一元高次方程解法PPT课件
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《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT教学课件(第1课时)
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
方法指导
运用“三个二次”之间的关系求参数方法根据解集判断二次项系数的符号.一元二次不等式解集的两个端点值即对应一元二次方程的两个根.根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数.
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R不等式的解集为不式的解集为不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
_ _____________
____
_________________
____
____
或
续表
注意：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，需先把二次项系数化为正数再求解.
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与轴交点的横坐标. （2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
A
3.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的对应关系
设 ，方程 的判别式
判别式
解不等式 或 的步骤
求方程 的根
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
题型2 应用“三个二次”之间关系求参数
方法指导
运用“三个二次”之间的关系求参数方法根据解集判断二次项系数的符号.一元二次不等式解集的两个端点值即对应一元二次方程的两个根.根据一元二次方程根与系数的关系列方程组求参数.
因为
方程=0的解为
则二次函数草图为
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为R不等式的解集为不式的解集为不等式的解集为
不等式的解集为R
不等式的解集为
不等式的解集为
不等式的解集为
方法指导
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
解一元二次不等式的一般方法化标准：不等式右侧化为0，二次项系数化为正整数.判别式：确定对应一元二次方程有无实根.求实根：若有根，求根. 作草图：作出对应二次函数的草图.写解集：结合图像写一元二次不等式的解集.
_ _____________
____
_________________
____
____
或
续表
注意：对于二次项系数是负数(即a<0)的不等式，需先把二次项系数化为正数再求解.
.
典例精讲
SCQ NO.1 MIDDLE SCHOOL
人教版九年级初中数学上册第二十一章一元二次方程-解一元二次方程(配方法)PPT课件
2
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
B.x 2 6 x 8 0，x 2 6 x 9 8 9， x 3 1
2
2
2
2
7
7 7
7 7 97
C.2 x 7 x 6 0，x x 3， x 2 x 3 ， x
第二十一章 一元二次方程
21.2.1 解一元二次方程
——配方法
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
前 言
学习目标
1.理解配方法的概念，并运用配方法解一元二次方程。
2.掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤。
重点难点
重点：用配方法解一元二次方程。
难点：用配方法解一元二次方程的步骤。
新知探究
尝试写出解方程x2+6x+4=0的过程？
第二十一章 一元二次方程
课 程 结 束
人教版九年级（初中）数学上册
授课老师：XX
C.大于等于1
的值（ C ）
D.不大于1
【思路点拨】将二次三项式配方，然后根据平方大于等于0，求出最值。
【解题过程】 解：∵ 2 x 2 4 x 3
2 x 2 2 x 1 2 1 3
2 x 1 1。
2
2 x 1 0，
2
原式 1。
方”)
新知探究
通过配方法解一元二次方程的步骤
用配方法解一元二次方程
ax 2 bx c 0 a 0 的一般步骤：
（1）移项：将含有x的项移到方程的左边，常数项移到方程的右边；
（2）二次项系数化为1：两边同除以二次项的系数；
（3）配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方；
一元高次方程解法
一元高次方程解法
一元高次方程的解法有多种方法，最常用的方法是配方法、因式分解法、求根公式法和牛顿迭代法等。
配方法：将一元高次方程转化为一个多项式乘积等于零的形式，再分别解出每一个因式，即可得到方程的解。
因式分解法：将一元高次方程进行因式分解，再分别解出每个因式，即可得到方程的解。
求根公式法：对于二次以上的高次方程，可以使用求根公式求出方程的根。
例如，对于一元二次方程ax²+bx+c=0，可以使用求根公式x=[-b±√(b²-4ac)]/2a求出方程的根。
牛顿迭代法：通过对方程进行迭代计算，不断逼近方程的解，最终得到方程的解。
这种方法通常需要预先估计方程的解，在这个基础上进行迭代计算。
人教版九年级数学上册《一元二次方程》PPT优秀课件
③
①都是整式方程; ②都只含一个未知数; ③未知数的最高次数都是2.
