资本资产定价模型及证明

注记： 可以证明， 在上述假设条件下，
rf rv B/A一定成立。
命题1
当
rf
rv
B/A 时，
射线Rp ：
rp rf Hp 与双曲线Hp：
2 pA (rpB /A )2/D 1/A
的右上半支有唯一切点 T(t,•rt ) ，其中
t H/(BAfr), rt (C Bf)r/B (Af)r,
对应的有效资产组合为
• （简称为均值－方差准则）
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3. 两种情形下的有效前沿的 相切关系
（Sharpe的货币基金分离定理）
在Sharpe的有效前沿上，Markowitz的有 效前沿除切点T外都成为无效组合，因此切点 T成为最优风险资产组合。
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根据信息完备假设，投资者具有相同的 预期，于是可以导出每个投资者的最优风险 资产组合都是相同的。
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4. 市场均衡时两有效前沿的切点 对应的资产组合等于市场资产组合
（Sharpe的资本市场线）
5. 资本资产定价模型
（Sharpe的证券市场线）
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第三步骤的重要性
它起着承上启下的作用：
通过相切把二个有效前沿联系起 来；通过切点组合等于市场组合，把 最优风险资产组合与资产市场组合联 系起来，并进一步推出了定价模型。
和证券市场线（SML）。
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内容介绍
一、资本资产定价模型的回顾 1. 基本假设条件 2. 五个推导步骤（定性描述
）
二、资本资产定价模型的数理描述 1. 前两个步骤的数学推导 2. 第三个步骤的详细讨论
2020/6/30 3. 后两个步骤的数学推导
一、资本资产定价模型的回顾 （一） 基本假设条件 （二） 五个推导步骤（定性描述）
wt 1(rrfl)/(BArf ) w0t 1(wt)l0
（14）
证毕。
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令式（2）与式（6）表示的有效 资产组合相等，得
1(C (Bp)lr (Ap rB )r)/D
＝
(rprf)1(rrfl)/H (15)
式（15）两边左乘 r ，注意到
A l 1 l,B l 1 r ,C r 1 r ,D A B C 2
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《学科名著阅读》
资本资产定价模型及其证明
邹辉文
福州大学管理学院 教授、博士后、博导
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2011.5
背景介绍
第二次世界大战以前，金融学完全是经济学的 一个分支学科。金融学研究的方法论，总的说来与 当时的经济学研究的方法论相同。以定性的思维推 理和语言描述为主，基本上采用的是经济学的供需 均衡分析，“使用的分析工具最复杂的也不过是贴
并且追求效用最大化。
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• 关于效用最大化
• 投资者事先知道资产收益率的概率分 布，且所有投资者对它们的看法一致（因 信息对称）；
• 投资者仅依据资产收益率和投资风险进 行决策，并分别以资产收益率的均值和方 差标识；
• 遵守占优原则：在同一风险水平下，选 择收益率较高的资产组合；在同一收益率 水平下，选择风险较低的资产组合。
中文版
《投资组合理论与资本市场》
1990年诺贝尔经济学奖获得者 威谦 F. 夏普的心血之作，胡坚译
北京：机械工业出版社，2001
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William F. Sharpe Professor of Finance, Emeritus, Graduate School of Business, Stanford University Nobel Prize in Economic Sciences, 1990
故在Hp上任一点 P(p,rp) (V(v,rv))
处的导数为
drp
dp
pD/(Arp B)
（9）
在Rp上任一点 P(p,rp)处的导数为 H 。
令两导数相等，可得
pD(AprB) H
（10）
根据上述分析，若由射线Rp、双曲 线Hp的方程以及式（10）构成的下 列方程组
2p
A(rp B/ A)2 /D1/
欢迎各位光临！
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金融学科名著
Portfolio Theory and Capital Markets
William F. Sharpe
The McGraw-Hill Companies, Inc., 1970 (First Edition)；2000 (Second Edition)
