与函数有关的奥数训练试题

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奥数练习_确定一次函数的表达式

6．4确定一次函数的表达式知能巧练1．若一次函数y＝kx－3经过点(3，0)，则k＝________，该图象还经过(0，________)和(1，________)．2．如图所示，正比例函数的图象经过图中点A，则此正比例函数的解析式为________．3．如图所示，直角坐标系中点A，B都在某一次函数图象上，则此一次函数的解析式为________．4．一根长为20cm的蜡烛被点燃后，其剩余长度y(cm)是燃烧时间x(分钟)的一次函数．若燃烧5分钟后，其剩余长度为18cm，则y关于x的函数关系式为________．5．一家小型放影厅的盈利额y(元)与售票数x(张)之间的关系如图所示．试根据关系图回答下列问题：(1)当售票数x满足0＜x≤150时，盈利额y(元)与x之间的函数关系式是________．(2)当售票数x满足150＜x≤200时，盈利额y(元)与x之间的函数关系式是________．6．为发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式．其中，所使用的“便民卡”与“如意卡”在玉溪市范围内每月(30天)的通话时间x(分钟)与通话费y(元)的函数关系图象如图①，图②所示．y与x以及2y与x的函数关系式?1(2)如果小明每月的通话时间约200分钟，请问小明应该选择使用哪种卡较合算? 7．某区政府对一项综合治理沙漠的系统工程已投资30亿元，计划从今年起每年继续投资5亿元．(1)写出投资总额y(亿元)与投资时间x(年)的函数关系式；它们是一次函数吗?(2)如果此项工程还需10年才能完成，求区政府共投资多少亿元?探究创新8．某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需购买行李票，行李票费用y(元)是行李重量x(千克)的一次函数，其图象如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式?(2)若某旅客行李总重量为20千克，试问他需要交行旅费吗?如果要交，交多少元?如果不必交，请说明理由．9．对于气温，有的地方用摄氏温度表示，有的地方用华氏温度表示，摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系．从温度计的刻度上可以看出，摄氏温度x(℃)与华氏温度y(F︒)有如下对应关系：(1)通过①描点连线；②猜测y与x之间的函数关系式；③求解；④验证等几个步骤，试确定y与x之间的函数关系式；(2)某天，南昌的最高气温是8℃，澳大利亚悉尼的最高气温是91F︒，问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度?。

高一函数奥数试题及答案

高一函数奥数试题及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=2x^3-3x^2+1的零点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个2. 已知函数f(x)=x^2-2x+2，求f(x)在区间[0,2]上的最大值：A. 0B. 1C. 2D. 43. 函数y=x^2-4x+3的图像与x轴的交点个数是：A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个4. 函数f(x)=x^3-3x+1的导数是：A. 3x^2-3B. x^2-3x+1C. 3x^2-1D. x^2-3x二、填空题（每题5分，共20分）1. 函数f(x)=x^2-4x+3的最小值为______。

2. 函数f(x)=3x-1在x=2处的切线斜率为______。

3. 函数y=x^3-6x^2+9x+1的极大值为______。

4. 函数f(x)=x^2-4x+3的对称轴方程为______。

三、解答题（每题10分，共40分）1. 已知函数f(x)=x^2-6x+8，求f(x)的单调区间。

2. 已知函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1，求f(x)的极值点。

3. 已知函数f(x)=x^4-4x^2+4，求f(x)的零点。

4. 已知函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6，求f(x)在区间[1,3]上的最大值和最小值。

四、证明题（每题20分，共20分）1. 证明函数f(x)=x^3-3x+1在区间(-∞,1)上是单调递增的。

答案：一、选择题1. D2. C3. C4. A二、填空题1. 12. 73. 54. x=2三、解答题1. 函数f(x)=x^2-6x+8的单调递增区间为(3,+∞)，单调递减区间为(-∞,3)。

2. 函数f(x)=x^3-3x^2+4x-1的极值点为x=1和x=2。

3. 函数f(x)=x^4-4x^2+4的零点为x=±√2。

4. 函数f(x)=x^3-6x^2+11x-6在区间[1,3]上的最大值为12，最小值为0。

高一奥数试题及答案

高一奥数试题及答案第一题：已知函数f(x)满足f(x+2)=3f(x)+2，且f(4)=9，求f(2019)的值。

解析：我们可以通过递推的方式来求解该题。

首先，我们观察到当x为偶数时，f(x)的值会比之前多出一个常数项2。

因此，我们可以猜测f(x)的形式为f(x)=ax+b，其中a和b为待定常数。

将f(x)的形式代入给定的函数等式中，得到：f(x+2) = 3(ax+b) + 2= 3ax + 3b + 2根据题意，我们得到 3ax + 3b + 2 = 3f(x) + 2，整理得：3b = 2 - 3ax由于题目中给出了初始条件f(4)=9，代入求解得：3b = 2 - 3a(4)3b = 2 - 12a将此结果代入3b = 2 - 3ax，得到：2 - 12a = 2 - 3ax12a = 3axa = 4代入3b = 2 - 12a，得到：3b = 2 - 12(4)3b = -46b = -46/3综上所述，我们得到f(x)的表达式为f(x) = 4x - 46/3。