那么这三个方程与一元一次方程的区别在哪里？ 它们有什么共同特点呢？
知识要点
一元二次方程的概念 等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知
数的最高次数是2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
一元二次方程的一般形式是 ax2+bx +c = 0(a，b，c为常数， a≠0)
想一想： 还有其他的方法吗？试说明原因. (20-x)(32-2x)=570
32-2x
32
20-x 20
归纳小结
建立一元二次方程模型的一般步骤
审
审题，弄 清已知量 与未知量 之间的关 系
设 设未知数
找
找出等量 关系
列
根据等量 关系列方 程
随堂演练
1.下列关于x的方程一定是一元二次方程的是( D )
解：当x＝－3时，左边＝9－(－3)－2＝10， 则左边≠右边， 所以－3不是方程x2－x－2＝0的解； 下面几个数同理可证. 经检验得－1，2为原方程的根.
获取新知
知识点三：建立一元二次方程模型
问题 在一块宽20m、长32m的矩形空地上，修筑三条宽相等 的小路（两条纵向，一条横向，纵向与横向垂直），把矩形空 地分成大小一样的六块，建成小花坛.如图要使花坛的总面积 为570m2，问小路的宽应为多少？
4.如图,在一块长12 m,宽8 m的矩形空地上,修建同样宽的两条互 相垂直的道路(两条道路各与矩形的一条边平行),剩余部分栽种 花草,且栽种花草的面积为77 m2.设道路的宽为x m,则根据题意, 可列方程为 (12-x)(8-x)=77.
样的正方形，再将四周突出部分折起，就能制作一个无盖方盒．如果要制作的
一元一次方程及其解法课件
§3.1 一元一次方程
及其解法
（第1课时）
合肥市五十五中学 陈凤
Байду номын сангаас
问题1:
在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚 金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共 获得了多少枚金牌？
解：设澳大利亚共获得了x枚金牌，由题意得，
3x 9 51
问题2 ： 王玲今年12岁,她爸爸今年36岁,问：再过几 年，他爸爸的年龄是她年龄的2倍？
1 1 1 x 2 3 6
，那么 1 1 1 x
2 6 3
四、课堂小结
1.今天这节课我们学到了哪些知识？
(1)一元一次方程的概念；
(2)方程的解及方程的检验；
(3)如何运用等式的基本性质解一元一次方程。
2.把你的收获与不足与同伴分享.
一展身手：
必做题：第92页第1，2两题 选做题：
3. (对称性）如果a=b,那么b=a.
4. (传递性）如果a=b,b=c,那么a=c.
下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的:
1.如果5x+3=7, 那么5x=4
4 2.如果5x=4， 那么 x 5 1 3.如果-8x=4， 那么 x 2
4.如果3x=2x+1, 那么 x=1 5.如果－0.25=x, 那么 x=－0.25 6.如果
（我国古代数学问题）用绳子量井深，把绳
子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折 来量，井外余绳子1尺。于是量井人说： “我知道这口井有多深了。”你知道吗？ 试一试！
动动手：
同时加上4个小球
同时拿掉1个小球
(3)如果小明和小文身高一样,那么小文 和小明身高一样吗?你能得到等式还 具有什么性质吗？
及其解法
（第1课时）
合肥市五十五中学 陈凤
Байду номын сангаас
问题1:
在2008年北京奥运会中，中国共获得了51枚 金牌，比澳大利亚的3倍还多9枚，问澳大利亚共 获得了多少枚金牌？
解：设澳大利亚共获得了x枚金牌，由题意得，
3x 9 51
问题2 ： 王玲今年12岁,她爸爸今年36岁,问：再过几 年，他爸爸的年龄是她年龄的2倍？
1 1 1 x 2 3 6
，那么 1 1 1 x
2 6 3
四、课堂小结
1.今天这节课我们学到了哪些知识？
(1)一元一次方程的概念；
(2)方程的解及方程的检验；
(3)如何运用等式的基本性质解一元一次方程。
2.把你的收获与不足与同伴分享.
一展身手：
必做题：第92页第1，2两题 选做题：
3. (对称性）如果a=b,那么b=a.
4. (传递性）如果a=b,b=c,那么a=c.
