§6-1 二阶电路的微分方程
第七章 二阶电路
i ( t ) = A1 e
(b)当 α = ω 0 ( R = 2
+ A2 e
s2 t
过阻尼
L ), s 1 = s 2 = - α , 为 二 重 实 根 ： C
i ( t ) = ( A + Bt )e − α t
(c)当 α < ω 0 ( R < 2 L ), s 1,2 = - α ± C
———— 二阶非齐次微分方程 一般形式： 一般形式：
d2y dy + a1 + a0 y = f ( t ) 2 dt dt
当电路没有输入激励时有f(t)=0，方程变为齐次方程： ，方程变为齐次方程： 当电路没有输入激励时有
d2y dy + a1 + a0 y = 0 2 dt dt
相应的解为零输入响应。 相应的解为零输入响应。
di uL (0 + ) = L dt
t = 0+
= U0
di dt
t = 0+
U0 = L
表达式代入并令t=0 将i(t)表达式代入并令 + 有： 表达式代入并令
L(A1S1+A2S2)=U0 由①②联立得： ①②联立得： 联立得
————② ②
A1 = − A2 =
U0 L ( s1 − s 2 )
di 2 − 4 i1 + + 4 i2 = 0 dt
---- ②
1 d i2 i1 = ( + 4 i2 ) 4 dt
1 d 2 i2 ′ i 1′ = ( + 4 i2 ) 2 4 dt
----③ ③ ----④ ④
d 2 i2 di 2 + 10 + 19 i 2 = 2 u s ( t ) 16 2 dt dt
电路分析—二阶电路
A sin U 0
， arctan
ω0
，0，间的关系:
sin 0
0 A U0
δ
ω
duC U 0 t i C e sin t dt L
uL L
0 uC U 0e t sin( t )
di 0 U 0e t sin( t ) dt
整理得 解答形式为
di 2( 2 i ) 2i1 6 i1dt 2i dt
d2i di 8 12i 12 2 dt dt
二阶非齐次常微分方程
i i i
第二步，求通解 i ： p2 8 p 12 0 特征根为 p1= 2 ，p2 = 6
临界阻尼 （critically damped case） 欠阻尼 （under damped case）
L R2 C
(一) R 2
L C
不等的实根 p1，p2 解答形式为 L
S uC + C i
R
uC A1e p1t A2e p2t
uC (0 ) uC (0 )U 0 duC C i (0 ) i (0 )0 dt t 0
(natural frequency) 解答形式
uC Ae
t
sin(t )
其中A ， 为待定系数。
由起始始值
uC (0 ) U 0 duC i (0 ) C dt
0
t 0
定系数。
A( )sin A cos 0
解得
U0 A sin
d 2 u1 3 K du1 1 ( ) 2 2 0 2 dt RC dt R C
二阶微分方程解
二阶微分方程解二阶微分方程分为齐次和非齐次两种类型。
在这里，我们主要讨论二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
二阶常系数齐次线性微分方程的一般形式为：ayy'' + by' + cy = 0其中，a、b、c为常数。
求解过程如下：1. 特征方程：首先求出微分方程的特征方程。
特征方程为：r^2 - pr - q = 0其中，p、q为常数。
2. 求解特征方程：求出特征方程的两个根r1和r2。
可以使用公式：r1,2 = (-p ±√(p^2 - 4q)) / 23. 根据根与系数的关系，得出二阶微分方程的通解：通解= yC1* e^(r1x) + yC2 * e^(r2x)其中，yC1和yC2为待定系数，可通过初始条件求解。
4. 求解特解：若需要求解特解，可以先设特解的形式为y = yE(x)，然后将其代入原方程，求解待定系数。
举例：求解二阶常系数齐次线性微分方程：yy'' - 2y' + 3y = 01. 特征方程：r^2 - 2r + 3 = 02. 求解特征方程：r1= 1，r2 = 33. 通解：通解= yC1* e^x + yC2* e^-x4. 求解特解：设特解为y = yE(x) = e^(x^2)将其代入原方程，求解得到yE(x)为原方程的特解。
需要注意的是，二阶微分方程的解法不仅限于齐次方程，还包括非齐次方程。
非齐次方程的解法通常需要先求解齐次方程的通解，然后通过待定系数法求解特解。
此外，还有其他类型的二阶微分方程，如艾里方程等，其解法更为复杂。
