柯尔莫哥洛夫 概率论基本概念
khinchine大数定律
khinchine大数定律
Khinchin大数定律,也称为柯尔莫哥洛夫定律或柯尔莫哥洛夫
大数定律,是概率论中的一个重要定理。
该定律是由俄罗斯数学家
阿列克谢·柯尔莫哥洛夫于1930年提出的。
该定律是关于数列的收敛性的一个结果。
具体来说,它描述了
对于独立同分布的随机变量序列,其算术平均值的收敛性。
换句话说,该定律说明了当我们对一组独立同分布的随机变量进行平均时,这个平均值会以极高的概率接近于其期望值。
Khinchin大数定律可以用以下方式表述,设X1,X2, (X)
是一组独立同分布的随机变量,具有相同的期望值μ和方差σ^2。
令S_n = (X1 + X2 + ... + Xn)/n表示这些随机变量的算术平均值。
则对于几乎所有的样本路径,即以概率1的事件,有
lim(n→∞)S_n = μ。
换句话说,当样本数量n趋向于无穷大时,随机变量序列的算
术平均值将以几乎确定的概率收敛于其期望值。
Khinchin大数定律的重要性在于它提供了一个理论基础,使我
们能够在实际问题中使用样本均值来估计总体均值。
它在统计学、经济学、物理学和金融学等领域都有广泛的应用。
需要注意的是,Khinchin大数定律的成立需要一些前提条件,例如随机变量序列的独立性和同分布性。
此外,定律只能保证在概率上的收敛性,而不能保证在每个样本路径上都收敛。
总结来说,Khinchin大数定律是关于随机变量序列算术平均值收敛性的一个重要定理,它描述了当样本数量趋向于无穷大时,随机变量序列的平均值以几乎确定的概率收敛于其期望值。
这个定律在统计学和其他领域中具有广泛的应用。
国外数学名著系列
国外数学名著系列一、欧几里得的《几何原本》二、卡尔·弗里德里希·高斯的《算术研究》《算术研究》是德国数学家卡尔·弗里德里希·高斯于1801年发表的一部关于数论的著作。
该书首次提出了同余理论,并系统研究了二次互反律、二次剩余等数论问题。
高斯在书中提出的许多理论和方法,对后来的数论研究产生了重要影响,奠定了现代数论的基础。
三、大卫·希尔伯特的《几何基础》《几何基础》是德国数学家大卫·希尔伯特于1899年出版的一部关于几何学的著作。
该书对欧几里得的《几何原本》进行了深刻的反思和改进,提出了几何学公理系统,并探讨了欧氏几何、非欧几何以及拓扑学等几何学分支的基本问题。
希尔伯特在书中提出的许多理论和方法,对20世纪数学的发展产生了重要影响。
四、约翰·冯·诺伊曼的《量子力学的数学基础》《量子力学的数学基础》是美国数学家约翰·冯·诺伊曼于1932年出版的一部关于量子力学的著作。
该书系统阐述了量子力学的数学原理,提出了希尔伯特空间、自伴算符等概念,并解决了量子力学中的许多基本问题。
冯·诺伊曼在书中提出的许多理论和方法,对量子力学的发展产生了重要影响,奠定了现代量子力学的基础。
五、安德烈·魏尔斯特拉斯的《函数论》《函数论》是德国数学家安德烈·魏尔斯特拉斯于19世纪中期发表的一系列关于函数论的论文。
这些论文系统研究了实数域上的连续函数、可微函数和解析函数,提出了魏尔斯特拉斯级数、魏尔斯特拉斯函数等概念。
魏尔斯特拉斯在书中提出的许多理论和方法,对现代分析学的发展产生了重要影响,奠定了实分析的基础。
本系列将陆续介绍更多国外数学名著,敬请期待。
希望这些著作能激发读者对数学的兴趣,为数学学科的发展贡献自己的力量。
六、勒内·笛卡尔的《几何学》《几何学》是法国哲学家、数学家勒内·笛卡尔于1637年发表的一部著作。
概率论与数理统计:概率的定义与性质
AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8, 例1.3.1 AB=φ,P(A)=0.6,P(A+B)=0.8, 的逆事件的概率. 求 B的逆事件的概率. P(A+B)=P(A)+P(B)解: 由P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B) P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2, 得:P(B)=P(A+B)-P(A)=0.8-0.6=0.2, 所以, 所以,P( 思考 =1B)=1-0.2=0.8
一概率的公理化定义二概率的基本性质三小结概率的公理化定义前面分别介绍了统计概率定义古典概率及几何概率的定义它们在解决各自相适应的实际问题中都起着很重要的作用但它们各自都有一定局限性
第三节
概率的定义与性质
一,概率的公理化定义 前面分别介绍了统计概率定义, 前面分别介绍了统计概率定义,古典概率及几 何概率的定义, 何概率的定义,它们在解决各自相适应的实际问题 都起着很重要的作用, 中,都起着很重要的作用,但它们各自都有一定局 限性. 限性. 1933年 1933年,苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出了概率 给出了概率的严格定义, 论的公理化结构 ,给出了概率的严格定义,使概率 论有了迅速的发展. 论有了迅速的发展.