下列变形是根据等式哪一条基本性质得到的:
1.如果5x+3=7, 那么5x=4
4 2.如果5x=4， 那么 x 5 1 3.如果-8x=4， 那么 x 2
4.如果3x=2x+1, 那么 x=1 5.如果－0.25=x, 那么 x=－0.25 6.如果
（我国古代数学问题）用绳子量井深，把绳
子3折来量，井外余绳子4尺；把绳子4折 来量，井外余绳子1尺。于是量井人说： “我知道这口井有多深了。”你知道吗？ 试一试！
动动手：
同时加上4个小球
同时拿掉1个小球
(3)如果小明和小文身高一样,那么小文 和小明身高一样吗?你能得到等式还 具有什么性质吗？
《一元一次方程》PPT优秀课件
列方程： 1700 .150x 2450 .
探究新知
(3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多8人，这个学校一共有多少学 生？
解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为 (1- 0.52)x.
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
（7） 3x＋1.8＝3 y.
含有两个
未知数 解析： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次）的整式方程
叫做一元一次方程．
（4）（5）是一元一次方程.
巩固练习
下列哪些是一元一次方程？
（1）3y-7 ；
（2）7a+8=10 ；√
（3）16y-7=9-2y ； √ （4）7y-y2=12；
（5）-4.5y-12=x-10 ； （7）7-13 y 9 .
方程 的解
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数 的值，这个值就是方程的解.
建立 方程 模型
实际 问题
设未 找等量 知数 关系
列方程
一元一次方程
导入新知 用方程来解决
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间 如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米 ，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？ 70千米
x千米 50千米
x
2
⑤x 2 y 1
其中是方程的是 ①②③④⑤ ，是一元一次方程的
是 ②③ ．(填序号)
课堂检测
能力提升题
根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
探究新知
(3) 某校女生占全体学生数的52%，比男生多8人，这个学校一共有多少学 生？
解：设这个学校的学生人数为x，那么女生人数为 0.52x，男生人数为 (1- 0.52)x.
等量关系：女生人数- 男生人数=8， 列方程：0.52x- (1-0.52)x=8.
（7） 3x＋1.8＝3 y.
含有两个
未知数 解析： 只含有一个未知数（元），未知数的次数都是1（次）的整式方程
叫做一元一次方程．
（4）（5）是一元一次方程.
巩固练习
下列哪些是一元一次方程？
（1）3y-7 ；
（2）7a+8=10 ；√
（3）16y-7=9-2y ； √ （4）7y-y2=12；
（5）-4.5y-12=x-10 ； （7）7-13 y 9 .
方程 的解
解方程就是求出使方程中等号两边相等的未知数 的值，这个值就是方程的解.
建立 方程 模型
实际 问题
设未 找等量 知数 关系
列方程
一元一次方程
导入新知 用方程来解决
汽车匀速行驶途经王家庄、青山、秀水三地的时间 如表所示，翠湖在青山、秀水两地之间，距青山50千米 ，距秀水70千米．王家庄到翠湖的路程有多远？
地名 时间 王家庄 10:00
青山 13:00 秀水 15:00
如果设王家庄到翠湖的路程为x千米，你能列出方程吗？ 70千米
x千米 50千米
x
2
⑤x 2 y 1
其中是方程的是 ①②③④⑤ ，是一元一次方程的
是 ②③ ．(填序号)
课堂检测
能力提升题
根据下列问题，找出等量关系，设未知数列出方程，并指出其是不是一元一次方程.
