a 4+a 8=10，a 10=6，则公差d 等于（ ） A ．B ．C ．2D ．-141212【答案】A【分析】由条件，可得，又可得答案. 486210a a a +==65a =106410a a d =+=【详解】等差数列中，，则{}n a 486210a a a +==65a =，所以，则 1064546a a d d =+=+=41d =14d =故选：A2．已知函数可导，且，（ ）0()3f x '=000()()limx f x x f x x xΛ→+∆--∆=∆A ．-3 B ．0C ．3D ．6【答案】D【分析】利用导数的概念对进行整理，可得结论.000()()limx f x x f x x x∆→+∆--∆∆【详解】000()()limx f x x f x x x ∆→+∆--∆=∆000()()lim x f x x f x x ∆→+∆-∆000()()lim x f x f x x x ∆→--∆+∆.()026f x '==故选：D.【点睛】本题主要考查了导数的概念.属于基础题.3．已知数列{an }的通项公式为an ＝－2n 2＋21n ，则该数列中的数值最大的项是（ ） A ．第5项 B ．第6项C ．第4项或第5项D ．第5项或第6项【答案】A【分析】根据，结合二次函数的性质即可得出答案.2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭【详解】解：，2221441221248n a n n n ⎛⎫=-+=--+ ⎪⎝⎭因为，且， *21,564n N ∈<<5655,54a a ==所以数值最大的项为第5项． 故选：A ．4．设函数，若为奇函数，则曲线在点（0，0）处的切线()()32212f x x a x ax =+++()f x ()y f x =方程为（ ） A ． B ．C ．D ．2y x =-y x =-2y x =y x =【答案】A【分析】根据该函数为奇函数，求出a 的值，然后求出得所求切线斜率，最后利用点斜式求0f '（）出切线的方程【详解】，函数为奇函数，有，即()()32212f x x a x ax =+++()()f x f x -=-，()()()()()3232212212x a x a x x a x ax ⎡⎤-++-+-=-+++⎣⎦故，即，10a +=1a =-所以，所以，，， ()322f x x x =-()262f x x ='-00f =（）02f '=-（）所以曲线在点（0，0）处的切线斜率为，切线方程为：. ()y f x =2-2y x =-故选：A.5．如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是（ ）()f x ()f x 'A ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,0)-B ．函数在区间上是减函数 ()f x (3,2)-C ．函数在区间上是减函数 ()f x (0,2)D ．函数在区间上是单调函数 ()f x (3,2)-【答案】A【分析】根据函数的导函数>0时单调递增，时单调递减，依次判断选项即()y f x =()f x '()0f x '<可.【详解】由函数的导函数的图像知，()y f x =()f x 'A ：时，，函数单调递减，故A 正确； (30)x ∈-，()0f x '<()f x B ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，故B 错误；()f x C ：时，，函数单调递增，故C 错误； (02)x ∈，()0f x '>()f x D ：时，或， (32)x ∈-，()0f x '<()0f x '>所以函数先单调递减，再单调递增，不是单调函数，故D 错误. ()f x 故选：A6．设是等差数列的前项和，若，则（ ） n S {}n a n 891715a a =1517S S =A ．2 B ．C ．1D ．0.51-【答案】C【分析】利用等差数列的求和公式结合等差数列的性质化简求解即可 【详解】解：因为在等差数列中，， {}n a 891715a a =所以， 1151511588117171179915()15()152152117()17()172172a a S a a a a a a S a a a a ++⨯====⋅=++⨯故选：C7．下列结论正确的是（ ）A ．若为等比数列，是的前n 项和，则，，是等比数列 {}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -B ．若为等差数列，是的前n 项和，则，，是等差数列{}n a n S {}n a n S 2n n S S -32n n S S -C ．若为等差数列，且均是正整数，则“”是“ “的充要{}n a m n p q ，，，m n p q +=+m n p q a a a a +=+条件D ．满足的数列为等比数列 1n n a qa +＝{}n a 【答案】B【分析】根据等差数列前n 项和性质可以判定B 选项正确，利用特例判定其余选项错误. 【详解】若为等比数列，设公比为，是的前n 项和，{}n a 0q q ≠，n S {}n a 设，当时，，，，则，，不是等比数()1na -＝2n =0S ＝0S S -=0S S -＝S S S -S S -列，所以A 选项错误；若为等差数列，是的前n 项和，设公差为， {}n a n S {}n a d 则，12n n S a a a +++ ＝，22212212n n n n n n n S S a a a a a a n d S n d ++-++++++++ ＝＝（）＝，2232212231222n n n n n n n n n n S S a a a a a a n d S S n d ++++-+++++++-+ ＝＝（）＝（）所以，，是等差数列，所以B 选项正确；n S 2n n S S -32n n S S -为等差数列，考虑，，，所以C 选项错误；{}n a 1n a =1234a a a a +=+1234+≠+考虑常数列，，，满足，数列不是等比数列，所以D 选项错误. {}n a 0n a =0q =1n n a qa +={}n a 故选：B.8．已知是定义在上的偶函数，当时，，且，则不等式()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->()20f -=的解集是（ ） ()0f x x>A ． B ． ()()2,00,2-⋃()(),22,-∞-+∞ C ． D ．()()2,02,-+∞ ()(),20,2-∞- 【答案】C【分析】是定义在上的偶函数，说明奇函数，若时，，可得()f x R ()f x x 0x >'2()()0xf x f x x ->为增函数，若，为增函数，根据，求出不等式的解集； ()f x x 0x <()f x x()()220f f -==【详解】解：∵是定义在上的偶函数，当时，， ()f x R 0x >'2()()0xf x f x x->∴为增函数，为偶函数，为奇函数，()f x x ()f x ()f x x∴在上为增函数， ()f x x(),0∞-∵，()()220f f -==若，，所以； 0x >()202f =2x >若，，在上为增函数，可得， 0x <()202f -=-()f x x (),0∞-20x -<<综上得，不等式的解集是. ()0f x x>()()2,02,-+∞ 故选：C.二、多选题9．（多选）已知数列中，，，下列选项中能使的n 为（ ） {}n a 13a =()*111n n a n a +=-∈+N 3n a =A ．17 B ．16C ．8D ．7【答案】BD【分析】由递推公式可得数列为周期数列，即得答案. 【详解】由，， 13a =111n n a a +=-+得，，，214a =-343a =-43a =所以数列是周期为3的数列，{}n a 所以，．81714a a ==-7163a a ==故选：BD ．10．若为数列的前项和，且，则下列说法正确的是 n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈A ．B ．516a =-563S =-C ．数列是等比数列 D ．数列是等比数列{}n a {}1n S +【答案】AC【解析】根据题意，先得到，再由，推出数列是等比数列，根据等11a =-1(2)n n n a S S n -=-≥{}n a 比数列的通项公式与求和公式，逐项判断，即可得出结果. 【详解】因为为数列的前项和，且， n S {}n a n 21,(*)n n S a n N =+∈所以，因此，1121S a =+11a =-当时，，即，2n ≥1122n n n n n a S S a a --=-=-12n n a a -=所以数列是以为首项，以为公比的等比数列，故C 正确；{}n a 1-2因此，故A 正确；451216a =-⨯=-又，所以，故B 错误；2121n n n S a =+=-+552131S =-+=-因为，所以数列不是等比数列，故D 错误. 110S +={}1n S +故选：AC.【点睛】本题主要考查由递推公式判断等比数列，以及等比数列基本量的运算，熟记等比数列的概念，以及等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型. 11．已知函数，则（ ） ()31443f x x x =-+A ．在上单调递增 ()f x ()0,∞+B ．是的极大值点 2x =-()f x C ．有三个零点()f x D ．在上最大值是 ()f x []0,34【答案】BCD【分析】对求导，令，可得的值，列表可得函数的单调性与极值，再逐个选项()f x ()0f x '=x ()f x 判断即可．【详解】解：因为 ()31443f x x x =-+所以， 2()4(2)(2)f x x x x '=-=+-令，解得或，()0f x '=2x =-2x =与随的变化情况如下表： ()f x '()f x xx(,2)-∞- 2-(2,2)- 2(2,)+∞()f x ' +0 -0 +()f x极大值极小值因此函数在，上单调递增，在上单调递减，故错误；()f x (,2)-∞-(2,)+∞(2,2)-A 是的极大值点，故正确；2x =-()f x B 因为，，，， (6)440f -=-<28(2)03f -=>()423f =-()652f =由函数的单调性及零点存在性定理可知有三个零点，故正确； ()f x C 当的定义域为时，()f x []0,3在，上单调递减，在，上单调递增，()f x [02](23]又， ，(0)4f =()31f =故选：．BCD 12．“提丢斯数列”是18世纪由德国数学家提丢斯给出的，具体如下：取0，3，6，12，24，48，96，192，…这样一组数，容易发现，这组数从第3项开始，每一项是前一项的2倍，将这组数的每一项加上4，再除以10，就得到“提丢斯数列”：0.4，0.7，1.0，1.6，2.8，5.2，10.0，…，则下列说法中正确的是（ ） A ．“提丢斯数列”是等比数列B ．“提丢斯数列”的第99项为9732410⨯+C ．“提丢斯数列”的前31项和为 30321211010⨯+D ．“提丢斯数列”中，不超过20的有9项 【答案】BC【分析】根据题意得，由此利用等比数列的性质即可求出结果.20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩【详解】记“提丢斯数列”为数列，则当时，，当时，{}n a 3n ≥326243241010n n n a --=⋅+⋅+=2n =，符合该式，当时，不符合上式，故，故A 错误；20.7a =1n =10.4a =20.4,1324,210n n n a n -=⎧⎪=⎨⋅+≥⎪⎩，故B 正确；“提丢斯数列”的前31项和为979932410a ⨯+=()3002923232121223051051010⨯++⋅⋅⋅++⨯=+，故C 正确；令，即，得，又，故不超过20的有23242010n -⋅+≤219623n -≤2,3,4,5,6,7,8n =120a <8项，故D 错误. 故选：B C.三、填空题13．在等比数列中，，则_____. {}n a 7125a a =891011a a a a =【答案】25【分析】根据等比数列下标和的性质即可得到结论. 【详解】在等比数列中，， {}n a 7125a a =则， 891011811910712712()()()()25a a a a a a a a a a a a ===故答案为：25【详解】时到直线的距离最短， 22,1,(1,0)21y x P x ==∴='-所以点230x y -+=15．设Sn 是数列{an }的前n 项和，且a 1＝－1，an ＋1＝SnSn ＋1，则Sn ＝__________. 【答案】－. 1n【详解】试题分析：因为，所以，所以，11n n n a S S ++=111n n n n n a S S S S +++=-=111111n n n n n n S S S S S S +++-=-=即，又，即，所以数列是首项和公差都为的等差数列，所1111n n S S +-=-11a =-11111S a ==-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭1-以，所以． 11(1)(1)n n n S =----=-1n S n=-【解析】数列的递推关系式及等差数列的通项公式．【方法点晴】本题主要考查了数列的通项公式、数列的递推关系式的应用、等差数列的通项公式及其性质定知识点的综合应用，解答中得到， ，确定数列是首项和公差1111n n S S +-=-111S =-1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都为的等差数列是解答的关键，着重考查了学生灵活变形能力和推理与论证能力，平时应注意方1-法的积累与总结，属于中档试题． 16．设函数f (x )＝x 3－－2x ＋5，若对任意的x ∈[－1，2]，都有f (x )>a ，则实数a 的取值范围是22x ________.【答案】7(,2-∞【分析】利用导数求得函数在上的值域，即可列出不等式求得结果. []1,2-【详解】，令，得或，2()32f x x x '=--()0f x '=23x =-1x =∴在和上为增函数，在上为减函数， ()y f x =2()3-∞-，(1)+∞，2(1)3-，∴在处有极大值，在处有极小值，()f x 23x =-1x =极小值为17(1)12522f =--+=而，111(1)12522f -=--++= ∴在上的最小值为， ()f x [12]-，72对于任意都有成立，得的范围. 1[]2x ∈-，()f x a >a 72a <故答案为：.7(,)2-∞【点睛】该题考查利用导数求函数在区间上的最值，属于基础题目.四、解答题17．设是公比为正数的等比数列，，. {}n a 12a =214a a =+(1)求的通项公式；{}n a (2)设是首项为1，公差为2的等差数列，求数列的前n 项和. {}n b {}n n a b +n S 【答案】(1)123n n a -⨯＝(2) 231n n +﹣【分析】（1）设为等比数列的公比，由已知易得值，则数列的通项可求； q {}n a q {}n a （2）由已知可得的通项，利用分组求和法，求解. {}n b n S 【详解】（1）设为等比数列的公比， q {}n a 则由，得，解得q ＝3， 12a =214a a =+224q =+∴的通项为；{}n a 123n n a -⨯＝（2）由已知可得， ()12121n b n n =+=﹣﹣∴，12321n n n a b n +⨯+﹣＝（﹣）1122n n n S a b a b a b =+++ +++()()1212n n a a a b b b =+++ +++ 2(13)(121)132n n n-+-=+-.231n n =+﹣18．已知函数()2ln f x x x =+（1）求的极值；()()3h x f x x =-（2）若函数在定义域内为增函数，求实数的取值范围. ()()g x f x ax =-a【答案】(1)见解析；（2）a ≤【分析】（1）由已知可得，求出其导函数，解得导函数的零点，由导函数的零点对定义域分()h x 段，求得函数的单调区间，进一步求得极值（2）由函数在定义域内为增函数，可得恒成立，分离参数，利()()g x f x ax =-()()‘00g x x ≥>a 用基本不等式求得最值可得答案【详解】（1）由已知可得()()233h x f x x lnx x x =-=+-，()()2‘2310x x h x x x-+=>令，可得或()2‘2310x x h x x-+==12x =1x =则当时，，当时， ()1012x ⎛⎫∈⋃+∞ ⎪⎝⎭，，()‘0h x >112x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()‘0h x <在，上为增函数，在上为减函数 ()h x ∴102⎛⎫ ⎪⎝⎭，()1+∞，112⎛⎫⎪⎝⎭则 ()()12h x h ==-极小值,()15224h x h ln ⎛⎫==-- ⎪⎝⎭极大值(2)()()2g x f x ax lnx x ax =-=+-， ()‘12g x x a x=+-由题意可知恒成立，()()‘00g x x ≥>即12min a x x ⎛⎫≤+ ⎪⎝⎭时， 0x > 12x x +≥x =故12min x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭则a ≤【点睛】本题主要考查了函数的极值，只需求导后即可求出结果，在解答函数增减性时，结合导数来求解，运用了分离参量的解法，属于中档题19．已知数列的各项均为正数，表示数列的前n 项的和，且. {}n a n S {}n a 22n S n n =+(1)求数列的通项公式；{}n a(2)设，求数列的前n 项和. 12n n n b a a +={}n b n T 【答案】(1)，21n a n =+*N n ∈(2)269n n + 【分析】（1）利用公式，分两种情况讨论，即可求解. ()()1112n n n S n a S S n -⎧=⎪=⎨-≥⎪⎩（2）根据已知条件，结合裂项相消法，即可求解.【详解】（1）∵，22n S n n =+∴当时，，1n =113a S ==当时，，2n ≥()()221212121n n n a S S n n n n n -=-=+----=+对时，等号也成立，1n =故，.21n a n =+*N n ∈（2）＝＝， 12n n n b a a +=2(21)(23)n n ++112123n n -++故前n 项和＝ 11111135572123n T n n =-+-++-++ 11232369n n n -=++20．已知函数. 22()ln 1x f x x x -=-+（1）判断函数的零点个数；()f x （2）设，若，是函数的两个极值点，求实数a 的取值范围. 4()()2()1a g x f x a x +=-+∈+R 1x 2x ()g x 【答案】（1）有且仅有1个零点；（2）.(),4-∞-【分析】（1）先判断函数的单调性，再结合，即可知零点个数；()10f =（2）由题意知，是方程在内的两个不同的实数解，也是方程1x 2x ()0g x '=(0,)+∞在内的两个不同的实数解，再根据实根分布知识即可解出．()()2210h x x a x =+++=(0,)+∞【详解】（1）由题知函数的定义域为，()f x ()0,∞+对任意恒成立， ()22212(1)2(1)(1)0(1)(1)x x x f x x x x x +---'=-=≥++()0,x ∈+∞当且仅当时，，所以在上单调递增.1x =()0f x '=()f x ()0,∞+又，所以函数有且仅有1个零点. ()2121ln1011f ⨯-=-=+()f x（2）因为， ()()42ln 11a a g x f x x x x +=-+=-++所以. ()()2221(2)10(1)(1)a x a x g x x x x x x +++'=+=>++由题意知，是方程在内的两个不同的实数解.1x 2x ()0g x '=(0,)+∞令，又，且函数图象的对称轴为， ()()221h x x a x =+++()010h =>()h x 22a x +=-所以只需 220,(2)40,a a -->⎧⎨∆=+->⎩解得，即实数的取值范围为.4a <-a (),4-∞-21．已知数列的前n 项和，，且满足.{}n a n S 11a =12n n S na +=(1)求；n a (2)若，求数列的前n 项和.(1)2n a n n b a =+⋅{}n b n T 【答案】(1)n a n =(2)12n n T n +⋅＝【分析】（1）由题意可得，可得，累乘即可得； ()121n n S n a --＝11n n a n a n ++=n a n =（2）由，利用错位相减即可求和. 12n n b n =+⋅（）【详解】（1）由题意可得.....①，12n n S na +＝当时，......②，2n ≥()121n n S n a --＝①﹣②得，，可得， ()121n n n a na n a +--＝11n n a n a n ++=又，， 2122a S ==2121a a =综上，时，， 1n ≥11n n a n a n ++=当时，＝， 2n ≥3241231n n a a a a a a a a -⋅⋅⋅ 2341231n n ⋅⋅⋅⋅- ∴，∴， 1n a n a =n a n =又满足，11a =n a n =综上，.n a n =（2） )12(12n a n n n b n a =+⋅=+⋅（）数列的前n 项和，.......① {}n b 1231223242...212n n n T n n ⋅+⋅+⋅++⋅++⋅﹣＝（），.........②23122232...212n n n T n n +⋅+⋅++⋅++⋅＝（）①﹣②可得 ()12112+222...2122n n n n T n n ++-++++-+⋅=-⋅＝，∴.12n n T n +⋅＝22．已知抛物线的焦点恰好是双曲线的一个焦点，是坐标原点.22(0)y px p =>F 221243x y -=O （1）求抛物线的方程；（2）已知直线与抛物线相交于，两点，:22l y x =-A B ①求；AB ②若，且在抛物线上，求实数的值.OA OB mOD += D m 【答案】（1）；（2）①5；②. 24y x =13【解析】（1）求出双曲线的一个焦点是，从而可得，求出即可. (1,0)12p =p （2）联立直线与抛物线方程得，利用韦达定理结合焦半径公式可求出，设2310x x -+=AB ，根据向量的坐标运算即可求解.()00,D x y 【详解】（1）双曲线方程可化为， 221243x y -=2211344x y -=因此，所以双曲线的一个焦点是， 2131,144c c =+==(1,0)于是抛物线的焦点为，则， 22(0)y px p =>(1,0)F 12p =24p =故抛物线的方程为．24y x =（2）①依题意，由可得，设， 2224y x y x=-⎧⎨=⎩2310x x -+=()()1122,,,A x y B x y 由韦达定理知，123x x +=1225AB FA FB x x ∴=+=++=②设，则由，得， ()00,D x y OA OB mOD += ()01213x x x m m=+=()01212y y y m m =+=由于D 在抛物线上，因此，可得． 2412m m=13m =【点睛】方法点睛：本题考查了抛物线的标准方程、焦半径公式，有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式，若不过焦12AB x x p =++点，则必须用一般弦长公式．。