在以上条件下, 在以上条件下,P(A-B)=?
课堂练习 1. 2. P(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6, P(AP(A)=0.4,P(B)=0.3,P(A+B)=0.6, 求P(A-B). P(A)=0.7,P(A-B)=0.3, P(ΩP(A)=0.7,P(A-B)=0.3,求P(Ω-AB)
�
解答: (1)P(AB)=P(A)+P(B)解答: (1)P(AB)=P(A)+P(B)- P(A+B) =0.1, 所以P(A-B)=P(A)-P(AB)=0.3 所以P(A-B)=P(A)P(A (2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A(2)P(Ω-AB)=1-P(AB)=1-[P(A)-P(A-B)] =1=1-0.7+0.3=0.6
概率论与数理统计_ 随机事件及概率_ 概率定义及概率的性质_
小结 主要 内容
概率论与数理统计
概率的描述性定义 概率的统计定义 概率的公理化定义
Thank You!
概率的性质
概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率的公理化定义
设 E 是随机试验, 是它的样本空间.对于 E 的每一事件 A 赋予一个实数,记为 P( A) , 称为事 件 A的概率,如果集合函数 P( )满足下列条件 :
(2) 抛硬币次数 n 较小时, 频率 f 的随机波动幅 度较大, 但随 n 的增大 , 频率 f 呈现出稳定性.即 当 n 逐渐增大时频率 f 总是在 0.5 附近摆动, 且 逐渐稳定于 0.5.
实验者
德 摩根 蒲丰
K 皮尔逊 K 皮ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ逊
n
2048 4040 12000 24000
概率论与数理统计
概率的可列可加性
概率论与数理统计
概率的性质
(1) P() 0.
证明 An (n 1,2,),
则 An ,且 Ai Aj , n1
由概率的可列可加性得
i j.
P()
P
n1
An
n1
P( An )
P()
n1
P()
0.
P() 0
概率论与数理统计
(2) 若A1, A2 ,, An是两两互不相容的事件,则有
P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ).
概率的有限可加性
证明 令 An1 An2 , Ai Aj , i j, i, j 1,2,.
由概率的可列可加性得
P(A1
A2
An )
P(
Ak )
P( Ak )
第3节概率的公理化定义及其性质
P ( A1 A2 ) P ( A1 ) P ( A2 ) .
则称 P( A)为事件 A的概率. 目 录 前一页 后一页 退 出
说:
概率的公理化定义
优点: 刻画了概率的本质, 适合任何随机现象
(2) P ( A B ) P ( A AB )
AB
P(A) P(AB) 1 P(A) P(AB)
1 0.5 0.2 0.3
目 录 前一页 后一页 退 出
(3) P ( A B ) P ( A) P ( B ) P ( AB )
1 0.5 0.4 0.2 0.7
(4) P ( AB ) P ( A B ) 1 P ( A B )
P(BC ) P(AC ) P(ABC )
特例,当A, B,C两两互斥时,则有
P( A B C ) P( A) P(B) P(C )
目 录 前一页 后一页 退 出
(2) 一般地,对任意 n个事件A1 , A2 , , An,有
P
n i1
Ai
n i1
P( Ai )
n i j
n
P ( Ai Aj ) P ( Ai Aj Ak )
缺点:
不易计算
目 录 前一页 后一页 退 出
二、概率的性质及运算法则
我们用 P( A) 表示事件 A发生的概率,
事件发生的可能 性最小是零,此 时概率为0.
(1) P ( A) 0
(非负性)
事件发生的可能性最 大是百分之百,此时
概率为1.