一元高次不等式的解法
（5）观察不等号
若不等号为>或≧,则不等式的解取数轴上方,穿根 线以内的范围. 若不等号为<或≦,则不等式的解取数轴下方,穿根 线以内的范围. (6)写出不等式的解集
例题：
求下列不等式的解集：
1、x 2 x 6 0
2、x 2 2 x 8 0
3、 (2 x 5) 9
2
根线不穿过x=a点。
2 n 1 ( x a ) （2）当不等式中出现 （奇次幂）项时， 穿根线穿过x=a点。
注：1、以上x=a叫做方程的2n或2n+1次重根。 2、奇穿过，偶弹回。
例题：
求下列不等式的解集：
1、x2 ( x2 9)(2x2 x - 3) 0
2、 (x -1)2 (-2x 4)(x2 4x 3) 0
一元高次（n≥2）不等式的解法
“数轴标根法”又称“数轴穿根法”或“穿针引线法” 步骤： （1）化简不等式——将不等式的一边化为零，另一边化为n 个一次因式的乘积的形式 如：将 x 3 2 x 2 x 3 1 化为 （x 2)(x 1)(x 1) 0 （2）将不等号换成等号解出方程的所有根
4、x 3x 2x 6 0
3 2
5、 - 3x 2 x 1 0
2
6、（ x 3)(x2 x 2) 0
7、（2x2 x 1)(x2 x 2) 0
奇穿偶不穿(奇过偶不过)定律
2n ( x a ) （1）当不等式中出现 （偶次幂）项时,穿
f ( x) g ( x) 0 f ( x) 0 g ( x) g ( x) 0
（4）
将以上分式方程化为整式方程后再用数轴 穿根法求解。
高中数学第三章不等式第2节一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式的解法课件新人教A版必修54
若(x－m)(x－n)<0，则可得 m<x<n. 有口诀如下：大于取两边，小于取中间． (2)含参数的一元二次型的不等式 在解含参数的一元二次型的不等式时，往往要 对参数进行分类讨论，为了做到分类“不重不漏”， 讨论需从以下三个方面进行考虑：
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
①关于不等式类型的讨论：二次项系 数 a>0，a<0，a＝0.
(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0， 所以原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．
(3)原不等式可化为2x－922≤0，所以原不等式 的解集为xx＝94.
(4)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，Δ＝(－6)2
－40＝－4<0，所以方程 x2－6x＋10＝0 无实根，又 二次函数 y＝x2－6x＋10 的图象开口向上，所以原 不等式的解集为∅.
(5)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0， 因为 Δ＝9－4×2×2＝－7<0，所以方程 2x2－3x＋2＝0 无实根，又二次函数 y＝ 2x2－3x＋2 的图象开口向上，所以原不等 式的解集为 R.
解一元二次不等式的一般步骤 (1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式； (3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方 程没有实根； (4)根据函数图象与 x 轴的相关位置写出不等式的解集．
Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0
Δ<0
y＝ax2＋
bx＋c
(a>0)
的图象
ax2＋bx＋c＝0
(a>0)的根 ax2＋bx＋c>0 (a>0)的解集
或 x<x1} ax2＋bx＋c<0 (a>0)的解集
x<x2}
x1，x2
31一元一次方程及其解法第一课时(沪科版)PPT课件
a
左
右
你能发现什么规律？
a
左
右
你能发现什么规律？
b
左
a
右
你能发现什么规律？
b
左
a
右
你能发现什么规律？
b
a
左
右
a=b
你能发现什么规律？
bc
a
左
右
a=b
你能发现什么规律？
a
bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
a
bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
ac bc
左
右
a=b
你能发现什么规律？
bc
ac
左
(4)如果12，23，那么13 等式性质4
下面，我们利用等式基本性质来解一般的一 元一次方程。
• 解方程： 2x119
解：两边都加上1，得
2x 1 1 1 9 1等式基本性质1
即
2x20
两边都除以2，得
x10 等式基本性质2
检验：
把 x10 分别代入原方程的两边，得
左边=2 10- 1=19，
右边=19
第一课时
复习导入
请大家观察左
1+2=3 5=7-2 3+b=2b2+1 4+x=7 0.7x=1400 2x-2=6
象这种边用的等这号些“式=子”来，表示 相等关看系看的它式们子有，什叫么等式。
共同的特征？
象这样含有未知数的等式 叫做方程。
判断方程的两个关键要素：
①有未知数 ②是等式
牛刀小试
判断下列各式是不是方程，是的打“√”，不是的打 “ｘ”。
即
人教版高中数学必修一《2.3 第一课时 一元二次不等式及其解法》课件
2．3 二次函数与一元二次方程、不等式
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算 素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数 学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式 一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常 形式 数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
明确目标
发展素养
1.掌握一元二次不等式的解法． 2．能根据“三个二次”之间的
关系解决简单问题． 3．掌握一元二次不等式的实际
应用． 4．会解一元二次不等式中的恒
成立问题.
