高考不等式复习
不等式复习
一、利用基本不等式求函数最值
利用基本不等式求最值应遵循“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。
例题（1）下列命题中正确的是 A 、1
y x x
=+
的最小值是2 B 、2
y =
的最小值是2
C 、4
23(0)y x x x
=--
>的最大值是2-
D 、4
23(0)y x x x
=--
>的最小值是2-（答：C ）；
（2）若21x y +=，则24x y
+的最小值是______ （答：；
（3）正数,x y 满足21x y +=，则
y
x 1
1+的最小值为______ （答：3+）
； （4）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）
（5）（2013年宁波二模.文科.7）已知关于x 的不等式)0(022
≠>++a b x ax 的解集是
},1
|{R x a
x x ∈-≠,且b a >，则b a b a -+22的最小值是( )
A .22 .
B 2 .
C 2 .
D 1 (答：A ）
（6）若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆01422
2
=+-++y x y x 截得的弦长
为4，则
b
a 3
1+的最小值为 . （7）若正数b a ,满足ab b a =++1，则b a 23+的最小值是 【答案】5+34
（8）设0>>b a ，则)
(1
12
b a a ab a -+
+
的最小值是 【答案】4 （9）设b a ,为正实数，且满足12=+b a ，求??? ??+??? ?
?+
b b a a 411的最小值.【答案】8
25 （10）2013年浙江乐清二中模拟）若实数0,0a b >>，且41
10a b a b
+++=，则a b +的最大值是 .
【解析】设a b t +=，则4110a b t a b t +??++?=
???，241()109a b t t a b ??++=-≥ ???
210019t t t t -+≤?≤≤.
二、三角代换求不等式最值
【例题】1、实数,x y 满足2
2
222x xy y -+=，则2
2
2x y +的最小值是 .
2、已知1
44
4x y ++=，则22x y +的最大值是 .
3、设,x y ≤a 的最小值为 .
4、实数,x y 满足22
44x y x +=，求证221
165
x y -
≤-≤. 5、设实数,a b 满足0,8a b ≤≤，且2
2
16b a =+，则b a -的最大值为 .
三、根据几何意义求最值
1
的最小值是
2、 已知正实数,x y 满足22x y +=
，则x +
）
.A
85 .B 4
5
.C 2 .D 1 【答案：A 】
3
、已知
(,)f a b =，其
中,a b R ∈，则(,)f a b 的最小值是
.【答案：
四、常用不等式有：
（
1
2211
a b a b
+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222
a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；
（3）若0,0a b m >>>，则
b b m
a a m
+<+（糖水的浓度问题）。
五、含绝对值不等式的性质：
a b 、同号或有0?||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0?||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.
如设2
()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+
六．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：
不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）
1).恒成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <
如（1）设实数,x y 满足22
(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______
（答：)
1,+∞）；
（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____
（答：1a <）；
（3）若不等式)1(122
->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____
（答：（
712-,31
2
+））； （4）若不等式n
a n n
1
)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是
_____
（答：3
[2,)2
-）；
（5）若不等式2
2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.
（答：12
m >-
）； （6）函数232
8log 1
mx x n
y x ++=+的值域为[0,2]，求,m n 的值（答：)5==n m . 2). 能成立问题
若在区间D 上存在实数
x
使不等式()A x f >成立,则等价于在区间D 上
()max f x A >；
若在区间D 上存在实数
x
使不等式()B x f <成立,则等价于在区间D 上的
()min f x B <.如
已知不等式a x x <-+-34在实数集R 上的解集不是空集，求实数a 的取值范围____
（答：1a >）
3). 恰成立问题
若不等式()A x f >在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()A x f >的解集为D ； 若不等式()B x f <在区间D 上恰成立, 则等价于不等式()B x f <的解集为D .
【附录】近几年浙江考题中的不等式 1.（2012年理科.9）设0,0>>b a ，
.A 若b a b a 3222+=+，则b a >； .B 若b a b a 3222+=+，则b a <； .C 若b a b a 3222-=-，则b a >； .D 若b a b a 3222-=-，则b a <.
【答案】A
2.（2012
年理科.17）设R a ∈,若0>x 时均有
0)1--](1-)1-[(2≥ax x x a ，则=a .
【答案】
2
3。 【解析】当1=a 时，显然不符合题意；1≠a 时，设
1-)1-()(x a x f =，1--(2ax x x g =）
，在同一坐标系内做出它们的图像，它们都过点）
，（10-，若0>x 时均有0)1--](1-)1-[(2
≥ax x x a ，则它们函数值的符号必须相同。又)(x f 的图像过点??
?
??0,1-1a ，方程01--2=ax x 有符号相异的两根，故01--2=ax x 有正根
1
-1
a ， 解关于a 的方程01-1
--1-12
=???