0 P(A) 1
(2) P() 1
(规范性)
概率论数数理统计论文1
2.1.1 随机事件内涵 随机事件是指在随机试验中,可能出现也可能不出现,而在大量重复试验中具有某种 规律性的事件叫做随机事件(简称事件)。随机事件通常用大写英文字母 A、B、C 等表示。 在概率论中,把具有以下三个特征的试验称为随机试验: (1) 可以在相同的条件下重复地进行 (2) 每次试验的可能结果不止一个,并且能事先明确试验的所有可能结果; (3) 进行一次试验之前不能确定哪一个结果 会出现. 2.1.2 随机现象 自然界所观察到的现象叫做随机现象, 随机现象可分为确定性现象和随机现象。 其中确 定性现象是指在一定条件下必然发生的现象,比如太阳不会从西边升起,人一定会死等。显 著特征是出现的结果取决于条件; 随机现象是指在一定条件下可能出现也可能不出现的现象, 比如在相同条件下掷一枚均匀的硬币,观察正反两面出现的情况:P(A)=正面或者 P(A) =反面 2.2 古典概型 17世纪,随着赌博在西欧的盛行,的正是源自赌博的问题。 研究这些赌博问题的意义, 并不在于解决了这些问题 本身,而在于人们借助对这些问题的研究,开始逐步深入理解概率的某些性质,并最终导致 概率论的诞生。 最著名的是帕斯卡与费马的通信, 他们之间的通信开创了用数学方法研究和 思考 概率问题的先河,他们被认为是概率论的启幕者。尤其是帕斯卡的工作蕴涵了概 率论“数学期望”的重要思想。这种思想成为后来惠更斯概率论工作中的一个基本思想,并 在以后相当长的时间里在古典概率论的研究中起着重要的作用。 因此读概率论发展历史的研 究既有着重要意义, 也充满了乐趣, 于是笔者对概率论几个重要时期的发展进行了简要总结 归纳。 2.2.1 古典概型内涵 古典概型是指(1)试验的样本空间只包含有限个样本点;(2)试验中每个基本事件发生 的可能性相同;同时具备以上条件的试验叫做古典概型。其样本空间可以表示为: Ω ={a1,a2,a3,a4„„an},他的每一个基本事件发生的概率都相同,为 1/n。 2.2.2 几种典型的古典概型
第一、二章习题课(概率论)
第二章 随机变量及其分布
♦1. 基本概念:随机变量,离散型随机变量,连续型随 基本概念:随机变量,离散型随机变量,
机变量 ♦2.离散型随机变量及其分布律 离散型随机变量及其分布律 (1)如何求解 ) 设离散型随机变量X的可能取值为 的可能取值为x 设离散型随机变量 的可能取值为 k (k=1,2,…),事 事 件 发生的概率为 pk ,
P ( A) = 0.3, P ( B ) = 0.8, P (C ) = 0.6, P ( A U B ) = 0.9,
n−1
P ( AC ) = 0.1, P ( BC ) = 0.6, P ( ABC ) = 0.1.
试求: 试求:(1) P ( AB ) ) (2) P ( A U B U C )
1.若事件 若事件A,B是互不相容的 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 是互不相容的,且 若事件 是互不相容的 则事件A,B一定不相互独立 一定不相互独立. 则事件 一定不相互独立 2. 若事件 若事件A,B相互独立 且 P ( A) > 0, P ( B ) > 0 相互独立,且 相互独立 则事件A,B一定相容 一定相容. 则事件 一定相容
事件A发生但事件 不发生 称为事件A与事件 与事件B的 事件 发生但事件B不发生 称为事件 与事件 的 发生但事件 不发生, 差事件。 差事件。 A B
S
显然有: 显然有:
A− B −
对于任意两事件A, 总有如下分解 总有如下分解: 对于任意两事件 ,B总有如下分解:
5 AI B =∅
0
则称A和 是互不相容的或互斥的 指事件A与 不 是互不相容的或互斥的,指事件 则称 和B是互不相容的或互斥的 指事件 与B不 可能同时发生。 可能同时发生。
柯尔莫哥洛夫大数定律的证明
柯尔莫哥洛夫大数定律(Kolmogorov's Law of Large Numbers)是概率论中的一个基本定理,它指出当试验次数趋于无穷大时,相对频率趋于概率。
证明柯尔莫哥洛夫大数定律的基本步骤如下:
首先,我们设随机变量序列X1, X2, ..., Xn是独立的,且每个随机变量的期望都存在。
然后,我们定义一个新的随机变量Sn = X1 + X2 + ... + Xn,表示前n个随机变量的和。
接下来,我们考虑Sn与n的商,即平均值,记作Yn = Sn/n。
Yn是一个新的随机变量序列。
我们需要证明Yn依概率收敛到某个常数,这个常数就是随机变量序列X1, X2, ..., Xn的期望的公共值,记作μ。
根据切比雪夫不等式(Chebyshev's Inequality),对于任意的ε > 0,有P(|Yn - μ| ≥ ε) ≤ D(Yn)/(ε^2),其中D(Yn)是Yn的方差。