1.通过解一元二次不等式，培养数学运算 素养．
2．通过“三个二次”关系的应用，提高数 学运算和逻辑推理素养．
3．通过分式不等式的解法及不等式的恒成 立问题的学习，培养数学运算素养．
4．借助一元二次不等式的应用，培养数学 建模素养.
第一课时 一元二次不等式及其解法
(一)教材梳理填空 1．一元二次不等式：
只含有 一个 未知数，并且未知数的最高次数是__2_ 定义
的不等式，称为一元二次不等式 一般 ax2＋bx＋c>0或ax2＋bx＋c<0，其中a，b，c均为常 形式 数，a≠0
[典例3] 已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为{x|2<x<3}，求关于x的 不等式cx2＋bx＋a<0的解集．
[解] 法一：由不等式 ax2＋bx＋c>0 的解集为{x|2<x<3}可知 a<0，且 2 和 3 是方程 ax2＋bx＋c＝0 的两根，由根与系数的关系可知ba＝－5，ac＝6.
故不等式的解集为x12≤x≤2 .
(2)x2－a＋1ax＋1≤0⇔x－1a(x－a)≤0，
①当 0<a<1 时，a<1a，不等式的解集为xa≤x≤1a
；
②当 a＝1 时，a＝1a＝1，不等式的解集为{1}； ③当 a>1 时，a>1a，不等式的解集为x1a≤x≤a . 综上，当 0<a<1 时，不等式的解集为xa≤x≤1a ； 当 a＝1 时，不等式的解集为{1}； 当 a>1 时，不等式的解集为x1a≤x≤a .
高次方程及解法
高次方程及解法一般地，我们把次数大于2的整式方程，叫做高次方程。
由两个或两个以上高次方程组成的方程组，叫做高次方程组。
对于一元五次以上的高次方程，是不能用简单的算术方法来求解的。
对于一元五次以下的高次方程，也只能对其中的一些特殊形式的方程，采用“1判根法”、“常数项约数法”、“倒数方程求根法”、“双二次方程及推广形式求解法”等方法，将一元五次以下的高次方程消元、换元、降次，转化成一次或二次方程求解。
一、1判根法在一个一元高次方程中，如果各项系数之和等于零，则1是方程的根；如果偶次项系数之和等于奇次项系数之和，则-1是方程的根。
求出方程的1的根后，将原高次方程用长除法或因式分解法分别除以（某-1）或者（某+1）,降低方程次数后依次求根。
“1判根法”是解一元高次方程最简捷、最快速的重要方法，一定要熟练掌握运用。
例1解方程某4+2某3-9某2-2某+8=0解：观察方程,因为各项系数之和为:1+2-9-2+8=0(注意:一定把常数项算在偶数项系数当中),根据歌诀“系和零,+1根”,即原方程中可分解出因式(某-1),(某4+2某3-9某2-2某+8)(某-1)=某3+3某2-6某-8观察方程某3+3某2-6某-8=0，偶次项系数之和为：3-8=-5；奇次项系数之和为：1-6=-5，根据歌诀“偶等奇，根-1”，即方程中含有因式（某+1），（某3+3某2-6某-8）(某+1)=某2+2某-8，对一元二次方程某2+2某-8=0有（某+4）（某-2）=0,原高次方程某4+2某3-9某2-2某+8=0可分解因式为：(某-1)(某+1)(某-2)(某+4)=0,即:当(某-1)=0时,有某1=1;当(某+1)＝０时，有某2=-1;当(某-2)=0时，有某3=2;当(某+4)=0时，有某4=-4点拨提醒：在运用“1判根法”解高次方程时，一定注意把“常数项”作为“偶次项”系数计算。
二、常数项约数求根法根据定理:“如果整系数多项式an某n＋an-1某n-1++a1某+a0可分解出因式P某-Q,即方程an某n＋an-1某n-1++a1某+a0=0有有理数根（Ｐ、Q是江苏省通州高级中学徐嘉伟互质整数），那么，Ｐ一定是首项系数an的约数，Q一定是常数项a0的约数”，我们用“常数项约数”很快找到求解方程的简捷方法。
《二次函数与一元二次方程、不等式》一元二次函数、方程和不等式PPT【精品课件】
(2)形式:
①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
《二次函数与一元二次方程、不等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
等式 》一元 二次函 数、方 程和不 等式PP TPPT 课件完 美课件p pt优秀 课件ppt下载ppt课件课 件免费 下载pp t精品 课件
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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①ax2+bx+c>0(a≠0);
②ax2+bx+c≥0(a≠0);
③ax2+bx+c<0(a≠0);
④ax2+bx+c≤0(a≠0).
