相似三角形分类讨论

y
·P
O B· C·
x
·A
在Rt△OBC中， ∠BOC=90º,已知OB=4， OC=2，OA=1，
求证：△AOC∽△COB
A
O
B
C
OB=4，OC=2，OA=1 在直线AC上是否存在点M，
使得以A，B，M为顶点的三
角形和△AOC相似，若不存
M
在,请说明理由.若存在,这样 的M点共有几个?请求出AM O A 的长。
∵∠A＝∠A, AD = AE
A
AC AB
∴△AED∽△ABC
D E
（两边对应成比例，且夹角相等的两个
三角形相似。）
B
C
2.已知如图，D点是不等边ABC的边AC上一点，过D点画线
段DE，使点E在ABC的边上，并且点D，点E和ABC的一
个顶点组成的小三角形与ABC相似。问：这样的三角形可以
画几个？画出DE，并且写出添线方法（可讨论并答出作图依
C
M B
在方格纸中,每个小格的顶点称为格点,以格点 连线为边的三角形叫做格点三角形,如图所示,
在10×10的方格中,已知△OAB. y
作一个格点三角形 与△OAB相似且与 △OAB 共边AB.
4
3
B 2●
● ●
1
x ●
-5 -4 -3 -2 -1 0-1 1A 2 3 4 5
●
-2
-3
-4
4. 如图，平面直角坐标系中，
△ABC相似,那么AF=_85__或___52__
A
.E
F1
F2
B
C
练一练:
2.如图，正方形ABCD的边长为8，E是AB的中 点，点M，N分别在BC，CD上，且CM=2，则 当CN=_1_或__4_____时，△CMN与△ADE相似。
A
D
E
N
B
MC
练一练
3.在平面直角坐标系，B（1，0）, A（3，－3）, C（3，0）,点P在y轴的正半轴上运动，若以O， B，P为顶点的三角形与△ABC相似，则点P的坐 标是_（_0_，__1_.5_）_或__（_0_，__2_/3_）__.
点A出发，以每秒1个单位长度
O
的速度匀速向B点运动，同时动
AP E
B
x
点Q从C点出发沿射线CD以每 C 秒2个单位长度的速度匀速运动,
D Q
当P达到B后,运动停止,设运动时间为t.连结PQ交CB于点E。
(1)经过几秒后，S△CEQ=4S△BPE (2)在运动过程中，当BE:EC=1:4时，请写出E点的坐标.
直线AB与x轴y轴分别A（3， y
0）B（0， 3 ）两点，点C为 线段AB上的一动点，过点C作 B C
CD⊥x轴于点D.
O DA x
(1)求直线AB的解析式；
(2)在第一象限内求作一点P,使 得以P，O，B为顶点的三角形 与⊿OBA相似,并求出所有符合 条件的点P.
y
OB=4，OC=2，OA=1 过点C作 CD∥x轴，一动点P从
∵∠A＝∠A,∠ADE＝∠B
A
∴△ADE∽△ABC
D E
(有两个角对应相等的两个三角形相似。)
B
C
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个
条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是__∠_A_E__D_=_∠_C___.
∵∠A＝∠A,∠AED＝∠C
A
∴△ADE∽△ABC
D E
（1）当t为何值时，△QAP为等腰直角三角形？
（2）求四边形QPBC的面积，提出一个与计算结果有 关的结论；
(有两个角对应相等的两个三角形相似。)
B
C
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个
－AD ＝－AE
条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是__A__B____A__C__.
∵∠A＝∠A, AD = AE
A
AB AC
∴△ADE∽△ABC
D E
（两边对应成比例，且夹角相等的两个
B
P
8
2cm/秒
A
4cm/秒
Q 16
C
练一练
A
5
C
3
D B
3、如图：已知∠ABC＝∠CDB＝90°，AC＝5cm，
BC=3cm，当BD取多少cm时 △ABC和△BDC相似？
4.如图,在矩形ABCD中,AB=12cm,BC=6cm,点P沿 AB边从点A开始向点B以2cm/s的速度移动,点Q沿DA 边从点D开始向点A以1cm/s的速度移动.如果点P、Q 同时出发,用t(s)表示移动的时间(0≤t≤6),
你能判断PQ与BC的位置关系吗?
相应练习
1、如图, 已知点P是边长为4的正方形ABCD内的一点， 且PB=3，BF⊥BP. 试问在射线BF上是否存在一点E， 使以点B、E、C为顶点的三角形与△ABP相似?若存在, 请求出BE的长;若不存在,请说明理由.
A
D
P
B
C
Ｅ ＥF
练一练
2、在∆ABC中，AB=8cm,BC=16cm,点P从点A开始沿AB边 向B点以2cm/秒的速度移动，点Q从点B开始沿BC向点C以 4cm/秒的速度移动，如果P、Q分别从A、B同时出发，经 几秒钟∆BPQ与∆BAC相似？
三角形相似。）
B
C
相似三角形基本图形的回顾：
A
D
E
B
C
A
D E
B
△ADE绕点A
旋转
E A
E
A
B
C
点
E
移 到 与
重 合
A
C
点
D
B
∠ACB=Rt∠ CD⊥AB
B
B
D C D C
A D
C
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个
－AD ＝－AE
条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是__A__C____A__B__.
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个
条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是_∠_A__E_D_=_∠_B____.
A
∵∠A＝∠A,∠AED＝∠B
∴△AED∽△ABC
D E
(有两个角对应相等的两个三角形相似。)
B
C
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个
据）
A
A
E
.D
E
.D
B
C A
B
AC
.D
.D
B
EC
B
C E
AＡ
D●
Ｂ
C
1.过Rt△ABC的斜边AB 上一点D作一条直线与 另一边ＡＣ或者BC相 交，使截得的小三角 形与△ABC相似，这样 的直线有几条？
练一练
1、如图, 在△ABC中,AB=5,AC=4,E是AB上一点,AE=2,
在AC上取一点F,使以A、E、F为顶点的三角形与
条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是_∠_A__D_E_=_∠_C____.
A
∵∠A＝∠A,∠ADE＝∠C
∴△AED∽△ABC
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D E
(有两个角对应相等的两个三角形相似。) B
C
如图，D、E分别是△ABC的边AB、AC上的点，请你添加一个 条件，使△ABC和△AED相似，你添加的条件是_∠_A__D_E_=_∠_B____.