陕西省西安市西光中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含简单答案)

陕西省西安市西光中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题(含简单答案)

西安市西光中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题全卷满分150分，考试时间120分钟.注意事项：1.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置.2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3.选择题用2B 铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑；非选择题用黑色签字笔在答题卡上作答；字体工整，笔迹清楚.4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.5.本卷主要考查内容：选择性必修第一册，选择性必修第二册.一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 抛物线的焦点到其准线的距离为（ ）A.B.C.D. 42. 已知等差数列的公差，前项和为，则（ ）A. 6B.C.D. 83. 已知直线与直线平行，则实数所有取值之和为（ ）A. -2B. C. 1D. 24. 若方程表示焦点在y 轴上的双曲线，则实数m 的取值范围为（ ）A B. C. D.5. 中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其意思是有一个人走了378里路，第一天的.28y x =13211618{}n a 0d ≠n 1,n S a d =52S a =1321521:220l ax y --=()2:120l x a y -++=a 1-222141x y m m -=-+()2-∞-，()21--，()22-，()11-，健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问最后一天走的路程为（ ）A. 15里B. 12里C. 9里D. 6里6. 若直线与曲线相切，则（ ）A.B. C. D. 7. 若函数在区间内存在单调递减区间，则实数的取值范围是（ ）A. B. C. D. 8. 过双曲线的右支上的一点P 分别向圆和圆作切线，切点分别为M ，N ，则的最小值为（ ）A. 8B. 9C. 10D. 11二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9. 下列运算正确的是（ ）A. B. C. D. 10. 等差数列的公差为，前项和为，当首项和变化时，是一个定值，则下列各数也是定值的是（ ）A. B. C.D. 11. 直线与曲线恰有两个交点，则实数m 的值可能是（ ）A.B.C. 4D. 512. 已知抛物线的焦点坐标为F ，过点F 的直线与抛物线相交于A ，B 两点，点在e y kx =-ln y x x =k =1e2e4()2ln 4f x a x x =+-1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭a 2,9⎛⎫-∞-⎪⎝⎭218,9⎛⎫--⎪⎝⎭(],18-∞-2,9⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭2218y x -=221:(3)4C x y ++=222:(3)1C x y -+=22||||PM PN -1cos 62π'⎛⎫=- ⎪⎝⎭()3ln 3131x x '+=⎡⎤⎣⎦+'=()e e x x--'={}n a d n n S 1a d 258a a a ++5a 6a 9S 10S 2y x m =+y =9241102:2C x py=12⎫⎪⎭抛物线上．则（ ）A B. 当轴时，C.为定值1 D. 若，则直线的斜率为三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______．14.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点为椭圆上一点，且点位于第一象限，，则______，______.15. 在前n 项和为的等差数列中，，，则______．16. 已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是______.四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.17. 已知函数在点处的切线与直线相互垂直．（1）求实数的值；（2）求单调区间和极值．18. 已知单调递减的等比数列的前项和为.（1）求数列的通项公式；（2）求满足的所有正整数的值.19. 如图，在三棱锥中，平面，，，为的中点..的1p =AB y ⊥||4AB =11||||AF BF +2AF FB =AB ()f x ()()3,3P f 22y x =-()()33f f '+=C 2214x y +=1F 2F P P 12PF PF ⊥1PF =2PF =n S {}n a 412S =821S =12S =()f x ()f x '()20f x x '+>R ()()221312f x x f x x -+>-+()ln 2f x x x ax =++()()1,1f 220x y -+=a ()f x {}n a n 13335,,78n S a a S a +=={}n a 9991000n S …n -P ABC PA ⊥ABC 2AC BC ==AP AB ==D BP（1）证明：平面；（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.20. 已知正项数列满足，且．（1）求数列的通项公式；（2）记，记数列的前n 项和为，证明：．21. 已知椭圆长与焦距长之和为4．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点（异于椭圆长轴顶点），求（O 为坐标原点）面积的最大值，并求此时直线l 的方程．22. 已知函数．（1）讨论函数的单调性；（2）若，证明：．的BC ⊥PAC ACD PBC {}n a 11a =11n n n n a a a a ++-={}n a 22nn a b n =+{}n b n S 12n S <22221:12x y C a b a b ⎛⎫+=>>⎪⎝⎭(2,0)A OMN V ()()242ln f x ax x x a =-+∈R ()f x 2a =()()()22ln 2e 2xf x x x x +-⋅≤-西安市西光中学2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题简要答案一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.【1题答案】【答案】B【2题答案】【答案】C【3题答案】【答案】B【4题答案】【答案】A【5题答案】【答案】D【6题答案】【答案】B【7题答案】【答案】A【8题答案】【答案】B二､多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【9题答案】【答案】BC【10题答案】【答案】AC【11题答案】【答案】BC【12题答案】【答案】BCD三､填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.【13题答案】【答案】6【14题答案】【答案】①.②.【15题答案】【答案】27【16题答案】【答案】四､解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.【17题答案】【答案】（1）；（2）增区间为，减区间为，极小值，无极大值.【18题答案】【答案】（1） （2）【19题答案】【答案】（1）证明略 （2【20题答案】【答案】（1） （2）证明略【21题答案】【答案】（1）2+2+2-2+2,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭3a =-()2e ,+∞()20,e 22e -12n na =1,2,3,4,5,6,7,8,9n =1n a n=2212x y +=（2），直线l 的方程为【22题答案】【答案】（1）答案不唯一，具体略 （2）证明略OMN V 20x ±-=。

福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

福建省高二上学期期末考试数学试题(解析版)