第6章 一阶和二阶电路的时域分析
其余的称为 非独立的初始条件
6-20
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
5. 求初始条件的步骤：
1、根据换路前的电路求出uC (0 )、 iL (0 )
画出 t=0- 时的等效电路，直流电路稳定时 ic=0，uL=0，即C→开路，L→短路。
求uc(0-)、iL(0-)
6-12
经典法
状态变量法
卷积积分 数值法
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
四、换路定理和初始条件
1、换路（switching）
结构或参数的改变使得电路的工作状态发生变化。 换路是在瞬间完成的 假设 t = 0 时发生换路，规定：
t 0 表示换路前的最终时刻 t 0 表示换路后的最初时刻 换路经历的时间：0 到 0 t= 0- 和 t= 0 之间的时间间隔趋于零
R + Us
i
根据KVL可得：
uR uC us
Ri uc U S
duc RC uc U S dt
uC
–
C
duC iC dt
6-8
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第6章 一阶和二阶电路的时域分析
RL 电路
求 iL
Is
iL
根据KCL可得：
R
L
iR iL is
1 uL iL is R
V 10 10V
i
3K
iL
iu LL
L uC iC C
L
i2 i3 R3 4K
i uC R2
K
2 ⑶ 画出 t=0+ 时的等效电路 K t=0+ 时电容相当于一个 4V的电压源 R1 R1 mA的电流源 iL(0 ) i 电感相当于一个 2 K L 3 R1 → t=0+ + R2 iL(0+) i (0 ) i (0 ) i (0 ) uC(0-) US i K K V 3 C 2 3 10 L 3 R1 uL(0 ) → 2K + R2 R3 V 10 uC(0 ) R U S 2 uC(0-) K iC(02 ) i2 (0+) i3(0+) 4K + 3K 1 2 K u (0 ) L + 2 S + + R2 R3 V U0 i U 10 u (0 ) S R i R C + S - C uC R K K 2 4 uR + 1 2 + R0 uC uR C
二阶电路地动态响应实验报告材料
实验二：二阶电路的动态响应学号：0928402012 姓名：王畑夕 成绩：一、 实验原理及思路图6.1 RLC 串联二阶电路用二阶微分方程描述的动态电路称为二阶电路。
图6.1所示的线性RLC 串联电路是一个典型的二阶电路。
可以用下述二阶线性常系数微分方程来描述：s 2U 2=++c c c u dt du RC dtu d LC （6-1） 初始值为CI C i dtt du U u L t c c 000)0()()0(===-=--求解该微分方程，可以得到电容上的电压u c (t )。
再根据：dtdu ct i cc =)( 可求得i c (t )，即回路电流i L (t )。
式（6-1）的特征方程为：01p p 2=++RC LC 特征值为：20222,11)2(2p ωαα-±-=-±-=LCL R L R (6-2)定义：衰减系数（阻尼系数）LR 2=α 自由振荡角频率（固有频率）LC10=ω 由式6-2 可知，RLC 串联电路的响应类型与元件参数有关。
1．零输入响应动态电路在没有外施激励时，由动态元件的初始储能引起的响应，称为零输入响应。
电路如图6.2所示，设电容已经充电，其电压为U 0，电感的初始电流为0。
(1) CL R 2>，响应是非振荡性的，称为过阻尼情况。
电路响应为：)()()()()(212112012120t P t P t P t P C e e P P L U t i e P e P P P U t u ---=--=响应曲线如图6.3所示。
可以看出：u C (t)由两个单调下降的指数函数组成，为非振荡的过渡过程。
整个放电过程中电流为正值， 且当2112lnP P P P t m -=时，电流有极大值。
（2）CL R 2=，响应临界振荡，称为临界阻尼情况。
电路响应为tt c te LUt i e t U t u ααα--=+=00)()1()( t ≥0响应曲线如图6.4所示。
二阶电路.ppt
p2e p2t )
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5
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可以看出电容电压是衰减的指数函数，且因为 p1 ， 所p2以随
