讲中心力场径向方程
合集下载
2013-05-06第五章 中心力场解析
5.1.1角动量守恒与径向方程
设质量为的粒子在中心力场中运动，则哈密顿量算符表示为：
2 ˆ2 p ˆ H V (r ) 2 V (r ) 2 2
ˆ, H ˆ]0 [L
ˆ ˆ2 也是守恒量。 即角动量 L 是守恒量。因而 L
(1)
考虑到中心力场的特点：球对称性，选用球坐 标系是方便的， z 2 2 ˆ p ˆ H V (r ) 2 V (r ) 2 2 r
r
y
利用
x
球 坐 标
2 1 1 1 1 2 2 (r 2 ) 2 [ (sin ) 2 r r r r sin sin 2
p2 2 2 2 2
2 1 1 2 2 ˆ L (sin ) 2 2 sin sin
2 r 2
(4)
左边第一项称为径向动能算符，第二项称为离心势能。
1 pr i( ) r r
2 1 2 L2 2 r r 2 r + 2 r 2 V (r ) E
因为
ˆ, H ˆ]0 [L
ˆ2 , L ] 0 [L z
ˆ2 , H ] 0 [L
2 1 2 1 1 1 2 { 2 (r ) 2 [ (sin ) ]} 2 2 2 r r r r sin sin 1 2 L [ 2 (r )]+ 2 r r r 2 r 2
2 2
2 2 2 L2 [ 2 ]+ 2 r r r 2 r 2 2 1 2 L2 [ r ]+ 2 2 r r 2 r 2
如原子体系：电子的运动
电磁场中粒子的运动
]
qy
1 2M
( pˆ x2
2 qB c
ypˆ xLeabharlann q2B2 c2y2
2
2 y 2
)
qy
pˆ x与pˆ y以及y对易，[ pˆ x , Hˆ ] 0,选( pˆ x , Hˆ )为力学 量完全集。 pˆ x的本征函数为 eipxx/ , 其中本征值 px ,设( pˆ x , Hˆ )的共同本征函数为
Lev Landau
(1908～1968，1962年诺贝尔物理学奖 )
朗道十诫：量子力学中的密度矩阵和统计物理学 (1927)；自由电
子抗磁性的理论(1930)；二级相变的研究(1936～1937)；铁磁性
的磁畴理论和反铁磁性的理论解释(1935)；超导体的混合态理
论(1934)；原子核的几率理论(1937)；氦Ⅱ超流性的量子理论
2
u [l(l
2
1 2) 2r 2
e2 r
eBm ]u
2c
Eu
(2)
2
2
u [l(l 1 2) 2r 2
e2 ]u r
E0u
(3)
其中，E0
E
eBm
2c
这正是碱金属原子径向方程的本征方程
E0
e2 2a
1 n2
,
n nr l 1
nr 0,1,2,,
13
一、正常Zeeman效应（5）
2
2
r
g n2
2
碱金属原子价电子能级
u(r)单满足价径原向子方中程价: 电子（最外层电子）所受原
子表令实示222al0222（(成luuuu令原12()222ar/[[[(子l0u令ll)222(((满(2(lll222auuurleV核l0)足2222(满1)11(2l,uuu))1r径及/[[[l)足(2lll)12((22向2()1ll内径le/[[[2)r(lll)22方r2(()11向2(2ll21层,le)1)程el)2，2r方e2()r2112(r2(电2,e21l)12r:程2)2)rl)2子)2]r22(2(u21l21:e2r)r)）2)，e2re22(]rrr2221u2Ere222ar2的))a22u，0e2(]r0r]u2e2u2Er作 e,)r220ue]]ur2u用 EeEa2r2u0eu]r]2势uEuaE2((1u(03u2)可 ])u)1EEuu以E((1(3u近2)))((1(似32)))
量子力学_5.1中心力场中粒子运动的一般性质
2 l l 2 2 2 l
（9 ）
（10）
边条件为
引进无量纲变量 kr ,则方程（9）变为
d R d
2 2 l
Rl (a) 0
2 dR
l
d
l (l 1) 1 R
2
l
0
(0 l )
（11）
此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2m 1 2m 2 V (| r1 r2 |) Ψ (r1 , r2 ) ETΨ (r1 , r2 ) (13) 1 2
2 l 2
2
)
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0 (2)
采用自然单位，令 1 ,方程（2）化为
Rl( r ) 2 r
2 Rl( r ) 2 E r
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0
(3)
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
l (r )
r
(6)
满足
d 2 l (r ) 2 l (l 1) 2 ( E V (r )) l (r ) 0 (7) 2 2 dr r 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
r r
a)
1 2
（16）
（9 ）
（10）
边条件为
引进无量纲变量 kr ,则方程（9）变为
d R d
2 2 l
Rl (a) 0
2 dR
l
d
l (l 1) 1 R
2
l
0
(0 l )
（11）
此为球贝塞尔方程，其两个特解可取为 球贝塞尔函数 球诺伊曼函数
实际问题中出现的中心力场问题，常为二体问题. 设二粒子的质量分别为m1和m2，相互作用势为
V (| r1 r2 |)
二粒子体系的能量本征方程为
2 2 2m 1 2m 2 V (| r1 r2 |) Ψ (r1 , r2 ) ETΨ (r1 , r2 ) (13) 1 2
2 l 2
2
)
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0 (2)
采用自然单位，令 1 ,方程（2）化为
Rl( r ) 2 r
2 Rl( r ) 2 E r
l (l 1) r
2
Rl ( r ) 0
(3)
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
l (r )
r
(6)
满足
d 2 l (r ) 2 l (l 1) 2 ( E V (r )) l (r ) 0 (7) 2 2 dr r 不同的中心力场中粒子的能量本征函数的差别仅在于 径向波函数，他们由中心势V(r)的性质决定. 一般说来，中心力场中粒子的能级是（2l+1）重简并.