将x代入f(x)，我们可以得到f(2019)的值：f(2019) = 4 * 2019 - 46/3= 8076 - 46/3因此，f(2019)的值为8076 - 46/3。

第二题：已知等差数列{a_n}的前n项和S_n满足S_n = n^2 + 2n，若a_{12} = 18，求第1项a_1的值。

解析：由题意，我们知道等差数列{a_n}的前n项和S_n的公式为S_n = n^2 + 2n，即a_1 + a_2 + ... + a_n = n^2 + 2n。

根据等差数列的性质，我们知道第n项a_n的表达式为：a_n = a_1 + (n-1)d，其中d为等差数列的公差。

我们将已知条件代入：a_1 + a_2 + ... + a_{12} = 12^2 + 2*12a_1 + (a_1 + d) + (a_1 + 2d) + ... + (a_1 + 11d) = 144 + 2412a_1 + 66d = 168另外，已知a_{12} = 18，代入a_n的表达式中得：a_{12} = a_1 + (12-1)d18 = a_1 + 11d通过解这个线性方程组，我们可以求得a_1和d的值。

初二年级奥数三角函数重点测试题

初二年级奥数三角函数重点测试题一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，每小题的四个选项中，只有一项符合题目要求)1.下列四个交通标志中，轴对称图形是( )A. B. C. D.2.七边形的外角和为( )A.1260°B.900°C.360°D.180°3.如图，∠1=∠2，3=∠4，OE=OF，则图中全等三角形有( )A.1对B.2对C.3对D.4对4.已知图中的两个三角形全等，则∠1等于( )A.72°B.60°C.50°D.58°5.如图，△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，则△ABC的周长为( )A.9B.8C.6D.126.三角形中，到三个顶点距离相等的点是( )A.三条高线的交点B.三条中线的交点C.三条角平分线的交点D.三边垂直平分线的交点7.如图，将两根钢条AA′、BB′的中点 O连在一起，使AA′、BB′能绕着点O自由转动，就做成了一个测量工具，由三角形全等可知A′B′的长等于内槽宽AB，那么判定△OAB≌△OA′B′的理由是( )A.SASB.ASAC.SSSD.AAS8.如图，在△ABC中，AD是它的角平分线，AB=8cm，AC=6cm，则S△ABD：S△ACD=( )A.3：4B.4：3C.16：9D.9：169.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，∠A=25°，D是AB上一点.将Rt△ABC沿CD折叠，使B点落在AC边上的B′处，则∠ADB′等于( )A.25°B.30°C.35°D.40°10.如图，AB⊥BC，BE⊥AC，∠1=∠2，AD=AB，则( )A.∠1=∠EFDB.BE=ECC.BF=DF=CDD.FD∥BC二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)11.等腰三角形的底角是80°，则它的顶角是__________.12.已知：如图，∠ACB=∠BDA=90°，要使△ACB≌△BDA，请添加一个条件是__________.13.在活动课上，小红已有两根长为4cm，8cm的小木棒，现打算拼一个等腰三角形，则小红应取的第三根小木棒长是__________cm.14.如图：△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE=3cm，△ABD的周长为13cm，则△ABC的周长为__________.15.某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，则此时轮船与小岛P的距离BP=__________海里.16.在平面直角坐标系中，已知点A(1，2)，B(5，5)，C(5，2)，存有点E，使△ACE和△ACB全等，写出所有满足条件的E点的坐标__________.。

二次函数奥数题

二次函数奥数题21、已知二次函数)0(2≠++=a c bx ax y 的图象如图所示，有下列5个结论：① 0>abc ；② c a b +<；③ 024>++c b a ；④ b c 32<；⑤ )(b am m b a +>+，（1≠m 的实数）其中正确的结论有（）．A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个2、在同一坐标系中一次函数y ax b =+和二次函数2y ax bx =+的图象可能为（）．3、如图，二次函数c bx ax y ++=2的图象开口向上,图像经过点（-1，2）和（1，0）且与y 轴交于负半轴．（1）：给出四个结论：①a ＞0；②b ＞0；③c ＞0； ④a+b+c=0其中正确的结论的序号是．（２）：给出四个结论：①abc ＜0；②2a+b ＞0；③a+c=1；④a ＞1．其中正确的结论的序号是．4 . 二次函数2y ax bx c =++，当12x =时，有最大值25，而方程20ax bx c ++=的两根α、β，满足3319αβ+=，求a 、b 、c 。

5 已知抛物线2(0)y ax bx c a =++>过()()0,4,2,2-两点，若抛物线在x 轴上截得的线段最短时，求这时的抛物线解析式。

6．已知：二次函数2224y x mx m =-+的图像与x 轴有两个交点A 、B ，顶点为C ，若△ABC 的面积为m 的值。

7．已知抛物线2(0)y ax bx c a =++≠经过点A ()1,0，对称轴方程是3x =，顶点为B ，直线y kx m =+经过A 、B 两点，它与坐标轴围成的三角形的面积为2，求一次函数y kx m =+和二次函数2y ax bx c =++的解析式。