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二、资本资产定价模型的数理描述 1. 风险资产组合的有效前沿 2. 存在无风险资产时资产组合 的有效前沿 3. 两种有效前沿的相切关系 4. 市场均衡时切点组合等于市 场组合 5. 资本资产定价模型（CAPM）
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式（3）可化为
其中各符号的意义同前。
性质1的证明是简单的，只须直接计算 co~ rv p,•(~ rzc(p))，并令其为0，即可唯一确定
现值（Merton，1992）”。
第二次世界大战以后，随着一般经济均衡理论 的完善，金融学研究的方法论也发生了很大的变化
。经济学家们开始为金融学寻求适当的数学框架。
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背景介绍
新的数学框架下的现代金融学被认为产生于 两次“华尔街革命”：
（1）马科维茨（Markowitz）（1952）的证券组 合选择理论的发表； （2）布莱克-斯科尔斯（Black-Scholes）（1973 ）的欧式期权定价公式的问世。
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Er%
T
mvp
A C
rf
0
图 3.1
rf < A C 情形
r%
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2. rf rv B/A
我们证明射线Rp与双曲线的 右上半支Hp相切。
ห้องสมุดไป่ตู้
2p (rp B/A)2 1
1/A D/A2
（4）
故所有风险资产组合的有效前沿在 (p,•rp)
平面上是中心为（0，B/A），渐近线为
rpB/A D/Ap 的双曲线的右半支。
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同样用拉格朗日（Lagrange） 乘数法求解问题（5），得其解为
w p(rprf) 1(rrfl)/H（6）
因 rf B/ A，将式（17）代入式（3） 或（8）均可得
t H/(BAfr)
（18）
故Rp与Hp相交，其唯一的交点为
T（ t , rt ）。将T（ t , rt ）代入
式（9），得
（19） d d p pr TH D /B ( A f)A r ( (C B f)/r B ( A f) rB )H
2 p
(rp
rf
)2/H
（7）
其中
H ( r fl r ) 1 ( r fl r ) A f 2 2 r B f C r
A (rf B/A )2D /A0
从式（7）可知，所有资产组合的 有效前沿在 (p,•rp) 平面上是两条以 (0, •r f ) 为起点的射线
rp rf Hp （8）
，经化简得
rp(rprf)C (Bf)r/H （16） 注意到 HAf2r2BfrC，式（16）的
唯一解为
rt (CBf)r/B (Af)r （17）
将式（17）代入式（15），经验算知 它也是式（15）的解。由于式（15） 的解都是式（16）的解，而式（16） 只有唯一解，它当然也是式（15）的 唯一解。
rp rf Hp
A
pD(Arp B) H
(11a) (11b) (11c)
有唯一解 (t,•rt ) ，则T(t,•rt )
一定是唯一切点。 将式（11b）代入式（11c），并化简得
(Af rB )2p(Af rB ) H （12）
因 rf B/ A, 故式（11b）与（12）的
唯一解为
t H/(BAfr)
w t 1(rrfl)/B (Af)rw ,0 t 1(wt)l0。
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对 2 pA (rpB /A )2/D 1/A
的两边微分得
2pdp2 (Ap rB )dp/rD
在Hp上的mvp点 V(v,•rv) 处， rv B/ A,
故导数 drp/dp •。除此之外，
rp B / A，
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（一）资本资产定价模型的基本假设
1. 所有资产无限可分，市场没有摩擦， 允许无限制的卖空。
2. 市场完全竞争，所有市场参与者都是
价格的接受者 。 3. 市场信息对称、完全；信息成本为零；
所有市场参与者同时接受信息。 4. 存在无风险资产，其收益率在所考虑的
时段内不变，且对所有投资者都相同。 5. 所有市场参与者都是理性的，
（13a）
rt (CBf)r/B (Af)r （13b）
将 t , rt 的表达式分别代入式（11a） 的左右两边，经化简知等式成立。
故式（12）是方程组（11）的唯一解。
所以在点T(t,•rt) 处，Rp与Hp一定相切。
将式（13）代入式（2）或（6）均可 得切点 T(t,•rt) 对应的有效资产组合为
又无风险资产（点F）和最优风险资产 组合（点T）的线性组合可以生成Sharpe的 有效前沿上任一资产组合（点P）， P=xF+(1-x)T，于是得出每个投资者的线性 有效集都是一样的。