r r
a)
1 2
（16）
中心力场第二讲
能量本征值由 k
2 E 及（8）给出
E nrl
2 2
2 a
x nrl
2
（13）
E n r l 是(2l+1)重简并
（2） 当球方势阱半径 a→∞时
由于
j l ( kr ) 0
r
边界条件 R ( r )
a
0 自然得到满足，对k或能量E不再有任何限制，即能量取连续谱，
1 2 ˆ ˆ2 H p V (r ) V (r ) 2 2
2
哈密顿量
ˆ ˆ L r p
对易关系
ˆ [ Li ˆ [L ˆ [L ˆ [L ˆ2 [L
ˆ ˆ L j ] i ijk L k
ˆ2 p ] 0 V ( r )] 0 ˆ H]0
d dr
ln( rh 0 ( kr ))
(1 )
ra
立即有
或
kctgka k k ctgka 0 k
2
1．无限深球方势阱
r a r a
V(r)
此种情况下，径向方程
d R dr
2
2 dR
l ( l 1) 2 2 ( E V ( r )) 2 R 0 r dr r
可写成
d R dr
2 2
2 l ( l 1) k 2 R 0 r dr r 2 dR
第二讲 中心力场
中心力场的特征：中心力场是球对称场，势V(r) 几种特殊中心力场 万有引力场 库仑场——原子结构中占有特别重要的地位 各向同性谐振子场 原子核结构中占有重要的地位 无限深球方势阱
中心力场中运动粒子的特征
《中心力场径向方程》课件
研究在各向同性情况下的中心力场方程，探讨其解和物理意义。
3
无限远处的渐进行为
讨论中心力场方程在无穷远处的渐进行为、解的结构和特点，研究如何判断解模拟的基本思路
有限差分法
介绍数值模拟的基本思路和方法， 探究在中心力场中的具体实现和 应用。
讲解有限差分法的基本原理和步 骤，研究它在中心力场方程中的 优势和限制。
《中心力场径向方程》 PPT课件
本课程将介绍各种常见的中心力场及其应用，在理论框架下深入研究它们的 径向方程和求解方法。我们将讨论如何通过数值模拟求解方程，研究它们的 运动规律和特征。
中心力场概述
斥力和引力
探究中心力场与物体间的引力和斥力作用机制，以 及它们分别在原子、分子、行星等领域中的应用。
经典和量子力学
直接和反射散射法
讲解初态条件的定义和意义，介绍直接和反射散射 法的求解方法和具体步骤。
WKB近似法
介绍WKB近似法的基本原理、优势和应用，探究其 在中心力场中的物理和数学意义。
奇异点和极限情况
1
奇异点的分类
介绍中心力场中的不同奇异点和它们对方程解的影响，分类讨论其出现的原因和 条件。
2
各向同性情况
比较中心力场在经典力学和量子力学中的不同表现 形式，介绍量子力学对中心力场研究的贡献和局限 性。
坐标系及其转换
直角坐标系
介绍直角坐标系的基本概念 和性质，以及如何将其他坐 标系转换为直角坐标系。
极坐标系
讲解极坐标系的定义和方程， 如何进行坐标转换和重积分 计算，以及极坐标下常见函 数的图像和性质。
球贝塞尔函数和球贝塞尔方程
球贝塞尔函数的定义
介绍球贝塞尔函数的定义、性质和起源，探究它们在中心力场方程中的应用。
第五章 中心力场
分离变量后，方程分裂为2个独立方程：
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第一式为质心的运动波函数(R)满足的方程，
系一质量为M (=m1+m2)、以能量为Ec运动的自由 粒子的定态薛定谔方程，波函数(R)为平面波， 因此氢原子质心按自由粒子方式运动，氢原子整 体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）。
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第二式为氢原子内部运动波函数(r)满足的方程，
它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量E 就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于 Coulomb场V(r)中的单电子的运动，只是电子的质 量m1必须用约化质量 取代。相应地，第二式，即 波函数(r)的求解按§1所述方法处理。
(r ) r r r , (r ) e
r 0,
l 1
其中
2 2 E
2
是电子的约化质量
按照“抓两头、带中间”的策略，方程(4)的解可 以表示成
(r ) r e
l 1 r
u(r )
回代方程(4)，有
d2 d e2 r 2 u [2( l 1) 2 r ] u 2[ ( l 1) 2 ]u 0 dr dr
e2 V (r ) r
2
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
(CGS)
故当r的时，方程(6)进一(r ) 0 2 dr
（7）
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第一式为质心的运动波函数(R)满足的方程，
系一质量为M (=m1+m2)、以能量为Ec运动的自由 粒子的定态薛定谔方程，波函数(R)为平面波， 因此氢原子质心按自由粒子方式运动，氢原子整 体处于无外场作用下的平面波状态（确定状态）。
2 2 R ( R) EC ( R) 2M
2 2 [ V ( r )] ( r ) E ( r ), E ET EC 2
第二式为氢原子内部运动波函数(r)满足的方程，
它描述电子相对于核的运动状态，相对运动能量E 就是电子的能级。氢原子内部运动相当于处于 Coulomb场V(r)中的单电子的运动，只是电子的质 量m1必须用约化质量 取代。相应地，第二式，即 波函数(r)的求解按§1所述方法处理。