着时间的增长，uc中第一项比第二项衰减慢， uc一直为正。图 9-2画出了电容电压、电流和电感电压随时间变化规律的波形。
图9-2 变化波形
动画演示：二阶电路的零 输入响应(RLC串联) 1
duc iL (0 ) I0
dt t0
C
C
对于线性常系数的二阶齐次微分方程，解为二阶电路的零输
入响应，令 uc ，A得e p特t 征方程为
LCp2 RCp 1 0
特征方程的根为
p1,2
R 2L
R
2
1
2L LC
2 2
方程的通解为 uc A1e p1t A2e p2t p1 p2
RLC电路在单位冲激信号作用下的零状态响应叫做冲激响应。 串联电路的冲激响应的求解方法：
方法一 直接利用描述电路的二阶常系数线性非齐次微分方程 求解，即从冲激信号的定义出发，直接计算冲激响应。 t=0瞬 间冲激施加于电路，在t=0＋时建立了初始值，而冲激信号消失， 求零状态响应转换为求零输入响应。
图9-7 二阶阶跃响应电路
根据波形可知，电容电压从单调地衰减为零，说明电容一直 处于放电状态。故这种情况下为非振荡放电过程，或过阻尼情 况。
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i在变化的过程中具有一个极大值imax，设出现在t=tm,时刻， 令
di dt
0,即uL
0
p1e p1tm
p e p2tm 2
0
tm
ln( p2 / p1 ) p1 p2
解 （1） 换路前电路已达稳态，则有
二阶电路分析
(4) 利用三要素公式可以简便地求解一阶电路在直流电 源或阶跃信号作用下的电路响应。 三要素公式为
y (t ) y () [ y (0 ) y ()]e
求三要素的方法为
t
t>0
① 初始值y(0+)：利用换路定律和0+等效电路求得。 ② 稳态响应y(∞): 在直流电源或阶跃信号作用下，电路达 到稳态时，电容看作开路，电感看作短路，此时电路成为电 阻电路。利用电阻电路的分析方法，求得稳态响应y(∞)。 ③ 时常数τ：RC电路，τ=RC; RL电路，τ=L/R。式中R为断
s s arctgCR
uC (t ) Ae
t RC
UCm cos(t )
利用初始条件确定常数A， 即
uC (0) A U Cm cos U 0 A U 0 U Cm cos
uC (t ) (U 0 U Cm cos )e U Cm cos(t )
4.7 二阶电路分析
用二阶微分方程描述的电路称为二阶电路。分析二阶电路， 需要给定两个独立的初始条件。与一阶电路不同，二阶电路的
响应可能出现振荡形式。本节以RLC串联电路为例，讨论二阶
电路的零输入响应和单位阶跃响应。 RLC串联电路如图4.7-1所示，以电容电压uC作为电路响应， 列写该电路方程。根据KVL, 有
p1 p2
微分方程的通解为
uC e ( A1 A2t )
由初始条件
at
uC (0) A1
duC dt
t 0
A1 A2 0
A1 uC (0) A2 auC (0)
uC uC (0)(1 at)e (t )
(整理)第七章二阶电路
第七章 二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路，比如两个电容（电感）串（并）联情况。
◆ 重点：1． 电路微分方程的建立 2． 特征根的重要意义 3． 微分方程解的物理意义◆ 难点：1． 电路微分的解及其物理意义 2． 不同特征根的讨论计算7.0 知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式0'''=++cy by ay ，其特征方程为：02=++c bp ap ，特征根：a acb a b p 44222,1-±-=。
当特征方程有不同的实根1p 、2p 时，tp t p e A e A y 2121+= 当特征方程有相同的实根p 时，pte t A A y )(21+=当特征方程有共轭的复根ω±δ-=j p 2,1时，)sin cos (21)(t A t A e ey t tj ω+ω==δ-ω+δ- 二、欧拉公式β+β=βsin cos j e j2)sin()()(j e e t t j t j β+ω-β+ω-=β+ω β-β=β-sin cos j e j2)cos()()(β+ω-β+ω+=β+ωt j t j ee t7.1 二阶电路的零输入响应7.1.1 二阶电路中的能量振荡在具体研究二阶电路的零输入响应之前，我们以仅仅含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼情况）来讨论二阶电路的零输入时的电量及能量变化情况。