??a a a ， 得2
3
=a 0=a （舍去）.
3.（2012年文科.9）若正数y x ,满足xy y x 53=+，则y x 43+的最小值是
.A
524 .B 5
28 .C 5 .D 6 【答案】C
4.（2011浙江理科16）设,x y 为实数，若22
41,x y xy ++=则2x y +的最大值
是 .。
【答案】
5
10
2
5.（2011浙江文科.16）若实数,x y 满足22
1x y xy ++=，则x y +的最大值是
___________________________。
答案：
3
3
2. 6.(2014年文科.16）已知c b a ,,满足0=++c b a ，12
2
2
=++c b a ，则实数a 的最大值是 .
【答案】
3
6. 【 考题变式】：+∈R y x ,，（1）3=++xy y x ，求xy 的最大值；（2）03=+-+xy y x 时，求xy 的最小值。
【不等式练习题】
1、（2016宁波一模）7．已知实数列{}n a 是等比数列，若2588a a a =-，则
151959
149
a a a a a a ++ （ ▲ ）
A ．有最大值12
B ．有最小值12
C ．有最大值52
D ．有最小值52
【答案：D 】
2、（2016宁波一模）．若正数,x y 满足22
421x y x y +++=，则xy 的最大值为__▲__.
3、（2016宁波二模文科.15）已知0,0>>b a ，且
121
22=+++b a a ，则b a +的最小值是___________，此时=a _____________.
【答案：1
2
4、（2016宁波二模理科）13.已知正数,x y 满足1xy ≤，则11
112M x y
=
+++的最小值
为_________ 【答案：2】
5、设实数,x y 满足2x y xy +-≥，则|2|x y -的最小值为 【答案：1】
6、 已知实数,0x y >，且2xy =，则3322848
x y x y +++的最小值为 .【答案：1】
7、（2017年宁波一模.16）已知正实数,a b 满足2
(2)16a b ab +=+，则21
ab
a b ++的最大
值是 .【答案：
16
】
8、已知5(1,2)a b a b +=>->- .【答案：4】
9、（2017年宁波二模）若226461x y xy ++=，,x y R ∈，则22
x y -的最大值为 .【答案：
1
5
】
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法
高考数学不等式知识点总结及解题思路方法 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│ §06. 不等式知识要点 1.不等式的基本概念 （1）不等（等）号的定义：. - = < ? a< ? b ? > > - = - b ; 0b ; a a a b b a b a （2）不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3）同向不等式与异向不等式. （4）同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a >（对称性） ? a< b b （2）c ? > >,（传递性） a> c a b b （3）c + ? > >（加法单调性） c a+ a b b （4）d + > >,（同向不等式相加） a+ > ? d b c a c b
（5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等 . ,3a b c a b c R +++∈≥(4)若、、则a=b=c 时取等号） 0,2b a ab a b >+≥(5)若则（当仅当a=b 时取等号） 2222(6)0||; ||a x a x a x a x a x a x a a x a >>?>?<->
高考不等式经典例题
高考不等式经典例题 【例1】已知a ＞0，a ≠1，P ＝log a (a 3－a ＋1)，Q ＝log a (a 2－a ＋1)，试比较P 与Q 的大小. 【解析】因为a 3－a ＋1－(a 2－a ＋1)＝a 2(a －1)， 当a ＞1时，a 3－a ＋1＞a 2－a ＋1，P ＞Q ； 当0＜a ＜1时，a 3－a ＋1＜a 2－a ＋1，P ＞Q ； 综上所述，a ＞0，a ≠1时，P ＞Q . 【变式训练1】已知m ＝a ＋ 1a －2 (a ＞2)，n ＝x － 2(x ≥12)，则m ，n 之间的大小关系为( ) A.m ＜n B.m ＞n C.m ≥n D.m ≤n 【解析】选C.本题是不等式的综合问题，解决的关键是找中间媒介传递. m ＝a ＋ 1a －2＝a －2＋1a －2 ＋2≥2＋2＝4，而n ＝x － 2≤(12)－2＝4. 【变式训练2】已知函数f (x )＝ax 2－c ，且－4≤f (1)≤－1，－1≤f (2)≤5，求f (3)的取值范围. 【解析】由已知－4≤f (1)＝a －c ≤－1，－1≤f (2)＝4a －c ≤5. 令f (3)＝9a －c ＝γ(a －c )＋μ(4a －c )， 所以???-=--=+1,94μγμγ???? ??? ? =-=38 ,35μγ 故f (3)＝－53(a －c )＋8 3(4a －c )∈[－1,20]. 题型三 开放性问题 【例3】已知三个不等式：①ab ＞0；② c a ＞d b ；③b c ＞a d .以其中两个作条件，余下的一个作结论，则能组 成多少个正确命题？ 【解析】能组成3个正确命题.对不等式②作等价变形:c a ＞d b ?bc －ad ab ＞0. (1)由ab ＞0，bc ＞ad ?bc －ad ab ＞0，即①③?②； (2)由ab ＞0， bc －ad ab ＞0?bc －ad ＞0?bc ＞ad ，即①②?③； (3)由bc －ad ＞0， bc －ad ab ＞0?ab ＞0，即②③?①. 故可组成3个正确命题. 【例2】解关于x 的不等式mx 2＋(m －2)x －2＞0 (m ∈R ). 【解析】当m ＝0时，原不等式可化为－2x －2＞0，即x ＜－1； 当m ≠0时，可分为两种情况： (1)m ＞0 时，方程mx 2＋(m －2)x －2＝0有两个根，x 1＝－1，x 2＝2 m . 所以不等式的解集为{x |x ＜－1或x ＞2 m }； (2)m ＜0时，原不等式可化为－mx 2＋(2－m )x ＋2＜0，
2020高考理科数学不等式问题的题型与方法