(r ) r r r , (r ) e
r 0,
l 1
其中
2 2 E
2
是电子的约化质量
按照“抓两头、带中间”的策略，方程(4)的解可 以表示成
(r ) r e
l 1 r
u(r )
回代方程(4)，有
d2 d e2 r 2 u [2( l 1) 2 r ] u 2[ ( l 1) 2 ]u 0 dr dr
e2 V (r ) r
2
（6）
对于氢原子问题，中心势场为Coulomb势，即
(CGS)
故当r的时，方程(6)进一(r ) 0 2 dr
（7）
量子力学 05中心力场
质心坐标 相对坐标
r r r r Y( r1 , r2 ) Y( R, r )
x1
X X x1
x x x1
x
1 1 R r 1 2 2 R r 2 1 2
z
r1
1
r
1
l (l 1) u0 2 r
若令
V (r )
l (l 1)h 2r
2
2
e
2
r
于是化成了一维问题，势V(r)称为等效势，它由离心势和库 仑势两部分组成。
d u dr
2
2
2 h
2
[ E V ( r )]u 0
讨论 E < 0 情况，方程可改写如下：
•
（7）
•如果令 •则有
l (r ) [
''
Rl (r )
1 r
l (r )
l ( l 1) r
2
（8）
] l (r ) 0
2
2
( E V ( r ))
（9）
•由上式可看出粒子的能量本征值与l有关，而与m无关，而其本 征波函数还与m有关，每一个l取值，m取2l+1个值：故存在度简 并，这种简并来源于粒子所处的势场具有球对称性，故与Z轴取 值无关。 •上述径向方程解的情况有两种： •⑴如果E>0，则E的取值为连续变化，即体系能量具有连续谱， 电子此时离开原子核而运动到无限远处。 •⑵如果E<0，E的取值是分离的，便与径向量子数有关 Enr ,l， • nr =0,1,2,3…被称为径向量子数，故
第5章 中心力场
曾谨言《量子力学教程》(第3版)笔记和课后习题(含考研真题)详解-中心力场(圣才出品)
第5章中心力场5.1 复习笔记一、中心力场中粒子运动的一般性质1．角动量守恒与径向方程设质量为的粒子在中心势中运动，则Hamilton量表示为则该粒子的能量本征方程可表示为上式左边第二项称为离心势能（centrifugal potential），第一项称为径向动能算符。
径向波函数满足的方程：（1）有时作如下替换是方便的．令：则满足：（2）（8）式在解题中的实际应用会更多。
径向方程（1）中不出现刻画本征值的磁量子数m，因此能量本征值E与m无关，所以能级有m简并．2．径向波函数在r→0邻域的渐近行为求解径向方程（1）时，处只有的解才是物理上可以接受的．或等价地，要求径向方程（2）的解：满足3．两体问题化为单体问题引入如下的约化质量，可以将两体问题化为单体问题。
化为单体问题后，单体应该满足如下方程，其中式23是在两体质心系中列出的方程。
（3）式（3）中第一式描述质心运动，是自由粒子的能量本征方程．Ec是质心运动能量，这一部分与体系的内部结构无关．式（3）中第二式描述相对运动．E是相对运动能量．二、无限深球方势阱质量为 的粒子在半径为n的球形匣子中运动．这相当于1．l＝0的情况粒子的能量本征值为相应的归一化波函数可表示为2．l ≠0的情况 粒子的能量本征值表为与l E ,n 相应的径向本征函数表示为：三、三维各向同性谐振子考虑质量为μ的粒子在三维各向同性谐振子势V(r)中运动，ω是刻画势阱强度的参量．三维各向同性谐振子的能量本征值如下：与之相应的径向波函数经归一化后，n表示径向波函数的节点数（不包括r＝0， 点）．r讨论：1．能级简并度对于给定能级E的简并度为N2．Cartesian坐标系中求解如采用直角坐标系，它们的共同本征态为：即三个一维谐振子的能量本征函数之积．相应的能量本征值为：能级简并度为：四、氢原子具有一定角动量的氢原子的径向波函数满足下列方程及边界条件式中μ边电子的约化质量，)/1/(p e e m m m +=μ其中p e m m 和分别为电子和质子质量。
第六章中心力场
第六章 中心力场§6.1 中心力场中的运动，氢原子一、 中心力场中的运动1、径向方程中心力场是保守力场，势能只是矢径r 的函数，与时间t 和r 的方向都无关； 即()()V r V r ≡。
考虑质量为μ的粒子在中心力场()V r 中运动，哈密顿量为：222ˆˆˆˆ()()22p H V r V r μμ=+=-∇+ ， 满足定态薛定谔方程：22()()()2V r r E r ψψμ⎡⎤-∇+=⎢⎥⎣⎦，其中μ实际上是约化质量。
可证明：ˆˆ,0L H ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，说明角动量是守衡量， 系统有空间旋转对称性。
通常取{}2ˆˆˆ,,z H L L 作为守恒量完备集，以它们的共同本征函数作为基本的能量函数， 故在球坐标下研究中心力场问题是比较方便的。
在球坐标系下，由于2222ˆˆˆrL pp r =+，其中1ˆr p i r r ∂⎛⎫=-+ ⎪∂⎝⎭是径向动量算符以及 222211ˆsin sin sin L θθθθθϕ∂∂∂⎛⎫=+ ⎪∂∂∂⎝⎭。
因此，动能算符表示为2222ˆˆ1ˆˆ222r p p T L rμμμ≡=+，习惯上称 第一项: 2222222ˆ2ˆ222r r p T r r r r r r r μμμ⎛⎫∂∂∂∂⎛⎫≡=-=-+ ⎪ ⎪∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭为径向动能算符， 第二项: 22ˆˆ()2c L V r rμ≡为离心势能算符，实际上它是动能的一部分。