由于随机变量序列X1, X2, ..., Xn是独立的,且每个随机变量的期望都存在,因此Yn的方差D(Yn) = D(X1)/n + D(X2)/n + ... + D(Xn)/n。
当n趋于无穷大时,Yn的方差D(Yn)趋于0,因为每个随机变量的方差都是有限的。
因此,对于任意的ε > 0,当n趋于无穷大时,P(|Yn - μ| ≥ ε)趋于0。
这意味着Yn依概率收敛到μ,即柯尔莫哥洛夫大数定律得证。
以上证明过程主要利用了切比雪夫不等式和随机变量序列的独立性。
在实际应用中,柯尔莫哥洛夫大数定律经常被用来解释为什么在实际观察中,当试验次数足够多时,相对频率会趋近于概率。
概率论的起源和发展
概率论发展简史概率思想早在文明早期就己经开始萌芽,但因为它在十八世纪以前的发展极为缓慢,现代数学家和哲学家们往往忽略了那段历史,他们更愿意把1654年帕斯卡和费马之间的七封通信看作是概率论的开端。
这样,概率论的“年龄”就比数学大家族中的其它多数成员小很多。
一般认为,概率论的历史只有短短的三百多年时间。
虽然在早期概率论的发展非常缓慢,但是十八世纪以后,由于社会学,天文学等其它学科的研究需要,使得概率本身的理论得到了迅速发展,它的思想和方法也逐渐受到了其它学科的重视和借鉴。
在当代,随着概率论本身的发展和学科之间的交叉融合,囊括了概率理论和统计理论两大部分的广义概率论已经成为一门应用非常广泛的学科,概率方法与统计方法逐渐渗透到了其它学科的研究工作当中。
无论是在自然科学领域还是社会科学领域,各门学科中都能看到概率论的身影。
概率论已经成为一种重要的工具,在社会发展中发挥着巨大的作用。
1、古典概率时期(十七世纪)人们对偶然现象(即随机现象)规律性的探求,经历了相当长的历史时期。
最早,人们对事物的偶然性并不重视,他们认为这是“微不足道的”,而只注意那些有一定必然规律的现象。
但是,严酷的现实使人们感到这种观点是错误的,因为火灾、水灾、地震等偶然现象一当发生,便给人们的生命财产带来不可估量的损失。
随之,又认为偶然现象是“可怕的”,“严重的”。
但是,在实践中人们又发现,事物的偶然性不仅有可怕的一面,也有造福于人类的一面,例如久旱后偶遇甘霖,就是大喜之事。
这样,人们开始探讨偶然现象发生的规律性。
直到唯物辩证法产生,才开始从研究偶然性与必然性这一对矛盾的对立统一中加深了认识。
现代人认为概率论的早期研究大约在十六世纪到十七世纪之间。
这段期间,欧洲进入文艺复兴时期,工业革命已开始蔓延。
伴随工业发展提出的误差问题,伴随航海事业发展产生的天气预报问题,伴随商业发展而产生的贸易、股票、彩票和银行、保险公司等,加之人们越来越需要了解的患病率、死亡率、灾害规律等问题,急需创立一门分析研究随机现象的数学学科。
第一章 概率论的基本理论
第一章 概率论的基本理论前苏联数学家柯尔莫哥洛夫,1933年创立概率公理化体系。
⎧⎨⎩确定现象随机现象§1. 随机试验例:1E :抛一枚硬币,观察正反面出现情况; {}1,H T Ω=2E :将一枚硬币抛三次,观察正反面出现情况;{}2,,,,,,,HHH HHT HTH THH HTT THT TTH TTT Ω=3E :抛两颗色子,观察出现点数和; {}32,3,4,,12Ω=4E :在一批灯管中任取一只,测试它的寿命; {}40t t Ω=≥ 5E :将一尺之棰折成三段,观察各段长度;(){}5,,0,0,0,1x y z x y z x y z Ω=>>>++=特点:()()()123⎧⎪⎨⎪⎩试验可以在相同条件下重复进行;试验结果具有多种可能性,但能事先知道所有可能结果;进行试验前不能确定哪一结果出现。
满足上述特点的试验称之为随机试验,通过随机试验来研究随机现象。
§2. 样本空间 随机事件一、 样本空间随机试验E 的所有可能结果组成的集合,称为E 的样本空间。
样本空间通常用S 或Ω来表示。
(见上节)样本空间的元素——样本点。
二、 随机事件样本空间S 的子集——随机事件(事件),用,,A B C 表示;基本事件,必然事件,不可能事件。
事件A 发生⇔A 中有一样本点出现。
例1、 2E 2S1A :第一次出现H {}1,,,A H H H H H T H T H HT T = 2A :三个均出现T {}2A T T T =三、 事件间关系与事件的运算E S ,A B k A S ⊂1. A B ⊂ 事件B 包含事件A A 发生导致B 发生 A B =⇔A ⊂B 且B A ⊂。