+ U 0C L _-_C L+(d)图8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为0U ，电感的初始电流为零。
在初始时刻，能量全部存储于电容中，电感中没有储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（0≠==dt di Lu u L C ，0≠∴dt di ），这样电流将不断增大，原来存储在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压下降到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能全部转化为电磁能，存储在电感中。
二阶电路算法
二阶电路算法摘要：一、引言二、二阶电路基本概念1.二阶系统的定义2.二阶系统的组成部分三、二阶电路算法1.欧拉公式2.零状态响应的计算方法3.完全响应的计算方法四、二阶电路算法的应用1.交流信号的放大与衰减2.滤波器的设计五、总结正文：二阶电路算法是电子工程和通信工程领域中常用的计算方法，主要应用于二阶系统的分析和设计。
二阶系统是一个具有两个存储元件的电路系统，通常包括电容器和电感器。
这种系统广泛应用于放大器、滤波器和振荡器等电路设备。
首先，我们来了解一下二阶电路的基本概念。
二阶系统是指由两个线性时不变元件组成的电路系统，其中包括一个电感器（L）和一个电容器（C）。
根据电感器和电容器的电压- 电流关系，可以得到二阶系统的微分方程。
这个微分方程是一个二阶微分方程，因此称为二阶系统。
二阶电路算法主要包括欧拉公式、零状态响应的计算方法和完全响应的计算方法。
欧拉公式是将二阶系统的微分方程转换为一个关于时间t 的三角函数的公式。
通过欧拉公式，我们可以求解系统的零状态响应和完全响应。
零状态响应是指在初始时刻，电感和电容的电压为零时，系统的响应。
计算零状态响应的方法主要是根据欧拉公式，求解系统的传递函数，然后通过逆Z 变换得到零状态响应。
完全响应则包括零状态响应和初始状态响应。
初始状态响应是指在初始时刻，电感和电容的电压不为零时，系统的响应。
计算完全响应的方法是将零状态响应和初始状态响应相加。
二阶电路算法在电子工程和通信工程领域具有广泛的应用。
例如，在交流信号的放大与衰减过程中，可以通过调整二阶电路的参数来实现信号的放大或衰减。
此外，在滤波器的设计中，二阶电路算法也发挥着重要作用。
通过改变二阶电路的元件参数，可以实现不同截止频率和不同通带衰减特性的滤波器。
总之，二阶电路算法是一种在电子工程和通信工程领域中常用的计算方法，主要应用于二阶系统的分析和设计。
二阶电路
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p2
R 2L
( R )2 1 2L LC
显然特征根p1、 p2仅与电路参数和结构有关
初始条件：uc(0+)= uc(0-)=U0 及 i(0+)= i(0-)=I0
并且：i C duC ，所以： duC I0
dt
dt t0
1 L
由于冲击电压的作用，使电感电流跃变，电感中储存了磁场能， 所以冲击响应就是由电感磁场能引起的变换过程。
21
t
≥0+时：
LC
d 2uC dt 2
RC
duC dt
uC
0
其解的形式： uC A1e p1t A2e p2t
其中 :
p1
R 2L
( R )2 1 ， 2L LC
p1e p2t
当t
)
tm
ln( p1 p1
p2 ) p2
电流达到最大值，且电
感电压过零
imax
t <tm, 电感吸收能量，
建立磁场； t >tm, 电感
释放能量，磁场衰减
i
U0
(e p1t e p2t )
L( p2 p1)
uL
U0 p2 p1
( p1e p1t
p2e p2t )
C
3
uC A1e p1t A2e p2t
将uc(0+)= U0 ，i(0+)= I0 及
duC I0
电路微分方程解法
下面给出过阻尼、临界阻尼、欠阻尼三种情况下电路方程的响应曲线,可以瞧出,三种情况下的稳态值相同。
另外,我们再给出衰减振荡(欠阻尼)与等幅振荡(零阻尼)情况下的响应曲线示意图。
7
一、定义
所谓“二阶电路的冲激响应”。实际上就是零状态的二阶电路在冲激源的作用下所产生的响应,即为二阶电路在冲激源作用下,建立一个初始状态后产生的零输入响应。
第七章
用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路,二阶电路中至少含有两个储能元件——当然含有两个储能元件的电路并不一定为二阶电路,比如两个电容(电感)串(并)联情况。