专题三：高考数学不等式问题的题型与方法（理科） 一、考点回顾 1．高考中对不等式的要求是：理解不等式的性质及其证明；掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用；掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式；掌握简单不等式的解法；理解不等式│a│-│b│≤│a+b│≤│a│+│b│。 2．不等式这部分内容在高考中通过两面考查，一是单方面考查不等式的性质，解法及证明；二是将不等式知识与集合、逻辑、函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、平面向量、导数等知识交汇起来进行考查，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高学生数学素质及创新意识． 3．在不等式的求解中，换元法和图解法是常用的技巧之一，通过换元，可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式，通过构造函数，将不等式的解化归为直观、形象的图象关系，对含有参数的不等式，运用图解法，可以使分类标准更加明晰． 4．证明不等式的方法灵活多样，但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法．要依据题设、题断的结构特点、内在联系，选择适当的证明方法，要熟悉各种证法中的推理思维，并掌握相应的步骤，技巧和语言特点．比较法的一般步骤是：作差(商)→变形→判断符号(值)．5．在近几年全国各省市的高考试卷中，不等式在各种题型中都有出现。在解答题中，不等式与函数、数列与导数相结合，难度比较大，使用导数解决逐渐成为一般方法6．知识网络
其中：指数不等式、对数不等式、无理不等式只要求了解基本形式，不做过高要求. 二、 经典例题剖析 1．有关不等式的性质 此类题经常出现在选择题中，一般与函数的值域，最值与比较大小等常结合在一起 例1．（xx 年江西卷）若a >0，b >0，则不等式－b <1 x 1b D.x <1b －或x >1a 解析：－b <1x 1 a 答案：D 点评：注意不等式b a b a 1 1>? <和适用条件是0>ab 例2.（xx 年北京卷）如果正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，那么（ ） Ａ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｂ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值唯一 Ｃ．ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 Ｄ．ab c d +≥，且等号成立时a b c d ，，，的取值不唯一 解析：正数a b c d ，，，满足4a b cd +==，∴ 4=a b +≥，即4ab ≤，当且仅当a =b =2时，“=”成立；又4=2 ( )2 c d cd +≤，∴ c+d ≥4，当且仅当c =d =2时，“=”成立；综上得ab c d +≤，且等号成立时a b c d ，，，的取值都为2 答案：A 点评：本题主要考查基本不等式，命题人从定值这一信息给考生提供了思维，重要不等式可以完成和与积的转化，使得基本不等式运用成为现实。 例3．(xx 年安徽)若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 (A)a ＜－1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 解析：若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，当x ≥0时，x ≥ax ，a ≤1，当x ＜0时，
高考不等式专题的三大考点
不等式专题的几个常考点 考点一 用均值不等式求最值的类型及方法 一、几个重要的均值不等式 ①，、)(2 22 22 2 R b a b a ab ab b a ∈+≤?≥+当且仅当a = b 时，“=”号成立； ②， 、)(222 + ∈?? ? ??+≤?≥+R b a b a ab ab b a 当且仅当a = b 时，“=”号成立； ③，、、)(3 33 333 3 3 +∈++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 当且仅当a = b = c 时,“=”号成立； ④)(333 3+ ∈?? ? ??++≤?≥++R c b a c b a abc abc c b a 、、 ,当且仅当a = b = c 时,“=”号成立. 注：① 注意运用均值不等式求最值时的条件：一“正”、二“定”、三“等”； ② 熟悉一个重要的不等式链：b a 112 +2a b +≤≤ 2 2 2b a +。 二、函数()(0)b f x ax a b x =+ >、图象及性质 (1)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、图象如图： (2)函数()0)(>+ =b a x b ax x f 、性质： ①值域：),2[]2,(+∞--∞ab ab ； ②单调递增区间：(,-∞ ，)+∞ ；单调递减区间：(0, ，[0). 三、用均值不等式求最值的常见类型 类型Ⅰ：求几个正数和的最小值。 例1、求函数2 1 (1)2(1) y x x x =+ >-的最小值。 利用均值不等式求几个正数和的最小值时，关键在于构造条件，使其积为常数。通常要通过添加常数、拆项（常常是拆底次的式子）等方式进行构造。 类型Ⅱ：求几个正数积的最大值。 例2、求下列函数的最大值：
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法
常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1、当0>a 时， a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2、当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3、当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解： 因为 22<-x x ， 所以 222<-<-x x . 即 ?????<-->+-0 20222x x x x ， 解得： ???<<-∈2 1x R x ， 所以 )2,1(-∈x ，故选A.