8.已知y=ax 2+bx+2016经过点（m ，2019）,（n ，2019）。

则当x=m+n 时，y= .9.已知二次函数y=ax 2+bx+c 的图象如图所示，它与x 轴的两个交点分别为（﹣1，0），（3，0）．对于下列命题：①b ﹣2a=0；②abc ＜0；③a ﹣2b+4c ＜0；④8a+c ＞0．其中正确的有（）10、如图，二次函数2y ax bx c =++的图像与y 轴正半轴相交，其顶点坐标为（1,12），下列结论：①0ac ＜；②0a b +=， ③244ac b a -=；④0a b c ++＜.其中正确结论的是。

初二奥数一次函数及分段函数测试题汇总

【导语】奥数对青少年的脑⼒锻炼有着⼀定的作⽤，可以通过奥数对思维和逻辑进⾏锻炼，对学⽣起到的并不仅仅是数学⽅⾯的作⽤，通常⽐普通数学要深奥⼀些。

下⾯是⽆忧考为⼤家带来的初⼆奥数⼀次函数及分段函数测试题汇总，欢迎⼤家阅读。

⼀次函数测试题⼀．选择题（每⼩题3分，共30分） 1.函数y= 中，⾃变量x的取值范围是（）A.x＞2B.x＜2C.x≠2D.x≠-2 2.关于函数y=-2x+1,下列结论正确的是（）A.图形必经过点（-2,1）B.图形经过第⼀、⼆、三象限C.当x＞时,y＜0D.y随x的增⼤⽽增⼤ 3.如图，⼀次函数y=kx+b(k≠0) 的图象经过A,B两点，则关于x的不等式kx+b＜0的解集是（）A.m＞-1B.m＜1C.-1＜m＜1D.-1≤m≤1 4.直线y=-2x+m与直线y=2x-1的焦点在第四象限，则 m的取值范围是（）A.m＞-1B.m＜1C.-1＜m＜1D.-1≤m≤1 5.若⼀次函数y=(1-2m)x+m的图象经过点A( ， )和点B( ， )，当＜时，＜，且与y轴相交于正半轴，则 m的取值范围是（）A.m＞0B.m＜C.0＜m＜D. .m＞ 6.若函数y= 则当函数值y=8时，⾃变量x的值是（） A. B.4C. 或4D.4或- 7.⼀艘轮船在同⼀航线上往返于甲、⼄两地，已知轮船在静⽔中的速度为15㎞/h,⽔流速度为5 ㎞/h,轮船先从甲地顺⽔航⾏到⼄地在⼄地停留⼀段时间后，⼜从⼄地逆⽔航⾏返回甲地，设轮船从甲地出发所⽤时间为 t(h),航⾏的路程s(㎞),则s与t 的函数图象⼤致是（） 8.⼀次函数y=kx+b的图象如图所⽰，当x＜1时，y的取值范围是（）A.-2＜y＜0B. -4＜y＜0C. y＜-2D. y＜-4 9.将直线y=-2x向右平移2个单位所得直线的解析式为（）A.y=-2x+2B.y=-2(x+2)C.y=-2x-2D.y=-2(x-2) 10.如图，⼩亮在操场上玩，⼀段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画⼩亮到出发点M的距离y与x之间关系的函数图象是（）⼆. 填空题（每⼩题3分，共24分） 11.将直线y=-2x+3向下平移2个单位得到的直线为。

初二数学函数奥赛试卷

一、选择题（每题5分，共50分）1. 下列函数中，是反比例函数的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = k/x (k ≠ 0)D. y = x + 12. 已知函数y = kx + b的图像经过点（1，2），则下列选项中，可能为k和b的值是（）A. k = 2, b = 1B. k = -2, b = 3C. k = 1, b = 2D. k = 3, b = 13. 下列函数中，是二次函数的是（）A. y = x^3B. y = x^2 + 2x + 1C. y = x^2 - 2x - 3D. y = 2x^2 + 3x - 54. 已知函数y = 2x^2 - 4x + 1的图像的对称轴是（）A. x = -1B. x = 1C. x = 2D. x = 35. 若函数y = ax^2 + bx + c（a ≠ 0）的图像开口向上，且顶点坐标为（h，k），则下列结论正确的是（）A. a > 0, b > 0B. a < 0, b < 0C. a > 0, b < 0D. a < 0, b > 06. 下列函数中，在定义域内是单调递增的是（）A. y = x^2B. y = 2x - 3C. y = 1/xD. y = x^37. 已知函数y = -x^2 + 4x + 3的图像与x轴的交点坐标是（1，0）和（3，0），则下列选项中，可能为函数的零点是（）A. x = 0B. x = 2C. x = 4D. x = -28. 下列函数中，是指数函数的是（）A. y = 2xB. y = 2^xC. y = 2x + 3D. y = 2x^29. 已知函数y = a^x（a > 0，a ≠ 1）的图像过点（0，1），则a的值为（）A. 1B. 2C. 1/2D. 1/410. 下列函数中，是根式函数的是（）A. y = √xB. y = x^2C. y = 1/xD. y = x^3二、填空题（每题5分，共25分）11. 函数y = -3x + 5中，当x = 0时，y的值为______。