于是，在球坐标下，定态薛定谔方程变为下列形式：22222ˆ1()()()22L r V r r E r r r r r ψψμμ⎡⎤∂∂⎛⎫-++=⎢⎥ ⎪∂∂⎝⎭⎣⎦。
波函数()r ψ可分离变量：()(,,)()(,)l lm r r R r Y ψψθϕθϕ≡=，其中(),lm Y θϕ是角动量平方算符2ˆˆ(,)zL L 的共同本征态， 即 22ˆ(,)(1)(,) 0,1,2,ˆ(,)(,) lm lmz lm lm L Y l l Y l L Y m Y m lθϕθϕθϕθϕ⎧=+=⎪⎨=≤⎪⎩ ，代入薛定谔方程， 得到径向波函数()l R r 满足的方程为称之为径向方程，能量本征值E 及()R r 的表达式应由求解此式获得。
Chapter 6 中心力场
d2 2 dRl (r ) l (l + 1) Rl (r ) + Rl (r ) = 0 − 2 2 (11) dr r dr r
在正则奇点 r=0 邻域,设 Rl ( r ) ∝ r ,代入式
s
(11)得:
s ( s + 1) − l (l + 1) = 0
s = l , −(l + 1)
(12)
(18) Rkl (r ) = Ckl jl (kr ) 其中 Ckl 为归一化常数，k (或能量E)由边条件 (11)确 定,
(5)
代入式(4)，可得出径向波函数 Rl (r ) 满足的 方程:
d2 2d l (l +1) ⎤ ⎡ 2µ R (r) + Rl (r) + ⎢ 2 ( E −V (r)) − 2 ⎥ Rl (r) = 0 2 l dr r dr r ⎦ ⎣
(6) 在求解方程(6)时，有时作如下替换是方便的。 令
0 ≤ r ≤ a, l = 0
2
(8) (9)
满足
∫
a
0
⎡ χ nr l (r ) ⎤ dr = 1 ⎣ ⎦
不难看出，半径为 a 的无限深球方势阱中的
l = 0 的能级和波函数，与一维无限深方势阱
(宽度为a)中粒子能级和波函数完全相同，只 是在那里量子数 n = 1, 2,3 ,相当于这里的 径向量子数 (nr + 1) , nr = 0,1, 2,3 。 其次考虑 l ≠ 0 的量子态，此时，径向波 函数 Rl (r ) 满足下列微分方程： 2 ⎡ 2 l (l + 1) ⎤ Rl (r )′′ + Rl (r )′ + ⎢ k − 2 ⎥ Rl (r ) = 0 r r ⎦ ⎣ (10) 0≤r ≤a
高中物理竞赛量子力学第10讲 无限深球方势阱
z z
ˆ 的本征函数， 因此 (r, , ) Rl (r ) f ( , ) 既是 H 也是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征函数，由此可得：
f ( , ) Ylm ( , )
(r, , ) ml (r, , ) Rl (r )Ylm ( , )
2 l (l 1) l(r ) [ 2 ( E V (r )) 2 ] l (r ) 0 r
Rl (r ) 称为径向波函数，取决于 V (r ) 的形式。
5
二、无限深球方势阱(1)
0, r a 无限深球方势阱： V (r ) , r a 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r
2 (nr 1) 0 nr (r ) sin r a a
r
7
二、无限深球方势阱(3)
2、非 s 态情况（即 l 0 的情况） 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E / 2 2 l (l 1) 径向方程写为：Rl(r ) Rl(r ) [ 2 E ]Rl (r ) 0 2 r r 称为球Bessel方程，其解：Rl (r ) jl (kr), k 2E /
2 (r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 0
6
二、无限深球方势阱(2)
2 s态情况 0(r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 在边界条件 0 (0) 0 (a) 0 下求解方程 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E /
考虑到中心势场 V (r ) 是球对称的，采用球坐标 2 2 2 2 2 ˆ ˆ l l ˆ 2 2 2 2 p r2 2 r 2 2 r r r r r r r 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r 在给定 V (r ) 后可确定本征态 和本征值 E
ˆ 的本征函数， 因此 (r, , ) Rl (r ) f ( , ) 既是 H 也是 lˆ2 和 lˆz 的共同本征函数，由此可得：
f ( , ) Ylm ( , )
(r, , ) ml (r, , ) Rl (r )Ylm ( , )
2 l (l 1) l(r ) [ 2 ( E V (r )) 2 ] l (r ) 0 r
Rl (r ) 称为径向波函数，取决于 V (r ) 的形式。
5
二、无限深球方势阱(1)
0, r a 无限深球方势阱： V (r ) , r a 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r
2 (nr 1) 0 nr (r ) sin r a a
r
7
二、无限深球方势阱(3)