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《不等式》分类汇编
【高中数学】高考数学《不等式》解析(1) 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知二次函数2()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >，对于任意实数都有
()0f x ≥，则 (1) '(0) f f 的最小值为( ) A ．2 B ． 52 C ．3 D ． 32 【答案】A 【解析】 ()2 2 00{,440 a f x ac b b a c >≥∴∴≥?=-≤Q 恒成立，,且0,0c a >> 又()()()2,00,1f x ax b f b f a b c =+∴'='=>++， ()( )11111120f a c f b b +∴=+≥+≥=+=' 当且仅当() () 120f a c f ='时，不等式取等号，故 的最小值为 3．在下列函数中，最小值是2的函数是（ ） A ．()1 f x x x =+ B ．1cos 0cos 2y x x x π?? =+ << ??? C ．( )2f x =D ．()4 2x x f x e e =+ - 【答案】D 【解析】 【分析】 根据均值不等式和双勾函数依次计算每个选项的最小值得到答案. 【详解】 A. ()1 f x x x =+，()122f -=-<，A 错误； B. 1cos 0cos 2y x x x π?? =+<< ??? ，故()cos 0,1x ∈，2y >，B 错误； C. ( )2f x = = ，故( )3 f x ≥ ，C 错误； D. ( )4222x x f x e e =+-≥=，当4x x e e =，即ln 2x =时等号成立，D 正确. 故选：D . 【点睛】 本题考查了均值不等式，双勾函数求最值，意在考查学生的计算能力和应用能力.
高考数学常考知识点之函数不等式
不等式 考试内容： 不等式．不等式的基本性质．不等式的证明．不等式的解法．含绝对值的不等式． 考试要求： （1）理解不等式的性质及其证明． （2）掌握两个（不扩展到三个）正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的定理，并会简单的应用． （3）掌握分析法、综合法、比较法证明简单的不等式． （4）掌握简单不等式的解法． （5）理解不等式│a │-│b │≤│a+b │≤│a │+│b │ §06. 不 等 式 知识要点 1. 不等式的基本概念 （1） 不等（等）号的定义：.0;0;0b a b a b a b a b a b a ?>- （2） 不等式的分类：绝对不等式；条件不等式；矛盾不等式. （3） 同向不等式与异向不等式. （4） 同解不等式与不等式的同解变形. 2.不等式的基本性质 （1）a b b a （对称性） （2）c a c b b a >?>>,（传递性） （3）c b c a b a +>+?>（加法单调性） （4）d b c a d c b a +>+?>>,（同向不等式相加） （5）d b c a d c b a ->-?<>,（异向不等式相减） （6）bc ac c b a >?>>0,. （7）bc ac c b a 0,（乘法单调性） （8）bd ac d c b a >?>>>>0,0（同向不等式相乘） (9)0,0a b a b c d c d >><（异向不等式相除） 11(10),0a b ab a b >>?<（倒数关系） （11）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（平方法则） （12）)1,(0>∈>?>>n Z n b a b a n n 且（开方法则） 3.几个重要不等式 （1）0,0||,2≥≥∈a a R a 则若 （2）)2||2(2,2222ab ab b a ab b a R b a ≥≥+≥+∈+或则、若（当仅当a=b 时取等号） （3）如果a ,b 都是正数，那么 .2 a b +（当仅当a=b 时取等号） 极值定理：若,,,,x y R x y S xy P +∈+==则： ○ 1如果P 是定值, 那么当x=y 时，S 的值最小； ○ 2如果S 是定值, 那么当x =y 时，P 的值最大. 利用极值定理求最值的必要条件： 一正、二定、三相等.