数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 已知直线与直线垂直，则（）1:210l x ay --=2:210l x y ++==a A. B. 1C. 2D. 41-【答案】B 【解析】【分析】利用两直线垂直的条件求解.【详解】因为直线与直线垂直， 1:210l x ay --=2:210l x y ++=所以，即. ()2120a ⨯+-⨯=1a =故选：B2. 等差数列的前n 项和为，且满足，则（） {}n a n S 252,20a S ==4a =A. 3 B. 4C. 5D. 6【答案】D 【解析】【分析】利用等差数列的通项公式和求和公式求解.【详解】设等差数列的公差为，则，，解得{}n a d 212a a d =+=5151020S a d =+=，10,2a d ==所以. 40236a =+⨯=故选：D.3. 已知直线l 过点，方向向量为，则原点到的距离为（）(2,0)P ()1,1n =-O lA. 1B.C.D. 3【答案】B 【解析】【分析】求出直线的解析式，即可求出原点到的距离. O l 【详解】由题意，在直线中，方向向量为，l ()1,1n =-∴直线l 的斜率存在，设，则直线l 的斜率为：， :l y kx b =+111k -==-∴，:l y x b =-+∵直线l 过点， (2,0)P ∴，解得：，02b =-+2b =∴，即， :2l y x =-+:20+-=l x y∴原点到的距离为：，O l d 故选：B.4. 已知圆与圆，若与有且仅有2221:290C x y mx m +-+-=222:20C x y y +-=1C 2C 一条公切线，则实数的值为（） mA. B. C. D.1±2±【答案】C 【解析】【分析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】圆可化为，圆心为2221:290C x y mx m +-+-=()221:9C x m y -+=，半径为，()1,0C m 13r =圆可化为，圆心为，半径为，222:20C x y y +-=()222:11C x y +-=()20,1C 21r =又与有且仅有一条公切线， 1C 2C 所以两圆内切，因此，即，2112r r C C =-2=解得， m =故选：C5. 在三棱锥中，点M 是中点，若，则A BCD -BC DM x AB y AC z AD =++（）x y z ++=A. 0 B.C. 1D. 212【答案】A 【解析】【分析】表达出和，得出，，的值，即可求出的值.AM DMx y z x y z ++【详解】由题意，在三棱锥中，点M 是中点， A BCD -BC 连接，，AM DM在中， ABC A ，()12AM AB AC =+u u u r u u u r u u u r 在中，AMD A ， DM AM AD =- ∴, ()12DM AM AD AB AC AD =-=+-∴，， 12x y ==1z =-∴， 111022x y z ++=+-=故选：A.6. 已知点P 在双曲线的右支上，直线交曲线C 于点Q （异于222:1(0)y C x b b-=>OP P ），点F 为C 的左焦点，若为锐角，则b 的取值范围为（） ||4,PF PFQ =∠A.B.C.D.(0,2)(2,(2,)+∞【答案】C 【解析】【分析】设双曲线的右焦点，根据双曲线的定义，可求得，根据已知条件2F 22PF =为锐角，可判断为钝角，结合余弦定理即可求得b 的取值范围.PFQ ∠2FPF ∠【详解】如图所示：设双曲线的右焦点为，则，且，则， 2F 22PF PF a -=1a =22PF PF -=又则，又，所以， ||4,PF =22PF =2226FF c PF PF =<+=3c <而，即，解得222c a b =+219b +<0b <<又因为为锐角，且根据双曲线的对称性知，关于原点对称，PFQ ∠,P Q 22FQ F P ==，，22QFF PF F ∠=∠所以为锐角，2222PFQ QFF PFF PFF PF F ∠=∠+∠=∠+∠所以为钝角，则①，且2FPF ∠22222424204cos 024216c c FPF +--∠==<⨯⨯，又②，22041016c --<<221c b =+由①②两式解得 2<<b所以b 的取值范围为. (2,故选：C7. 在平行六面体中，1111ABCD A B C D -，，则直线111,60AB AD AA DAB BAA DAA ==∠=∠=∠=︒11(01)AQ A B λλ=<<与直线所成角的余弦值为（）1AC DQA. 0B.C.D. 112【答案】A 【解析】【分析】设，由向量的运算得出，进而得出直线1,,a AB b AD c AA ===10AC DQ ⋅= 与直线所成角的余弦值.1AC DQ 【详解】设，不妨设，则1,,a AB b AD c AA ===11AB AD AA ===12a b a c b c ⋅=⋅=⋅= ，， 1AC a b c =++ 11A B A A AB a c =+=-1111()(1)DQ DD D A A Q c b a c a b c λλλ=++=-+-=-+- ()2221(1)(1)1AC DQ a a b a c a b b b c a c b c c λλλλλλ⋅=-⋅+-⋅+⋅-+-⋅+⋅-⋅+-1111111111022222222λλλλλλ=-+-+-+-+-+-=即，则直线与直线所成角的余弦值为.1AC DQ ⊥1AC DQ 0故选：A8. 椭圆的左焦点为F ，右顶点为A ，以F 为圆心，为半径2222:1(0)x y E a b a b+=>>||FO 的圆与E 交于点P ，且，则E 的离心率为（） PF PA ⊥A.B.C.D.23【答案】C 【解析】【分析】由已知得，右焦点为，中利用余弦定理列方cos PF cPFA FA a c∠==+F 'PFF 'A 程，由齐次式可求E 的离心率.,a c 【详解】由题意，，，由，， PF c =FA a c =+PF PA ⊥cos PF cPFA FA a c∠==+右焦点为，连接，有，F 'PF '2PF a c '=-中，，PFF 'A ()()222222222cos 24c c a c PF FF PF c PFF PF FF c a c+--''+-'∠==='⋅+化简得，即，222c a =a =则E 的离心率为c e a ==故选：C【点睛】思路点睛：点P 在椭圆上，一是满足椭圆方程，二是到两焦点距离之和等于2a ，求椭圆离心率，结合其它条件构造齐次式即可得解.,a c 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9. 已知椭圆与椭圆，则（）221259x y +=221259x y k k+=--A. B. 短轴长相等C. 焦距相等D. 离心率9k <相等 【答案】AC 【解析】【分析】分别对两个椭圆进行分析，得到对应的短轴长，焦距，离心率等，即可得出结论.【详解】由题意，在中，有，，，221259x y +=5a =3b =4c ===∴短半轴为3，长半轴为5，焦距为，离心率， 428⨯=45c e a ==在中，有，221259x y k k+=--a =b =，4c ===，428⨯=，解得：，离心率， 25090k k ->⎧⎨->⎩9k <e =∴AC 正确，BD 错误. 故选：AC.10. 如图，四边形为正方形，，平面，ABCD //EA BF EA ⊥ABCD ，点在棱上，且，则（）22AB AE BF ===M EC EM EC λ=A. 当时，平面 14λ=//DM BFCB. 当时，平面 12λ=MF ⊥EAC C. 当时，点到平面的距离为 12λ=M BCF 1D. 当时，平面与平面的夹角为 14λ=MBD ABCD π4【答案】BC 【解析】【分析】以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直A AD AB AE x y z 角坐标系，利用空间向量法逐项判断可得合适的选项.【详解】因为平面，四边形为正方形，以点为坐标原点，EA ⊥ABCD ABCD A 、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，AD AB AE x y z则、、、、、， ()0,0,0A ()0,2,0B ()2,2,0C ()2,0,0D ()0,0,2E ()0,2,1F 对于AD 选项，当时，， 14λ=113,,222M ⎛⎫⎪⎝⎭，易知平面的一个法向量为，313,,222DM ⎛⎫=- ⎪⎝⎭BFC ()0,1,0m =因为，因此，与平面不平行，A 错，102DM m ⋅=≠ DM BFC 设平面的法向量为，，MBD ()1,,n x y z = ()2,2,0DB =-则，取，可得， 11220313222n DB x y n DM x y z ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-++=⎪⎩3x =()13,3,2n = 易知平面的一个法向量为，ABCD ()20,0,1n =121212cos,n nn nn n⋅<>===⋅所以，平面与平面的夹角不是，D错；MBD ABCDπ4对于BC选项，当时，，12λ=()1,1,1M，，，()1,1,0FM=-()2,2,0AC=()0,0,2AE=所以，，，所以，，，220FM AC⋅=-=FM AE⋅=FM AC⊥FM AE⊥又因为，、平面，平面，B对，AC AE A⋂=AC AE⊂EAC FM∴⊥EAC点到平面的距离为，C对.M BCF1FM mdm⋅==故选：BC.11. 2022年11月29日23时08分，我国自主研发的神舟十五号载人飞船成功对接于空间站“天和”核心舱前向端口，并实现首次太空会师．我国航天员在实验舱观测到一颗彗星划过美丽的地球，彗星沿一抛物线轨道运行，地球恰好位于这条抛物线的焦点．当此彗星离地球4千万公里时，经过地球和彗星的直线与抛物线的轴的夹角为，则彗星与地球的60︒最短距离可能为（单位：千万公里）（）A. B. C. 1 D. 31312【答案】CD【解析】【分析】不妨假设该抛物线开口向右，可设该抛物线的方程为，彗星离地()220y px p=>球4千万公里时假设为A点，作轴于，分在的左侧和右侧进行讨论，即可AB x⊥B B F求出最短距离【详解】不妨假设该抛物线开口向右，如图所示，可设该抛物线的方程为()220y px p=>，地球即焦点坐标为，设彗星的坐标为，,02pF⎛⎫⎪⎝⎭()()000,0x y x≥当彗星离地球4千万公里时，设彗星此时处于A 点，即， 4AF =作轴于，则， AB x ⊥B 60AFB ∠=︒当在的右侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛+ ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫= ⎪⎝⎭+2p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00112px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为1千万公里， 当在的左侧时，B F，所以，2AB =2,2p A ⎛- ⎝代入抛物线可得，解得 12222p p ⎛⎫=-⎪⎝⎭6p =则根据抛物线的定义可得彗星到地球的距离为， 00332px x +=+≥则彗星与地球的最短距离可能为3千万公里， 故选：CD12. 大自然的美丽，总是按照美的密码进行，而数学是美丽的镜子，斐波那契数列，就用量化展示了一些自然界的奥妙．譬如松果、风梨的排列、向日葵花圈数、蜂巢、黄金矩形、黄金分割等都与斐波那契数列有关．在数学上，斐波那契数列可以用递推的方法{}n a 来定义：，则（）()12211,1,N n n n a a a a a n *++===+∈A. 135********a a a a a +++⋅⋅⋅+=B. 12320202022a a a a a +++⋅⋅⋅+=C.2222123202*********a a a a a a +++⋅⋅⋅+=D. 132420192021202020221220212022111111a a a a a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++=-【答案】ACD 【解析】【分析】用累加法判断选项AB ，对于C ，只需证明即可,22221231n n n a a a a a a +++++= 用数学归纳法证明;对于D ，得到，即可判断2112122111n nn n n n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-【详解】对于A ，由，可得，则，21n n n a a a ++=+12n n n a a a ++=-342a a a =-，，564a a a =-786,,a a a =- 202120222020a a a =-将上式累加得，又，则有223570212022a a a a a a ++⋅⋅=-⋅+121a a ==.故A 正确；1320212022a a a a ++⋅⋅⋅+=对于B ，由，可得，， 21n n n a a a ++=+321a a a =+432,,a a a =+ 202220212020a a a =+将上式累加得，又，则()123202020222a a a a a a +++⋅⋅⋅+=+21a =，故B 错误；123202020221a a a a a +++⋅⋅⋅=-+对于C ，有成立,用数学归纳法证明如下: 22221231n n n a a a a a a +++++= ①当时,,满足规律,1n =21121a a a ==⋅②假设当时满足成立,n k =22221231k k k a a a a a a +++++= 当时，则1n k =+222222123111k k k k k a a a a a a a a ++++++++=+ ()11k k k a a a ++=+成立，满足规律,12k k a a ++=故，令，则有22221231n n n a a a a a a +++++= 2021n =成立，故C 正确;2222123202*********a a a a a a ++++=对于D ，由可得，21n n n a a a ++=+2221121111n n n nn n n n n n n a a a a a a a a a a a +++++++-==-所以132420192021202020221111a a a a a a a a ++⋅⋅⋅++，故D 正确 223334202120212022122020111111a a a a a a a a a a a a =-+-++- 122021202211a a a a =-故选：ACD【点睛】思路点睛：涉及给出递推公式探求数列性质的问题，认真分析递推公式并进行变形，可借助累加、累乘求通项的方法分析、探讨项间关系而解决问题.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13. 写出双曲线的一条渐近线方程__________．22:14y C x -=【答案】（或） 2y x =2y x =-【解析】【分析】由双曲线的性质求解即可.【详解】由题意可得，，则双曲线的渐近线方程为1,2a b ==22:14y C x -=.2by x x a=±=±故答案为：（或）2y x =2y x =-14. 正方体中，E 为线段的中点，则直线与平面所成角1111ABCD A BC D -1BB 1C E11A D B 的正弦值为__________．【解析】【分析】建立空间坐标系，利用法向量求解线面角.【详解】以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标D 1,,DA DC DD ,,x y z 系，如图，设正方体的棱长为2，则;()()()()()1112,2,0,2,0,2,0,0,2,2,2,1,0,2,2B A D E C ；()()()11112,0,1,0,2,2,2,0,0EC BA D A =-=-=设平面的一个法向量为，则，，11A D B (),,n x y z = 11100n D A n BA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ 20220x z y =⎧⎨-=⎩A 令，则.1y =()0,1,1n =设直线与平面所成角为，则. 1C E 11A D Bθ11sin n EC n EC θ⋅===15. 在平面上给定相异的两点A ，B ，设点P 与A ，B 在同一平面上，满足，当||||PA PB λ=且时，点P 的轨迹是一个圆，这个圆我们称作阿波罗尼斯圆．在中，0λ>1λ≠PAD A ，边中点为，则的最大值为__________．||||,(3,0)PA PD A =-PD (3,0)B ∠PAB 【答案】 π6【解析】【分析】设，可得，利用可得(),P x y ()6,D x y --||||PA PD =，结合图象即可得到与该圆相切时，最大()()225160x y y -+=≠PA ∠PAB 【详解】设，由边中点为可得，(),P x y PD (3,0)B ()6,D x y --因为，整理可得||||PA PD==，()()225160x y y -+=≠所以的轨迹是圆心为，半径为4的圆上（排除轴上的点）， P ()5,0Qx 则当与该圆相切时，最大，， PA ∠PAB 1tan 2PQ PAB AQ∠==因为所以 π0,2PAB ∠<<π,6PAB ∠=故答案为：π616. 平面上一系列点，其中()()()111222,,,,,,,n n n A x y A x y A x y ⋅⋅⋅⋅⋅⋅11(1,2),0n n A y y +>>，已知在曲线上，圆与y 轴相切，且圆与圆n A 24y x =()()222:n n n n A x x y y r -+-=n A 外切，则的坐标为__________；记，则数列的前6项和为1n A +3A 1n n n b y y +={}n b __________． 【答案】 ①. ②. 12,93⎛⎫⎪⎝⎭247【解析】【分析】由圆与y 轴相切得出圆的半径为，由圆与圆外切，得出n A n A n x n A 1n A +，进而由递推公式结合求解即可.()112n n n n y y y y ++=-12y =【详解】因为圆与y 轴相切，所以圆的半径为， n A n A n x 又圆与圆.n A 1n A +1n n x x +=+两边平方并整理得，结合， ()2114n n n n y y x x ++-=22114444n n n n y y x x ++⋅=⨯⨯，得， 10n n y y +>>()112n n n n y y y y ++=-122nn ny y y +=+即，，以此类推 121212y y y ==+323y =727y =因为，所以，故. 323y =319x =312,93A ⎛⎫⎪⎝⎭数列的前6项和为{}n b ()()()()()()1223344556672y y y y y y y y y y y y -+-+-+-+-+-⎡⎤⎣⎦ ()177224y y ==-故答案为：；. 12,93⎛⎫ ⎪⎝⎭247四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17. 如图，在平面直角坐标系中，四边形为菱形，，点xOy OABC ,3COA C π∠=D 为的中点，的外接圆为圆M ．AB OAC A（1）求圆M 的方程；（2）求直线被圆M 所截得的弦长．CD【答案】（1） 224(1)3x y ⎛-+= ⎝（2【解析】【分析】（1）由已知可得为正三角形，可求出圆心坐标和半径得求圆M 的方程； OAC A （2）根据相应点的坐标，得到直线CD 的方程，求圆心到直线距离，利用几何法求弦长. 【小问1详解】（1）因为， ，所以为正三角形， OA OC =π3COA ∠=OAC A由，得， 2OA OC ===(20)A ，所以外接圆圆心为 ，又半径， OAC A M ⎛ ⎝R MO ==所以圆M 的方程为224(1)3x y ⎛-+-= ⎝【小问2详解】由题意得 ， ，B 52D ⎛⎝直线CD 的斜率，52k ==直线CD 方程为即，1)y x =-40x +-=M 到CD 的距离为，1d 所以CD 被圆M 截得的弦长为. ==18. 已知等比数列的各项均为正数，且． {}n a 2123264,9a a a a a +==（1）求数列的通项公式；{}n a （2）设，求数列的前n 项和． 3log n n n b a a =+{}n b 【答案】（1）13n n a -=（2）()21312nn n +--【解析】【分析】（1）根据条件列方程组，求出首项和公比，利用通项公式可得答案； （2）先求出的通项公式，利用分组求和法可求和. n b 【小问1详解】设正项等比数列的公比为，因为，{}n a q 2123264,9a a a a a +==所以，解得，所以. 1124261149a a q a q a q +=⎧⎨=⎩113a q =⎧⎨=⎩1113n n n a a q --==【小问2详解】 由（1）可得，设数列的前n 项和为，131n n b n -=+-{}n b n S则()()21121333011n n n S b b b n -=+++=++++++++- . ()()21131311322n n n n n n --=+=+---19. 已知点，点B 为直线上的动点，过点B 作直线的垂线l ，且线段(0,1)F 1y =-1y =-的中垂线与l 交于点P ．FB （1）求点P 的轨迹的方程；Γ（2）设与x 轴交于点M ，直线与交于点G （异于P ），求四边形面积的FB PF ΓOMFG 最小值．【答案】（1） 24x y =（2【解析】【分析】（1）利用抛物线的定义求解轨迹方程；（2）设出直线，联立方程，得出，用表示出四边形的面积，结合基124x x =-1x OMFG 本不等式求解最值. 【小问1详解】由题意点到直线的距离与到点的距离相等，所以点P 的轨迹是以P 1y =-(0,1)F (0,1)F 为焦点，以直线为准线的抛物线， 1y =-所以方程为. 24x y =【小问2详解】设直线的方程为，，则.PG 1y kx =+1122(,),(,)P x y G x y ()1,1B x -如图，设与轴的交点为，则易知为的中位线，所以. 1y =-y N OM FNB A 1,02xM ⎛⎫⎪⎝⎭联立，得，， 214y kx x y=+⎧⎨=⎩A 2440x kx --=12124,4x x k x x +==-不妨设，则， 1>0x 214x x =-四边形面积为OMFG111221111142222222x x x S OF x OF x x ⎛⎫⎛⎫=+=-=+≥= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当且仅当.1x =OMFG 20. 世界上有许多由旋转或对称构成的物体，呈现出各种美．譬如纸飞机、蝴蝶的翅膀等．在中，．将绕着旋转到的位ABC A2,120AB BC ABC ==∠=︒ABC A BC DBC △置，如图所示．（1）求证：；BC AD ⊥（2）当三棱锥的体积最大时，求平面和平面的夹角的余弦值． D ABC-ABD BDC 【答案】（1）证明见解析 （2 【解析】【分析】（1）做辅助线，先证明线面垂直，利用线面垂直证明线线垂直；（2）根据三棱锥的体积最大，确定平面的垂直关系，利用空间向量求解平面的夹角. 【小问1详解】取的中点，连接，AD E ,CE BE 由题意可知，所以； ,AC DC AB DB ==,CE AD BE AD ⊥⊥因为平面，所以平面； ,,CE BE E CE BE ⋂=⊂BCE AD ⊥BCE 因为平面，所以. BC ⊂BCE BC AD ⊥【小问2详解】由题意可知三棱锥的体积最大时，平面平面； D ABC -DBC ⊥ABC 在平面内作出，且与的延长线交于点，连接； DBC DO BC ⊥CB O OA 因为平面平面，平面平面，， DBC ⊥ABC DBC ABC BC =DO BC ⊥所以平面；根据旋转图形的特点可知，两两垂直， DO ⊥ABC ,,OD OA OC 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， O ,,OA OC OD ,,x y z因为，所以；2,120AB BC ABC ==∠=︒1OA OD OB ===；())(()0,1,0,,,0,3,0B AD C ，)(1,0,0,BA BD =-=-设平面的一个法向量为，则，， ABD (),,n x y z = 00n BA n BD ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩y y -=-=令；y =()n =r易知平面的一个法向量为,BDC )OA =设平面和平面的夹角为，则ABD BDC θcosOA n OA nθ⋅===所以平面和平面. ABD BDC21. 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额均为1千万元，由于管理经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为千万元，乙超市第n 年的销售额比前一年的销售额212n +多千万元．123n -⎛⎫ ⎪⎝⎭（1）分别求甲、乙超市第n 年销售额的表达式；（2）若其中一家超市的年销售额不足另一家超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，至少会出现在第几年？【答案】（1）甲超市第n 年销售额为，乙超市第n 年销售额为1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭（2）乙超市将被甲超市收购，至少第6年【解析】【分析】（1）设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，利用n n a n b 1n n n a S S =－-即可求出，利用累加法求出即可；n a n b （2）先解释甲超市不可能被乙超市收购，然后利用得到，通12n n b a <2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过得到，代入具体的值即可 10n n c c +->2n ≥n 【小问1详解】设甲、乙超市第年销售额分别为千万元、千万元，n n a n b 假设甲超市前年总销售额为，则，n n S 212n n S +=当时，， 2n ≥()2211111222n n n n n a S S n --++=-=-=-易得不满足上式，故； 11a =1,1122n n a n n =⎧⎪=⎨-≥⎪⎩，时，，112b n =≥，1123n n n b b --⎛⎫-= ⎪⎝⎭故()()()211213212221...333n n n n b b b b b b b b --⎛⎫⎛⎫=+-+-+⋯+-=++++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭213213n⎛⎫- ⎪⎝⎭=-，12323n -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭显然也适合，故；1n =12323n n b -⎛⎫=-⋅ ⎪⎝⎭【小问2详解】甲超市不可能被乙超市收购，乙超市将被甲超市收购，理由如下： ①因为，，当时，， 3n b <11a b =2n ≥23122n n a a b ≥=>所以甲超市不可能被乙超市收购；②设即，即， 12n n b a <1221334n n n ---<22130312n n -⎛⎫+> ⎪⎝⎭设，2213312nn n c -⎛⎫=+ ⎪⎝⎭令11221122131120312312633n n nn n n n c c ++--⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=+--=-⨯> ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭即，解得，所以2231n⎛⎫ ⎪≤⎝⎭2n ≥1234c c c c <<>< ， 1104c =-<552132132320,342434243128c ⎛⎫=-=-=-< ⎪⎝⎭，662164164640,31272912729768c ⎛⎫=-=-=-> ⎪⎝⎭77210312c ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭所以，解得，22130312nn n c -⎛⎫=+> ⎪⎝⎭6n ≥综上，至少第6年时乙超市将被甲超市收购22. 已知椭圆过点．2222:1(0)x y E a b a b +=>>（1）求E 的方程；（2）过作斜率之积为1的两条直线与，设交E 于A ，B 两点，交E 于C ，(1,0)T 1l 2l 1l 2l D 两点，的中点分别为M ，N ．探究：与的面积之比是否为定,AB CD OMN A TMN △值？若是，请求出定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）22142x y +=（2）为定值，定值为2，理由见解析 【解析】【分析】（1）由题意可得写出关于的等式，即可求出E 的方程； ,,a b c （2）设直线与椭圆进行联立可得，同理可得:1,AB x my =+222,22m M m m -⎛⎫⎪++⎝⎭可得到直线过定点，然后利用2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭()221:2,m MN x y m+=+(2,0)Q 面积公式即可 【小问1详解】由题意可得，解得，22222211a b c aa b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩2a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩则E 的方程 22142x y +=【小问2详解】与面积之比为定值，定值为2，理由如下：OMN A TMN △设直线（），:1,AB x my =+0m ≠()()1122,,,,A x y B x y 联立可得，， 221142x my x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩()222230m y my ++-=216240m ∆=+>则 12122223,,22m y y y y m m --+==++所以 122222,11,2222M M M y y m m y x my m m m m +--===+=⋅+=+++所以， 222,22m M m m -⎛⎫ ⎪++⎝⎭设，同理可得 1:1CD x y m =+2222,.2121m m N m m ⎛⎫- ⎪++⎝⎭所以， ()22222222211212212MN m m m m m m k m m m -+++==-+++所以直线即 ()222212:,22m m MN x y m m m +⎛⎫-=+ ⎪++⎝⎭()2212,m x y m +=+所以恒过定点，MN (2,0)Q 设点到直线的距离分别是,O T MN 12,,d d 则 112212212OMN TMN MN d OQ S d S d TQMN d ⨯====⨯A A 【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为；()()1122,,,x y x y （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； x y ∆（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； 12x x +12x x 12y y +12y y （5）代入韦达定理求解.。

潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案

潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案

潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.5534C C +=（）A.5B.10C.15D.202.设空间向量()1,2,1a =- ，()2,4,b k =-- ，若a b，则实数k 的值为（）A.2B.10- C.2- D.103.已知两直线12,l l 的斜率分别为12,k k ，且12,k k 是方程210x x +-=的两根，则1l 与2l 的位置关系为（）A.平行B.相交且垂直C.重合D.相交且不垂直4.如图，在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，则AP = （）A.222333a b c ++B.111333a b c ++C.222333a b c-++D.111333a b c--5.月光石是由两种长石混合组成的具有月光效应的长石族矿物.它的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的上焦点()0,1F ，半椭圆的短轴与半圆的直径重合.若直线22x =与半圆交于点A ，与半椭圆交于点B ，则ABF △的面积为（）A.1)4+ B.3(21)2+ C.1+ D.214+6.有6名大学生到甲、乙、丙3个学校支教，要求一个学校3人，一个学校2人，另一学校1人，则不同的分法种数为（）A.240B.360C.480D.7207.若圆()()221:22C x y m ++-=与圆()()222:121C x y -++=相交，则实数m 的取值范围为（）A.()4,6 B.()4,10 C.()4,36 D.()16,368.如图，已知二面角l αβ--的度数大小为π3，在α与β的交线l 上取线段AB =,AC BD 分别在平面α和平面β内，它们都垂直于交线l ，且1AC =，2BD =，则CD 的长为（）A.6B.10C.D.二、多项选择题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.9.已知直线:l y x =，点()0,1A -，则（）A.过点A 与l 平行的直线的方程为1y x =-B.点A 关于l 对称的点的坐标为()0,1 C.点A 到直线l 的距离为22D.过点A 与l 垂直的直线的方程为=1y x --10.若423401234(21)x a a x a x a x a x -=++++，则（）A.01a = B.0123416a a a a a ++++=C.02441a a a ++= D.1340a a +=11.一个盒子里装有除颜色外完全相同的四个小球，其中黑球有两个，编号为1，2；红球有两个，编号为3，4，从中不放回的依次取出两个球，A 表示事件“取出的两球不同色”，B 表示事件“第一次取出的是黑球”，C 表示事件“第二次取出的是黑球”，D 表示事件“取出的两球同色”，则（）A.A 与D 相互独立.B.A 与B 相互独立C.B 与D 相互独立D.A 与C 相互独立12.已知椭圆C ：22143x y +=的左右焦点分别为1F ，2F ，且点M 是直线4x =上任意一点，过点M 作C 的两条切线MA ，MB ，切点分别为,A B ，则（）A.12AF F △的周长为6B.A ，2F ，B 三点共线C.A ，B 两点间的最短距离为2D.12AMF BMF ∠=∠三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分把答案填在答题卡的相应位置.13.62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭展开式中的常数项为______．14.针对某种突发性的流感病毒，各国的医疗科研机构都在研制疫苗.已知甲、乙两个机构各自研制成功的概率为15，14，而且两个机构互不影响，则甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为______.15.已知抛物线28y x =，F 为抛物线的焦点，且P 是该抛物线上一点，点()6,2A ，则PA PF +的最小值为______.16.在直三棱柱111ABC A B C -中，14AA =，AB =α经过点A ，且直线1AA 与平面α所成的角为30°，过点1A 作平面α的垂线，垂足为H ，则点1A 到平面α的距离为______，直线1AA 与BH 所成角的范围为______.四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.17.如图，在棱长为1的正方体ABCD A B C D -''''中，点E 是B C '的中点（1）证明：//D E '平面A BD '；（2）求直线//D E '与平面ABCD 所成角的正弦值.18.如图，已知抛物线()2:20C y px p =>的焦点为F ，点M 在其准线上，MF =，直线MF 的倾斜角为135︒，且与C 交于A ，B 两点，O 为坐标原点（1）求C 的方程；（2）求AOB 的面积.19.现有两台车床加工同一型号的零件，第1台车床加工的零件次品率为6%，第2台车床加工的零件次品率为5%，加工出来的零件混放在一起已知第1台车床加工的零件数与第2台车床加工的零件数之比为2：3，从这些零件中任取一个.（1）求这个零件是次品的概率；（2）已知这个零件是次品，求它是第一台车床加工的概率.20.已知双曲线()2222:10,0x y C a b a b-=>>，点1(1,0)A -，22,3)A 都在双曲线C 上，且C 的右焦点为F .（1）求C 的离心率及其渐近线方程；（2）设点000(,)(2)P x y x ≠是双曲线C 右支上的任意一点，记直线PF 和1PA 的斜率分别为12k k 、，证明：212221k k k =-.21.如图，在四棱锥P ABCD -中，PAD 是等边三角形，平面PAD ⊥平面ABCD ，90BCD ABC ∠=∠=︒，222AB CD BC ===M 是棱PC 上的点，且PM PC λ=，01λ≤≤.（1）求证：BD ⊥平面PAD ；（2）设二面角M BD C --的大小为θ，若13cos 13θ=，求λ的值.22.如图，已知圆22:23210T x y x ++-=，圆心是点T ，点G 是圆T 上的动点，点H 的坐标为)3,0，线段CH 的垂直平分线交线段TC 于点R ，记动点R 的轨迹为曲线E .（1）求曲线E 的方程；（2）过点H 作一条直线与曲线E 相交于A ，B 两点，与y 轴相交于点C ，若CA AH λ= ，CB BH μ=，试探究λμ+是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由；（3）过点()2,1M 作两条直线MP ，MQ ，分别交曲线E 于P ，Q 两点，使得1MP MQ k k ⋅=.且MD PQ ⊥，点D 为垂足，证明：存在定点F ，使得DF 为定值.潍坊市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.C【分析】先根据组合数的性质将其化简，再运用组合数计算公式即得.【详解】由2155534554=+5=15C 21C C C +⨯⨯+=.2.A【分析】由向量平行的坐标表示求解．【详解】由题意24121k --==-，解得2k =．3.B【分析】由斜率乘积判断两直线的位置关系可得．【详解】由题意121k k =-，因此两直线垂直．平面上的两直线垂直时当然相交．4.A【分析】根据已知条件，利用空间向量的线性运算即得.【详解】在平行六面体1111ABCD A B C D -中，111AC AB BC CC AB AD AA =++=++因为AB a = ，AD b = ，1AA c =，点P 在1AC 上，且123AP AC = ，所以()122223333AB AD A AP a b c A ++==++ .5.D【分析】依据题意求得椭圆和圆的方程后，解出关键点的坐标，再求面积即可.【详解】由题意得，半圆的方程为221(0)x y y +=≤，在半椭圆中1b c ==，则a =，故半椭圆方程为221(0)2y x y +=≥，将22x =代入半椭圆，解得1B y =，将22x =代入半圆，解得22A y =-，故222AB +=，然1212224ABF S ++=⨯⨯=，6.B【分析】先按人数分组，再分配到三个学校可得．【详解】选按人数3，2，1分成3组再分配到三个学校，不同的分法种数为323633C C A 360=．7.D【分析】利用圆心距离与两圆半径关系求解．【详解】由已知1(2,2)C -，2(1,2)C -，125C C =，151-<<+，解得1636m <<．8.C【分析】利用CD CA AB BD =++，将其两边同时平方即可求2CD ，再开方即可求解.【详解】由图得：CD CA AB BD =++，又由题意知：π2π,,,π33CA AB BD AB CA BD ⊥⊥=-= ，所以()2222CD CD CA AB BD CA AB BD==++=++ 222222CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 222ππ2π2cos 2cos 2cos223CA AB BD CA AB BD AB CA BD =+++⋅+⋅+⋅ 221120021262⎛⎫=+++++⨯⨯⨯-= ⎪⎝⎭，所以26CD CD =⇒=，所以CD ，9.ACD【分析】由平行垂直求出直线方程判断AD，写出对称点坐标判断B，由得点到直线距离判断C．【详解】与直线y x =平行的直线方程可设为y x m =+，代入点(0,1)A -坐标得10m -=+，即1m =-，即平行线方程为1y x =-，A 正确；A 关于l 的对称点坐标为(1,0)-，B 错；A 到直线l 的距离为22d ==，C 正确；与直线l 垂直的直线方程可设为y x n =-+，代入A 点坐标得10n -=+，1n =-，直线方程即为=1y x --，D 正确．10.AC【分析】根据给定条件，利用二项式定理，结合赋值法逐项计算判断即得.【详解】令423401234()(21)f x x a a x a x a x a x =-=++++，对于A，由0x =，得0(0)1a f ==，A 正确；对于B，由1x =，得01234(1)1a a a a a f ++++==，B 错误；对于C，由=1x -，得01234(1)81a a a a a f -+-+=-=，因此0241(1)4(1)2a f f a a +-+=+=，C 正确；对于D，13(1)(1)402f f a a --+==-，D 错误.11.BCD【分析】根据相互独立事件的概念进行判定.【详解】不放回依次取出两个，基本事件有12,13,14,23,24,34,21,31,41,32,42,43，共12种，事件A =“13,14,23,24,31,41,32,42”；事件B =“12,13,14,21,23,24”；事件C =“12,21,31,41,32,42”；事件D =“12,21,34,43”.事件AD =∅，事件AB =“13,14,23,24”，事件BD =“12,21,”，事件AC =“31,41,32,42”，则()()8261,123122P A P B ====，()61122P C ==，()41123P D ==，()0P AD =，()41123P AB ==，()21126P BD ==，()41123P AC ==，所以()()()P AD P A P D ≠，所以A 与D 不相互独立；()()()P AB P A P B =，所以A 与B 相互独立；()()()P BD P B P D =，所以B 与D 相互独立；()()()P AC P A P C =，所以A 与C 相互独立；12.ABD【分析】根据椭圆焦点三角形的周长的算法，可判断A 的真假；求出切点弦AB 的方程，判断是否过右焦点2F 可判断B 的真假；求过右焦点的弦长的最小值，判断C 的真假；利用斜率与倾斜角的关系及正切的差角公式计算即可判定D 项.【详解】设椭圆长轴长2a ，短轴长2b ，焦距2c ，则由椭圆方程可知2,1a b c ===，如图：因为A 在椭圆C 上，所以1224AF AF a +==，1222F F c ===，所以12AF F △的周长为226a c +=，故A 正确；对B：设M 点的坐标为()4,t ，()11,A x y ，()22,B x y ，由图可知，过M 点作椭圆22143x y +=的切线，切线斜率必存在.所以过A 点的切线方程可设为：()11y y k x x -=-，联立方程组：()1122143y y k x x x y ⎧-=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()()22211113484120k x k y kx x y kx ++-+--=，由Δ0=得：()()()222111184344120k y kx k y kx ⎡⎤⎡⎤--+--=⎣⎦⎣⎦，整理得：()()2211340y kx k--+=⇒()()22211113240ykx y k x --+-=，因为：2211143x y +=⇒2211334x y -=-，2211443y x -=-，所以：2221111342043x y kx y k ⎛⎫--+-= ⎪⎝⎭⇒2221111924160x kx y k y ++=⇒()211340x ky +=⇒11340x ky +=,即1134x k y =-.所以过点A 的切线为：()111134x y y x x y -=--⇒11143x x y y +=.又切线过点M ，所以1113ty x +=.同理：2213ty x +=.故A ，B 两点都在直线13tyx +=上，而点2F ()1,0也在这条直线上，所以A ，2F ，B 三点共线，故B 正确；对C：若直线AB 无斜率，则232232b AB a =⨯=⨯=,若直线AB 有斜率，结合B 项结论可设其方程为：()1y k x =-,联立方程组：()221143y k x x y ⎧=-⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()22234112x k x +-=，整理得：()22223484120kxk x k +-+-=，则2122834k x x k +=+，212241234k x x k-=+，所以()()()()222121212221691434k x x x x x x k ⨯+-=+-=+，所以：()212221213333434k AB x k k+=-==+>++.综上：3AB ≥.故C 错误；对D：设过M 点的切线方程为：()4y k x t =-+，联立方程组：()224143y k x t x y ⎧=-+⎪⎨+=⎪⎩，消去y 得：()()222223483264324120k x kt k x k kt t ++-+-+-=，由Δ0=得：()2222283243464324120kt k k k kt t ⎡⎤⎡⎤--+-+-=⎣⎦⎣⎦，整理得：2212083kt t k +--=，不妨设12,MA MBk k k k ==，则2121223,312t t k k k k -+==，易知121221121200354141tan tan 0035114141t t k k k t t k F MA F MB t t tk tk k k -------+∠==∠==--+++⋅+⋅-+，且12,AMF BMF ∠∠均为锐角，故12211235tan tan 35k t t k F MA F MB tk tk --∠-∠=-++()()()()2121212158835t k k tk k ttk tk -++-=++()()()()221222153833035t tt t ttk tk -⨯+⨯--==++，所以12AMF BMF ∠=∠，故D 正确.【点睛】难点点睛：对于B 项，利用同解方程求出切点弦方程即可，而积累结论：过椭圆22221x y a b +=上一点()00,P x y 的切线方程为00221x x y y a b +=，过椭圆22221x y a b+=外一点()00,P x y 的切点弦方程为00221x x y ya b+=，如此可直接快速判定B 项；对于C 项，通过分类讨论及弦长公式计算即可，而积累结论焦点弦通径最短可快速得出结论；对于D 项，根据同解方程得出两切线斜率的关系式，结合到角公式计算即可.13.【分析】由题意利用二项式定理可得解.【详解】二项式62x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式的通项公式6662162C C 2rr r r r r r T x x x --+⎛⎫== ⎪⎝⎭，令620r -=，可得3r =，所以展开式中的常数项为336C 2160⨯=.故答案为：160.14.【分析】甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，由此求得甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率.【详解】由于两个机构互不影响，故甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的对立事件为甲、乙两个机构一个也没有研制成功，所以甲、乙两个机构中，至少有一个研制成功的概率为：11321(1)15455P =---=-=.故答案为：2515.【分析】作邮抛物线的准线，把PF 转化为P 到准线的距离PQ ，由三点共线得最小值．【详解】由题意抛物线28y x =的准线l 的方程是2x =-，过P 作PQ l ⊥于Q ，则PQ PF =，所以PA PF PA PQ +=+当且仅当,,A P Q 三点共线时，PA PQ +取得最小值6(2)8--=，所以PA PF +的最小值是8.故答案为：8.16.【分析】利用1AH AH ⊥，得出H 在以1AA 为直径的球面上，其时可得出1A 到平面α的距离，由直线1AA 与平面α所成的角为30°，得H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，从而得出H 的轨迹是圆，然后建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求得BH 与1AA 所成角的余弦值，角的范围．【详解】如图，连接AH ，因为1A H α⊥，AH α⊂，所以1AH AH ⊥，所以H 在以1AA 为直径的球面上，又直线1AA 与平面α所成角为30︒，而1A AH ∠即为直线1AA 与平面α所成的角，因此130A AH ∠=︒，因此H 在以1AA 为轴，顶角为60︒的圆锥面上，过H 作1HO AA ⊥于点O，则112,1,3HA HA HO A O AO =====，其中1HA 的长即为1A 到平面α的距离．所以H 在圆锥AO 的底面圆上，O，以AB 为y 轴，1AA 为z 轴，过A 与AB 垂直的直线的为x 轴建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,B，设,3)H θθ，BH θθ=- ，取1AA 的一个方向向量为(0,0,1)n =，cos ,BH n BH n BH n ⋅===1,22∈，又0,πBH n ≤≤，所以ππ,[,]63BH n ∈ ，所以直线BH 与1AA 所成角的范围是[,63ππ，即[30,60]︒︒，故答案为：2；[30,60]︒︒．17.【分析】（1）根据给定条件，利用面面平行的判定与性质推理即得.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即得.【小问1详解】在正方体ABCD A B C D -''''中，四边形BDD B ''是其对角面，则//B D BD ''，BD ⊂平面A BD '，B D ''⊄平面A BD '，于是//B D ''平面A BD '，同理//B C '平面A BD '，又B D B C B ''''= ，,B D B C '''⊂平面B CD ''，因此平面//A BD '平面B CD ''，又D E '⊂平面B CD ''，所以//D E '平面A BD '.【小问2详解】以D 为原点，,,DA DC DD '的方向分别为x 轴、y 轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则(0,0,1),1(,1,)22E D '，11(,1,)22D E '=- ，显然平面ABCD 的法向量为(0,0,1)n = ，设直线D E '与平面ABCD 所成角为θ，则1||62sin |cos ,|6||||D E n n D E D E n θ'⋅'=〈〉=='⋅，所以直线D E '与平面ABCD 所成角的正弦值为66.18.【分析】（1）记准线与x 轴交点为K ，MKF为等腰直角三角形，得MF =，从而求得p 得抛物线方程；（2）直线AB 方程代入抛物线方程，应用韦达定理得1212,x x x x +，然后求得弦长AB ，再求得O 到直线AB 的距离后可得三角形面积．【小问1详解】因为直线MF 的倾斜角为135︒，记准线与x 轴交点为K ，易知MKF为等腰直角三角形，且MF =，所以焦点到准线的距离为2，即2p =，所以抛物线的方程为24y x =.【小问2详解】由（1）可得()1,2M -，()1,0F ，因为直线MF 的倾斜角为135︒，所以直线MF 的斜率为1k =-，所以直线MF 的方程为1y x =-+，即AB 的方程为1y x =-+，联立21,4,y x y x =-+⎧⎨=⎩可得2610x x -+=，所以12126,1,x x x x +=⎧⎨=⎩所以()22121211423648AB x x x x =++-=-=，又点O 到直线AB 的距离1222d ==，所以AOB 的面积112||82222AOB S AB d =⋅=⨯⨯=△19.【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，准确计算，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率的计算公式，即可求解.【小问1详解】解：记事件1A ：第一台车床加工的零件，记事件2A ：第二台车床加工的零件，记事件B ：这个零件是次品，由题意可得12()0.45P A ==，23()0.65P A ==，1(|)0.06P B A =，2(|)0.05P B A =，由全概率公式可得：1122()()(|)()(|)0.40.060.60.050.054P B P A P B A P A P B A =⋅+⋅=⨯+⨯=.【小问2详解】解：由（1）知，已知这个零件是次品，它是第一台车床加工的概率为1111()()(|)0.0244(|)()()0.0549P A B P A P B A P A B P B P B ⋅====.20.【分析】（1）把1A 、2A 的坐标代入双曲线C 得方程可得答案；（2）求出1k 、2k 得()()002222021211+=-+y x k k x ，再由点P 的坐标满足双曲线方程代入可得答案.【小问1详解】由题意，把()11,0A -，(2A -代入双曲线C 得：22211231a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得1a =，b =，2c =，所以双曲线C 的方程为2213y x -=，故离心率2ce a==，渐近线方程为y =；【小问2详解】由题意得，12,k k 一定存在且21k ≠±，()2,0F ，00x >，0102PF y k k x ==-，1021PA y k k x ==+，则()()()00022222020221121111y y x x k y k x x ++==-+-+，又点P 的坐标满足220013y x -=，则220033y x =-，故()()()()()000002122220000021212122121y x y x y k k k x x x x y ++===-=----+-+-，所以212221k k k =-.21.【分析】（1）由余弦定理计算后由勾股定理逆定理证明AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，由面面垂直得线面垂直，从而得线线垂直PO BD ⊥，然后可得证题设线面垂直；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角，从而求出λ值．【小问1详解】因为90BCD ∠=︒，22CD BC ==，所以4BD =，45CBD ∠=︒，在ABD △中，45ABD ∠=︒，42AB =，由余弦定理得，222cos 4AD AB BD AB BD ABD =+-⋅∠，所以222AD BD AB +=，即90ADB ∠=︒，AD BD ⊥，取AD 的中点O ，连结PO ，因为PAD 是等边三角形，所以PO AD ⊥，又因为平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ⋂平面ABCD AD =，PO ⊂平面PAD ，所以PO ⊥平面ABCD ，又因为BD ⊂平面ABCD ，所以PO BD ⊥.又因为PO AD O = ，PO ，AD ⊂平面PAD ，所以BD ⊥平面PAD .【小问2详解】取AB 的中点N ，连结ON ，则ON BD ∥，所以AD ON ⊥，以O 为原点，,,ON OD OP的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系，则()0,2,0A -，()0,2,0D ，()4,2,0B ，()2,4,0C ，(0,0,3P ，(0,2,23)AP =，((()0,2,32,4,32,42,23(1)DM DP PM DP PC λλλλλ=+=+=-+-=--，又()4,0,0DB = ，设平面MBD 的一个法向量为(),,n x y z =r，则0,0,DM n DB n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即，2(42))0,40,x y z x λλλ⎧+-+-=⎪⎨=⎪⎩当12λ=时，平面MBD ⊥平面ABCD ，不合题意；当12λ≠时，令21z λ=-，得平面MBD的法向量为)()1,21n λλ=--，易知平面ABCD 的一个法向量为()0,0,1m =，由于平面MBD 与平面ABCD 所成角的余弦值为1313，故有|cos ,|13m n ==，解得13λ=或35λ=.22.【分析】（1）根据题意，得RT RH RT RG TG TH +=+===动点R 的轨迹是以T ，H 为焦点，长轴长为的椭圆；（2）设出直线AB 的方程，与椭圆方程联立，由向量坐标运算表示λμ+，化简即可；（3）设PQ 的方程是y hx m =+，与椭圆方程联立，由条件1MP MQ k k ⋅=，可得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，可证直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上，可得解.【小问1详解】因为22210x y ++-=，所以22(24x y ++=，所以()T，半径r =因为线段GH 的中垂线交线段TG 于点R ，所以RH RG =，所以RT RH RT RG TG TH +=+===所以动点R的轨迹是以0()T，)H为焦点，长轴长为的椭圆，所以a =，c =b =故曲线E 的方程为22163x y +=..【小问2详解】当直线AB的斜率不存在时，其方程为x =，与y轴不相交，不合题意，舍去，当直线AB 的斜率存在时，设AB 所在直线方程为()3y k x =-，设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由22(1,63y k x x y ⎧=⎪⎨+=⎪⎩消去y整理得2222(12)660k x x k +-+-=，0∆>恒成立，所以21222122126612x x k k x x k ⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，又因为直线AB 与y 轴的交点为C，所以()0,C ，所以()11,CA x y =+，)11,AH x y =-，()22,CB x y =+，)22,BH x y =- ，又因为CA AH λ=，所以)11x x λ=，同理)22x x μ=，所以λ=，且μ=所以2222436621212k k k λμ--⨯+-+==，整理后得222221212121243612663k k k k k λμ-++==-=-+-+-，所以λμ+为定值4-，原题得证.【小问3详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，显然PQ 的斜率存在，12x ≠，22x ≠，设PQ 的方程是y hx m =+，由22,26,y kx m x y =+⎧⎨+=⎩消去y 得()222214260k x kmx m +++-=，则()()()222222Δ16421268630k m k m k m =-+⋅-=-+>，即2263k m +>，由韦达定理得12221224212621km x x k m x x k -⎧+=⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，根据已知1MP MQ k k ⋅=，可得121211122y y x x --⋅=--，即()()12121212124y y y y x x x x -++=-++，又11y kx m =+，22y kx m =+，代入上式整理得()22821230m k m k +++-=，则63m k =--或12m k =-，当63m k =--时，直线PQ 的方程为()63y k x =--，所以直线PQ 经过定点()6,3-，当12m k =-时，直线PQ 的方程为()21y k x =-+，所以直线PQ 经过定点()2,1与M 重合，舍去，故直线PQ 经过定点()6,3K -，又因为MD PQ ⊥，所以D 在以线段MK 为直径的圆上.所以F 为线段MK 的中点，即()4,1F -，所以1122DF MK ===【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：（1）设直线方程，设交点坐标为()11,x y ，()22,x y ；（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，必要时计算∆；（3）列出韦达定理；（4）将所求问题或题中的关系转化为1212,x x x x +的形式；（5）代入韦达定理求解.。