数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题

与函数有关的中考题（奥校讲义）1．已知二次函数62++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。

2．已知抛物线2223ab abx ax y +-=不经过第三象限。

（1）求a 和b 的取值范围；（2）若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数ax y -=的图象上。

求此抛物线的解析式。

3．一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。

4．中，AB=5，AD=3，sinA=32，P 为AB 上一个动点（P 不与A 、B 重合），过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，设AP 的长为x ，四边形QPBC 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

5． b 为何值时，反比例函数xy 3=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。

6．已知反比例函数xy 12=的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。

（1）求这个一次函数的解析式；（2）如果等腰梯形ABCD 的顶点A 、B 在这个一次函数的图象上，顶点C 、D 在这个反比例函数的图象上，两底AD 、BC 与y 轴平行，且A 、B 的横坐标分别为a 和2+a ，求a 的值。

7．已知抛物线12-++=k kx x y 。

（1）求证：无论k 为什么实数，抛物线恒经过x 轴上一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ()0,1x 、B ()0,2x 两点，且满足6,,2121=<<∆ABC S x x x x 。

问：过A 、B 、C 三点的圆与抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标。

8．如图：已知一次函数133+=x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作一正三角形ABC ，⊙O ，为ΔABC 的外接圆，与x 轴交于点D 。

初二奥数一次函数测试题及答案

初二奥数一次函数测试题及答案一．选择题（每小题3分，共30分）1.函数y= 中，自变量x的取值范围是（）A.x＞2B.x＜2C.x≠2D.x≠-22.关于函数y=-2x+1,下列结论准确的是（）A.图形必经过点（-2,1）B.图形经过第一、二、三象限C.当x＞时,y＜0D.y随x的增大而增大3.如图，一次函数y=kx+b(k≠0) 的图象经过A,B两点，则关于x 的不等式kx+b＜0的解集是（）A.m＞-1B.m＜1C.-1＜m＜1D.-1≤m≤14.直线y=-2x+m与直线y=2x-1的焦点在第四象限，则 m的取值范围是（）A.m＞-1B.m＜1C.-1＜m＜1D.-1≤m≤15.若一次函数y=(1-2m)x+m的图象经过点A( ， )和点B( ， )，当＜时，＜，且与y轴相交于正半轴，则 m的取值范围是（）A.m＞0B.m＜C.0＜m＜D. .m＞6.若函数y= 则当函数值y=8时，自变量x的值是（）A. B.4C. 或4D.4或-7.一艘轮船在同一航线上往返于甲、乙两地，已知轮船在静水中的速度为15㎞/h,水流速度为5 ㎞/h,轮船先从甲地顺水航行到乙地在乙地停留一段时间后，又从乙地逆水航行返回甲地，设轮船从甲地出发所用时间为 t(h),航行的路程s(㎞),则s与t 的函数图象大致是（）8.一次函数y=kx+b的图象如图所示，当x＜1时，y的取值范围是（）A.-2＜y＜0B. -4＜y＜0C. y＜-2D. y＜-49.将直线y=-2x向右平移2个单位所得直线的解析式为（）A.y=-2x+2B.y=-2(x+2)C.y=-2x-2D.y=-2(x-2)10.如图，小亮在操场上玩，一段时间内沿M→A→B→M的路径匀速散步，能近似刻画小亮到出发点M的距离y与x之间关系的函数图象是（）二. 填空题（每小题3分，共24分）11.将直线y=-2x+3向下平移2个单位得到的直线为。

12.在一次函数y=(2-k)x+1中,y 随x的增大而增大，则可的取值范围是。

往年奥数试题及答案高中

往年奥数试题及答案高中一、选择题1. 若函数$ f(x) = ax^2 + bx + c $在$ x = 1 $处取得极值，则下列说法正确的是：A. $ a = 0 $B. $ b = 0 $C. $ a + b + c = 0 $D. $ a + b = 0 $答案：D2. 已知数列$ \{a_n\} $满足$ a_1 = 1 $，$ a_{n+1} = 2a_n + 1 $，求$ a_3 $的值。

A. 5B. 7C. 9D. 11答案：B二、填空题3. 若$ x^2 - 4x + 4 = 0 $，则方程$ x^2 - 4x + k = 0 $的根为整数的$ k $值是______。

答案：04. 一个等差数列的前三项分别为$ 3, 7, 11 $，求该数列的第10项。

答案：37三、解答题5. 已知函数$ f(x) = x^3 - 3x + 1 $，求证：该函数在$ x = 1 $处取得极小值。

证明：首先求导数$ f'(x) = 3x^2 - 3 $。

令$ f'(x) = 0 $，解得$ x = 1 $或$ x = -1 $。

由于$ f'(x) $在$ x = 1 $处由负变正，所以$ x = 1 $是函数的极小点。

又因为$ f''(x) = 6x $，在$ x = 1 $处$ f''(x) > 0 $，所以$ x = 1 $处确实是极小值点。

6. 已知圆$ C $的方程为$ x^2 + y^2 - 6x - 8y + 24 = 0 $，求圆$ C $的半径。

解：将圆的方程化为标准形式$ (x - 3)^2 + (y - 4)^2 = r^2 $，对比系数可得圆心为$ (3, 4) $，半径$ r $为$ \sqrt{3^2 +4^2 - 24} = \sqrt{1} = 1 $。