2、非 s 态情况（即 l 0 的情况） 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E / 2 2 l (l 1) 径向方程写为：Rl(r ) Rl(r ) [ 2 E ]Rl (r ) 0 2 r r 称为球Bessel方程，其解：Rl (r ) jl (kr), k 2E /
2 (r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 0
6
二、无限深球方势阱(2)
2 s态情况 0(r ) 2 [ E V (r )] 0 (r ) 0, 在边界条件 0 (0) 0 (a) 0 下求解方程 势阱内 (0 r a) ： V (r ) 0 令 k 2E /
考虑到中心势场 V (r ) 是球对称的，采用球坐标 2 2 2 2 2 ˆ ˆ l l ˆ 2 2 2 2 p r2 2 r 2 2 r r r r r r r 2 2 lˆ 2 能量本征方程写为： [ r V (r )] E 2 2 2r r r 2r 在给定 V (r ) 后可确定本征态 和本征值 E
第5章 中心力场
即 s(s 1) l(l 1)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
10
由此得s的两个根
ss12
l 1 l
s1 s2 2l 1 为整数
由前已知在r→0 时波函数有限，要s≥1 ，则只能
取s=l+1
从而有 nr l 1 n
nr是径向量子数；n是总量子数。由于nr和l都是正 整数或零，所以n=1,2,…
9
bnr 1 0
以v=nr 代入系数关系便得 nr s
另外，级数解中对ν求和是从ν=0开始的，不包含
v=-1的项，所以b-1=0。以v=-1代入系数关系便得
b0
s 1
(s 1)s l(l
1) b1
要 b-1=0而b0≠0则必须有
s(s 1) l(l 1) 0
•
前 几 个 径 向 函
R1,0
(r)
Z a0
3/
2
2 exp
Zr a0
3/ 2
R2,0
(r)
Z 2a0
2
Zr a0
exp
Zr 2a0
数
3/ 2
为
R2,1
(r)
Z 2a0
Zr 3 a0
2)
b
用此关系将 b1 , b2 , 均用 b0 表示，并将其代
入级数解便得
12
f
()
b0l 1[1
n l 1 1!(2l 2)
(n l 1)(n l 2) 2!(2l 2)(2l 3)
§6.1中心力场
第六章 中心力场教材第5章P96～116 § 6.1 中心力场 § 6.2 氢原子§ 6.3 三维各向同性谐振子§ 6.1 中心力场一、力学量完全集 二、径向方程附 录：)(412r rπδ-=∇ 的证明势函数)(r V 球对称的力场称为中心力场)(2ˆ22r V H+∇-=μ其中μ代表粒子的质量。
一、力学量完全集在§5.1已经证明中心力场体系的轨道角动量守恒。
因此，中心力场体系的力学量完全集选}ˆ,ˆ,ˆ{2z L L H。
用ml n 代表共同本征态，本征值问题表示为m L m l n l l m l n L E H znlˆ)1(ˆˆ22+=其中nl E 代表能量本征值，n 称为主量子数。
共同本征态关于量子数m l n ,,自动正交m m l l n n m l n nlm '''=''',,,δδδ二、径向方程在球坐标系中2222211ϕθ∇+∂∂=∇rr r r222222ˆsin 1)(sin sin 1L -=∂∂+∂∂∂∂=∇ϕθθθθθϕθ)(2ˆ12ˆ22222r V rLr r r H ++∂∂-=μμ 能量本征方程为),,(),,()](2ˆ12[22222ϕθϕθμμr E r r V rL r r r ψ=ψ++∂∂-其中，222ˆrL μ 代表转动引起的离心势能。
因)(r V 球对称则可分离变量，其中与角度有关的因子可以取为球谐函数),()(),,(ϕθϕθlm Y r R r =ψ代入能量本征方程，得径向方程()0)(])1()(21[2222=+--+r R rl l r V E r rr lμd d令 rr u r R l l )()(=，径向方程化为()0)(])1()(2[)(22=+--+''r u rl l r V E r u l lμ中心力场本征值问题主要是针对给定的势函数求解上述径向方程。
狭义相对论量子力学6——中心力场定态问题一般性质
Kˆ φ1 = KφA =
1 j+
2
φ1; Kˆ φB = Kφ2 = −
1 j+
2
φ2.
ＨＳＴＩ
2.2寻找 H, Kˆ , j2, jz 的共同本征态
从上面已知 H, Kˆ , , j2, jz 共同本征态的角度部分和自旋部分就是 Kˆ , j2, jz 的 共同本征态 φ1或者φ1，因此 H, Kˆ , j2, jz 的共同本征态可以分两种情况分别 设定。
Kˆ , H = Kˆ , cα · p .
ＨＱＷＩ
把Kˆ = β (Σ · l/ + 1)代入上面则：
Kˆ , H = [β (Σ · l/ + 1) , cα · p]
= [β (Σ · l/ ) , cα · p] + [β, cα · p]
= c {β (Σ · l/ ) (α · p) − (α · p) β (Σ · l/ )}
= [l, cα · p]
= i cα × p
= 0.
ＨＹＩ
上面用[l, cα · p] = c [lxex + lyey + lzez, αxpx + αypy + αzpz]和对易关系[lα, pβ] = i εαβγ pγ 可证
轨道角动量的平方l2也是不守恒的：
l2, H = l2, cα · p + mc2β + V (r)
σ 0
0 σ
）：
Ｓ
力学量Kˆ 是守恒的：
Kˆ , H = Kˆ , cα · p + mc2β + V (r) .