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)

高二数学上学期期末考试试题(及答案)高二数学上学期期末考试试题及答案第I卷（选择题）1.在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，则C=（）。

A。

2π/3 B。

π/3 C。

π D。

3π/4改写：在三角形ABC中，已知a+b=c-2ab，求C的大小。

答案：B2.在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求以下条件p的充要条件。

A。

充要条件B。

充分不必要条件C。

必要不充分条件D。

既非充分也非必要条件改写：在三角形ABC中，已知cosAcosB=p，求p的充要条件。

答案：B3.已知等比数列{an}中，a2a10=6a6，等差数列{bn}中，b4+b6=a6，则数列{bn}的前9项和为（）。

A。

9 B。

27 C。

54 D。

72改写：已知等比数列{an}和等差数列{bn}的一些条件，求{bn}的前9项和。

答案：C4.已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，则数列{a1}的前n 项和为（）。

A。

n^2/(n-1) B。

n(n+1)/(2n+1) C。

3(2n+3)/(2n+1) D。

3(n+1)/(n-1)改写：已知数列{an}的前n项和Sn=n+2n，求数列{a1}的前n项和。

答案：B5.设 2x-2y-5≤2，3x+y-10≥3，则z=x+y的最小值为（）。

A。

10 B。

8 C。

5 D。

2改写：已知不等式2x-2y-5≤2和3x+y-10≥3，求z=x+y的最小值。

答案：C6.对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，给出下面四个命题：①曲线C不可能表示椭圆；②“14”的必要不充分条件；④“曲线C表示焦点在x轴上的椭圆”是“1<k<5”的充要条件。

其中真命题的个数为（）。

A。

0个 B。

1个 C。

2个 D。

3个改写：对于曲线C：x^2/4+y^2/k^2=1，判断下列命题的真假，并统计真命题的个数。

答案：C7.对于曲线C：x^2+y^2=1与直线y=k(x+3)交于点A,B，则三角形ABM的周长为（）。

上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案

上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题与答案

上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1~6题每题3分，第7~12题每题4分要求在答题纸相应题序的空格内直接填写结果，每个空格填对得分，否则一律得零分．1.椭圆2214y x +=的焦距为__________．2.表面积为4π的球的体积为__________.3.已知数列{}n a 是各项为正的等比数列，11a =，51a =，则其前10项和10S =__________．4.已知事件A 与事件B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，则()P A B =________．5.若抛物线2x my =的顶点到它的准线距离为12，则正实数m =______.6.某学校组织全校学生参加网络安全知识竞赛，成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，数据的分组依次为[20,40),[40,60),[60,80),[80,100]，若该校的学生总人数为1000，则成绩低于60分的学生人数为__．7.已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的体积为___________.8.若双曲线22116x y m -=经过点()，则此双曲线的渐近线夹角的为______．9.若数列{}n a 满足()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，则{}n a 的通项公式是______．10.在体积为9的斜三棱柱ABC—A 1B 1C 1中，S 是C 1C 上的一点，S—ABC 的体积为2，则三棱锥S—A 1B 1C 1的体积为___．11.已知无穷等比数列{}n a 满足：21193,2i i i i a a +∞+∞====∑∑，则{}n a 的通项公式是______．12.已知直线1:20l y -=和直线2:10l x +=，则曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值是____________．二、选择题（本大题共有4题，满分14分，第13~14题每题3分，第15~16题每题4分），每题都给出四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑，选对得相应满分，否则一律得零分．13.直线倾斜角的取值范围为（）A.π0,2⎡⎫⎪⎢⎣⎭B.π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦C.[0,π)D.[]0,π14.已知α，β表示两个不同的平面，m 为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m ⊥β”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件15.从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是（）A.720 B.710C.310D.3516.关于曲线1122:1M x y +=，有下述两个结论：①曲线M 上的点到坐标原点的距离最小值是22；②曲线M 与坐标轴围成的图形的面积不大于12，则下列说法正确的是（）A.①、②都正确B.①正确②错误C.①错误②正确D.①、②都错误三、解答题（本大题共有5题，满分44分），解答下列各题必须在答题纸的规定区域（对应的题号）内写出必要的步骤．17.随机抽取某校甲乙两班各10名同学，测量他们的身高（单位：cm ），获得身高数据如下：甲班：170179162168158182179168163171乙班：159173179178162181176168170165（1）计算甲班的样本方差；（2）求乙班数据的25%分位数．18.在长方体1111ABCD A B C D -中（如图），2AB =，11AD AA ==，点E 是棱AB 的中点.（1）求异面直线1AD 与EC 所成角的大小；（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，试问四面体1D CDE 是否为鳖臑？并说明理由.19.已知数列{}n a 的前n 项和为2,n n S S n n =+，其中N,1n n ∈≥．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n H ．20.如图，在底面边长为1，侧棱长为2的正四棱柱1111ABCD A B C D -中，P 是侧棱1CC 上的一点，.=CP m （1）试确定m 的值，使直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒；（2）在线段11A C 上是否存在一个定点Q ，使得对任意的m ，有1D Q AP ⊥？证明你的结论．21.已知椭圆22221(,0)x y a b a b+=>的一个焦点为)3,0，离心率为32，椭圆的左右焦点分别为12F F 、，直角坐标原点记为O ．设点()0,P t ，过点P 作倾斜角为锐角的直线l 与椭圆交于不同的两点B C 、．（1）求椭圆的方程；（2）设椭圆上有一动点T ，求()12PT TF TF ⋅-的取值范围；（3）设线段BC 的中点为M ，当2t ≥Q ，使得非零向量OM与向量PQ平行，请说明理由．上海市2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题答案1.【分析】利用椭圆方程求出a ，b ，然后求解c ，即可得到结果．【详解】解：椭圆2214y x +=，2a =，1b =，则c ==．椭圆2214y x +=的焦距为：故答案为：【点睛】本题考查椭圆的简单性质的应用，属于基础题．2.【分析】先求出半径，再利用公式可求体积.【详解】2344441,33S R R V R ππππ==⇒===，故答案为：43π.3.【分析】根据题意，由条件可得数列{}n a 的公比为1，则10110S a =，即可得到结果.【详解】因为数列{}n a 是各项为正的等比数列，则其公比0q >，又11a =，51a =，则4511a q a ==，即1q =，所以数列{}n a 为常数数列，且11n a a ==，所以1011010S a ==.故答案为：104.【分析】根据互斥事件的概率加法公式，即可求解.【详解】因为随机事件A 与B 互斥，且()0.3P A =，()0.4P B =，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B =+=+= .故答案：0.75.【分析】根据顶点到它的准线距离为4m即可得到方程，解出即可.【详解】222m x my y ==⋅，因为m 为正实数，则142m =，则2m =，故答案为：2.6.【分析】先利用频率分布直方图求得成绩低于60分的频率，进而求得该校成绩低于60分的学生人数.【详解】图中成绩低于60分的频率为20(0.010.005)0.3+=，则该校成绩低于60分的学生人数为10000.3300⨯=（人）故答案为：3007.【分析】根据圆锥的侧面积公式求出圆锥的母线长，利用勾股定理求出圆锥的高，再根据圆锥的体积公式可求出结果.【详解】设圆锥的母线长为l ，因为圆锥的底面半径3r =，所以圆锥的侧面积S 3rl l ππ==，依题意可得315l ππ=，解得5l =，所以圆锥的高4h ===，所以该圆锥的体积221113412333V Sh r h πππ==⋅=⨯⨯⨯=.故答案为：12π.8.【分析】将点代入双曲线，求出m ，然后求出渐近线方程，根据渐近线的斜率判断【详解】将点()代入双曲线得329116m-=，解得9m =，所以双曲线221169x y -=，所以双曲线的渐近线为34y x =±，设34y x =的倾斜角为α且3tan 4α=，则045α︒︒<<，0290α︒︒<<，所以两条渐近线的夹角为2α，所以232tan 2tan 291tan 116ααα===--247，所以由22sin 2cos 21sin 224tan 2cos 27ααααα⎧+=⎪⎨==⎪⎩得7cos 225α=.故答案为：7acccos259.【分析】利用累加法，结合等差数列的求和公式即可得解.【详解】因为()1112,21,n n a a a n n n +==+≥∈N ，所以212a a -=，324a a -=，…，12(1)n n a a n --=-，2n ≥，所以121321()()()n n n a a a a a a a a -=+---+++ 2(1)12242(1)122122n n n n n -=++++-=+⨯=-+ ，2n ≥，又112a =也满足上式，所以212n a n n =-+.故答案为：212n a n n =-+.10.【分析】由已知棱柱体积与棱锥体积可得S 到下底面距离与棱柱高的关系，进一步得到S 到上底面距离与棱锥高的关系，则答案可求．【详解】设三棱柱111ABC A B C -的底面积为'S ，高为h ，则9'9'S h S h==，，再设S 到底面ABC 的距离为'h ，则1''23S h =，得19'23h h ⨯⨯=，所以'23h h =，则S 到上底面111A B C 的距离为13h ，所以三棱锥111S A B C -的体积为111'91339S h ⨯=⨯=．故答案为1．【点睛】本题考查棱柱、棱锥体积的求法，考查空间想象能力、思维能力与计算能力，考查数形结合思想，三棱锥体积为13V S h =⋅底，本题是中档题．11.【分析】根据题意得到1q <，再利用无穷等比数列和的公式得到131a q =-与212912a q =-，解方程组即可得解.【详解】因为无穷等比数列{}n a ，13i i a +∞==∑，则1q <，131a q =-①，所以{}2n a 是首项为21a ，公比为21q <的等比数列，又2192ii a +∞==∑，则212912a q =-②，由①②可得，1312a q =+③，由②③可得，12a =，13q =,故{}n a 的通项公式为1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.故答案为：1123n n a -⎛⎫= ⎪⎝⎭.12.【分析】先设出点P 的坐标，表示出点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和12003d d x y +=-+；再利用几何意义求解得出答案.【详解】设点P 的坐标为()00,x y 则动点P 到直线1l 的距离为10022d y y =-=-；动点P 直线2l 的距离为()20011d x x =--=+.所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l 的距离之和为120000213d d y x x y +=-++=-+令003t x y -=-，即003y x t=+-则3t -的几何意义是过点P 的直线3y x t =+-在y 轴上的截距.因为点P 在曲线()2211x y -+=上.所以当直线3y x t =+-与曲线()2211x y -+=相切时t 有最值.因为曲线()2211x y -+=是以()1,0圆心，1为半径的圆.1=，解得4t =-或4t =+所以曲线()2211x y -+=上一动点P 到直线1l 和直线2l的距离之和的最小值为4-故答案为：413.【分析】根据直线倾斜角的定义进行判断即可.【详解】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是0，因此直线倾斜角的取值范围为[0,π)，故选：C14.【详解】当α⊥β时，平面α内的直线m 不一定和平面β垂直，但当直线m 垂直于平面β时，根据面面垂直的判定定理，知两个平面一定垂直，故“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．15.【分析】根据给定条件，利用列举法结合古典概率计算即得.【详解】记3名男同学为,,a b c ，2名女同学为,E F ，从5名同学中任选2名的结果有：,,,,,,,,,ab ac aE aF bc bE bF cE cF EF ，共10个，选出的2名同学中至少有1名女同学的事件含有的结果有,,,,,,aE aF bE bF cE cF EF ，共7个，所以选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是710.故选：B16.【分析】利用基本不等式判断①的正确性，利用不等式的性质判断②的正确性.【详解】对于①，由11221x y +=平方可得，1x y ++=．因为x y +≥所以12x y +≥()2224x y ≥+≥，当且仅当14x y ==时等号成立，故①错误；对于②，由11221x y +=知，[],0,1x y ∈，11221y x =-，两边平方可得1y x =+-．因为x ≤，所以1121y x x x x =+-+-=-，即曲线C 在直线1y x =-的下方，因此所围图形的面积不大于12，故②正确.故选：C【点睛】用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：“一正，二定，三相等”.（1）“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方，注意多次运用不等式，等号成立条件是否一致.17.【分析】（1）利用平均数与方差的计算公式即可得解；（2）利用百分位数的定义求解即可.【小问1详解】依题意，设甲班的样本平均数为x ，方差为2s ，则()117017916216815818217916816317117010x =⨯+++++++++=，所以()()()()()22222222222109821212927157.210s ⎡⎤=⨯++-+-+-+++-+-+=⎣⎦【小问2详解】将乙班数据从小到大重新排列得：159，162，165，168，170，173，176，178，179，181，又1025% 2.5⨯=，所以乙班数据的25%分位数为第3位数，即165cm .18.【分析】（1）作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，即可得到1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，再根据三角形的性质求出1D AE '∠，即可得解；（2）首先可得90DEC ∠=︒，即可得到DEC 为直角三角形，在由线面垂直、面面垂直的性质得到CE ⊥平面1DD E ，即可得到1CE D E ⊥，即1D EC △为直角三角形，即可判断；【小问1详解】解：作//AE CE '交CD 于E '，联结1D E '，因为E 是棱AB 的中点.所以E '为CD 的中点，则1D AE '∠为异面直线1AD 与EC 所成角，因为11AD AA DE '===，所以11AE D E AD ''===因为1AD E '△为正三角形，即160D AE '∠=︒，异面直线1AD 与EC 所成角为60︒.【小问2详解】解：E 是棱AB 上的中点，则ADE V ､CBE △均为等腰直角三角形，故90DEC ∠=︒，所以DEC 为直角三角形，由1DD ⊥平面ABCD ，1DD ⊂面1DD E ，所以平面1DD E ⊥平面ABCD ，又DE CE ⊥，平面1DD E 平面ABCD DE =，CE ⊂平面ABCD ，所以CE ⊥平面1DD E ，1D E ⊂平面1DD E ，所以1CE D E ⊥，所以1D EC △为直角三角形，因为1DD ⊥平面ABCD ，,DE DC ⊂平面ABCD ，所以1DD DE ⊥，1DD DC ⊥，所以1DD E △､1DD C △均为直角三角形，故四面体1D CDE 四个面均为直角三角形为鳖臑.19.【分析】（1）利用,n n S a 之间的关系进行求解即可；（2）利用裂项相消法进行求解即可.【小问1详解】因为当N,1n n ∈≥时，有2n S n n =+，所以当N,2n n ∈≥时，有()2111n S n n -=-+-，两式相减，得2n a n =，当1n =时，由212n S n n a =+⇒=，适合2n a n =，所以2n a n =，*N n ∈；【小问2详解】因为2n a n =，N n ∈；所以()()111111112224141n n a a n n n n n n +⎛⎫==⋅=- ⎪+++⎝⎭，因此()11111114223141n n H n n n ⎛⎫=-+-++-= ++⎝⎭ .20.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用直线与平面所成角的公式求出m 的值；（2）假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，由1⊥D Q AP ，即10AP D Q ⋅=，求出x ，即可得出答案．【小问1详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则点(1,0,0)A ，(1,1,0)B ，(0,1,)P m ，(0,1,0)C ，(0,0,0)D ，1(1,1,2)B ，1(0,0,2)D ，(1,1,0)∴=-- BD ，1(0,0,2)BB = ，(1,1,)=- AP m ，(1,1,0).=- AC 由0AC BD ⋅= ，10⋅= AC BB ,1BD BB B ⋂=知，AC 为平面11BB D D 的一个法向量．设AP 与平面11BB D D 所成的角为θ，则2||3sin 2||||22AP AC AP AC m θ⋅==⨯+ ，解得63=m 故当63m =时，直线AP 与平面11BDD B 所成角为60︒．【小问2详解】假设在线段11A C 上存在这样的点Q ，设点Q 的横坐标为x ，则(,1,2)-Q x x ，1(,1,0)D Q x x =- ，依题意，得1⊥ D Q AP ，即10AP D Q ⋅= ，(1)0∴-+-=x x ，解得12x =，当Q 为11A C 的中点时，满足题设的要求．21.【分析】（1）求出,a b 可得答案；（2）设动点(),T x y ，求出()122123PT TF TF PT F F x ⋅-=⋅=- ，根据x 的取值范围可得答案；（3）设直线:l y kx t =+与椭圆方程联立，可得其判别式1Δ0>，化简得2214t k ->①，利用韦达定理求出M 点坐标可得14OM k k =-，利用//OM PQ 得PQ OM k k =，设直线PQ 方程为14y x t k =-+与椭圆方程联立，要使得存在点Q 可得其判别式2Δ0≥，化简得22144k t ≤-②，由①②式求出t 的范围可得答案.【小问1详解】由题意，得2c a ==，所以1b ==，则椭圆的标准方程为2214x y +=；【小问2详解】设动点()()21,,T x y F F =- ，(),=- PT x y t ，()1221PT TF TF PT F F ⋅-=⋅=- ，[]2,2x ∈- 所以()12PT TF TF ⋅-的取值范围为-⎡⎣；【小问3详解】显然直线的斜率存在，所以可以设直线:l y kx t =+，联立得到2214y kx t x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理，得()()222148440k x ktx t +++-=，则2121222844,1414kt t x x x x k k-+=-⋅=++，则222244,,,14141414M M M kt t kt t x y kx t M k k k k ⎛⎫=-=+=∴- ⎪++++⎝⎭，又 直线l 与椭圆交于两点：()()22221Δ64414440k t k t =-+->，化简得226416160k t +->，则2214t k ->①，14OM k k∴=-，如果//OM PQ ，则14PQ OM k k k ==-，设直线PQ 为22114,414y x t k y x t k x y ⎧=-+⎪⎪=-+⎨⎪+=⎪⎩，整理得2221214404t x x k k k⎛⎫+-+-= ⎪⎝⎭，要使得存在点Q ，则()2222241Δ414404t t k k ⎛⎫=-+-≥ ⎪⎝⎭，整理得22224116160,44+-≥∴≤-t k k t ②，由①②式得，22211444-∴<≤-t k t ，则2211444t t -<-，解得t <<，所以当t ≥Q ，使得//OM PQ .【点睛】关键点点睛：第三问的解题关键点是分别设直线l 、直线PQ 方程与椭圆方程联立，利用其判别式化简t 求出t 的范围.。