历年高中奥数试题及答案

历年高中奥数试题及答案一、选择题1. 已知函数$ f(x) = 2x^3 - 3x^2 + x - 5 $，求$ f(2) $的值。

A. -1B. 3C. -3D. 7答案：将$ x = 2 $代入函数$ f(x) $，得到$ f(2) =2*2^3 - 3*2^2 + 2 - 5 = 16 - 12 + 2 - 5 = 1 $。

正确答案为A。

2. 一个圆的半径为5，求圆的面积。

A. 25πB. 50πC. 75πD. 100π答案：圆的面积公式为$ A = πr^2 $，代入半径$ r = 5 $，得到$ A = 25π $。

正确答案为B。

二、填空题1. 已知等差数列的首项为2，公差为3，求第10项的值。

______答案：等差数列的通项公式为$ a_n = a_1 + (n-1)d $，代入首项$ a_1 = 2 $和公差$ d = 3 $，求第10项，得到$ a_{10}= 2 + 9*3 = 29 $。

2. 如果一个三角形的三边长分别为3、4、5，那么这个三角形是______三角形。

答案：根据勾股定理，$ 3^2 + 4^2 = 5^2 $，所以这是一个直角三角形。

三、解答题1. 解不等式：$ |x - 3| < 2 $。

解答：首先将不等式分为两部分：$ x - 3 < 2 $ 和 $ -(x - 3) < 2 $。

解得 $ x < 5 $ 和 $ x > 1 $。

因此，不等式的解集是 $ 1 < x < 5 $。

2. 证明：对于任意正整数$ n $，$ 1^2 + 1 + 2^2 + 2 + ... + n^2 + n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} $。

证明：根据等差数列求和公式和等差数列平方和公式，可以证明上述等式成立。

结束语以上是一些历年高中奥数试题及答案的示例，奥数题目通常需要学生具备较强的逻辑思维能力和数学知识。

高中奥数考试题库及答案

高中奥数考试题库及答案1. 已知函数 $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1 $，求 $ f(x) $在区间 $[0, 3]$ 上的最大值和最小值。

解答：首先求出函数的导数 $ f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 $。

令$ f'(x) = 0 $，解得 $ x = 1 $ 或 $ x = 3 $。

计算 $ f(0) = 1 $，$ f(1) = 5 $，$ f(3) = 1 $。

因此，函数在区间 $[0, 3]$ 上的最大值为 5，最小值为 1。

2. 甲乙两人从相距 100 公里的两地同时出发，相向而行。

甲的速度为 5 公里/小时，乙的速度为 3 公里/小时。

问两人相遇需要多少小时？解答：设两人相遇所需时间为 $ t $ 小时，则甲乙两人在 $ t $ 小时内分别行走的距离为 $ 5t $ 公里和 $ 3t $ 公里。

由于两人相向而行，所以 $ 5t + 3t = 100 $，解得 $ t = 10 $。

因此，两人相遇需要 10 小时。

3. 一个等差数列的前三项分别为 2，6，10，求该数列的第 20 项。

解答：设等差数列的首项为 $ a_1 = 2 $，公差为 $ d = 6 - 2 = 4 $。

根据等差数列的通项公式 $ a_n = a_1 + (n - 1)d $，可得第 20 项 $ a_{20} = 2 + (20 - 1) \times 4 = 78 $。

4. 已知一个直角三角形的两直角边长分别为 3 和 4，求斜边的长度。

解答：根据勾股定理，直角三角形的斜边长度 $ c $ 满足 $ c^2= a^2 + b^2 $，其中 $ a $ 和 $ b $ 分别为两直角边的长度。

将 $ a = 3 $ 和 $ b = 4 $ 代入公式，得到 $ c^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 $，所以 $ c = 5 $。

奥赛培训资料(函数问题选讲)