ＨＱＵＩ
由于 Kˆ , V (r) = 0（由于βＬΣ与r无关，且[l, V (r)] = 0）则上式简化为：
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第六章 中心力场 量子力学教学课件
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun
§1 中心力场中粒子运动的 一般性质
一、角动量守恒与径向方程
中心力场
粒子的受力经过某个固定的中心（力心），其势能只是粒子到力心的距离r 的函数，即V (r)，为球对称势。（例如Coulomb场, 万有引力）
氢原子问题是典型的中心力场问题。 氢原子的原子核是一个质子，带电+e，在它的周围有 一个电子绕着它运动 。它与电子的库仑吸引能为（取无 穷远为势能零点）
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第28页
具有一定角动量的氢原子的径向波函数χl(r)=rRl(r) 满足下方程：
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第10页
1
m1 m1 m2
R
;
2
m2 m1 m2
R
1 m1
12
1 m2
2 2
1 m1
m1 m1 m2
R
2
1 m2
m2 m1 m2
R
2
1
m1
12
1 m2
2 2
1 M
2 R
1
2
以上结果带入到两粒子能量本征方程，
[2
4 3a0
r
4 27
(1 a0
r
)
2
]e
1 3 a0
r
R31(r)
2 a0
[ r] re 3/ 2 2
第6章 中心力场@ Quantum Mechanics
Fang Jun 第5页
一定边界条件下求解径向方程，可求得能量本征值E及本
3-9 中心力场
u ( r ) = rR ( r )
可将方程(18)化为
(22)
2 d 2 l ( l + 1) + − 2 2 r 2 2 dr
而归一化条件(21)变为
2
+ V ( r ) u ( r ) = Eu ( r )
2
(23)
u (r )
0
dr = 1
2
(24)
假定当 r → 0 时， r V ( r ) → 0 ，这相当于 r → 0 时 V ( r ) 比 1/ r 增长得慢。对于这样
因此中心力场中粒子的哈密顿算符为
2 ˆ2 ˆ2 p 1 2 L ˆ ˆ H= +V (r ) = − r+ +V (r ) 2 2 r r 2 2 r 2
2
(12)
(13)
ˆ 的本征方程 现在我们要求解 H
ˆψ( r ) = E H ψ( r )
采用分离变量法，令
(14)
ψ( r ) = R ( r ) Y ( , )
V (r ) = −
e2 4π 0 r
(42)
其中 e 表示电子电荷量的绝对值， 0 是真空电容率，势能零点选在无穷远处。(42)式为国际 单位制的表达式，理论物理中还常用高斯单位制，此时
V (r ) = −
e2 r
(43)
注意不同单位制中，电荷的单位并不相同，不能混为一谈。对(43)式作代换 e →
p2 = pr2 +
L2 r2
(4)
其中 pr 是径向动量。由此可将中心势场中粒子的哈密顿量写为
H=
pr2 L2 + +V (r ) 2 2 r 2
第五章中心力场
µ为电子的约化质量， µ = 为电子的约化质量，
me m p me + m p
me和mp分别为电子和质子的质量。 分别为电子和质子的质量。
一、氢原子的能级
氢原子的能量本征值： 氢原子的能量本征值：
e2 1 En = − 2 2 = − 2h n 2a 2a n 2
µ e4 1
(2)
o h 2 = 0.53 A 玻尔半径： a = 2 玻尔半径： µe
x
O
y
具有一定角动量的氢原子的径向波函数 χ l (r ) = rRl (r ) 满足下列方程： 满足下列方程：
2µ d2 e 2 l ( l + 1) χl + 2 E + − χl = 0 2 2 dr r r h
(1)
边界条件： 边界条件： χ l (0) = 0
分离变量,径向方程可写为： 分离变量,径向方程可写为：
d2 2 dRl 2µ ( E − V (r ) ) l ( l + 1) Rl + + − Rl = 0 2 2 2 dr r dr r h
求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便， 求解方程时，可作以下替换，使得计算更方便，令：
ψ nlm dτ
人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云” 人们常常形象地把这个几率分布叫做“几率云” 电子云” 或“电子云” .
球壳中找到电子的几率——径向概率分布 （1）在(r, r+dr)球壳中找到电子的几率 ） 球壳中找到电子的几率 径向概率分布
主量子数 角动量量子数 磁量子数
、 定态波函数 ψ nlm (r ,θ , ϕ ) = Rnl (r )Ylm (θ , ϕ ) 是氢原子体系
《中心力场》课件
中心力场与近地轨道
1
什么是近地轨道？
近地轨道是接近地球表面的环绕地球运动的轨道。
2
应用领域
近地轨道广泛应用于通信、气象、导航、科学研究和空间探索等领域。
3
国际空间站
国际空间站位于近地轨道上，是国际合作的太空科学实验室。
中心力场与行星轨道
行星轨道
火星轨道
根据中心力场，行星绕太阳运行， 形成椭圆轨道。
中心力场的数学形式
中心力场的数学形式可以用向心力公式表示，即 F = m * r * ω²，其中 F 表示向心力，m 表示物体质量，r 表示 到中心的距离，ω 表示力场中，力的方向始终指向中心，与物体运动方向垂直。
2 保持动量
在没有外力的情况下，中心力场中物体的动量守恒。
《中心力场》PPT课件
探索中心力场的奇妙世界，包括牛顿万有引力定律、数学形式、特点、轨道 运动、太空探索应用等。