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二数学上学期期末考试试卷含答案(共3套)

高二上学期期末考试数学试卷含答案（全卷满分：120 分 考试用时：120 分钟）一、选择题（本大题共12小题，共60分）1.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户，为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取1个容量为100户的样本，记作①；某学校高三年级有12名足球运动员，要从中选出3人调查学习负担情况，记作②那么完成上述两项调查宜采用的抽样方法是（ ）A. ①用随机抽样法，②用系统抽样法B. ①用系统抽样法，②用分层抽样法C. ①用分层抽样法，②用随机抽样法D. ①用分层抽样法，②用系统抽样法 2.若直线1:(2)10l m x y ---=与直线2:30l x my -=互相平行，则m 的值为（ ）A. 0或-1或3B. 0或3C. 0或-1D. -1或33.用秦九韶算法求多项式542()42016f x x x x x =++++在2x =-时，2v 的值为（ ）A. 2B.-4C. 4D. -34.执行右面的程序框图，如果输入的3N =，那么输出的S =（ ）A. 1B.32C.53D.525.下图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据（单位：件） 若这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，则x 和y 的值分别为（ ）A. 5，5B. 3，5C. 3，7D. 5，7 6.若点P （3，4）和点Q （a ，b ）关于直线10x y --=对称，则（ ）A.5,2a b ==B. 2,1a b ==-C. 4,3a b ==D. 1,2a b ==-7.直线l 过点（0，2），被圆22:4690c x y x y +--+=截得的弦长为l 的方程是（ ）A.423y x =+ B. 123y x =-+ C. 2y = D. 423y x =+ 或2y = 8.椭圆221169x y +=中，以点(1,2)M 为中点的弦所在直线斜率为（ ）A.932-B.932C.964D.9169.刘徽是一个伟大的数学家，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是中国最宝贵的文化遗产，他所提出的割圆术可以估算圆周率π，理论上能把π的值计算到任意的精度．割圆术的第一步是求圆的内接正六边形的面积．若在圆内随机取一点，则此点取自该圆内接正六边形的概率是（ ）C.12πD.14π10.若椭圆22194x y k+=+的离心率为45，则k 的值为( ) A ．－21B ．21C ．－1925或21D.1925或21 11.椭圆221164x y +=上的点到直线x ＋2y －2＝0的最大距离是( ) A ．3 B.11 C ．2 2D.1012.2=，若直线:12l y kx k =+-与曲线有公共点，则k 的取值范围是（ ）A.1,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B.1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ C. )1,1,3⎛⎤⎡-∞⋃+∞ ⎣⎥⎝⎦ D. ()1,1,3⎛⎫-∞⋃+∞ ⎪⎝⎭二、填空题（本大题共4小题，共20分）13.命题“20,0x x x ∀>+>”的否定为______________________________ ．14.已知x 与y 之间的一组数据：，已求得关于y 与x 的线性回归方程 1.20.55x =+，则a 的值为______ ．15.若,x y 满足约束条件103030x y x y x -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =-的最小值为______．16.椭圆x 2a 2＋y 2b 2＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F 1、F 2，焦距为2c. 若直线y ＝3(x ＋c)与椭圆的一个交点M满足∠MF 1F 2＝2∠MF 2F 1，则该椭圆的离心率等于________．三、解答题（本大题共6小题，共70分）17.（本小题10分）已知直线l 的方程为210x y -+=. （1）求过点A （3，2），且与直线l 垂直的直线1l 的方程； （2）求与直线l 平行，且到点P （3，0）的距离2l 的方程.18.（本小题12分）设命题:p 实数x 满足22430x ax a -+<（0a >）；命题:q 实数x 满足32x x -+＜0． （1）若1a =且p ∧q 为真，求实数x 的取值范围；（2）若¬q 是¬p 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．19.(本小题12分)我国是世界上严重缺水的国家，某市为了制定合理的节水方案，对居民用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100位居民每人的月均用水量(单位：吨)，将数据按照[0，0.5），[0.5，1）， …[4，4.5]分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图． （1）求直方图中的a 值；（2）设该市有30万居民，估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数．说明理由； （3）估计居民月均用水量的中位数．20.（本小题12分）某儿童节在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．记两次记录的数分别为x 、y ． 奖励规则如下：①若xy≤3，则奖励玩具一个；②若xy≥8，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶． 假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀，小亮准备参加此项活动． （1）求小亮获得玩具的概率；（2）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．21.（本小题12分）已知曲线方程为：22240x y x y m +--+=． （1）若此曲线是圆，求m 的取值范围；（2）若（1）中的圆与直线240x y +-=相交于M 、N 两点，且OM⊥ON（O 为坐标原点），求m 的值．22.（本小题12分）已知1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上． （1）求椭圆C 的方程；（2）直线:l y kx m =+（m ＞0）与椭圆C 有且仅有一个公共点，且与x 轴和y 轴分别交于点M ，N ，当△OMN 面积取最小值时，求此时直线l 的方程．数学参考答案13.20000,0x x x ∃>+≤14. 2.1515. -5117.（1）设与直线l ：2x -y +1=0垂直的直线1l 的方程为：x +2y +m =0，-------------------------2分把点A （3，2）代入可得，3+2×2+m =0，解得m =-7．-------------------------------4分 ∴过点A （3，2）且与直线l 垂直的直线1l 方程为：x +2y -7=0；----------------------5分（2）设与直线l ：2x -y +1=0平行的直线2l 的方程为：2x -y +c =0，----------------------------7分∵点P （3，0）到直线2l =，解得c =-1或-11．-----------------------------------------------8分∴直线2l 方程为：2x -y -1=0或2x -y -11=0．-------------------------------------------10分18.（1）由x 2-4ax +3a 2＜0得(x -3a )(x -a )＜0，又a ＞0，所以a ＜x ＜3a ，.------------------------------------------------------2分 当a =1时，1＜x ＜3，即p 为真时实数x 的取值范围是1＜x ＜3．由实数x 满足302x x -<+ 得-2＜x ＜3，即q 为真时实数x 的取值范围是-2＜x ＜3．------4分 若p ∧q 为真，则p 真且q 真，所以实数x 的取值范围是1＜x ＜3．---------------------------------------------- 6分（2）¬q 是¬p 的充分不必要条件，即p 是q 的充分不必要条件 -----------------------------8分由a ＞0，及3a ≤3得0＜a ≤1，所以实数a 的取值范围是0＜a ≤1．-------------------------------------------------12分19.（1）∵1=（0.08+0.16+a +0.40+0.52+a +0.12+0.08+0.04）×0.5，------------------------2分整理可得：2=1.4+2a ，∴解得：a =0.3-----------------------------------------------------------------4分（2）估计全市居民中月均用水量不低于3吨的人数为3.6万，理由如下：由已知中的频率分布直方图可得月均用水量不低于3吨的频率为（0.12+0.08+0.04）×0.5=0.12，又样本容量为30万-----6分 则样本中月均用水量不低于3吨的户数为30×0.12=3.6万．---------------------------8分 （3）根据频率分布直方图，得0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.40×0.5=0.47＜0.5， 0.47+0.5×0.52=0.73＞0.5，∴中位数应在（2，2.5]组内，设出未知数x ，---------------------------------------10分 令0.08×0.5+0.16×0.5+0.30×0.5+0.4×0.5+0.5×x =0.5， 解得x =0.06；∴中位数是2+0.06=2.06．--------------------------------------------------------12分 20.（1）两次记录的数为（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4）， （4，1），（4，2），（4，3），（4，4），共16个， ----------------------------2分 满足xy ≤3，有（1，1），（1，2），（1，3），（2，1），（3，1），共5个， ----------4分∴小亮获得玩具的概率为516； -------------------------------------------------------6分 （2）满足xy ≥8，（2，4），（3，4），（4，2），（4，3），（3，3），（4，4）共6个， ----8分∴小亮获得水杯的概率为616； --------------------------------------------------------9分 小亮获得饮料的概率为5651161616--=，----------------------------------------------11分 ∴小亮获得水杯大于获得饮料的概率．-------------------------------------------------12分21.（1）由曲线方程x 2+y 2-2x -4y +m =0．整理得：（x -1）2+（y -2）2=5-m ，------------------------------------------------2分 又曲线为圆，则5-m ＞0，解得：m ＜5．------------------------------------------------------------------4分（2）设直线x +2y -4=0与圆：x 2+y 2-2x -4y +m =0的交点为M （x 1，y 1）N （x 2，y 2）．则：22240240x y x y x y m +-=⎧⎨+--+=⎩，消去x 整理得：5y 2-16y +8+m =0， 则：1212168,55m y y y y ++==，------------------------------------------------6分 由OM ⊥ON （O 为坐标原点），可得x 1x 2+y 1y 2=0，-------------------------------------8分又x 1=4-2y 1，x 2=4-2y 2，则（4-2y 1）（4-2y 2）+y 1y 2=0．---------------------------------------------------10分 解得：85m =，故m 的值为85．--------------------------------------------------12分 22.（1）∵1(1,0)F -和2(1,0)F 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的两个焦点，且点3(1,)2P 在椭圆C 上，∴依题意，1c =，又3242a ==，故2a =．---------------------2分由222b c a +=得b 2=3．-----------------------------------------------------------3分故所求椭圆C 的方程为22143x y +=．-----------------------------------------------4分（2）由22143x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消y 得（4k 2+3）x 2+8kmx +4m 2-12=0，由直线l 与椭圆C 仅有一个公共点知，△=64k 2m 2-4（4k 2+3）（4m 2-12）=0，整理得m 2=4k 2+3．-----------------------------6分 由条件可得k ≠0，(,0)mM k-，N （0，m ）． 所以．①------------------------------8分将m 2=4k 2+3代入①，得．因为|k |＞0，所以，-------------------------------10分当且仅当34k k=，则，即时等号成立，S △OMN 有最小值．-----11分因为m 2=4k 2+3，所以m 2=6，又m ＞0，解得．故所求直线方程为或．----------------------------12分高二级第一学期期末质量检测数学试卷本试卷分两部分，共4页，满分150分。

江西高二上学期期末考试数学试题(解析版)

江西高二上学期期末考试数学试题(解析版)

一、单选题1．已知向量，那么（ ） ()()2,3,1,4,5,3AB AC == BC =A ．B ．C ．D ．()2,2,2---8153（，，）684（，，）222（，，）【答案】D【分析】利用向量减法的法则及坐标运算即可求解.【详解】因为，()()2,3,1,4,5,3AB AC ==所以. ()()42,53,312,2,2AC AB BC =-=---= 故选：D.2．直线l ：y ＝x ﹣6的倾斜角为（ ） A ．π B ．C ．D ．34π3π4π【答案】D【分析】直接由斜率求出倾斜角. 【详解】解：设倾斜角为， α则，又，tan 1α=(0,)απ∈4πα∴=故选：D.【点睛】本题考查直线的倾斜角与斜率的关系，是基础题.3．为了提高某次考试的真实性，命题组指派4名教师对数学卷的选择题，填空题和解答题这3种题型进行改编，并且每人只能参与一种题型，则每种题型至少指派一名教师的不同分派方法种数为（ ） A ．12 B ．24 C ．36 D ．72【答案】C【分析】根据题意，分2步进行分析：①将4名教师分成3组，②将分好的三组全排列，对应3种题型，由分步计数原理计算可得答案． 【详解】根据题意，分2步进行分析：①将4名教师分成3组，有种分组方法，246C =②将分好的三组全排列，对应3种题型，有种情况，336A =则有种不同的分派方法；6636⨯=故选C ．【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题．4．已知，为椭圆的左，右焦点，E 上一点P 满足，的平分线1F 2F 22:13xE y +=12PF PF ⊥12F PF ∠交x 轴于点Q ，则（ ） PQ =ABCD【答案】A【解析】由椭圆方程得出，列式分别求出，和1,a b c ===12PF PF ⊥2PF ，利用角平分线的性质，求出中对应角的正弦值、余弦值，最后利用正弦定理求出1PF 1Rt PF Q ∆.PQ 【详解】解：由椭圆，可知，22:13x E y+=222223,1,2a b c a b ===-=得，因为，1,a b c =12PF PF ⊥由椭圆定义可知，，， 122PF PF a +==122F F c ==则，得,2221212PF PF F F +=(8， 1-1因为的平分线交轴于点Q ， 12F PF∠x 在中， 1Rt PF Q∆11sin PF Q PF Q ∠=∠=所以 ()1111sin sin 45cos sin PQF PF Q PF QPF Q ∠=+∠=∠∠ 得，1sin PQF ∠==在中，由正弦定理得：，1PF Q∆111sin sin PF PQPQFPF Q=∠∠. 故选：A.【点睛】本题考查椭圆的定义和性质的应用，结合焦点三角形的边长和角，通过勾股定理和正弦定理求解，还考查学生的分析转化和解题能力.5．的展开式中的系数为（ ）10202111x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭2x A ．45 B ． C ．120 D ．45-120-【答案】A【分析】因为，故展开式特点可知的系数即为的的()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦2x ()101x +2x 系数，再结合二项式定理通项公式即可求解 【详解】()1010202120211111x x x x =⎛⎫⎡⎤++++ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()()()()012101010101098202120212202110011111111x x x x x C C C C x x ⨯⨯+++++++=+ 故在的展开式中，的系数即为的的系数，10202111x x ⎛⎫++ ⎪⎝⎭2x ()101x +2x 又展开式的通项为，令，故，()101x +10110rrr T C x-+=102r -=8r =所以的系数为.2x 81045C =故选：A.【点睛】本题考查三项展开式中指定项的系数，解决此类问题的关键在于把三项整合成两项的和，即将问题转化为的的系数，再利用二项展开式求相关项的系数，注意这些相关项的系数()101x +2x 与指定项的系数的关系.6．已知某品牌新能源汽车的车载动力蓄电池充放电次数达到800次的概率为0.9，充放电次数达到1000次的概率为0.36．若某用户的该品牌新能源汽车已经达到了800次的充放电，那么该用户的车充放电次数能够达到1000次的概率为（ ） A ．0.32 B ．0.36C ．0.4D ．0.54【答案】C【分析】由条件概率的计算公式求解即可【详解】设事件表示“充放电次数达到800次”，事件表示“充放电次数达到1000次”， A B 则，， ()0.9=P A ()0.36P AB =所以． ()0.36(|)0.4()0.9P AB P B A P A ===故选：C ．7．已知函数满足∶当时，， 当时，， 若，且()f x 1x ≤()31f x x =+1x >2()1f x x =-n m >，设，则( )()()f n f m =t n m =-A ．没有最小值B ． t t 1-C ．的最小值为D ．的最小值为t 43t 1712【答案】B【分析】根据已知条件，首先利用表示出，然后根据已知条件求出的取值范围，最后利用一n m n 元二次函数并结合的取值范围即可求解.n 【详解】∵且， 则，且，∴ ， 即 ()()f n f m =n m >1m £1n >2311m n +=-223n m -=由， 21014n n >⎧⎨<-≤⎩⇒1n <≤∴， 222211317(32)()333212n t n m n n n n -⎡⎤=-=-=---=--+⎢⎥⎣⎦又∵1n <∴当， n =1t n m =-=当时，， 1n =413t n m =-=>故. t 1故选：B.8．某学校4位同学参加数学知识竞赛，竞赛规则规定：每位同学必须从甲､乙两道题中任选一题作答，选甲题答对得30分，答错得﹣30分；选乙题答对得10分，答错得﹣10分.若4位同学的总分为0，则这4位同学不同得分情况的种数是 A ．24 B ．36C ．40D ．44【答案】D【分析】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：①两人得30分，余下两人得﹣30分，②一人得30分，余下三人得﹣10分，③一人得﹣30分，余下三人得10分，④一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，⑤两人得10分，余下两人得﹣10分，根据分类计数原理得到结果.【详解】由题意知这4位同学不同得分情况的种数分五类：（1）两人得30分，余下两人得﹣30分，有C 42=6种情况； （2）一人得30分，余下三人得﹣10分，有4种情况； （3）一人得﹣30分，余下三人得10分，有4种情况；(4)一人得30分，一人得﹣30分，一人得10分，一人得﹣10分，有A 43=24种情况； (5)两人得10分，余下两人得﹣10分，有C 42=6种情况. 根据分类计数原理得到共有6+4+4+24+6=44种情况. 故选：D.【点睛】本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，本题中，要注意各种情况间的关系，避免重复､遗漏，属于基础题.二、多选题9．下列说法不正确的是（ ）A ．若，是两个空间向量，，则不一定共面a b a bB ．直线的方向向量，为直线上一点，点为直线外一点，则点l ()1,0,1n =- ()2,1,3A -l ()1,0,2P --l P 到直线l C ．若P 在线段AB 上，则()01AP t AB t =≤≤D ．在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为 Oxyz ()1,2,3A xOy ()1,2,3A '--【答案】AD【分析】根据共面向量、空间向量点到线距离公式、共线向量的性质，结合点关于面对称点的特征逐一判断即可.【详解】因为任意空间两个向量总是共面的，所以选项A 说法不正确； 因为为直线上一点，点为直线外一点，()2,1,3A -l ()1,0,2P --l 所以有，()3,1,1PA =-cosPA 〈 sin ,PA n 〈〉===所以点P 到直线的距离为l sin ,PA 〈= 所以选项B 说法正确；因为若P 在线段AB 上，所以，因此选项C 说法正确；()01AP t AB t =≤≤因为在空间直角坐标系中，点关于坐标平面的对称点为，所以选项D Oxyz ()1,2,3A xOy ()1,2,3A '-说法不正确， 故选：AD10．现有5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组（ ） A ．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法 35B ．若报名没有任何限制，则共有种不同的安排方法53C ．若每个小组至少要有1人参加，则共有540种不同的安排方法 D ．若每个小组至少要有1人参加，则共有150种不同的安排方法 【答案】BD【分析】利用分步计数原理及排列组合分析即得.【详解】5名同学报名参加3个不同的课后服务小组，每人只能报一个小组，若报名没有任何限制，则每人都有3种选择，故共有种不同的安排方法，故B 正确，A 错误；53若每个小组至少要有1人参加，则先分组后排列，先将5名同学分为三组有种方法， 2213531522C C C C 25A +=再将分好的三组分到3个不同的课后服务小组有种情况，33A 6=所以每个小组至少要有1人参加，则共有种不同的安排方法，故C 错误，D 正确. 256150⨯=故选：BD.11．如图，正四面体ABCD 的顶点A ，B ，C 分别在两两垂直的三条射线Ox ，Oy ，Oz 上，则在下列命题中，正确的是（ ）A ．O －ABC 是正三棱锥B ．直线OB ∥平面ACDC ．直线AD 与OB 所成的角是45° D ．二面角D －OB －A 为45°【答案】ACD【分析】将图形放到正方体中，结合图形及异面直线、二面角的定义计算可得； 【详解】对于A ，如图为正四面体，为等边三角形， ABCD ABC ∴A 又、、两两垂直，面，． OA OB OC OA ∴⊥OBC OA BC ∴⊥过作底面的垂线，垂足为，连接交于， O ABC N AN BC M 因为，平面， ON BC ⊥,,,OA BC OA ON O OA ON ⊥=⊂ OAN 所以平面，因为平面， BC ⊥OAN AM ⊂OAN 所以，为中点，BC AM ⊥M ∴BC 同理可证，连接交于，则为中点，BN AC P P AC 为底面中心，是正三棱锥，故A 正确．N ∴ABC A O ABC ∴-将正四面体放入正方体中，如图所示，ABCD对于B ，因为，平面，所以与平面不平行，故B 错误； //OB AE AE ⋂ACD A =OB ACD 对于C ，显然与平行，所以为异面直线与所成的角，又，所以OB AE DAE ∠BD OA 45DAE =︒∠直线与所成的角是，故C 正确．BD OA 45︒对于D ，二面角即平面与下底面成的角， D OB A --FDBO AEBO 因为平面，平面， BO ⊥AOCF OF ⊂AOCF 所以，在正方形中，OB OF ⊥AEBO OB OA ⊥故为二面角的平面角，显然，故D 正确．． FOA ∠D OB A --45FOA ∠=︒故选：ACD【点睛】关键点睛：把正四面体放在正方体中是解题的关键.12．若椭圆上存在点P ，使得点P 到椭圆的两个焦点的距离之比为2∶1，则称该椭圆为“倍径椭圆”．则下列椭圆中为“倍径椭圆”的是（ ）A ．B ．C ．D ．2211615x y +=22189x y +=2212521x y +=2213336x y +=【答案】BC【分析】根据椭圆的定义，再结合条件即可得到答案。