数奥训练题（函数问题选讲）1. 已知二次函数a x x y +-=2的图像与x 轴的两个不同的交点到原点的距离之和不超过5，则a 的取值范围是________________________.2. 已知c b a ,,是正整数,且二次函数c bx ax y ++=2的图像与x 轴有两个不同的交点A,B. 若点A,B 到原点O 的距离都小于1,求c b a ++的最小值.3. 已知抛物线43:21+--=x x y C 和抛物线43:22+-=x x y C 交于A,B,点P 在抛物线1C 上,且位于点A,B 之间,点Q 在抛物线2C 上,也位于点A,B 之间.点Q 在抛物线2C 上，也位于点A ，B 之间.(1)求线段AB 的长(2)当PQ ∥y 轴时,求PQ 长度的最大值.4. 抛物线)0(2 a c bx ax y ++=经过点A(33-,0),B(0,3),与y 轴交于点C,且∠ACB ≥90°,设抛物线的顶点为D,在△BCD 中,边CD 上的高为h,求a 和h 的取值范围.5. 已知抛物线)0(2a c bx ax y ++=与直线4)1(2k x k y --=,无论k 取任何实数,比抛物线与直线只有一个公共点,那么抛物线的解析式是( )442.12.2..2222+-=+-=-==x x y D x x y C x x y B x y A6. 已知二次函数222n mx x y -+=(1)若此二次函数的图像经过点(1,1)且记m, n+4两数中较大者为P,试求P 的较小值.(2)若m,n 变化时,这些图像是不同的抛物线.如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的交点,则过这三个交点作圆,证明:这些圆都经过同一交点,并求出该点坐标.7. 二次函数342+-=x x y 的顶点为P,过点(47,23-)的直线AB 与抛物线相切,且直线AB 经过第一,三,四象限,与x,y 轴分别交于A,B 两点,求点P 到直线AB 的距离.8. 已知抛物线)0,0(122:221 m a m am amx ax y C +++-=的顶点为A,抛物线2C 的顶点B 在y 轴上,且抛物线1C 和2C 关于P(1,3)成中心对称.(1)当a =1时,求2C 的解析式.(2)设2C 与x 轴正半轴交于点C,当△ABC 为等腰三角形时,求a 的值.9.已知三个自然数, 且满足为质数至少中，a ，c b a ,,⎪⎩⎪⎨⎧=-+--+-++-=-+②c a b c b a ①c b a c b a 44344322442886424)8844422(443)424(2 试求c b a ,,的值.10.已知在平面直角坐标系xoy 中,直线k kx y 432-+=与x 正半轴,y 正半轴分别交于A,B. P 是线段AB 上一点,PM ⊥x 轴于M,PN ⊥y 轴于N,则矩形OMPN 的面积最大值至少为?11.若不等式52172+-+x x ax .对11≤≤-a 恒成立,则x 的取值范围是( ).32.B x A ≤≤2≤x ＜3 C.-1≤x ≤1 D.-1＜x ＜112.已知正数2009,,,210222*********≤+++x x x x x x x x x 且满足,则58x x -的最大值为__________________.。

初三奥数训练：二次函数

《二次函数易错题》练习一、填空题1.函数232y x x =+-的顶点位置不动，如果把这个图像绕着顶点旋转180°，所得，到的新图像所对应的函数解析式是2.如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴的一个交点A 在点（-2，0）和（-1，0）之间（包括这两点），顶点C 是矩形DEFG 上（包括边界和内部）的一个动点，则a 的取值范围是。

3.已知抛物线21y x kx =++的顶点在第一象限，且在直线y x =的下方，则k 的取值范围是．4.若关于x 的方程x 2-k|x|+4=0有四个不同的解，则k 的取值范围是5.若抛物线2474y x x =-+与y x b =+相交于P 、Q 两点，若PQ=2，则b 值为 .6.已知函数22)2(2a x a x y +++=的图象与x 轴有两个交点，且都在x 轴的负半轴上，则a 的取值范围是．7.要使()211y mx m x m =+-+-的值恒为负，则m 的取值范围是。

8.已知二次函数c bx ax y ++=2的图象与x 轴交于点(-2，0)，(1x ，0)，且1＜1x ＜2，与y 轴正半轴的交点在(0，2)的下方，下列结论：①0<<b a ；②02>+c a ；③04<+c a ；④012>+-b a ．其中正确结论的序号是__ _____．9.已知方程243x x mx -+=有四个不同的实数根, 则实数m 的取值范围为。

10.（2005年“卡西欧杯”全国初中数学竞赛试题）在直角坐标系中，抛物线2234y x mx m =+-（m ＞0）与x 轴交于A ，B 两点.若A ，B 两点到原点的距离分别为OA ，OB ，且满足1123OB OA -=，则m 的值等于 . 11.二次函数()2231y x m x m =-++-+的图象与x 轴的两个交点的最短距离是。

12.已知抛物线y=x 2+x+b 2经过点(a ，41-)和(-a ，y 1)，则y 1的值是 13.已知a 、b 为抛物线y ＝(x －c )(x －c －d )－2与x 轴交点的横坐标，a ＜b ，化简b c c a -+-为。

高三奥数题及答案解析

高三奥数题及答案解析一、题目：多项式函数的性质在奥数竞赛中，多项式函数是一个经常出现的主题。

掌握多项式的基本性质和解题技巧，对于提高解题效率和准确率至关重要。

本文将通过具体的例题，详细解析多项式函数的性质及其在解题中的应用。

二、题目：已知多项式 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，求：（1）$f(x)$ 的极值点；（2）$f(x)$ 的对称轴方程；（3）$f(x)$ 的零点。

解答：（1）求极值点首先，我们需要求出多项式 $f(x)$ 的一阶导数 $f'(x)$。

对 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$ 求导，得到：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$接下来，我们需要找到使得 $f'(x) = 0$ 的 $x$ 值，即极值点的横坐标。

解方程 $3x^2 - 6x + 2 = 0$，可以得到：$x^2 - 2x + \frac{2}{3} = 0$通过求解这个二次方程，我们可以得到两个解：$x_1 = 1$ 和 $x_2 =\frac{2}{3}$。