高考数学真题分类汇编专题不等式理科及答案
专题七 不等式 1.【2015高考四川，理9】如果函数()()()()21 281002 f x m x n x m n = -+-+≥≥， 在区间122?????? ，上单调递减，则mn 的最大值为（ ） （A ）16 （B ）18 （C ）25 （D ）812 【答案】B 【解析】 2m ≠时，抛物线的对称轴为82n x m -=--.据题意，当2m >时，8 22 n m --≥-即212m n +≤ .26,182 m n mn +≤ ≤∴≤Q .由2m n =且212m n +=得3,6m n ==.当2m <时，抛物线开口向下，据题意得，81 22 n m -- ≤-即218m n +≤ .281 9,22 n m mn +≤ ≤∴≤Q .由2n m =且218m n +=得92m =>，故应舍去.要使得mn 取得最大值，应有218m n +=(2,8)m n <>.所以 (182)(1828)816mn n n =-<-??=，所以最大值为18.选B.. 【考点定位】函数与不等式的综合应用. 【名师点睛】首先弄清抛物线的开口方向和对称轴，结合所给单调区间找到m 、n 满足的条件，然后利用基本不等式求解.本题将函数的单调性与基本不等式结合考查，检测了学生综合运用知识解题的能力.在知识的交汇点命题，这是高考的一个方向，这类题往往以中高档题的形式出现. 2.【2015高考北京，理2】若x ，y 满足010x y x y x -?? +??? ≤， ≤，≥，则2z x y =+的最大值为（ ） A ．0 B ．1 C ． 3 2 D ．2 【答案】D 【解析】如图，先画出可行域，由于2z x y = +，则11 22 y x z =- +，令0Z =，作直线1 2 y x =- ，在可行域中作平行线，得最优解(0,1)，此时直线的截距最大，Z 取
高考数学压轴专题(易错题)备战高考《不等式》难题汇编含答案
新高考数学《不等式》练习题 一、选择题 1．设x ，y 满足10 2024x x y x y -≥?? -≤??+≤? ，向量()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ，则满足a b ⊥r r 的实数m 的最小值为（ ） A ． 125 B ．125 - C ． 32 D ．32 - 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平面向量垂直的坐标表示，得2m y x =-，根据约束条件画出可行域，再利用m 的几何意义求最值，只需求出直线2m y x =-过可行域内的点C 时，从而得到m 的最小值即可． 【详解】 解：不等式组表示的平面区域如图所示：因为()2,1a x =r ，()1,b m y =-r ， 由a b ⊥r r 得20x m y +-=，∴当直线经过点C 时，m 有最小值， 由242x y x y +=??=?，得85 4 5x y ?=????=?? ，∴84,55C ?? ???， ∴416122555 m y x =-=-=-， 故选：B. 【点睛】 本题主要考查了平面向量共线（平行）的坐标表示，用平面区域二元一次不等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属于中档题．目标函数有唯一最优解是我们最常见的问题，这类问题一般要分三步：画出可行域、求出关键点、定出最优解． 2．已知等差数列{}n a 中，首项为1a （10a ≠），公差为d ，前n 项和为n S ，且满足 15150a S +=，则实数d 的取值范围是（ ）
A ．[； B ．(,-∞ C ．) +∞ D ．(,)-∞?+∞ 【答案】D 【解析】 【分析】 由等差数列的前n 项和公式转化条件得1 1322 a d a =--，再根据10a >、10a <两种情况分类，利用基本不等式即可得解. 【详解】 Q 数列{}n a 为等差数列， ∴15154 55102 a d d S a ?=+ =+，∴()151********a S a a d +++==， 由10a ≠可得 1 1322 a d a =--， 当10a > 时，1111332222a a d a a ??=--=-+≤-= ??? 1a 时等号成立； 当10a < 时，1 1322a d a =--≥= 1a =立； ∴实数d 的取值范围为(,)-∞?+∞. 故选：D. 【点睛】 本题考查了等差数列前n 项和公式与基本不等式的应用，考查了分类讨论思想，属于中档题. 3．已知关于x 的不等式()()2 22240m x m x -+-+>得解集为R ，则实数m 的取值范 围是（ ） A ．()2,6 B ．()(),26,-∞+∞U C ．(](),26,-∞?+∞ D ．[)2,6 【答案】D 【解析】 【分析】 分20m -=和20m -≠两种情况讨论，结合题意得出关于m 的不等式组，即可解得实数 m 的取值范围. 【详解】
几种常见不等式的解法
