高考不等式复习

不等式复习

一、利用基本不等式求函数最值

利用基本不等式求最值应遵循“一正二定三相等，和定积最大，积定和最小”这17字方针。

例题（1）下列命题中正确的是 A 、1

y x x

=+

的最小值是2 B 、2

y =

的最小值是2

C 、4

23(0)y x x x

=--

>的最大值是2-

D 、4

23(0)y x x x

=--

>的最小值是2-（答：C ）；

（2）若21x y +=，则24x y

+的最小值是______ （答：；

（3）正数,x y 满足21x y +=，则

y

x 1

1+的最小值为______ （答：3+）

； （4）如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________（答：[)9,+∞）

（5）（2013年宁波二模.文科.7）已知关于x 的不等式)0(022

≠>++a b x ax 的解集是

},1

|{R x a

x x ∈-≠,且b a >，则b a b a -+22的最小值是( )

A .22 .

B 2 .

C 2 .

D 1 (答：A ）

（6）若直线)0,0(022>>=+-b a by ax 被圆01422

2

=+-++y x y x 截得的弦长

为4，则

b

a 3

1+的最小值为 . （7）若正数b a ,满足ab b a =++1，则b a 23+的最小值是 【答案】5+34

（8）设0>>b a ，则)

(1

12

b a a ab a -+

+

的最小值是 【答案】4 （9）设b a ,为正实数，且满足12=+b a ，求⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝

⎛+

b b a a 411的最小值.【答案】8

25 （10）2013年浙江乐清二中模拟）若实数0,0a b >>，且41

10a b a b

+++=，则a b +的最大值是 .

【解析】设a b t +=，则4110a b t a b t +⎛⎫++⋅=

⎪⎝⎭，241()109a b t t a b ⎛⎫++=-≥ ⎪⎝⎭

210019t t t t -+≤⇒≤≤.

二、三角代换求不等式最值

【例题】1、实数,x y 满足2

2

222x xy y -+=，则2

2

2x y +的最小值是 .

2、已知1

44

4x y ++=，则22x y +的最大值是 .

3、设,x y ≤a 的最小值为 .

4、实数,x y 满足22

44x y x +=，求证221

165

x y -

≤-≤. 5、设实数,a b 满足0,8a b ≤≤，且2

2

16b a =+，则b a -的最大值为 .

三、根据几何意义求最值

1

的最小值是

2、 已知正实数,x y 满足22x y +=

，则x +

）

.A

85 .B 4

5

.C 2 .D 1 【答案：A 】

3

、已知

(,)f a b =，其

中,a b R ∈，则(,)f a b 的最小值是

.【答案：

四、常用不等式有：

（

1

2211

a b a b

+≥≥≥+(根据目标不等式左右的运算结构选用) ； （2）a 、b 、c ∈R ，222

a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时，取等号）；

（3）若0,0a b m >>>，则

b b m

a a m

+<+（糖水的浓度问题）。

五、含绝对值不等式的性质：

a b 、同号或有0⇔||||||a b a b +=+≥||||||||a b a b -=-； a b 、异号或有0⇔||||||a b a b -=+≥||||||||a b a b -=+.

如设2

()13f x x x =-+，实数a 满足||1x a -<，求证：|()()|2(||1)f x f a a -<+

六．不等式的恒成立,能成立,恰成立等问题：

不等式恒成立问题的常规处理方式（常应用函数方程思想和“分离变量法”转化为最值问题，也可抓住所给不等式的结构特征，利用数形结合法）

1).恒成立问题

若不等式()A x f >在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()min f x A > 若不等式()B x f <在区间D 上恒成立,则等价于在区间D 上()max f x B <

如（1）设实数,x y 满足22

(1)1x y +-=，当0x y c ++≥时，c 的取值范围是______

（答：)

1,+∞）；

（2）不等式a x x >-+-34对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围_____

（答：1a <）；

（3）若不等式)1(122

->-x m x 对满足2≤m 的所有m 都成立，则x 的取值范围_____

（答：（

712-,31

2

+））； （4）若不等式n

a n n

1

)1(2)1(+-+<-对于任意正整数n 恒成立，则实数a 的取值范围是

_____

（答：3

[2,)2

-）；

（5）若不等式2

2210x mx m -++>对01x ≤≤的所有实数x 都成立，求m 的取值范围.