重点:
1．电路微分方程的建立
2．特征根的重要意义
3．微分方程解的物理意义
难点:
1．电路微分的解及其物理意义
2．不同特征根的讨论计算
7
一、二阶齐次微分方程的通解形式
电容电压虽然为零,但其变化率不为零( , ),电路中的电流从I0逐渐减小,电容在电流的作用下被充电(电压的极性与以前不同),当电感中的电流下降到零的瞬间,能量再度全部存储在电容中,电容电压又达到,只就是极性与开始相反。
之后电容又开始放电,此时电流的方向与上一次电容放电时的电流方向相反,与刚才的过程相同,能量再次从电场能转化为电磁能,直到电容电压的大小与极性与初始情况一致,电路回到初始情况。
由此可见, 与 均为随着时间衰减的指数函数,电路的响应为非振荡响应。其中当电流的变化率为零的时刻 时电流达到最大值。
而:
3.过阻尼时的响应曲线
二、临界阻尼情况
1.临界阻尼的条件
当 ,即 ( )时,特征根 、 为相等的负实数p;此时固有频率为相等的负实数,
2.临界阻尼时的响应
当方程的特征根相同时, ,然后可以按照初值求取待定系数;也可以利用非振荡放电过程的解,令 ,取极限得出。
电路原理 二阶电路
0
两个相等的负实根
R s1 == s2 − = s 临界阻尼情况 2L L （非周期情况） R=2 duC C = A1 s es t + A2 es t + A2 t s es t st st u= A1e + A2 t e C (t ) dt
特征根为：s = -100 ±j100
(4)全解 diL (t ) = −100 Ae −100t sin(100t + ϕ ) + 100 Ae −100t cos(100t + ϕ ) dt (5)定常数 iL (0+ ) = 2 ϕ 45 = diL + uL (0+ ) uC (0+ ) A = 2 (0 ) = = 0 = L L dt 2 1 + A sin ϕ = ∴ iL =1 + 2e −100t sin(100t + 45 ) 0 −100 A sin ϕ + 100 A cos ϕ =
The
end
特征方程为：LCs 2 + RCs + 1 = 0 R R 1 s1,2 = − ± ( )2 − 2L 2L LC
两个不相等的负实根
L R>2 C
R S C i L
设 |s2| > |s1|
s1,2
R R 2 1 = − ± ( ) − 2L 2L LC
s t
s1 t 2 ( ) ( ) u = t u = t A e + A e 1 2 C Ch
6-3 二阶电路的零状态响应和全响应
一、二阶电路的零状态响应
二阶线性偏微分方程的分类与总结
要点一
要点二
信号处理
在信号处理中，信号的传递和处理往往涉及到二阶线性偏微分方程，例如差分方程、卷积等，通过求解可以得到信号的频谱、滤波效果等性质。
在工程中的应用
二阶线性偏微分方程的求解方法
在物理中的应用
化学反应速率
二阶线性偏微分方程可以描述化学反应的速率，例如反应速度与反应物浓度的关系，通过求解可以得到反应速率常数等参数。
化学振荡
某些化学反应会经历振荡现象，即反应物浓度周期性地变化，二阶线性偏微分方程可以描述这种现象，通过求解可以得到振荡的频率、幅度等性质。
Hale Waihona Puke 在化学中的应用控制工程
要点三
Laplace变换法是一种通过将时域问题转换到复域问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
概述
Laplace变换法
适用于具有初始条件、冲击激励等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如RLC电路中的电压电流关系等。
适用范围
将原方程中的未知函数进行Laplace变换，得到复域中的解析解，再通过反变换得到时域中的解。
04
概述
适用范围
步骤
行波法
分离变量法
要点三
概述
分离变量法是一种通过将多变量问题分解为多个单变量问题来求解二阶线性偏微分方程的方法。
要点一
要点二
适用范围
适用于具有周期性、边界条件等特殊性质的二阶线性偏微分方程，如Sturm-Liouville方程等。
步骤
将原方程中的未知函数按照某种方式分解为多个单变量函数，通过对每个单变量函数分别求解，最终得到原方程的解。
二阶电路的零状态响应和全响应
f (0 )
⑤由初始值
df dt
(0 )
定。常数
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7-6 二阶电路的零状态响应和全响应