题目高中数学复习专题讲座几种常见解不等式的解法 高考要求 不等式在生产实践和相关学科的学习中应用广泛，又是学习高等数学的重要工具，所以不等式是高考数学命题的重点，解不等式的应用非常广泛，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围等，高考试题中对于解不等式要求较高，往往与函数概念，特别是二次函数、指数函数、对数函数等有关概念和性质密切联系，应重视；从历年高考题目看，关于解不等式的内容年年都有，有的是直接考查解不等式，有的则是间接考查解不等式 重难点归纳 解不等式对学生的运算化简等价转化能力有较高的要求，随着高考命题原则向能力立意的进一步转化，对解不等式的考查将会更是热点，解不等式需要注意下面几个问题 (1)熟练掌握一元一次不等式(组)、一元二次不等式(组)的解法 (2)掌握用零点分段法解高次不等式和分式不等式，特别要注意因式的处理方法 (3)掌握无理不等式的三种类型的等价形式，指数和对数不等式的几种基本类型的解法 (4)掌握含绝对值不等式的几种基本类型的解法 (5)在解不等式的过程中，要充分运用自己的分析能力，把原不等式等价地转化为易解的不等式 (6)对于含字母的不等式，要能按照正确的分类标准，进行分类讨论 典型题例示范讲解 例1已知f (x )是定义在［－1，1］上的奇函数，且f (1)=1，若m 、n ∈［－ 1，1］，m +n ≠0时 n m n f m f ++) ()(＞0 (1)用定义证明f (x )在［－1，1］上是增函数； (2)解不等式 f (x + 21)＜f (1 1-x )； (3)若f (x )≤t 2－2at +1对所有x ∈［－1，1］，a ∈［－1，1］恒成立，求 实数t 的取值范围 命题意图 本题是一道函数与不等式相结合的题目，考查学生的分析能力与化归能力 知识依托 本题主要涉及函数的单调性与奇偶性，而单调性贯穿始终，把所求问题分解转化，是函数中的热点问题；问题的要求的都是变量的取值范围，不等式的思想起到了关键作用 错解分析 (2)问中利用单调性转化为不等式时，x + 21∈［－1，1］，1 1-x ∈［－1，1］必不可少，这恰好是容易忽略的地方
高考数学专题练习：不等式与线性规划
高考数学专题练习：不等式与线性规划 1.若不等式(－2)n a －3n －1－(－2)n ＜0对任意正整数n 恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.? ? ???1，43 B.? ???? 12，43 C.? ? ???1，74 D.? ?? ??12，74 答案 D 解析 当n 为奇数时,要满足2n (1－a )＜3n －1恒成立, 即1－a ＜13× ? ????32n 恒成立,只需1－a ＜13×? ????321,解得a ＞1 2； 当n 为偶数时,要满足2n (a －1)＜3n －1恒成立, 即a －1＜13× ? ????32n 恒成立,只需a －1＜13×? ????322,解得a ＜7 4. 综上,12＜a ＜7 4,故选D. 2.已知a >0,b ＞0,且a ≠1,b ≠1,若log a b ＞1,则( ) A.(a －1)(b －1)＜0 B.(a －1)(a －b )＞0 C.(b －1)(b －a )＜0 D.(b －1)(b －a )＞0 答案 D 解析 取a ＝2,b ＝4,则(a －1)(b －1)＝3＞0,排除A ；则(a －1)(a －b )＝－2＜0,排除B ；(b －1)(b －a )＝6＞0,排除C,故选D. 3.设函数f (x )＝??? x 2－4x ＋6，x ≥0， x ＋6，x <0，则不等式f (x )>f (1)的解集是( ) A.(－3,1)∪(3,＋∞) B.(－3,1)∪(2,＋∞) C.(－1,1)∪(3,＋∞) D.(－∞,－3)∪(1,3) 答案 A 解析 f (1)＝3.由题意得??? x ≥0，x 2－4x ＋6>3或??? x <0， x ＋6>3， 解得－3
2017-18全国卷高考真题 数学 不等式选修专题
2017-2018全国卷I -Ⅲ高考真题 数学 不等式选修专题 1.(2017全国卷I,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=–x 2+ax +4，g (x )=│x +1│+│x –1│. （1）当a =1时，求不等式f （x ）≥g （x ）的解集； （2）若不等式f （x ）≥g （x ）的解集包含[–1，1]，求a 的取值范围. 【答案解析】 解：（1）当1a =时，()24f x x x =-++，是开口向下，对称轴12 x = 的二次函数． ()211121121x x g x x x x x >??=++-=-??-<-?，，≤x ≤，， 当(1,)x ∈+∞时，令242x x x -++= ，解得x =()g x 在()1+∞， 上单调递增，()f x 在()1+∞，上单调递减 ∴此时()()f x g x ≥ 解集为1? ?? ． 当[]11x ∈-， 时，()2g x =，()()12f x f -=≥． 当()1x ∈-∞-， 时，()g x 单调递减，()f x 单调递增，且()()112g f -=-=． 综上所述，()()f x g x ≥ 解集1?-??? ． （2）依题意得：242x ax -++≥在[]11-， 恒成立． 即220x ax --≤在[]11-， 恒成立． 则只须()()2211201120 a a ?-?-??----??≤≤，解出：11a -≤≤． 故a 取值范围是[]11-， ．
2.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4-5：不等式选讲]（10分） 已知0a >，222ba b +==2.证明： （1）()22()4a b a b ++≥； （2）2a b +≤. 【答案解析】 3.(2017全国卷Ⅱ,文/理.23)（10分） [选修4—5：不等式选讲]（10分） 已知函数f （x ）=│x +1│–│x –2│. （1）求不等式f （x ）≥1的解集； （2）若不等式f （x ）≥x 2–x +m 的解集非空，求m 的取值范围. 【答案解析】 解:(1)()|1||2|f x x x =+--可等价为()3,121,123,2--??=--<
高考真题不等式选讲专题答案