(3)解集:一般地,使某个一元二次不等式成立的x的值叫做这个不
等式的解,一元二次不等式的所有解组成的集合叫做这个一元二次
不等式的解集.
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零点不是点,是一个实数.零点就是函数对应方程的根.
(2)二次函数y=x2-5x的图象如图所示.
当x为何值时,y=0?当x为何值时,y<0?当x为何值时,y>0.
上述各种情况下函数图象与x轴有什么关系?
提示:当x=0或x=5时,y=0.此时图象与x轴交于两个点(0,0)和(5,0);
当0<x<5时,y<0,函数图象位于x轴下方,此时x2-5x<0;
3.借助一元二次函
数的图象,了解一
元二次不等式与相
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当x<0或x>5时,y>0.此时函数图象位于x轴上方,此时x2-5x>0.
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一元一次方程及其解法PPT课件(沪科版)
这节课你学到了什么？
1、移项 移项时要改变符号.
2、解一元一次方程的一般步骤 （1）去括号； （2）移项； （3）合并同类项； （4）把未知数x的系数化成1； （5）得到方程的解.
移项，得 3x – 5x = - 7 – 5
合并同类项 ,得 －12x=－12. 系数化1，得 x=2.
注意：移项要变号哟！
例3 解方程：2(x-2)-3（4x-1）＝9(1-x)；
解：⑴去括号得 2x-4-12x+3=9-9x. 移项，得2x-12x+9x=9+4-3.
合并同类项，得-x=10. 两边除以-4，得x=-10 .
请你判断
例 下列方程变形是否正确？
⑴6－x=8，移项得x－6=8.
错 －x=8-6.
⑵6+x=8，移项得x=8+6.
错 x=8－6.
⑶3x=8－2x，移项得3x+2x=－8.
错 3x+2x=8.
(4)5x－2=3x+7,移项得5x+3x=7+2.
错 5x－3x=7+2.
例1 解下列方程：
1 x 2 x 1.
回顾与思考
1、解方程的基本思想是经过对方程一系列的变形， 最终把方程转化为“x=m”的情势.
即：①等号左、右分别都只有一项，且左边是未知数项， 右边是常数项； ②未知数项的系数为1．
2、目前为止，我们用到的对方程的变形有：
等号两边同加减(同一代数式)、 等号两边同乘除(同一非零数) 等号两边同加减的目的是: 使项的个数减少; 等号两边同乘除的目的是: 使未知项的系数化为1.
沪科版七年级上册
问题1
在参加2008年北京奥运会的中国代表 队中，羽毛球运动员有19人，比跳水 运动员的2倍少1人。参加奥运会的跳 水运动员有多少人？
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一元三次求根法
• 先把方程 ax3 bx2 cx d 0 化为 x3 px q 0
y1
3
ห้องสมุดไป่ตู้
q 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
y2
3
q 2
(q)2 ( p)3 2 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
原方程转化为 y 14 y 14 16 y 12 2 y 12 2 16,
• (y4+4y²+1+4y³+2y²+4y)+(y4+4y²+1-
4y³+2y²-4y)=16 y4+6y²=0 , y2 7y2 1 0,
y²=-7 或y²=1,y²=-7无解；y2=1, y=1 x-7=1 x1=8 x2=6
三、倒数方程求根法
• 1、定义：系数成首尾等距离的对称形式的方程，叫做倒数方程。如a x4+bx3+cx2+dx+e=0,其中， 或者a= -e,b= -d
• 2、性质：倒数方程有三条重要性质：
• （1）倒数方程没有零根；
• （2）如果a是方程的根，则 1 也是方程的根；
a
• （3）奇数次倒数方程必有一个根是-1或者1，分解出因式(x+1) 或(x-1) 后降低一个次数后的方程仍 是倒数方程。
• 分析 求解的思想方法是“降次”，通过换元把它转化为一元二次方程. 2．例题分析
例：解下列方程：
（1） x 4 9x 2 14 0
令
• ①△>0,y1y2>0,y1+y2>0 ∴原方程有四个实数根.