什么是中心力场？
中心力场是指一个物体对其周围物体施加的力与与它们之间的距离成正比， 并且方向始终指向中心的力场。
牛顿万有引力定律
牛顿万有引力定律描述了物体之间的引力作用，根据质量和距离的乘积决定 了引力的大小。
3 椭圆轨道
中心力场中，物体的轨道通常是椭圆形，根据物体的速度和能量确定椭圆轨道的形状。
中心力场与轨道运动
开普勒定律
中心力场中，根据开普勒定律， 物体在椭圆轨道上运动，且与 离中心距离的平方成反比。
轨道周期
根据轨道速度和椭圆轨道的大 小，可以计算出物体在轨道上 的周期。
星体质量测量
通过观测天体的轨道运动，可 以计算出中心天体的质量。
火星绕太阳运行的椭圆轨道是研 究行星和宇宙探索的重要基地。
木星轨道
第五章 中心力场
已知电子沿径向分布的概率密度 ，则P(r) dr 为 半径在r～r+dr之间的球壳内找到电子的概率。n=4，其电子沿 径向的概率密度分布有以下四种情况： 如n=4，其电子沿径向的概率密度分布有以下四种情况：
从这里可以看到：同一n不同 l 下，曲线有( n - l )个峰值，即电子 沿径向出现的概率极大值有( n - l )。并且，玻尔理论中的轨道只 对应于最大l下的径向概率概率极大处这一特殊情形。
则方程（１６）可化为
h2 2 h2 2 R + V ( r )Ψ = ETΨ 2 2M
此时可分离变量，令
Ψ = φ（R )ψ ( r )
则
h2 2 Rφ（R ) = ECΨ 2M
h2 2 2 + V ( r )ψ ( r ) = Eψ ( r )
E = ET EC
（ ∝ （ ∝ 当 r → 0 时，Rl r） r l 或 Rl r） r ( l + 1 )
此时，要求方程的解 χ l ( r ) = rRl ( r ) 满足
lim χ ( r ) = 0
r →0 l
3 两体问题 A. 两体问题的质心运动的分 质量为 m1 和 m2 的两个物体，若相互作用仅与它们的位置差 有关。
第5章 中心力场 章
5.1 中心力场中粒子运动的一般性质
1.角动量守恒与径向方程： 设质量为 的粒子在中心势 中运动，则哈密顿量H表示为：
p2 h2 2 H= + V( r ) = + V( r ) 2 2
角动量守恒： [l , H ] = 0 能量的本征方程为：
h2 1 2 l2 r+ + V ( r )ψ = Eψ 2 2 2 r 2 r r
讲中心力场径向方程
设lˆ是角动量算符，可以证明：[lˆ , Hˆ ] 0和[lˆ ,lˆ ] 0
, x, y, z 体系能级是简并的 对Hˆ自身的本征 函数 k来说，属于同一能级的简并态之间的正交性
得不到保证 Hˆ自身不能构成力学量完全集 寻求
力学量完全集(Hˆ , Aˆ, Bˆ),找到其共同本征函数 n Hˆ n En n , Aˆ n An n , Bˆ n Bn n
k
称(
) A1
,
) A2
,
Aˆ3
,
)构成体系的一组力学量完全集。
) 如，l
2和lˆz的共同本征态
k
Ylm
lˆ
2Ylm lˆzYlm
l(l
1)h2Ylm mhYlm
k lm, k 一组量子数的笼统记号
12
一、态叠加原理与力学量完全集（10）
4、哈密顿算符与力学量完全集
寻找力学量完全集是一个重要课题。可以证明：
l 2 (r, ,)
2)和lˆz只对 l 2Rl (r) f (
和 ,)
起作用，
Rl (r)lˆ2 f (
,
)
lˆ2 (r, ,) L (r, ,) LRl (r) f ( ,),
) l 2
f
( ,)
Lf
( ,),Q
lˆ2Ylm
l(l
1)h2Ylm ,
有f ( ,) Ylm ( ,)，L l(l 1)h2
2、波函数的展开(7) 设Pˆ为宇称算符，不难证明，[Hˆ , Pˆ] 0，Hˆ和Pˆ拥有
两个共同本征函数： 偶和 奇 不简并
按P的本征值P 1和p 1，可将他们划分为两类
偶宇称，p 1 偶 C cos(kx), E 2k 2 / 2m 奇宇称, p 1 奇 C sin(kx), E 2k 2 / 2m sin(kx)和cos(kx)是正交归一完备的， (x),有
, x, y, z 体系能级是简并的 对Hˆ自身的本征 函数 k来说，属于同一能级的简并态之间的正交性
得不到保证 Hˆ自身不能构成力学量完全集 寻求
力学量完全集(Hˆ , Aˆ, Bˆ),找到其共同本征函数 n Hˆ n En n , Aˆ n An n , Bˆ n Bn n
k
称(
) A1
,
) A2
,
Aˆ3
,
)构成体系的一组力学量完全集。
) 如，l
2和lˆz的共同本征态
k
Ylm
lˆ
2Ylm lˆzYlm
l(l
1)h2Ylm mhYlm
k lm, k 一组量子数的笼统记号
12
一、态叠加原理与力学量完全集（10）
4、哈密顿算符与力学量完全集
寻找力学量完全集是一个重要课题。可以证明：
l 2 (r, ,)
2)和lˆz只对 l 2Rl (r) f (
和 ,)
起作用，
Rl (r)lˆ2 f (
,
)
lˆ2 (r, ,) L (r, ,) LRl (r) f ( ,),
) l 2
f
( ,)
Lf
( ,),Q
lˆ2Ylm
l(l
1)h2Ylm ,
有f ( ,) Ylm ( ,)，L l(l 1)h2
2、波函数的展开(7) 设Pˆ为宇称算符，不难证明，[Hˆ , Pˆ] 0，Hˆ和Pˆ拥有
两个共同本征函数： 偶和 奇 不简并
按P的本征值P 1和p 1，可将他们划分为两类
偶宇称，p 1 偶 C cos(kx), E 2k 2 / 2m 奇宇称, p 1 奇 C sin(kx), E 2k 2 / 2m sin(kx)和cos(kx)是正交归一完备的， (x),有
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2
2
x r sin cos y r sin sin
考虑到V (r)的球对称性，采用球坐标：z r cos