不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 2.（2020?全国2卷）已知函数2 ()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 3.（2020?全国3卷）设a ，b ，c ∈R ，a ＋b ＋c ＝0，abc ＝1． （1）证明：ab ＋bc ＋ca ＜0； （2）用max {a ，b ，c }表示a ，b ，c 中的最大值，证明：max {a ，b ，c } 4.（2020?江苏卷）设x ∈R ，解不等式2|1|||4x x ++≤．
不等式选讲专题答案 1.（2020?全国1卷）已知函数()|31|2|1|f x x x =+--． （1）画出()y f x =的图像； （2）求不等式()(1)f x f x >+的解集． 【答案】（1）详解解析；（2）7,6? ?-∞- ??? . 【解析】（1）根据分段讨论法，即可写出函数()f x 的解析式，作出图象； （2）作出函数()1f x +的图象，根据图象即可解出． 【详解】（1）因为()3,1151,1313,3x x f x x x x x ??+≥??=--<
（2）将函数()f x 的图象向左平移1个单位，可得函数()1f x +的图象，如图所示： 由()3511x x --=+-，解得76x =-．所以不等式()(1)f x f x >+的解集为7,6??-∞- ?? ?． 【点睛】本题主要考查画分段函数的图象，以及利用图象解不等式，意在考查学生的数形结合能力，属于基础题． 2.（2020?全国2卷）已知函数2()|21|f x x a x a =-+-+. （1）当2a =时，求不等式()4f x 的解集； （2）若()4f x ，求a 的取值范围. 【答案】（1）32x x ? ≤??或112x ?≥??；（2）(][),13,-∞-+∞. 【解析】（1）分别在3x ≤、34x <<和4x ≥三种情况下解不等式求得结果； （2）利用绝对值三角不等式可得到()()2 1f x a ≥-，由此构造不等式求得结果. 【详解】（1）当2a =时， ()43f x x x =-+-. 当3x ≤时，()43724f x x x x =-+-=-≥，解得：3 2x ≤； 当34x <<时， ()4314f x x x =-+-=≥，无解；
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法(精选.)
高考中常见的七种含有绝对值的不等式的解法 类型一：形如)()(,)(R a a x f a x f ∈><型不等式 解法:根据a 的符号，准确的去掉绝对值符号，再进一步求解.这也是其他类型的解题基础. 1.当0>a 时，a x f a a x f <<-?<)()( a x f a x f >?>)()(或a x f -<)( 2.当0=a a x f <)(，无解 ?>a x f )(使0)(≠x f 的解集 3.当0a x f )(使)(x f y =成立的x 的解集. 例1 （2008年四川高考文科卷）不等式22<-x x 的解集为（ ） A.)2,1(- B.)1,1(- C.)1,2(- D.)2,2(- 解：因为 22<-x x ，所以222 <-<-x x .即?????<-->+-020222x x x x ，解得：???<<-∈2 1x R x ，所以 )2,1(-∈x ，故选A. 类型二：形如)0()(>><><<)()0()( 或a x f b -<<-)( 需要提醒一点的是，该类型的不等式容易错解为： b x f a a b b x f a <><<)()0()( 例2 （2004年高考全国卷）不等式311<+
高考数学专题不等式选讲高考真题
2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．
3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．
5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，33 2a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．
2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题
2019届高考数学专题-不等式选讲-高考真题 解答题 1．(2018全国卷Ⅰ)[选修4–5：不等式选讲]（10分） 已知()|1||1|f x x ax =+--． (1)当1a =时，求不等式()1f x >的解集； (2)若(0,1)x ∈时不等式()f x x >成立，求a 的取值范围． 2．(2018全国卷Ⅱ) [选修4－5：不等式选讲]（10分） 设函数()5|||2|=-+--f x x a x ． (1)当1a =时，求不等式()0≥f x 的解集； (2)若()1≤f x ，求a 的取值范围．
3．(2018全国卷Ⅲ) [选修4—5：不等式选讲]（10分） 设函数()|21||1|f x x x =++-． (1)画出()y f x =的图像； (2)当[0,)x ∈+∞时，()f x ax b +≤，求a b +的最小值． 4．（2017新课标Ⅰ）已知函数2 ()4f x x ax =-++，()|1||1|g x x x =++-． (1)当1a =时，求不等式()()f x g x ≥的解集； (2)若不等式()()f x g x ≥的解集包含[1,1]-，求a 的取值范围．
