求三角函数最小正周期的五种方法

所以函数 解：因为

求三角函数最小正周期的五种方法

、定义法 直接利用周期函数的定义求出周期。

y -cos （— x-―）

例1.求函数 "（m 产0）的最小正周期。

.m 琵、

y =cos （—x-—） 解：因为 "

=曲（彳_彳+ 2町

T ^n . 10 、 洗、

=cos[—（A+ —^）--] 5 w 6

.m

琵、

y =cos （—x-—）

"（m 产0）的最小正周期

x X

= cot — = cot （— + 泥）=cot[

—+ a a a 二、公式法

利用下列公式求解三角函数的最小正周期。

1. sm

（应 a 或丿=占8£（皿+朝+必的最小正周期

2.Ztan （曲+物H ■血野二宜sg + 前+矗的最小正周期

例2.求函数 y -cot —

总的最小正周期。

y- 所以函数

t x

-的最小正周期为'=|/|

解:

尸二而少二3 因为

l J:I

所以函数■■ I1-1-"--的最小正周期为

解: 因为

丁=各而印=卜竺

|虫| m

所以函数的最小正周期为

T=—

3.一--、的最小正周期7。

T-—

4.- 的最小正周期-'I

例3.求函数''I1"1的最小正周期。

y =cot (3 -——x)

例4.求函数的最小正周期。

三、转化法

对较复杂的三角函数可通过恒等变形转化为》= "£曲(俪+ ") +心等类型，再用公式法求解。

例5.求函数「：/的最小正周期。

■ 6 | 6

解：因为「汕」:

=(sin z + cos x)(sin x- xcos x + cos 或=(sin x+ cos 对-3sin JCOS A

=1- — sin32z

4

-3 1— cos4x

=1'- •----------

4 2

3 ” 5

8 8

7=—=-

所以函数'1 :' ■-的最小正周期为丄-

例6.求函数：；'7的最小正周期。

解.因为 .|」| — 4 •；'.：•丿* ■' •“

=2 sin 2x + cos2x 4-1

=^/5sin（2x + ^） +1

其中

a7= —= ^

所以函数的最小正周期为■

四、最小公倍数法

由三角函数的代数和组成的三角函数式，可先找出各个加函数的最小正周期，然后找出所有周期的最小公倍数即得。

注：

1.分数的最小公倍数的求法是：（各分数分子的最小公倍数）+ （各分数分母的最大公约数）。

2.对于正、余弦函数的差不能用最小公倍数法。

A3x y= csc4x + tan

——

例7.求函数-的最小正周期。

11 = - tsiii=—丄2 =———

解：因为csc4x的最小正周期…，''的最小正周期’，由于■和’

的最小公倍数是：:。

y= csc4x +tan —

所以函数：：的最小正周期为-O

2 4

y =sin —x 4- cot -

例8.求函数' '的最小正周期。

的最小公倍数是 ■', 2 4 y -sin —x4- cot — x

所以函数'

'的最小正周期为T =二说。 例9•求函数■- -：1- ：--的最小正周期。

解：因为sinx 的最小正周期亠 —,匸心二的最小正周期二'J ， sin4x 的最小正周期

一 •，由于， 的最小公倍数是 2；。

所以函数■-

- ： -的最小正周期为T=—

五、图像法 利用函数图像直接求出函数的周期。

例io.求函数■■ '■ -L 的最小正周期。

解：函数… Ll ' ........... 的图像为图1 。

y=|sirw|+|cG^|

—2K •急讥•型 0

2 I 2 ^=|cosx[

T=-

由图1可知：函数的最小正周期为

2

sin —x ^111.— A 丁一 U VV — — A Xj ——皿 解：因为 一的最小正周期• ■, '最小正周期. ，由于*和