高二数学上学期期末考试题精选及答案

高二数学上学期期末考试题精选及答案

高二数学上学期期末考试题精选及答案一、选择题1. 有七名同学站成一排拍毕业照，其中甲必须站在正中间，乙和丙两位同学必须站在一起，则不同的站法一共有（）A. 180种B. 90种C. 60种D. 30种答案：B2. 若函数f(x) = x^3 + ax + b在区间（-∞，+∞）上是增函数，则实数a的取值范围是（）A. a ≥ 0B. a ≤ 0C. a > 0D. a < 0答案：C3. 若函数f(x) = 2x - k(x - 2)^2 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数k的取值范围是（）A. k ≤ 0B. k > 0C. k < 0D. k ≥ 0答案：C4. 设函数f(x) = x^2 + 2x + c，若f(x)在区间（-∞，+∞）上单调递增，则实数c的取值范围是（）A. c ≥ 0B. c ≤ 0C. c > 0D. c < 0答案：A二、填空题5. 若函数f(x) = |x - 2| + |x + 1| 的最小值为3，则实数x的取值范围是______。

答案：x ∈ [-1, 2]6. 已知函数f(x) = x^3 - 6x + 9，求f(x)的单调递增区间为______。

答案：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)7. 若函数f(x) = x^2 + mx + 1 在区间（1，+∞）上是减函数，则实数m的取值范围是______。

答案：m < -28. 已知函数f(x) = 3x^3 - 4x^2 + 1，求f(x)的单调递减区间为______。

答案：[0, 2/3]三、解答题9. 设函数f(x) = x^3 - 6x + a，其中a是常数。

（1）求f(x)的单调递增区间；（2）若f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，求实数a的取值范围。

答案：（1）f(x)的单调递增区间为：(-∞, 2] ∪ [3, +∞)（2）由于f(x)在区间（-∞，+∞）上是减函数，所以f'(x) ≤ 0，即3x^2 - 6 ≤ 0。

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

浙江省杭州2023-2024学年高二上学期期末考试数学试题含答案

杭州2023学年第一学期高二年级期末数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟第Ⅰ卷（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.抛物线24x y =的准线方程为()A. 1x =-B. 1x = C. 1y =- D. 1y =【答案】C 【解析】【分析】根据抛物线标准方程即可求解.【详解】由题知，抛物线方程为24x y =，则其准线方程为1y =-.故选：C2.圆2240x y x +-=上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为（）A.1 B.2C.4D.5【答案】A 【解析】【分析】求出圆的圆心和半径，利用点到直线的距离以及半径关系，求解即可.【详解】由2240x y x +-=，得22(2)4x y -+=，圆心为(2,0)，半径2r =，圆心到直线3490x y -+=的距离3d ==，故圆上的点到直线3490x y -+=的距离的最小值为1d r -=.故选：A3.设平面α内不共线的三点A ，B ，C 以及平面外一点P ，若平面α内存在一点D 满足()2PD xPA x =+- 3PB xPC +，则x 的值为（）A.0B.19-C.13-D.23-【答案】C【解析】【分析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】 空间A B C D 、、、四点共面，但任意三点不共线，231x x x ∴+-+=，解得：13x=-.故选：C4.已知ABC 的三个顶点分别为()1,0,0A ，()0,2,0B ，()2,0,2C ，则BC 边上的中线长为（）A.1B.C.D.2【答案】B 【解析】【分析】利用中点坐标公式与空间两点的距离公式即可得解.【详解】因为()0,2,0B ，()2,0,2C ，所以BC 的中点为()1,1,1，又()1,0,0A ，则BC =.故选：B.5.设{}n a 是公差为d 的等差数列，n S 是其前n 项和，且10a <，48S S =，则（）A.0d <B.70a = C.120S = D.7n S S ≥【答案】C 【解析】【分析】根据等差数列的通项公式和前n 项求和公式，结合选项计算依次判断即可.【详解】A ：由48S S =，得1143874822a d a d ⨯⨯+=+，则1112a d =-，又10a <，所以11102a d =-<，得0d >，故A 错误；B ：7111166022a a d d d d =+=-+=>，故B 错误；C ：121121111121266022S a d d d ⨯=+=-⨯+=，故C 正确；D ：7177711135()()22222S a a d d d -=+=-+=，21(1)1222n n n n nS na d d --=+=，由21235n n -≥-，得15n ≤≤或7n ≥，即当15n ≤≤或7n ≥时，有7n S S ≥，故D 错误.故选：C6.用数学归纳法证明：()111212322n n f n +=++++≥ （*n ∈N ）的过程中，从n k =到1n k =+时，()1f k +比()f k 共增加了（）A.1项B.21k -项C.12k +项D.2k 项【答案】D 【解析】【分析】分别计算出()1f k +和()f k 的项数，进而作差即得结论．【详解】因为()1111232n f n =++++ ，所以()1111232k f k =++++ ，共2k 项，则()11111112321221k k k f k +++++++++=+ 共12k +项，所以()1f k +比()f k 共增加了1222k k k +-=项，故选：D7.若数列{}n a 满足递推关系式122nn n a a a +=+，且12a =，则2024a =（）A.11012B.22023C.11011D.22021【答案】A 【解析】【分析】利用取倒数法可得11112n n a a +-=，结合等差数列的定义和通项公式即可求解.【详解】因为122n n n a a a +=+，所以1211122n n n n a a a a ++==+，所以11112n n a a +-=，又12a =，所以1112=a ，故数列1{}na 是以12为首项，以12为公差的等差数列，则1111(1)222n n n a =+-=，得2n a n=，所以20242120241012a ==.故选：A8.设双曲线Γ的中心为O ，右焦点为F ，点B 满足2FB OF =，若在双曲线Γ的右支上存在一点A ，使得OA OF =，且3OAB OBA ∠≥∠，则Γ的离心率的取值范围是（）A.22,77⎡⎤-⎢⎥⎣⎦ B.21,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦C.31,7⎛⎤+ ⎥ ⎝⎦D.33,77⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦【答案】B 【解析】【分析】因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点，根据条件结合双曲线的定义得27480e e --≤求解即可.【详解】不妨设A 在第一象限．因为OA OF =，所以A 是以O 为圆心，为OF 半径的圆O 与Γ的交点．设Γ的左焦点为X ，则4XOA OAB OBA OBA ∠=∠+∠≥∠，122AFO XOA OBA ∠=∠≥∠，即A FAB FB ≥∠∠，FA BF ≤在圆O 上上取一点C ，使FC B F =，则FC FA ≥由双曲线的定义知2CX FC a -≤（a 是实半轴长），即()222224FC aC c C X F +≥=-（c 是半焦距），由2FB OF = ，得212c FB FO ==，得22222242c c c Xa C ⎛⎫+≥=⎭⎛⎫⎪⎝ ⎪⎭-⎝2274202a ac c +-≥，又离心率ce a =，所以27480e e --≤，又1e >，所以21,7e ⎛⎤⎝∈⎥⎦，故选：B二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.已知()f x ，()g x 在R 上连续且可导，且()00'≠f x ，下列关于导数与极限的说法中正确的是（）A.()()()000Δ0ΔlimΔx f x x f x f x x→--'= B.()()()Δ0ΔΔlim2Δh f t h f t h f t h→+--'=C.()()()000Δ03Δlim3Δx f x x f x f x x→+-'= D.()()()()()()000Δ0000Δlim Δx g x x g x g x f x x f x f x →'+-='+-【答案】BCD 【解析】【分析】利用导数的定义逐个求解.【详解】()()()()()000000limlimx x f x x f x f x x f x f x xx∆→∆→+⎡⎤-∆--∆-'=-=-∆-∆⎣⎦，故A 错；()()()()()02limlim22h h f t h f t h f t h f t f t hh∆→∆→+∆--∆+∆-'==∆∆，故B 对；()()()00003lim3x f x x f x f x x∆→+∆-'=∆，由导数的定义知C 对；()()()()()()()()()()0000000000000limlimlim x x x g x x g x g x x g x g x x f x x f x f x x f x f x x ∆→∆→∆→+∆-'+∆-∆==+∆-'+∆-∆，故D 对；故选：BCD10.已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，正项等比数列{}n b 的前n 项积为n T ，则（）A.数列n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列 B.数列{}3na 是等比数列C.数列{}ln n T 是等差数列D.数列2n n T T +⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等比数列【答案】ABD 【解析】【分析】根据等差数列与等比数列的定义及等差数列前n 项和公式为计算即可.【详解】设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则2112222n n S d d d d S n a n n a n ⎛⎫⎛⎫=+-⇒=+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()1212n n S S d n n n --=≥-是常数，故A 正确；易知()1133323nn n n a a a d a n ---==≥是常数，故B 正确；由()1ln ln ln 2n n n T T b n --=≥不是常数，故C 错误；()221212n n n n n nT T b q n T T b +++-÷==≥是常数，故D 正确.故选：ABD11.已知O 为抛物线()2:20C y px p =>的顶点，直线l 交抛物线于,M N 两点，过点,M N 分别向准线2px =-作垂线，垂足分别为,P Q ，则下列说法正确的是（）A.若直线l 过焦点F ，则以MN 为直径的圆与y 轴相切B.若直线l 过焦点F ，则PF QF⊥C.若,M N 两点的纵坐标之积为28p -，则直线l 过定点()4,0pD.若OM ON ⊥，则直线l 恒过点()2,0p 【答案】BCD 【解析】【分析】根据抛物线的焦半径公式结合条件判断AB ，设直线l 方程为x my b =+，与抛物线方程联立，利用韦达定理结合条件判断CD.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，选项A ：MN 中点H 即以MN 为直径的圆的圆心横坐标为122x x +，则由抛物线的定义可知12MN MP NQ x x p =+=++，所以梯形PMNQ 的中位线122x x pGH ++=，所以点H 到y 轴的距离为1222x x p GH +-=不等于半径1222x x pMN ++=，A 说法错误；选项B ：由抛物线的定义可知MP MF =，NF NQ =，又根据平行线的性质可得1MPF PFO MFP ∠=∠=∠=∠，2NQF QFO NFQ ∠=∠=∠=∠，因为()212π∠+∠=，所以π122∠+∠=，即PF QF ⊥，B 说法正确；选项C ：由题意可知直线l 斜率不为0，设直线l 方程为x my b =+，联立22x my b y px=+⎧⎨=⎩得2220y pmy pb --=，22480p m pb ∆=+>，所以122y y pb =-，由21228y y pb p =-=-解得4b p =，满足0∆>，所以直线:4l x my p =+过定点()4,0p ，C 说法正确；选项D ：因为OM ON ⊥，所以由0OM ON ⋅= 可得12110x x y y +=，所以221212022y y y y p p⋅+=①，将122y y pb =-，代入①得2b p =，满足0∆>，所以直线:2l x my p =+过定点()2,0p ，D 说法正确；故选：BCD12.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案（如图1），把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转化成图3所示的几何体，若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.122QC AD AB AA =+- B.若M 为线段CQ 上的一个动点，则BM BD ⋅的最小值为1C.点F 到直线CQ 的距离是3D.异面直线CQ 与1AD 【答案】ABD 【解析】【分析】根据空间向量线性运算法则判断A ，以1A 为坐标原点，1A F 所在直线为x 轴，11A B 所在直线为y 轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算B 、C 、D .【详解】因为()1112222CQ CB BQ AD BA AD AA AB AB AD AA =+=-+=-+-=--+，所以()112222QC CQ AB AD AA AD AB AA =-=---+=+-，故A 正确；如图以1A为坐标原点，建立空间直角坐标系，则()0,1,1B -，()11,0,0D -，()1,0,1D --，()0,1,1Q -，()1,1,1C --，()0,0,1A -，()1,0,0F ，()1,1,0BD =-- ，()1,2,2CQ =- ，()11,0,1AD =- ，()2,1,1CF =-，对于B ：因为M 为线段CQ 上的一个动点，设CM CQ λ=，[]0,1λ∈，则()()()1,0,01,2,21,2,2BM BC CM λλλλ=+=-+-=--，所以()121BM BD λλλ⋅=--+=+，所以当0λ=时()min1BM BD ⋅= ，故B 正确；对于C ：CF ==63CF CQ CQ ⨯+-⨯-+⨯⋅==，所以点F到直线CQ的距离d ==，故C 错误；对于D：因为111cos ,6CQ AD CQ AD CQ AD ⋅===⋅ ，所以1sin ,6CQ AD ==，所以1tan ,CQ AD =，即异面直线CQ 与1AD ，故D 正确；故选：ABD .第Ⅱ卷（非选择题）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知()sin exf x =，则()f x '=_____________．【答案】sin e cos x x ⋅【解析】【分析】利用复合函数求导函数方法求解即可.【详解】由()()()sin sin sin c e e e sin os x x x x x x f '=⋅=⋅''=，故答案为：sin e cos x x⋅14.若平面内两定点A ，B 间的距离为3，动点P 满足2PA PB=，则△PAB 面积的最大值为_____________．【答案】3【解析】【分析】首先求点P 的轨迹方程，再利用数形结合求PAB 面积的最大值.【详解】以AB 所在直线为x 轴，以线段AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系，设33(,),(,0),(,0)22P x y A B -，因为2PA PB=，即2PA PB =，=，整理为：22542x y ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，则点P 的轨迹是以点5,02⎛⎫⎪⎝⎭为圆心，半径为2的圆，所以点P 到AB 距离的最大值是2，所以PAB 面积的最大值是13232⨯⨯=.故答案为：315.已知点P 是抛物线24y x =上动点，F 是抛物线的焦点，点A 的坐标为()1,0-，则PFPA的最小值为________.【答案】2【解析】【分析】过P 做准线的垂线，根据定义可得PF PM =，将所求PFPA最小，转化为sin PM PAM PA =∠的最小，结合图像分析出，当PA 与抛物线相切时，PAM ∠最小，联立直线与抛物线方程，根据判别式求出PA 斜率k ，进而可得PAM ∠的值，代入所求即可。