这两个值即为 $f(x)$ 的极值点的横坐标。

（2）求对称轴方程多项式函数的对称轴通常与其导数的零点有关。

在这个例子中，我们已经求得了 $f'(x) = 0$ 的解，即 $x = 1$ 和 $x = \frac{2}{3}$。

由于这是一个三次多项式，其图形是一个立方函数的图像，通常具有一个局部最大值和一个局部最小值。

在这个例子中，我们可以观察到$x = 1$ 处的导数由正变负，因此这是一个局部最大值点。

而 $x =\frac{2}{3}$ 处的导数由负变正，因此这是一个局部最小值点。

由于多项式是关于其顶点对称的，我们可以得出对称轴为 $x = 1$。

（3）求零点要求解多项式 $f(x)$ 的零点，我们需要解方程 $f(x) = 0$。

即：$x^3 - 3x^2 + 2x + 1 = 0$这是一个三次方程，解起来相对复杂。

中考奥数二次函数练习题（一）

中考奥数二次函数练习题（一）
中考奥数二次函数练习题(一)
1、二次函数y=-x2+6x+3的图象顶点为_________对称轴为________。

2、二次函数y=(x-1)(x+2)的顶点为_________,对称轴为________。

3、二次函数y=2(x+3)(x-1)的x轴的交点的个数有_______个，交点坐标为_____________。

4、y=x2-3x-4与x轴的交点坐标是________,与y轴交点坐标是_________。

5、由y=2x2和y=2x2+4x-5的顶点坐标和二次项系数可以得出y=2x2+4x-5的图象可由y=2x2的图象向__________平移________个单位，再向_______平移______个单位得到。

6、求y=2x2+x-1与x轴、y轴交点的坐标。

7、求y= x 的顶点坐标。

8、已知二次函数图象顶点坐标(-3，)且图象过点(2，)，求二次函数解析式及图象与y轴的交点坐标。

9、已知二次函数图象与x轴交点(2,0)(-1,0)与y轴交点是(0，-1)求解析式及顶点坐标。

10、分析若二次函数y=ax2+bx+c经过(1，0)且图象关于直线x= ,对称，那么图象还必定经过哪一点?。

数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题

数学竞赛专题讲座---与函数有关的奥数训练试题work Information Technology Company.2020YEAR与函数有关的中考题（奥校讲义）1．已知二次函数62++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。

2．已知抛物线2223ab abx ax y +-=不经过第三象限。

（1）求a 和b 的取值范围；（2）若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数axy -=的图象上。

求此抛物线的解析式。

3．一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。

4．ABCD 中，AB=5，AD=3，sinA=32，P 为AB 上一个动点（P 不与A、B重合），过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q 四边形QPBC 的面积为y ，求y 与x 变量x 的取值范围。

5． b 为何值时，反比例函数xy 3=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。

6．已知反比例函数x y 12=的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。

7．已知抛物线12-++=k kx x y 。

问：过A 、B 、C三点的圆与抛物线是否有第四个交点？试说明理由，如果有，求出其坐标。

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与函数有关的中考题（奥校讲义）
1．已知二次函数62
++-=x x y 的图象与x 轴交于A 、B ，C 是线段AB 的中点，M 是抛
物线上位于x 轴上方的动点，且∠AMB 为锐角，求MC 的取值范围。

2．已知抛物线2
223ab abx ax y +-=不经过第三象限。

（1）求a 和b 的取值范围；（2）
若抛物线与x 轴有交点()0,1-a ，且顶点在正比例函数ax y -=的图象上。

求此抛物线
的解析式。

3．一次函数b kx y +=的图象和某二次函数图象的两个交点A 、B 恰好在坐标轴上，对称
轴是直线1=x ，已知B ()3,0-，AB 23=，求这两个函数的解析式。

4．
中，AB=5，AD=3，sinA=
32
，P 为AB 上一个动点（
P 不与
A 、
B 重合），过P 作PQ ∥AD 交BD 于Q ，设AP 的长为x ，四边形QPB
C 的面积为y ，求y 与x 的函数关系式及自变量x 的取值范围。

5． b 为何值时，反比例函数x
y 3
=的图象与一次函数 b x y +-=2的图象只有一个交点。

6．已知反比例函数x
y 12
=
的图象与一次函数7-=kx y 的图象都经过P ()2,m 。

7．已知抛物线12
-++=k kx x y 。

（1）求证：无论k 为什么实数，抛物线恒经过x 轴上
一定点；（2）设抛物线与y 轴交于C 点，与x 轴交于A ()0,1x 、B ()0,2x 两点，且满足
6,,2121=<<∆ABC S x x x x 。

问：过A 、B 、C 三点的圆与抛物线是否有第四个交点？
试说明理由，如果有，求出其坐标。

8．如图：已知一次函数13
3
+=
x y 的图象与x 轴、y 轴分别交于A 、B 两点，以AB 为边在第一象限作一正三角形ABC ，⊙O ，
为ΔABC 的外接圆，与x 轴交于点D 。