pˆ 2
22
2 r2
r
r2
r
lˆ2 r2
2 r
2 r 2
r
lˆ2 r2
能量本征方程
2 [
2r
2 r 2
r
lˆ2
2r 2
V (r)]
E
如何确定本征态 和本征值E？
2
目录 一、态叠加原理与力学量完全集 二、守恒量与力学量完全集 三、守恒量与能级简并 四、中心力场的径向方程
(x) C(k) sin(kx)dk或 (x) C(k) cos(kx)dk
11
一、态叠加原理与力学完全集（9）
3、力学量完全集 )) ) )
设有一组彼此对易的厄密算符A( A1, A2, A3,)，它们
拥有共同本征函数 k ,若 k构成正交归一完备集，
使得任给体系的一个量子态，总有 ak k ,则
k
称(
) A1
,
) A2
,
Aˆ3
,
)构成体系的一组力学量完全集。
) 如，l
2和lˆz的共同本征态
k
Ylm
lˆ
2Ylm lˆzYlm
l(l
1)h2Ylm mhYlm
k lm, k 一组量子数的笼统记号
12
一、态叠加原理与力学量完全集（10）
4、哈密顿算符与力学量完全集
寻找力学量完全集是一个重要课题。可以证明：
2、波函数的展开(7) 设Pˆ为宇称算符，不难证明，[Hˆ , Pˆ] 0，Hˆ和Pˆ拥有
两个共同本征函数： 偶和 奇 不简并
按P的本征值P 1和p 1，可将他们划分为两类
偶宇称，p 1 偶 C cos(kx), E 2k 2 / 2m 奇宇称, p 1 奇 C sin(kx), E 2k 2 / 2m sin(kx)和cos(kx)是正交归一完备的， (x),有
（1）若体系Hˆ的本征值不简并，其对应的本征函数
就能构成正交归一完备集，此时Hˆ自身就构成体系
的力学量完全集，如一维谐振子。
（2）若体系Hˆ的本征值简并，总可以找到其它的力学
量，其算符Aˆ1, Aˆ2 , Aˆ3,与Hˆ对易，而(Hˆ , Aˆ1, Aˆ2 , Aˆ3,)
构成体系的力学量完全集。体系任一量子态，都
情况下，为什么 (x) (k) E (k, x)dk？
是因为属于同一个本征值的本征态之间的
正交性得不到保证。例如，一维自由粒子，
E E Ceikx两个本征态，则
* d | C |2 e2ikxd 0
E E
9
一、态叠加原理与力学量完全集（7）
2、波函数的展开(6)
注意一维自由粒子的本征态 E Ceikx是 哈密顿算符Hˆ的本征态。对 E Ceikx来说，
2、波函数的展开(2)
(1)一维谐振子 : 离散情况。(2)动量本征态，连续情况
本征函数为 px (x)
1
2
h
eixpx
/ h , 本征值px
（
,
）
它们也能构成正交完备态矢，因为从数学上讲，
按傅立叶展开定理，任何平方可积函数 均可展开
如下： (x) ( px ) px (x)dpx
1
2 h
( px )eixpx / hdpx
其中，展开系数为( px )
1 (x)e－ixpx / hdx 2 h
从态叠加原理出发： 是描述体系状态的一个波函数 6
一、态叠加原理与力学量完全集（4）
2、波函数的展开(3)
(1)对一维谐振子: 离散谱。(2)动量本征态：连续谱
（3）一般情况： n和An是算符Aˆ 的本征态与本征值，
3
一、态叠加原理与力学量完全集（1） 1、态叠加原理的回顾
设算符Aˆ 的本征函数和本征值为 n和An ,
描述体系状态的任一波函数可表示为
an n，其中an
n*dr
3
n
体系处于
的概
n
率是
|
an
|2
,且
| an |2 1
n
4
一、态叠加原理与力学量完全集（2）
2、波函数的展开(1)
（1）对一维谐振子，
虽然对于 (x), (x) (k) E (k, x)dk
但是,可以寻找另外的算符Aˆ ,若[Hˆ , Aˆ ] 0,则有
可能用Aˆ的本征值对(Hˆ , Aˆ )的共同本征函数 k
进行分类，从而使同一个E对应的简并态之
间的正交性得到保证。问题是，
1、能找到这样的Aˆ吗？2、如何进行分类？
10
一、态叠加原理与力学量完全集（8）
能量本征值 : En (n 1/ 2)h, n 0,1, 2,3, 本征函数 : n (x) Anea2x2 /2Hn (ax), n 0,1, 2,
构成一组正交归一完备函数，
任一函数 可按 n来展开，即 an n n
其中，展开系数
an
n*
dr
3
5
一、态叠加原理与力学量完全集（3）
0、中心力场中的波函数（1）
氢原子中，电子的势能函数：
V (r) e2
+r
r
碱金属原子中，电子的势能函数：
V
(r)
e2 r
e2a0 r2
,0
1, a0为Bohr半径。
它们都是球对称的，称之为中心力场。
1
0、中心力场中的波函数（2）
设质量为的粒子在中心势V (r)中运动，则Hamilton
为
Hˆ pˆ 2 V (r) 2 2 V (r)
如果An
,
都是不简并的，则
能构成
n
一组正交归
一完备态矢，系统的任何状态均可展开如下：
(x) an n ,其中，an n* dr3 n
| an |2 在状态下测得An的概率。 | an |2 1
n
那么，存在简并时，如何？
7
一、态叠加原理与力学量完全集（5）
2、波函数的展开(4) (1)对一维谐振子: 离散谱；(2)动量本征态：连续谱 (3)一般情况: 不简并；(4)一维自由粒子：简并情况
Hˆ pˆ x2 / 2m, 本征态 E Ceikx, 本征值E 2k 2 / 2m E E Ceikx和 E Ceikx两个本征态
本征值E是二重简并的
则 (x),一般情况下， (x) (k) E (k, x)dk
8
一、态叠加原理与力学量完全集（6）
2、波函数的展开(5)
如果本征值E是简并的，则 (x),一般
可以用它们的共同本征函数 k来展开 ak k
k
如一维自由粒子，(Hˆ
,
pˆ )构成体系的力学
量完
全集。 13
二、守恒量与力学量完全集（1）
1、力学量平均值的时间依赖特性(1)
体系处于量子态下，算符Aˆ 在下的平均值为