2. A B ⋃1nk k A =1k k A ∞=3. A B A B ⋂1nk k A =1k k A ∞=4. A B A B -=5. A B ⋂=∅ ,A B 不相容,互斥6. A B S ⋃=且A B ⋂=∅——,A B 互逆,或对立事件 A B = A S A =- 算律同集合论例 设,,A B C 表示三个随机事件:○1 A 出现,,B C 都不出现 ABC ○2 ,A B 都出现,C 不出现 ABC ○3 三个事件均出现 ABC ○4 三个事件至少有一个出现 A B C ⋃⋃ ○5 三个事件均不出现 A B C ○6 不多于一个事件出现 ABC ABC ABC ABC 或AB BC AC○7 不多于两个事件出现 ABC ABC ABC ABC ABC ABC ABC or ABC ○8 三个事件至少有两个出现 ABC ABCABCABC○9 ,A B 至少有一个出现,C 不出现 ()A B C +⋅ ○10 ,,A B C 中恰好有两个出现 ABC ABC ABC§3. 频率与概率一、 排列、组合复习1. 不可重复排列(不放回) ()()()()!121!rn n A n n n n r n r =---+=-2. 可重复排列 (放回)n 个不同元素取r 个(未必不同)组成的排列种数 rn 3. 不可重复组合rnC n r ⎛⎫ ⎪⎝⎭4. 乘法原理、加法原理二、 频率1、E, n 次,A, A n()An n f A n=2、性质11121.0()12()13()()()()n n k n k n n n k f A f S A A f A A f A f A f A ≤≤⎧⎪=⎨⎪⎩=++……、、均不相容………… 例1, P8 例2, P9可见,n 逐渐增大-------()n f A 逐渐趋于一个常数-------------------频率稳定性-------- 统计规律性------- 概率(事件发生可能性的) -----------------概率定义三、 概率 Probability1. 定义: E S A E ⊂ 实数()P A 满足:()()()()()()()1210213,,,,,n i j P A P S A A A i j A A ⎧≥⎪⎪=⎨⎪≠⋅=∅⎪⎩非负性规范性设两两互不相容,即:时则()()()()1212nn P A A A P A P A P A =++++(可列可加性)则称P 为概率,()P A 为事件A 的概率。
1.2概率的定义及性质
P A B P A PB P AB
推论1: P(B A) P(A) P(B).
推论2:
n
P Ai
n
P
Ai
P Ai Aj
P Ai Aj Ak 1n1 PA1 A2 An
i 1
i 1
1i jn
近百年世界重大地震
“重大”的标准
① ②
震级
死亡
7 级左右 5000人以上
时间
地点
级别 死亡
1905.04.04 克什米尔地区
8.0
1906.08.17 智利瓦尔帕莱索港地区 8.4
1917.01.20 印度尼西亚巴厘岛
1920.12.16 中国甘肃
8.6
1923.09.01 日本关东地区
7.9
1935.05.30 巴基斯坦基达地区 7.5
三、概率的公理化定义
定义1.2.3 定义在事件域F上的一个集合函数 P 称为概率。
如果它满足如下三个条件:
1.非负性:A F, P(A) 0.
2.规范性: P() 1
3.可列可加性: 若
Ai
F,
i
1,
2,...
且两两互不相容,有
P( Ai ) P( Ai )
i 1
i 1
60年代后又创立了信息算法理论;
1980年由于它在调和分析, 概率论,遍历理 论 及 动力系统方面 出色的工作获沃尔夫奖;
他十分重视数学教育,在他的指引下,大批数 学家在不同的领域内取得重大成就.其中包括и.M. 盖尔范德,B.и.阿诺尔德, Я.Г.西奈依等人.
柯尔莫哥洛夫理论
柯尔莫哥洛夫理论
柯尔莫哥洛夫理论是提出于十九世纪末,由俄罗斯数学家柯尔莫哥洛夫(P. K. Kermomogorov)所制定的组合学理论。
它为我们提出了一种全新的数学思维模式,即应用40345个不同的符号模式,尝试着组合出一种不同的模式,用来求解各种数学概率问题。
柯尔莫哥洛夫的理论完全不同于以往的组合学,因为它将具有更强大的数学建
模能力,并且在一定范围内能够用来描述更加精确的问题。
其主要特点是利用一系列彼此组合在一起的符号来表示复杂概率问题,用来求解概率统计和动态系统中的问题。
柯尔莫哥洛夫理论广泛用于统计学和动态系统之中,可以量化不同环境因素对
某一特定因素的影响,也可以通过相对简单的算法,在有限的时间内,实现较好的结果。
虽然柯尔莫哥洛夫的理论乍一看有点复杂,但是它在实际运用中,可以发现远比理论上描述的要抽象得多。
另外,柯尔莫哥洛夫理论还有许多应用。
它可以应用于投资、计算机科学、数
学计算、信息论等多个领域中。
在金融领域,通过对股市的概率建模,可以实现精准的投资预测,使投资者能更好的把握投资潮流;在计算机科学领域,通过模拟现实环境的复杂行为,可以实现更加准确的计算。