（1）求C 点的坐标；求过
D 、O ，
、A 三点的二次函数的解析式，并求该函数的最值。

9．如图：抛物线c x ax y +-=32
交x 轴正方向于A 、B 两点，
交y 轴正方向于C 点。

过A 、B 、C 三点作⊙D ，若⊙D 与y 轴相
切。

（1）求c a ,满足的关系式；（2）设∠ACB=α，求tan α；
（3）设抛物线顶点为P ，判断直线PA 与⊙D
10．如图：矩形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴的正半轴上，A 、
D
在抛物线x x y 3
8
322+-
=上，矩形的顶点均为动点，且矩形在抛物线与x 轴围成的区域里。

（1）设点A 的坐标为()y x ,，试
求矩形的周长p 关于变量x 的函数的解析式，并写出x 的取值范围；（2）是否存在这样的矩形ABCD ，它的周长p=9？试证明你的结论。

11．如图：已知抛物线()()()113<+---=m m x x y ，x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），与y 轴交于点C 。

（！）写出A 、B 、C 各点的坐标（可用含m 的式子表示）；（2）若ΔABC 的面积为15，求此抛物线的解析式。

（3）过点E ()2,0-作ED ∥AC ，在第一象限交抛物线于点D
求ED 的函数的解析式，问四边形AEDC 的形状并求其面积，证明你的结论。

12． 12．如图：已知抛物线m x x y -+-=
622
和直线m x y ++-=62，它们的一个交点
的纵坐标为4。

（1）求此抛物线和直线的解析式。

（2）如果直线()0>=k kx y 与（1）中的抛物线交于 A 、B 两个不同的点，和（1）中的直线交于点P ，分别
过A 、B 、P 作x 轴的垂线，垂足为A ，、B ，、P ，
，证明：
'''211OP
OB OA =+；（3）在（2）中能否选取适当的 k 的值，使得8'
'=+BB AA ，如果能，求此时的k 值；
如果不能，请说明理由。

13.已知m 是大于2的整数，设抛物线()()52114
1
2-+---=
m x m x m y 与x 轴有两个交点，与y 轴交于A 点；直线()k x m y +-=22经过抛物线的顶点M ，并与抛物线交于B 点（此时21y y =），与y 轴交于C 点。

（1）求1y 和2y 的解析式；（2）求证：y 轴与ABM 的外接圆切于A ；
（2）若ΔABM 的外接圆是⊙N ，过C 作⊙N 的切线（切点为T ）交x 轴于S ，连接NS ，
求证NS 2 = ST ·SC 。

14．如图：抛物线c bx ax y ++=2
的顶点为P ，与x 轴交于M 、N 两点（M 在N 的左边），ΔPMN 的三个内角∠P 、∠M 、∠N 所对的边是,,,n m p 且
.n m =若关于x 的方程()()022=+++-m p nx x m p
有两个相等的实根。

（！）试判定ΔPMN 的形状；（2）当顶点P 的坐标为（2，-1）
（3）设抛物线与y 轴交于Q 点，求证：直线
1-=x y 将四边形MPNQ
15．已知：c b a ,,是ΔABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，抛物线2
22b ax x y +-=交x 轴于两点M 、N ，y 轴交于点P ，其中点M 的坐标是()0,c a +。

（1）求证：ΔABC 是直角三角形；
（2）若ΔMNP 的面积是ΔNOP 的面积的3倍，①求cosC 的值；②试判断ΔABC 的三
边长能否取一组适当的值，使以MN 为直径的圆心恰好是抛物线2
2
2b ax x y +-=的顶点？如能，求出这组值；如不能，说明理由。

16．已知在x 轴的正半轴上有A 点，在y 轴的正半轴上有B 、C 两点，且B 在C 的下方，
BC
的长为2，把过A 、B 、C 三点的圆记为⊙Q ，∠BAC =∠α。

（1）试判断x 轴与⊙Q 的位置关系；若在x 轴的的正半轴上有P 点，且P 与A 不重合，再判断∠α与∠BPC 的大小（不需证明）；（2）若B 点的坐标为（0，1）指出当x 轴与⊙Q 为何关系时，
∠
α最大？求出当∠α
最大时，A 点的坐标；（3）如图，，若⊙Q 与x 轴交于A 、D 两点，弦AD 分⊙Q 所成的劣弧与优弧的长度之比为1∶3，且Q 点在直线
2-=x y 上，求过Q 、A 、D 三点的抛物线的解析式；
（4）在（3）中的抛物线上是否存在点E ，使S ΔEAD ∶S ΔAQC = 15∶4？若存在，求出E 点的坐标；若不存在，请说明理由。

17．若关于x 的一元二次方程()0209132
2=+-++-m m x m x 有两个实数根，又知c b a ,,分别是ΔABC 的∠A 、∠B 、∠C 的对边，∠C=90。

，且cosB =
3,5
3
=-a b 。

是否存在整数m ，使上述的一元二次方程两个实数根的平方和等于Rt ΔABC 的斜边c 的平方？若存在，请求出满足条件的m 的值；若不存在，请说明理由。