1. 二阶电路的零状态响应
uC(0－)=0 , iL(0－)=0
+
L iL +
微分方程为
LC d2uC RC duC
dt
dt
uC
US
- US
R
特征方程为
uC
-
C
uC uC uC
LCp2 RCp 1 0
特解
通解
特解: uC US
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uC解答形式为
0
过阻尼， 非振荡放电
uC
Ae p1t 1
A e p2t 2
0 临界阻尼， 非振荡放电 uC A1e t A2te t
0 欠阻尼， 振荡放电
uC Ae t sin( t )
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3.求二阶电路全响应的步骤
①列写t >0+电路的微分方程。
②求通解。
③求特解。
④全响应=强制分量+自由分量。
uC
US
A e p1t 1
A e p2t 2
( p1 p2 )
uC US A1e t A2te t ( p1 p2 )
uC US Ae t sin(t ) ( p1、2 j)
由初值uC(0Leabharlann ),du(0 dt
)
确定两个常数
uC
US
t
O
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例6-1 求电流 i 的零状态响应。
d2i 8 di 12i 12 dt 2 dt
解答形式为 i i i 第二步求通解 i。
二阶电路微分方程的建立
19
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
% 电压波形 figure(1) t=linspace(0,9,300); u1=subs(uc1);u2=subs(uc2);u3=subs(uc3); plot(t,u1,t,u2,t,u3,'linewidth',2),grid title('电容电压的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('uc(V)') % 电流波形 figure(2) i1=subs(ic1);i2=subs(ic2);i3=subs(ic3); plot(t,i1,t,i2,t,i3,'linewidth',2),grid title('电容电流的波形'),xlabel('Time(sec)'),ylabel('ic(A)')
20
电路 分析
用MATLAB求解微分方程
计算结果
>> uc1 = 24-64/3*exp(-t)+4/3*exp(-4*t) ic1 = 16/3*exp(-t)-4/3*exp(-4*t) uc2 = 24-96/5*exp(-2*t)-96/5*exp(-2*t)*t ic2 = 24/5*exp(-2*t)+48/5*exp(-2*t)*t uc3 = 24-12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+28/5*15^(1/2)*exp(1/2*t)*sin(1/2*15^(2)*t) ic3 = 12*exp(-1/2*t)*cos(1/2*15^(1/2)*t)+4/5*15^(1/2)*exp(-1/2*t)*sin(1/2*15^(1/2)*t)
电路微分方程解法
第七章二阶电路用二阶线性常微分方程描述的电路称为二阶电路，二阶电路中最少含有两个储能元件——自然含有两个储能元件的电路其实不必定为二阶电路，比方两个电容（电感）串（并）联状况。
要点：1．电路微分方程的建立2．特色根的重要意义3．微分方程解的物理意义难点：1．电路微分的解及其物理意义2．不一样特色根的谈论计算知识复习一、二阶齐次微分方程的通解形式ay' ' by' cy 0 ，其特色方程为：ap 2bp c0 ，特色根：p1, 2b b24ac 。
2a4a当特色方程有不一样的实根p1、 p2时， y A1e p1t A2e p 2t 当特色方程有同样的实根p 时，y( A1A2t )e pt当特色方程有共轭的复根p1,2j 时， ye (j ) t e t ( A1 cos t A2 sin t)二、欧拉公式e j cos j sin sin( t)e e j cos j sin cos( t)e j ( t)j ( t )ej 2e2j ( t)j ( t )二阶电路的零输入响应二阶电路中的能量振荡在详细研究二阶电路的零输入响应从前，我们以不过含电容与电感的理想二阶电路（即R=0，无阻尼状况）来谈论二阶电路的零输入时的电量及能量变化状况。