此外,柯尔莫哥洛夫理论还可以用来编码或解码数据,使信息在网络传输、存储中更方便、安全,这一点在信息安全领域显得极为重要。
总之,柯尔莫哥洛夫理论是一种极具重要性和潜力的理论模型,它不仅能够回
答更多信息安全、投资价值等相关问题,还可以有效地应用在多个领域,提高投资及计算机科学的精准性和安全性。
柯尔莫哥洛夫理论即将引领数学技术进入一个新的发展阶段,为我们带来更多可能性。
kolmogorov准则
kolmogorov准则
(原创实用版)
目录
1.科尔莫哥洛夫准则的概述
2.科尔莫哥洛夫准则的应用领域
3.科尔莫哥洛夫准则的实际应用案例
4.科尔莫哥洛夫准则的重要性
正文
科尔莫哥洛夫准则,又称为科尔莫哥洛夫定理,是概率论中的一个重要定理。
这个定理由苏联数学家安德烈·科尔莫哥洛夫在 20 世纪 30 年代提出,对于研究随机变量的收敛性、平稳性以及遍历性等问题具有重要意义。
科尔莫哥洛夫准则主要应用于概率论、统计学、信息论等领域。
在这些领域中,研究者常常需要对随机变量的性质进行研究,以解决实际问题。
科尔莫哥洛夫准则提供了一种有效的方法,可以帮助研究者分析随机变量的各种性质,从而更好地理解和应用这些性质。
实际应用案例方面,科尔莫哥洛夫准则可以用于分析各种复杂系统的稳定性和可靠性。
例如,在通信系统中,信号传输过程中会受到各种干扰,导致信号失真。
利用科尔莫哥洛夫准则,研究人员可以分析信号失真的程度,从而设计出更加稳定可靠的通信系统。
科尔莫哥洛夫准则的重要性在于,它为我们提供了一种研究随机现象的有效方法。
在实际应用中,很多问题都涉及到随机现象,例如金融市场的波动、天气预报等。
利用科尔莫哥洛夫准则,我们可以更好地理解和预测这些随机现象,从而为实际问题提供解决方案。
总之,科尔莫哥洛夫准则是概率论中的一个重要定理,对于研究随机
变量的性质以及解决实际问题具有重要意义。
概率论第四章
概率:概率,亦称“或然率”,它是反映随机事件出现的可能性大小。
随机事件是指在相同条件下,可能出现也可能不出现的事件。
例如,从一批有正品和次品的商品中,随意抽取一件,“抽得的是正品”就是一个随机事件。
设对某一随机现象进行了n次试验与观察,其中A 事件出现了m次,即其出现的频率为m/n。
经过大量反复试验,常有m/n越来越接近于某个确定的常数(此论断证明详见伯努利大数定律)。
该常数即为事件A出现的概率,常用P (A) 表示。
频率定义:随着人们遇到问题的复杂程度的增加,等可能性逐渐暴露出它的弱点,特别是对于同一事件,可以从不同的等可能性角度算出不同的概率,从而产生了种种悖论。
另一方面,随着经验的积累,人们逐渐认识到,在做大量重复试验时,随着试验次数的增加,一个事件出现的频率,总在一个固定数的附近摆动,显示一定的稳定性。
R.von米泽斯把这个固定数定义为该事件的概率,这就是概率的频率定义。
从理论上讲,概率的频率定义是不够严谨的。
公理化定义柯尔莫哥洛夫于1933年给出了概率的公理化定义,如下:设E是随机试验,S是它的样本空间。
对于E的每一事件A赋于一个实数,记为P(A),称为事件A的概率。
这里P(A)是一个集合函数,P(A)要满足下列条件:(1)非负性:对于每一个事件A,有P(A)≥0;(2)规范性:对于必然事件,有P(Ω)=1;(3)可列可加性:设A1,A2……是两两互不相容的事件,即对于i≠j,Ai∩Aj=φ,(i,j=1,2……),则有P(A1∪A2∪……)=P(A1)+P(A2)+……概率论:《概率论(经管类)》是2016年科学出版社出版的图书,作者是王文轲,高慧,卫贵武。
内容简介:本书是一线教师在对近10年的概率论教学经验总结的基础上编写而成的.本书主要内容包括随机事件的概率、一维随机变量及其分布、多维随机变量及其分布,随机变量的数字特征、大数定理及中心极限定理.编写过程遵循由浅入深,由易到难,由具体到抽象的原则,以便学生易于理解和掌握.全书每节都配备了习题,且每章最后配备了总习题,这样便于学生巩固知识,也为自学者提供同步复习的内容,从而达到巩固新知识的目的.目录:第一章随机事件的概率第二章一维随机变量及其分布第三章多维随机变量及其分布第四章随机变量的数字特征第五章大数定律及中心极限定理参考资料。
概率的定义
例 一颗骰子掷两次,求出现点数之和是8的概率 掷一颗骰子,有6个等可能的结果,掷两次 有6· 6=36个等可能结果,设A 为点数之和是8, 有(2,6),(3,5),(4,4),(5,3), (6,2)共5种情形。
答案:P(A)=5/36
3.几何概型 (古典概型的推广)
早在概率论发展初期,人们就认识到, 只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不 够的. 把等可能推广到无限个样本点场合, 人们引入了几何概型. 由此形成了确定 概率的另一方法——几何概率.