• ②△>0,y1y2>0,y1+y2<0 ∴原方程没有实数根.
• ③△>0,y1y2<0,
• 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x4的系数与常数项相同，x³的 系数与x的系数相同，像这样的方程我们称为倒数方程由
•
•
•
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/20
• 解方程(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
•
解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
一元高次方程的解法
•特殊的一元高次方程的解法 •一般的高次方程及解法 数本1202 张银星
1．概念辨析
• 二项方程：如果一元n次方程的一边只有含未知数的一项和非零的常数项，另 一边是零，那么这样的方程就叫做二项方程
一般形式： • 关于x的一元n次二项方程的一般形式为
• axn b 0(a 0, b 0, n是正整数）
• (x2+5x-14)(x2＋5x＋4)=19．
•设
• •则
(y-9)(y+9)=19，
•即
y²-81＝19．
•
一般的高次方程及解法
• 一、 1判根法
• 例 解方程x4+2x³-9x²-2x+8=0 • 二、常数项约数求根法 • 例1 解方程x4+2x³-4x²-5x-6=0 • （高代第一章的方法）
• 当n为偶数时，如果ab<0，那么方程有两个实数 根，且这那么方程没有实数根.两个根互为相反数； 如果ab>0，那么方程没有实数根.
2.概念辨析
• （1） 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程. • 注 当常数项不是0时，规定它的次数为0. • （2）一般形式：
ax 4 bx 2 c 0(a 0)
• 3、倒数方程求解方法：
•
• 如果a x4+bx³+cx²+dx+e=0是倒数方程，由于倒数方程没有零根，即x 0,所以，方程两边同除以x²
得：a(x²+ 1 )+b(x+1)+e=0,令x+1 =y, x²+ 1=y²-2,即原方程变为：
x2
x
x
x2
• ay²+by+(e-2a)=0, 解得y值，再由x+ 1 =y，解得x的值。
x
• 例1 解方程2 x4+3x3-16x²+3x+2=0
四、双二次方程及推广形式求根法
• 例 (x-6)4+(x-8)4=16 • 解：本题属于双二次标准方程ax4+bx²+c=0
推广形式的第四种类型（x-a）4+(x-b)4=c的 形式 x 6 x 8 x 7 • (x-6)4+(x-8)4=2(x-7+1)4+(x-7-1)4,设y=x-7则
∴原方程有两个实数根.
• ④△<0
∴原方程没有实数根.
• （2） (x²+x)²-5x²-5x=6.
• （3）(2x²-3x+1)²+4x²-1=6x ;
因式分解法
• 例题. x³-2x²-4x＋8=0．
•
解 原方程可变形为
• x²(x-2)-4(x-2)=0， (x-2)(x²-4)=0， (x-2)²(x+2)=0．
• 所以 x1＝x2＝2，x3=-2．
归纳：
• 当ad=bc≠0时，形如ax³＋bx²＋cx＋d=0的方程可这样解决：
• 令，则a=bk,c=dk,于是方程ax³+bx²+cx+d=0可化为 bkx³+bx²+dkx+d 即 (kx+1)(bx²+d)=0．
倒数方程
• 例.12x4-56x³+89x²-56x+12=0.
• 注 ①=0（a≠0）是非常特殊的n次方程，它的根是0. • ②这里所涉及的二项方程的次数不超过6次.
• 例（1）
1 x 5 16 0 2
• （2） x 4 16
• 结论：对于二项方程
axn b 0(a 0,b 0, n是正整数）
• 当n为奇数时，方程有且只有一个实数根.
y3
2
3
q 2
(q)2 ( p)3 3 q
23
2
(q)2 ( p)3 23
一元四次求根法
•将
移项
• 俩边同时加上
•
•
得
• 变形
左边配方 俩边同时加上
成三次方程
SUCCESS
THANK YOU
2019/7/20