2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2024北京西城区高二上学期期末数学试题及答案

2024北京西城高二（上）期末数 学2024.1本试卷共5页，共150分.考试时长120分钟.考生务必将答案写在答题卡上，在试卷上作答无效.第一部分（选择题共40分）一､选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.直线3410x y −+=不经过（ ）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2.抛物线26x y =的焦点到其准线的距离等于（ ） A.32B.3C.6D.8 3.在空间直角坐标系O xyz −中，点()4,2,8A −到平面xOz 的距离与其到平面yOz 的距离的比值等于（ ） A.14 B.12C.2D.4 4.在312x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的展开式中，x 的系数为（ ） A.3 B.6 C.9 D.125.在正四面体ABCD 中，棱AB 与底面BCD 所成角的正弦值为（ ）C.13D.36.已知直线,a b 和平面α，且b α⊂，则“直线a ∥直线b ”是“直线a ∥平面α”的（ ） A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件7.设,A B 为双曲线2222:1(0,0)x y E a b a b−=>>的左､右顶点，M 为双曲线E 上一点，且AMB 为等腰三角形，顶角为120，则双曲线E 的一条渐近线方程是（ ）A.y x =B.2y x =C.y =D.y =8.在正方体的8个顶点中任选3个，则这3个顶点恰好不在同一个表面正方形中的选法有（ ）A.12种B.24种C.32种D.36种9.如图，在长方体1111ABCD A B C D −中，13,4,AB BC CC E ===为棱11B C 的中点，P 为四边形11BCC B 内（含边界）的一个动点.且DP BE ⊥，则动点P 的轨迹长度为（ ）A.5B.10.在直角坐标系xOy 内，圆22:(2)(2)1C x y −+−=，若直线:0l x y m ++=绕原点O 顺时针旋转90后与圆C 存在公共点，则实数m 的取值范围是（ ）A.⎡⎣B.44⎡−−⎣C.22⎡−−−⎣D.22⎡−+⎣第二部分（非选择题共110分）二､填空题共5小题，每小题5分，共25分.11.过点()2,3A −且与直线30x y ++=平行的直线方程为__________.12.在4(21)x +的展开式中，所有项的系数和等于__________.（用数字作答）13.两个顶点朝下竖直放置的圆锥形容器盛有体积相同的同种液体（示意图如图所示），液体表面圆的半径分别为3，6，则窄口容器与宽口容器的液体高度的比值等于__________.14.若方程22124x y m m+=+−m 的取值范围是__________；若此方程表示的曲线为椭圆，则实数m 的取值范围是__________.15.如图，在正方体1111ABCD A B C D −中，2,AB E =为棱1BB 的中点，F 为棱1CC （含端点）上的一个动点.给出下列四个结论：①存在符合条件的点F ，使得1B F ∥平面1A ED ；②不存在符合条件的点F ，使得BF DE ⊥；③异面直线1A D 与1EC 所成角的余弦值为5； ④三棱锥1F A DE −的体积的取值范围是2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 其中所有正确结论的序号是__________.三､解答题共6小题，共85分.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程.16.（本小题10分）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动.（1）共有多少种不同的选择方法？（2）若要求选出的3名志愿者中有2男1女，且他们分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作，求共有多少种不同的选派方法？17.（本小题15分）如图，在直三棱柱111ABC A B C −中，1,3,4BA BC BC AB AA ⊥===.（1）证明：直线1AB ⊥平面1A BC ；（2）求二面角1B CA A −−的余弦值.18.（本小题15分）已知C 经过点()1,3A 和()5,1B ，且圆心C 在直线10x y −+=上.（1）求C 的方程； （2）设动直线l 与C 相切于点M ，点()8,0N .若点P 在直线l 上，且PM PN =，求动点P 的轨迹方程.19.（本小题15分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点为)，四个顶点构成的四边形面积等于12.设圆22(1)25x y −+=的圆心为,M P 为此圆上一点.（1）求椭圆C 的离心率； （2）记线段MP 与椭圆C 的交点为Q ，求PQ 的取值范围.20.（本小题15分）如图，在四棱锥P ABCD −中，AD ⊥平面,PAB AB ∥,DC E 为棱PB 的中点，平面DCE 与棱PA 相交于点F ，且22PA AB AD CD ====，再从下列两个条件中选择一个作为已知.条件①：PB BD =；条件②：PA BC ⊥.（1）求证：AB ∥EF ；（2）求点P 到平面DCEF 的距离；（3）已知点M 在棱PC 上，直线BM 与平面DCEF 所成角的正弦值为23，求PM PC的值. 21.（本小题15分） 设椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>左､右焦点分别为12,F F ，过1F 的直线与椭圆C 相交于,A B 两点.已知椭圆C 的离心率为21,2ABF 的周长为8. （1）求椭圆C 的方程；（2）判断x 轴上是否存在一点M ，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线？若存在，求点M 的坐标；若不存在，说明理由.参考答案一､选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分1.D2.B3.B4.D5.B6.D7.A8.C9.B 10.A二､填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分11.10x y ++= 12.81 13.414.()(),24,∞∞−−⋃+；()()2,11,4−⋃ 15.①②④注：第14题第一问3分，第二问2分；第15题全部选对得5分，有两个选对且无错选得3分，有一个选对且无错选得2分，其他得0分.三､解答题：本大题共6小题，共85分.其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 16.（本小题10分）解：（1）从6男4女共10名志愿者中，选出3人参加社会实践活动，选择方法数为310C 120=种.（2）从10名志愿者中选2男1女，选择方法数共有2164C C 60=种，故从10名志愿者中选2男1女，且分别从事经济､文化和民生方面的问卷调查工作的选派方法数为213643C C A 360=种.17.（本小题15分）解：（1）在直三棱柱111ABC A B C −中，因为1AA ⊥.平面,ABC BC ⊂平面ABC ，所以1AA BC ⊥.又因为1,BA BC BA AA A ⊥⋂=，所以BC ⊥平面11AA B B ，所以1BC AB ⊥.由14AB AA ==，得四边形11AA B B 为正方形.所以11AB A B ⊥.又因为1BC A B B ⋂=，所以1AB ⊥平面1A BC .（2）因为1BB ⊥平面,ABC BA BC ⊥，所以1,,BA BC BB 两两互相垂直，故以B 为原点，1,,BA BC BB 的方向分别为x 轴､y .轴､z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系.则()()()()114,0,0,0,3,0,4,0,4,0,0,4A C A B .所以()()14,3,0,0,0,4AC AA =−=.设平面1A AC 的法向量为(),,m x y z =，则10,0,m AC m AA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即430,40.x y z −+=⎧⎨=⎩令3x =，则4,0y z ==.于是()3,4,0m =.由（1）可知：()14,0,4AB =−是平面1A BC 的一个法向量.因为11112cos ,1042||AB m AB m AB m ⋅−===−⨯， 由图可知二面角1B CA A −−的平面角为锐角，所以二面角1B CA A −−的余弦值为10. 18.（本小题15分）解：（1）由题意，设C 的圆心(),1C a a +，半径为r ，则222222(1)(31),(5)(11).a a r a a r ⎧−+−−=⎨−+−−=⎩ 解得：5,5.a r =⎧⎨=⎩ 所以C 的方程为22(5)(6)25x y −+−=.（2）由平面几何，知PMC 为直角三角形，且PM MC ⊥，所以222||||||PM MC PC +=.由PM PN =，得222||||||PN MC PC +=.设(),P x y ，则2222(8)25(5)(6)x y x y −++=−+−.即36140x y −−=，经检验符合题意.所以动点P 的轨迹方程为36140x y −−=.19.（本小题15分）解：（1）由题意，得222212,c ab a b c ===+，所以3,2a b ==，所以椭圆C的离心率3c e a ==. （2）由题意，得5PQ MP MQ MQ =−=−.设()11,Q x y ，则2211194x y +=. 所以MQ ===. 因为[]13,3x ∈−，所以当195x=时，min ||MQ =；当13x =−时，max ||4MQ =.所以PQ 的取值范围为1,55⎡−⎢⎣⎦. 20.（本小题15分）解：选择条件①：（1）因为AB ∥,DC AB ⊄平面,DCEF DC ⊂平面DCEF ，所以AB ∥平面DCEF .又因为AB ⊂平面PAB ，平面PAB ⋂平面DCEF EF =，所以AB ∥EF .（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥.又因为,22PB BD PA AB AD CD =====，所以PAB DAB ≅.因此90PAB DAB ∠∠==，即,,AB AD AP 两两垂直.如图，以A 为原点，,,AB AD AP 的方向分别为x 轴，y 轴，z 轴正方向，建立空间直角坐标系，所以()()()()0,2,0,1,2,0,0,0,2,2,0,0D C P B .由（1），得AB ∥EF ，且E 为棱PB 的中点，所以点F 为棱PA 的中点.()()1,0,1,0,0,1E F ，故()()()0,0,1,0,2,1,1,0,0FP DF CD ==−=−.设平面DCEF 的一个法向量为(),,n x y z =，则20,0,DF n y z CD n x ⎧⋅=−+=⎪⎨⋅=−=⎪⎩取1y =，则0,2x z ==，即()0,1,2n =.所以点P 到平面DCEF 的距离255FP nd n ⋅==. （3）设[],0,1PM PCλλ=∈， 则()()1,2,2,2,2PM PC λλλλλ==−=−.所以()2,2,22BM BP PM λλλ=+=−−.设直线BM 与平面DCEF 所成角为θ，所以||sin |cos ,|||||BM n BM n BM n θ⋅=<>== 23=. 化简，得29610λλ−+=，解得13λ=， 即13PM PC =. 选择条件②：（1）与上述解法相同，略.（2）因为AD ⊥平面PAB ，所以,AD PA AD AB ⊥⊥，又因为,PA BC BC ⊥与AD 相交，所以PA ⊥平面ABCD . 所以PA AB ⊥.即,,AB AD AP 两两垂直.以下与上述解法相同，略.21.（本小题15分）解：（1）由题意，得22248,1,2,a c a abc =⎧⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎩ 解得2,1.a b c =⎧⎪=⎨⎪=⎩所以椭圆C 的方程为22143x y +=. （2）假设x 轴上存在一点()0,0M x 符合题意.由题意，设直线()()()()1122:10,,,,AB y k x k A x y B x y =+≠.联立方程()221,1,43y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y ， 得()22223484120k x k x k +++−=. 所以221212228412,3434k k x x x x k k−+=−=++. 由题意，知直线AM 的斜率存在，且为()11101010AMk x y k x x x x +−==−−， 同理，直线BM 的斜率为()22202010BM k x y k x x x x +−==−−. 所以()()12102011AM BM k x k x k k x x x x +++=+−−()()()()12120120102022k x x x x x x x x x x x x ⎡⎤++−+−⎣⎦=−−. 因为1MF 为AMB 的一条内角平分线，所以0AM BM k k +=.所以()()12120120220k x x x x x x x x ⎡⎤++−+−=⎣⎦.因为上式要对任意非零的实数k 都成立， 所以2220022241288220343434k k k x x k k k−⨯−+⨯−=+++， 解得04x =−.故x 轴上存在一点()4,0M −，对于任一条与两坐标轴都不垂直的弦AB ，使得1MF 为AMB 的一条内角平分线.。

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高二数学上学期期末考试题第I 卷（试题） 一、 选择题：（每题5分，共60分）2、若a,b 为实数，且a+b=2,则3a +3b 的最小值为（ ）（A ）18， （B ）6， （C ）23， （D ）243 3、与不等式xx --23≥0同解的不等式是 （ ） （A ）（x-3）(2-x)≥0, (B)0<x-2≤1, (C)32--x x≥0, (D)(x-3)(2-x)>06、已知L 1:x –3y+7=0, L 2:x+2y+4=0, 下列说法正确的是 （ ）（A ）L 1到L 2的角为π43， （B ）L 1到L 2的角为4π（C ）L 2到L 1的角为43π， （D ）L 1到L 2的夹角为π437、和直线3x –4y+5=0关于x 轴对称的直线方程是 （ ）（A ）3x+4y –5=0, (B)3x+4y+5=0, (C)-3x+4y –5=0, (D)-3x+4y+5=08、直线y=x+23被曲线y=21x 2截得线段的中点到原点的距离是 （ ）（A ）29 （B ）29 （C ）429 （D ）22911、双曲线： 的准线方程是191622=-x y （ ） （Ａ）y=±716 (B)x=±516 (C)X=±716 (D)Y=±51612、抛物线：y=4ax 2的焦点坐标为 （ ） （A ）（a 41，0） （B ）（0, a 161） (C)(0, -a 161) (D) (a161,0)二、填空题：（每题4分，共16分） 13、若不等式ax 2+bx+2>0的解集是（–21,31），则a-b= . 14、由x ≥0,y ≥0及x+y ≤4所围成的平面区域的面积为 . 15、已知圆的方程⎩⎨⎧-=+=θθsin 43cos 45y x 为（θ为参数），则其标准方程为 .16、已知双曲线162x -92y =1，椭圆的焦点恰好为双曲线的两个顶点，椭圆与双曲线的离心率互为倒数，则椭圆的方程为 .三、 解答题：（74分）17、如果a ，b +∈R ，且a ≠b ，求证： 422466b a b a b a +>+（12分）19、已知一个圆的圆心为坐标原点，半径为2，从这个圆上任意一点P 向x 轴作线段PP 1，求线段PP 1中点M 的轨迹方程。

（12分）21、某工厂要建造一个长方体无盖贮水池，其容积为4800m 3，深为3m ，如果池底每1㎡的造价为150元，池壁每1㎡的造价为120元，问怎样设计水池能使总造价最低，最低造价是多少元？（13分）22、某家具厂有方木料90m 3，五合板600㎡，准备加工成书桌和书橱出售，已知生产每张书桌需要方木料0.1m 3，五合板2㎡，生产每个书橱需方木料0.2m 3，五合板1㎡，出售一张书桌可获利润80元，出售一个书橱可获利润120元，问怎样安排同时生产书桌和书橱可使所获利润最大？（13分）一、选择题： 2、（B ）， 3、（B ），6、（A ）， 7、（B ）， 8、（D ）， 11、（D ）， 12、（B ）。

二、填空题：13、-10， 14、 8， 15、（x-5）2+(y-3)2=42, 16、1352222=+y x三、解答题：17、证明：(a ）422466()b a b a b +-+)()())(()()()()222224422224224426246>+-=--=---=-+-=b a b a b a b a b a b b a a b a b b a a于是422466422466,0)()b a b a b a b a b a b a +>+>+-+即 19、解：设点M 的坐标为(x, y) , 点P 的坐标为(x ),00y ，则 x=x 44),(,2,2020220000=+=+=y x y x y x P y y 上所以在圆因为 (1) 将 x 44)1(2,2200=+==y x y y x 得代入方程即1422=+y x ，所以点M 的轨迹是一个椭圆。

21、解：设水池底面一边的长度为x 米，则另一边的长度为米x34800， 又设水池总造价为L 元，根据题意，得297600,40,16002976004027202400001600.2720240000)1600(720240000)348003232(12034800150有最小值时即当L x xx xx x x xx L ===⨯⨯+=⨯+≥++=⨯⨯+⨯+⨯=答：当水池的底面是边长为40米的正方形时，水池的总造价最低， 最低总造价是297600元。

22、解：设生产书桌x 张，书橱y 张，由题意得,06002902.01.0⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥≥≤+≤+y o x y x y x 求Z=80x+120y 的最大值最优解为两直线 ⎩⎨⎧=+=+6002902.01.0y x y x 的交点A （100，400）。

答：生产书桌100张，书橱400张时，可使生产利润最大。

22．在等差数列{}n a 中，11a =，前n 项和n S 满足条件242,1,2,1n n S n n S n +==+，（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）记(0)n an n b a p p =>，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

23．已知动点P与平面上两定点(A B 连线的斜率的积为定值12-． （Ⅰ）试求动点P 的轨迹方程C ；（Ⅱ）设直线1:+=kx y l 与曲线C 交于M 、N 两点，当|MN |=324时，求直线l 的方程．一．选择题：二、填空题：13．0,2<-∈∀x x R x ； 14．3π15． 1 16． x +2y －8=0 18．（1）25；（2）222+-n n三、解答题： 20．解：把方程化为标准方程1212222=-y x ，由此可知，实半轴长a ＝1，虚半轴长b ＝2 …………2分 图略（占2分）顶点坐标是（－1，0），（1，0）…………4分5212222=+=+=b a c ，焦点的坐标是(－5，0)，(5，0)．…………8分渐近线方程为021=±yx ，即x y 2±= …………12分 21．解：证明：如图，建立空间直角坐标系A －xyz ，设AB ＝2a ，BC ＝2b ，PA ＝2c ，则：A (0, 0, 0)，B (2a , 0, 0)，C (2a , 2b D (0, 2b , 0)，P (0, 0, 2c )∵ E 为AB 的中点，F 为PC 的中点∴ E (a , 0, 0)，F (a , b , c ) …………4分（1）∵ → EF ＝(0, b , c )，→ AP ＝(0, 0, 2c )，→ AD ＝(0, 2b , 0)∴ → EF ＝12(→ AP ＋→AD ) ∴ → EF 与→ AP 、→AD 共面 又∵ E ∉ 平面PAD∴ EF ∥平面PAD ． …………6分（2）∵ →CD ＝(-2a , 0, 0 )∴ → CD ·→ EF ＝(-2a , 0, 0)·(0, b , c )＝0 ∴ CD ⊥EF ． …………8分（3）若∠PDA ＝45︒，则有2b ＝2c ，即 b ＝c ，∴ → EF ＝(0, b , b )，→ AP ＝(0, 0, 2b )∴ cos 〈→ EF ，→AP 〉＝2b 22b ·2b＝22∴ 〈→ EF ，→AP 〉＝ 45︒ ∵ →AP ⊥平面AC ， ∴ →AP 是平面AC 的法向量∴ EF 与平面AC 所成的角为：90︒－〈→ EF ，→ AP 〉＝ 45︒． …………12分 22．解：（1）2121=-=a a b ，62212=+=b b ；…………4分 （2）),2(222211+=+⇒+=++n n n n b b b b ,2221=+++n n b b又42121=-=+a a b ,∴ 数列}2{+n b 是首项为4，公比为2的等比数列．…………8分（3）2224211-=⇒⋅=+∴+-n n n n b b ， .221-=-∴-n n n a a …………10分令),1(,,2,1-=n n 叠加得)1(2)222(232--+++=-n a nn ,22)2222(32+-++++=∴n a nn .222212)12(21n n n n -=+---=+…………12分23．解：（Ⅰ）设点(,)P x y12=-，…………………3分整理得.1222=+y x 由于x≠C 的方程为 221(2x y x +=≠………………………………………5分 （Ⅱ）由.04)21(:.1,122222=++⎪⎩⎪⎨⎧+==+kx x k y kx y y x 得消去 解得x 1=0, x 2=212,(214x x k k+-分别为M ，N 的横坐标）.………………………9分由,234|214|1||1||22212=++=-+=k k k x x k MN.1:±=k 解得 ……………………………………………………………………11分所以直线l 的方程x －y +1=0或x +y －1=0.………………………………………12分。

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