设 是随机试验E 的样本空间,若对于E 的每一事件 A ,都有一个实数P ( A )与之对应, 则称之为事件 A 的概率,只要满足下面的三条 公理: 非负性: A , P ( A) 0 规范性: P () 1 可列可加性:
P Ai P ( Ai ) i 1 i 1
在区域A的概率为
( A) P( A) (S )
A
S
4、向S上随机投掷一点的含 义如前述,则事件A的概率仍可用
( A) P( A) (S )
确定,只不过把 () 理解为长度或体积即可.
几何概率
设样本空间为有限区域 , 若样本点 落入 内任何区域 G 中的概率与区域G 的测度成正比, 则样本点落入G内的概率 为
频率的性质 0 f n ( A) 1
f n ( ) 1
非负性 规范性
事件 A, B互斥,则
fn ( A B) fn ( A) fn ( B)
可加性
可推广到有限个两两互斥事件的和事件
某一定数
稳定性
频率稳定性的实例
投一枚硬币观察正面向上的次数 蒲丰投币
概率论基础概念柯尔契哥洛夫
概率论基础概念柯尔契哥洛夫
柯尔莫哥洛夫是20世纪最伟大的数学家之一,他在概率论基础概念的建立上做出了重要贡献,被誉为“概率论中的欧几里得”。
他的《概率论的基本概念》一书,为概率论建立了公理化的基础,使其成为了现代数学的一部分。
在学术上,柯尔莫哥洛夫的研究几乎涉及了数学中的所有领域,还在经典力学、弹道计算、结晶学、湍流等诸多领域有所建树。
他还是一位教育家,培养了一大批优秀的数学家,并投身基础教育,创办了学校。
1-2节 随机事件的概率
第 k 次抽到白球就是排在第 k 号位置上的球是白球 只能在2个白球中取得,故有2种抽法. 而另外9次抽 的球 可在余下的9个中任取,共有9!种抽法
P ( A) 2 9! 10 ! 2 10 1 5
解法二 把2个白球看成一样,8个黑球看成一样,把
抽出的球仍依次放到10个位置上,由于白球看成一样,
4
0 . 2778 .
例3 将 15 名新生随机地平均分配到三个班级中 去,这15名新生中有3名是优秀生.问 (1) 每一个班 级各分配到一名优秀生的概率是多少? (2) 3 名优 秀生分配在同一个班级的概率是多少? 解 15名新生平均分配到三个班级中的分法总数:
15 10 5 5
}
第3次摸到红球 4种
第1次摸到黑球 6种 第2次摸到黑球
第3次摸球 第2次摸球 第1次摸球
10种
样本点总数为
10 10 10 10 ,
3
A 所包含样本点的个数为
故 P ( A) 664 10
3
6 6 4,
0 . 144 .
课堂练习 1o 电话号码问题 在7位数的电话号码中,求各位 数字互不相同的概率. 7 7
返回
因此所求概率为
p1 3 ! 12 ! 4! 4! 4! 15 ! 5! 5! 5!
25 91
.
(2)将3名优秀生分配在同一个班级的分法共有3种,
对于每一种分法,其余12名新生的分法有
12 ! 2! 5! 5!
种.
因此3名优秀生分配在同一个班级的分法共有
( 3 12 ! ) ( 2 ! 5! 5! ) 种 , 因此所求概率为
在数学研究上,他的学生阿诺尔德认为, 柯尔莫哥洛夫总是去解决几百年来遗留 下来的许多问题,成为新领域的发现者 和先驱.正是由于他的聪颖和广泛爱好, 兼对原创问题的关注,使他对开创现代 数学的一系列重要分支作出了重大贡献, 成为20世纪下半叶世界数学的领袖人 物.
概率的统计定义(精)
(二)、概率的统计定 义
1.定义 在随机试验中,若事件A出现的频率m/n随
着试验次数n的增加,趋于某一常数p, 0 p 1 则定义事件A的概率为p,记作P(A)=p .
性质 (概率统计定义的性质) (1) 对任一事件A ,有 0 p( A) 1;
(2) P() 1, P() 0;
概率的可列可加性
概率的其他性质 (1) P() 0.
(2) 若A1, A2,, An是两两互不相容的事件,则有 P( A1 A2 An ) P( A1) P( A2 ) P( An ). 概率的有限可加性
(3) 设 A, B 为两个事件,且 A B,则 P( A) P(B), P(B A) P(B) P( A).
P( A1 A3 ) P( A1 A2 A3 ).
例 设A , B满足 P ( A ) = 0.6, P ( B ) = 0.7, 在何条件下, P(AB) 取得最大(小)值? 最大(小)值是多少?