+iU 0C L C L_(a)(b)-_C L C LU0i+(c)(d)图 8-1 LC 电路中的能量振荡设电容的初始电压为U 0，电感的初始电流为零。
在初始时辰，能量所有储存于电容中，电感中没有u C u L di0 ，di储能。
此时电流为零，电流的变化率不为零（L0），这样电流将不停增大，dt dt本来储存在电容中的电能开始转移，电容的电压开始逐渐减小。
当电容电压降落到零时，电感电压也为零，此时电流的变化率也就为零，电流达到最大值I 0，此时电场能所有转变为电磁能，储存在电感中。
电容电压固然为零，但其变化率不为零（du C0 ，du C0），电路中的电流i C i L I 0 Cdtdt从 I 0逐渐减小，电容在电流的作用下被充电（电压的极性与从前不一样），当电感中的电流降落到零的瞬间，能量再度所有储存在电容中，电容电压又达到，不过极性与开始相反。
二阶电路过渡过程
二阶电路过渡过程一、引言二阶电路是指由两个电感元件和两个电容元件构成的电路，其特点是具有两个自由度。
在电路中，二阶电路是非常常见的，它广泛应用于滤波器、振荡器、放大器等电子设备中。
在二阶电路中，过渡过程是指电路由一个稳态状态转移到另一个稳态状态的过程。
本文将从理论和实际两个方面来介绍二阶电路的过渡过程。
二、理论分析二阶电路的过渡过程可以通过解析方法进行分析。
对于二阶电路，可以通过求解其微分方程来得到电路的过渡过程。
以二阶低通滤波器为例，其电路图如下：（此处省略电路图）假设电路中的电压源为单位阶跃信号，即输入信号为u(t) = U0(t)，其中U0(t)为单位阶跃函数。
通过对电路进行分析，可以得到二阶低通滤波器的微分方程为：d^2v(t)/dt^2 + 2ξωn dv(t)/dt + ωn^2v(t) = ωn^2U0(t)其中，v(t)为电路的输出电压，ξ为阻尼系数，ωn为自然频率。
解析求解这个微分方程可以得到电路的过渡过程。
在过渡过程中，电路的输出电压会从一个初始值逐渐趋近于最终稳态值。
三、实际模拟除了理论分析，我们还可以通过实际模拟来观察二阶电路的过渡过程。
通过使用电子仿真软件，我们可以搭建一个二阶低通滤波器电路并输入一个信号，然后观察输出信号的过渡过程。
在实际模拟中，我们可以通过改变电路元件的数值、信号的频率等参数，来观察过渡过程的变化。
在实际模拟中，我们可以发现，二阶电路的过渡过程与电路的参数设置密切相关。
当阻尼系数ξ较小时，电路的过渡过程会比较长，振荡现象明显；而当阻尼系数ξ较大时，电路的过渡过程会比较短，振荡现象几乎不可见。
此外，自然频率ωn也会影响过渡过程的速度，自然频率越大，过渡过程越快。
四、应用领域二阶电路的过渡过程在实际应用中具有重要意义。
在滤波器中，过渡过程的快慢会影响滤波器的频率响应特性；在振荡器中，过渡过程的稳定性会影响振荡器的工作效果；在放大器中，过渡过程的失真会影响放大器的信号质量。
(大学物理电路分析基础)第7章二阶电路分析
作用
阻尼比决定了二阶电路的响应 速度和振荡幅度，对电路的稳 定性有很大影响。
分类
根据阻尼比的大小，可以分为 欠阻尼、临界阻尼和过阻尼三
种情况。
自然频率
定义
自然频率是二阶电路在没有外部激励时自由振荡的频率，表示为ωn， 它等于电路的总电感与总质量的比值。
计算公式
自然频率的计算公式为ωn = sqrt(K/m)，其中K是弹簧常数，m是电 路的总质量。
赫尔维茨判据
赫尔维茨判据也是一种基于系统 极点的判据，通过计算系统函数 的零点和极点来判断系统的稳定 性。
乃奎斯特判据
乃奎斯特判据是一种基于频率域 分析的判据，通过分析系统的频 率响应来判断系统的稳定性。
稳定性分析方法
时域分析法
时域分析法是一种直接分析法，通过求解电路的微分方程来分析系统的动态响应和稳定 性。
大学物理电路分析基 础 第7章 二阶电路分 析
目 录
• 二阶电路的概述 • 二阶电路的响应分析 • 二阶电路的稳定性分析 • 二阶电路的阻尼比和自然频率 • 二阶电路的实例分析
01
二阶电路的概述
二阶电路的定义
二阶电路
由两个或更多电容元件或电感元 件组成的电路，其中每个元件有 两个端子。
定义中的关键点
频域分析法
频域分析法是一种间接分析法，通过将电路方程转化为频率域下的传递函数来分析系统 的稳定性。
04
二阶电路的阻尼比和自 然频率
阻尼比
定义
阻尼比是衡量二阶电路中阻尼作 用的参数，表示为ζ，它等于阻 尼电阻与电路总电阻的比值。
计算公式
阻尼比的计算公式为ζ = R/2L， 其中R是阻尼电阻，L是电路的总 电感。
二阶电路必须包含两个电容元件 或电感元件，且每个元件有两个 端子。