5．（2017新课标Ⅱ）已知0a >，0b >，332a b +=，证明： (1)55()()4a b a b ++≥； (2)2a b +≤． 6．（2017新课标Ⅲ）已知函数()|1||2|f x x x =+--． (1)求不等式()1f x ≥的解集； (2)若不等式2 ()f x x x m -+≥的解集非空，求m 的取值范围．
浙江高考 不等式专题(一)
浙江高考不等式专题 【高考再现】 【2017浙江高考】已知a R ∈，函数4 ()||f x x a a x =+-+在区间[1,4]上的最大值是5，则a 的取值范围是____________。 【2016浙江高考】已知实数c b a ,, A ．若122≤+++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a B ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a C ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a D ．若122≤-++++c b a c b a ，则1002 22<++c b a 【2015浙江高考】若实数,x y 满足221x y +≤，则2263x y x y +-+--的最小值是 ． 【典型例题与方法】 例1. （15年重庆）设,0a b >，5a b +=____________。 （一）不等式法 均值不等式 柯西不等式（等同于构造向量法） （二）函数法 函数最值法：统一变量化为一个变量的函数 判别式法：化为一元二次方程有解 导数法：计算量较大。
（三）三角换元法：形如222 a b r +=，可令sin ,cos a r b r αα==化为三角函数求范围。 （四）几何法：转化为线性规划。直线型ax by +，斜率型y b x a --，圆型22()()x a y b -+- （五）对称变量法 例2. （14年浙江）已知实数,,a b c 满足2220,1a b c a b c ++=++=，则a 的最大值是________。 例3. 【2014辽宁理16】对于0c >，当非零实数a ，b 满足2 2 4240a ab b c -+-=，且使|2|a b +最大 时，345 a b c -+的最小值为 . 【强化训练】 1. 已知正数,x y 满足 81 1x y +=。则2x y +的最小值为_______________。 2. 设22,,26a b R a b ∈+=，则a b +的最小值为_________________。 3. 已知221x y +=，则32x y +的最大值为______________。 4. 设实数,x y 满足22 326x y +≤，则2Z x y =+的最大值为______________。 5. 已知实数,x y 满足22 430x y x +-+=，则2x y +的取值范围为____________。 6. 已知实数,x y 满足2 2 116 y x +=，则_____________。 7. 已知函数()sin )f x x x R =+∈，则函数()f x 的取值范围是________________。 8. 已知正数,x y 满足1x y +≤____________.
高考数学常考题型：不等式基本性质(含详解答案)
高考数学常考题型：不等式基本性质 1．已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ） A ．[]4,10- B ．[]3,6- C ．[]2,14- D ．[]2,10- 2．若2 2 π π αβ- ≤<≤ ，则 2 αβ +， 2 αβ -的取值范围分别是（ ） A ．[,)22ππ-，(,0)2π - B ．[,]22ππ - ，[,0]2π - C ．(,)22ππ - ，(,0)2 π- D ．(,)22 ππ- ，[,0)2π - 3．已知11x y -≤+≤，13x y ≤-≤，则182y x ??? ??? 的取值范围是（ ） A ．8 2,2???? B ．8 1,22 ????? ? C ．7 2,2???? D ．7 1,22 ????? ? 4．设,a b 是不相等的两个正数，且ln ln b a a b a b -=-，给出下列结论：① 1a b ab +->；②2a b +>；③11 2a b +>.其中所有正确结论的序号是（ ） A ．①② B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 5．设0.231 log 0.6,log 2 0.6m n == ，则（ ） A ．m n mn m n ->>+ B ．m n m n mn ->+> C ．mn m n m n >->+ D ．m n m n mn +>-> 6．若关于x 的不等式2k x x >-恰好有4个整数解，则实数k 的范围为（ ） A ．20,5 ?? ?? ? B ．23,55?? ??? C ．32,53 ?? ??? D ．2,13?? ??? 7．已知223a b ab ++=，0a >，0b >，则2a b +的取值范围_________. 8．等差数列{a n }的前n 项和S n ，且4≤S 2≤6，15≤S 4≤21，则a 2的取值范围为_________. 9．设x ，y 为实数，满足2 38xy ≤≤，2 49x y ≤≤，则3x y 的最小值是______. 10．已知12a b -<<<，则2b a -的范围是______________. 11．若不等式|3|4x b -<的解集中的整数有且仅有1，2，3，则b 的取值范围是 12．已知二次函数()2 f x ax bx c =++，()411f -≤-≤-，()215f ≤≤，