例3 已知 P ( A ) = P ( B ) = P(C) = 1/4 , P(AB) = 0 , P(AC) = P(BC) = 1/8
次试验中, 事件 A 发生的次数 nA 称为事件 A 发 生的频数.比值 nA 称为事件 A 发生的频率,并记
n 成 fn( A).
2. 性质
设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则
(1) 0 fn (A) 1; (2) fn () 1, fn () 0;
(3) 若 A1, A2 , , Ak 是两两互不相容的事件,则 f ( A1 A2 Ak ) fn( A1 ) fn( A2 ) fn( Ak ).
实验者
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性,平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益,请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间:9:00-18:30)。
OF THE
THEORY OF PROBABILITY
BY
A. N. KOLMOGOROV
Second Edition
TRANSLATION EDITED BY
NATHAN MORRISON
WITH AN ADDED BIBLIOCRAPHY BY
A. T. BHARUCHA·REID
for comparison purposes his independent English translation of the original German monograph.
Nathan Morriaon
PREFACE
The purpose of this monograph is to give an axiomatic foundation for the theory of probability. The author set himself the task of putting in their natural place, among the general notions of modern mathematics, the basic concepts of probability theory-concepts which until recently were considered to be quite peculiar. This task would have been a rather hopeless one before the introduction of Lebesgue's theories of measure and integration. However, after Lebesgue's publication of his investigations, the analogies between measure of a set and probability of an event, and between integral of a function and mathematical expectation of a random variable, became apparent. These analogies allowed of further extensions; thus, for example, various properties of independent random variables were seen to be in complete analogy with the corresponding properties of orthogonal functions. But if probability theory was to be based on the above analogies, it still was necessary to make the theories of measure and integra tion independent of the geometric elements which were in the foreground with Lebesgue. This has been done by Frechet. While a conception of probability theory based on the above general viewpoints has been current for some time among certain mathematicians, there was lacking a complete exposition of the whole system, free of extraneous complications. (Cf., however, the book by Frechet, [2] in the bibliography. ) I wish t o call attention to those points of the present exposition which are outside the above-mentioned range of ideas familiar to the specialist. They are the following : Probability distributions in infinite-dimensional spaces ( Chapter III, § 4) ; differentiation and integration of mathematical expectations with respect to a parameter ( Chapter IV, § 5 ) ; and especially the theory of condi tional probabilities and conditional expectations ( Chapter V) . It should be emphasized that these new problems arose, of neces sity , from some perfectly concrete physical problems.1
UNIVERSITY OF ORECON
CHELSEA PUBLISHING COMPANY NEW YORK
COPYRIGHT
1950
BY CHELSEA PUBLISHING COMPANY
COPYRIGHT
© 1956,
CHELSEA PUBLISHING COMPANY
LIBRARY OF CONGRESS CATALOGUE CARD NUMBER 56-11512
1 Cf., e.g., the paper by M. Leontovich quoted in footnote 6 on p. 46; a110 the joint paper by the author and M. Leontovich, Zur Statistik der kontinuie".
PRINTED IN THE UNITED STATES OF AMERICA
EDITOR'S NOTE
In the preparation of this English translation of Professor Kolmogorov's fundamental work, the original German monograph in the Ergebnisse Der Mathematik in
. . . . . . . . . . .
n.
INFINITE PROBABILITY FIELDS
§ 1. Axiom of Cont in uity . . . . . .... . ... ... . . . . .... . . ..... 14 § 2. Bo rel fields of pro babil it y. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. 16 § 3. Examp les of in fin ite fiel ds of probabil it y . . . , . . . . . 18
I.
ELEMENTARY THEORY OF PROBABILITY
§ 1. § 2. § 3. § 4.
Axioms . ...... ...................... .. ...... ... .. 2 The re lation to experimen tal data .. . . . . . . . . . . . . . . . .. 3 Notes on terminology . . , ....... , .... , .... , , , . , , .. 5 Immediate corollaries of the ax ioms ; condit ional pro babil it ies ; Theorem of Ba yes . . . ....... , , . " 6 § 5. Independence ,.,.,.,. . ,........................... 8 § 6. Conditiona l probab ilities a s random var ia ble s; Marko v chains .. ... . . ......... .... .. . . ........... ... ... 12
Grundbeuriffeder Wahrscheinlichkeitrechnunu which appeared 1933, and also a Russian translation by G. M. Bavli published in 1936 have been used.
It is a pleasure to acknowledge the invaluable assistance of two friends and former colleagues, Mrs. Ida Rhodes and Mr. D. V. Varley, and also of my niece, Gizella Gross. Thanks are also due to Mr. Roy Kuebler who made available
.4.. Kolmogortn
CONTENTS Page EDITOR'S NOTE.
. • • . . . • . • . • •
.
.
.
.
.
.
.
.
.
•
.
.