2019年中考数学专题复习第二十一讲矩形-菱形-正方形(含详细参考答案)(可编辑修改word版)

2019 年中考数学专题复习

第二十一讲矩形菱形正方形

【基础知识回顾】

一、矩形：

1、定义：有一个角是角的平行四边形叫做矩形

2、矩形的性质：

⑴矩形的四个角都

⑵矩形的对角线

3、矩形的判定：

⑴用定义判定

⑵有三个角是直角的是矩形

⑶对角线相等的是矩形

【名师提醒：1、矩形是对称图形，对称中心是，矩形又是对称图形，对称轴有条2、矩形被它的对角线分成四个全等的

三角形和两对全等的三角形3、矩形中常见题目是对角线相交成600 或1200 角时，利用直角三角形、等边三角形等图形的性质解决问题】

二、菱形：

1、定义：有一组邻边的平行四边形叫做菱形

2、菱形的性质：⑴菱形的四条边都

⑵菱形的对角线且每条对角线

3、菱形的判定：⑴用定义判定

⑵对角线互相垂直的是菱形

⑶四条边都相等的是菱形

【名师提醒：1、菱形既是对称图形，也是对称图形，它有条对称轴，分别是2、菱形被对角线分成四个全等的三角形和两对全等的三角形3、菱形的面积可以用平行四边形面积公式计算，也可以用两对角线积的来计算4、菱形常见题目是内角为1200 或600 时，利用等边三角形或直角三角形的相关知识解决的题目】

三、正方形：

1、定义：有一组邻边相等的是正方形，或有一个角是直角的

是正方形

2、性质：⑴正方形四个角都都是角，

⑵正方形四边条都

⑶正方形两对角线、且每条对角线平分

一组内角

3、判定：⑴先证是矩形，再证

⑵先证是菱形，再证

【名师提醒：1、菱形、正方形具有平行四边形的所有性质，正方形具有以上特殊四边形的所有性质。这四者之间的关系可表示为：

2、正方形也既是对称图形，又是对称图形，有条对称轴

3、几种特殊四边形的性质和判定都是从、、三个方面来看的，要注意它们的区别和联系】

【重点考点例析】

考点一：矩形的性质

例1 （2018•杭州）如图，已知点P 是矩形ABCD 内一点（不含边界），设∠PAD=θ1，∠PBA=θ2，∠PCB=θ3，∠PDC=θ4，若∠APB=80°，∠CPD=50°，则（）A．（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°

B．（θ2+θ4）-（θ1+θ3）=40°

C．（θ1+θ2）-（θ3+θ4）=70°

D．（θ1+θ2）+（θ3+θ4）=180°

【思路分析】依据矩形的性质以及三角形内角和定理，可得∠ABC=θ2+80°-θ1，∠BCD=θ3+130°-θ4，再根据矩形ABCD 中，∠ABC+∠BCD=180°，即可得到（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°．

【解答】解：如图，

∵AD∥BC，∠APB=80°，

∴∠CBP=∠APB-∠DAP=80°-θ1，

∴∠ABC=θ2+80°-θ1，

又∵△CDP 中，∠DCP=180°-∠CPD-∠CDP=130°-θ4，

∴∠BCD=θ3+130°-θ4，

又∵矩形ABCD 中，∠ABC+∠BCD=180°，

∴θ2+80°-θ1+θ3+130°-θ4=180°，

即（θ1+θ4）-（θ2+θ3）=30°，

故选：A．

【点评】本题主要考查了矩形的性质以及三角形内角和定理的运用，解决问题的关键是掌握：矩形的四个角都是直角．

考点二：和菱形有关的对角线、周长、面积的计算问题

例2 （2018•淮安）如图，菱形ABCD 的对角线AC、BD 的长分别为6 和8，则这个菱形的周长是（）

A．20 B．24

C．40 D．48

AO

2

+ BO 2

【思路分析】由菱形对角线的性质，相互垂直平分即可得出菱形的边长，菱形四边相等即可得出周长．

【解答】解：由菱形对角线性质知，AO= 1 AC=3，BO= 1

BD=4，且 AO ⊥BO ，

2 2

则 AB = = 5 ，

故这个菱形的周长 L=4AB=20． 故选：A ．

【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用， 考查了菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算 AB 的长是解题的关键，难度一般．

考点三：和正方形有关的证明题

例 3 （2018•北京）如图，在正方形 ABCD 中，E 是边 AB 上的一动点（不与点 A 、B 重合），连接 DE ，点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ，连接 EF 并延长交 BC 于点 G ，连接 DG ，过点 E 作 EH ⊥DE 交 DG 的延长线于点 H ，连接 BH ．

（1） 求证：GF=GC ；

（2） 用等式表示线段 BH 与 AE 的数量关系，并证明．

2 2 ⎨

DG ＝DG 【思路分析】（1）如图 1，连接 DF ，根据对称得：△ADE ≌△FDE ，再由 HL 证明 Rt △DFG ≌Rt △DCG ，可得结论；

（2）证法一：如图 2，作辅助线，构建 AM=AE ，先证明∠EDG=45°，得 DE=EH ， 证明△DME ≌△EBH ，则 EM=BH ，根据等腰直角△AEM 得：EM= AE ，得结 论；

证法二：如图 3，作辅助线，构建全等三角形，证明△DAE ≌△ENH ，得 AE=HN ， AD=EN ，再说明△BNH 是等腰直角三角形，可得结论． 【解答】证明：（1）如图 1，连接 DF ，

∵四边形 ABCD 是正方形， ∴DA=DC ，∠A=∠C=90°，

∵点 A 关于直线 DE 的对称点为 F ， ∴△ADE ≌△FDE ，

∴DA=DF=DC ，∠DFE=∠A=90°， ∴∠DFG=90°，

在 Rt △DFG 和 Rt △DCG 中，

∵ ⎧DF ＝DC ， ⎩

∴Rt △DFG ≌Rt △DCG （HL ）， ∴GF=GC ；

（2）BH= AE ，理由是：

证法一：如图 2，在线段 AD 上截取 AM ，使 AM=AE ，