二三章剪切与扭转.

g CC rdj
AC dx
g CC rdj
AC dx
g
GG EG
dj
dx
# 根据应力应变 关系，即剪切虎 克定律
Gg
G
dj
dx
再根据静力学关系
A dA T
A dA
G 2 dj dA T
A
dx
dj
G
2dA T
dx A
令
Ip
2dA
A
是一个只决定于横截面的形状和大小的几何量，称 为横截面对形心的极惯性矩。
Wt 16
空心圆截面
Wt
D3
16
1 4
4、扭转轴内最大剪应力
d
D
对于等截面轴，扭转 轴内最大剪应力发生 在扭矩最大的截面的 圆周上
max
Tmax Wt
5、扭转强度条件
max
Tmax Wt
6、强度条件的应用
max
Tmax Wt
（1）校核强度
max
Tmax Wt
（2）设计截面
Tmax 702N m
(3) 强度校核
max
Tmax WT
702 0.2 0.045 3
38.8 106 Pa
38.8MPa [ ] 40MPa
(4) 刚度校核:
满足强度条件.
max
Tmax GI p
180
80 109
702 0.1 0.0454
180 3.14
1.23 m 2 m [ ]
[]=40MPa,G=80×103MPa, = 1º/m。
（1）计算扭矩
马达的功率通过传动轴传递给两个车轮，故每个 车轮所消耗的功率为
N k轮
Nk 2
3.7 2
1.85k W
轴CD各截面上的扭矩等于车轮所受的外力偶 矩T轮，则
T
T轮
9550
N k轮 n
9550 1.85 32.6
543N•m
（2） 计算轴的直径
dj
G
2dA T
dx A
I p
2dA
A
dj T
dx GI P
j l T dx 0 GI p
扭转角
j Tl
GI p
G
dj
dx
G
T GI p
T Ip
G
dj
dx
G
T GI p
T Ip
• 横截面上某点的剪应力 Mn
的方向与扭矩方向相同，
并垂直于该点与圆心的
τ
连线
• 剪应力的大小与其和圆
4
80 1000
162
99.5MPa
2-2 挤压强度的工程计算
1、关于挤压现象
一般来讲，承受剪切的构件在发生剪 切变形的同时都伴随有挤压
挤压破坏的特点是：在构件相互接触 的表面，因承受了较大的压力，是接 触处的局部区域发生显著的塑性变形 或挤碎
作用于接触面的压力称为挤压力
挤压力的作用面称为挤压面 在挤压力作用下接触面的变形称为挤压变形
左右两段
P/2
剪切力为P/2
剪切面面
P/2
积单倍
结论：无论用中间段还是左右段分析，结果是一样的。
例2-1 图示拉杆，用四个直径相同的铆钉连接，校核铆钉和拉 杆的剪切强度。假设拉杆与铆钉的材料相同，已知P=80KN， b=80mm，t=10mm，d=16mm，[τ]=100MPa，[σ]=160MPa。
直角将发生微小的改变，这个
g
改变量g 称为剪应变。
当剪应力不超过材料的剪切比例极限时，剪应力 与剪应变之间成正比关系，这个关系称为剪切虎克 定律。
Gg
剪切弹性模量
3-5 扭转剪应力的计算、扭转强度条件
1、扭转剪应力在横截面上的分布规律
在圆周中取出 一个楔形体放 大后见图（b）
# 根据几何 关系，有
m
Mn
MX 0 Mn m 0
Mn m
3、扭矩正负号的规定 确定扭矩方向的右手法则：
4个手指沿扭矩转动的方向，大拇指即为扭矩的方向 扭矩正负号：
离开截面为正，指向截面为负
外力偶矩正负号的规定
指向截面
和所有外力的规定一样， 与坐标轴同向为正，反向为负
离开截面
例3-1 传动轴如图所示，转速 n = 500转/分钟，主动轮B输入功
TB
TC
TA
TD
B
C
955N·m
A
477.5N·m
Tn
637N·m
计算外力偶矩
D
TA
9550N A n
1592N
•
m
TB
TC
N 9550
B
n
477.5N
•m
TD
9550N D n
637N
•m
作扭矩图 Tnmax=955N·m
3-4 薄壁圆筒的扭转
1、薄壁圆筒扭转时的应力
观察一个实验 将一薄壁圆筒表面用纵向平行 线和圆周线划分
m
转速：n (转/分)
1分钟输入功： 1分钟m 作功：
W W'
W 60N1000 60000 N
W m m 2n1 2nm
m 9550 N Nm 单位
n
3-3 扭矩的计算、扭矩图
1、扭矩的概念
扭转变形的杆往往称之为扭转轴
扭转轴的内力称为扭矩
2、扭矩利用截面法、并建立平衡方程得到
m
m
x
计算扭矩：
mA
x
Mn1
MX 0
MX 0
M n1 mA 0
Mn2
mc
AB段 BC段
Mn1设为正的 Mn2设为正的
M n1 mA 76.4 Nm
M n2 114.6 Nm
4、扭矩图 将扭转轴的扭矩沿截面的分布用图形表示
例3-2 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，画出该轴扭矩图。
故满足刚度条件
许用剪应力
其中，F 为剪切力——剪切面上内力的合力
A 为剪切面面积
可见，该实用计算方法认为剪切 剪应力在剪切面上是均匀分布的。
受剪切螺栓剪切面面积的计算：
A d 2
4
受剪切单键剪切面面积计算：
取单键下半部分进行分析
假设单键长宽高分别为 l b h
则受剪切单键剪切面面积：
剪切面
A bl
剪切力
max
Tnmax Wp
16Tnmax d 3
[]
3
d
16Tnmax
49.5mm
[]
选：d = 50 mm
例3-4 某牌号汽车主传动轴，传递最大扭矩T=1930N·m, 传动轴用外径D=89mm、壁厚=2.5mm的钢管做成。材 料为20号钢，[]=70MPa.校核此轴的强度。
（1）计算抗扭截面模量
两端施以大小相等方向相反 一对力偶矩
观察到：
# 圆周线大小形状不变，各圆周线间距离不变
# 纵向平行线仍然保持为直线且相互平行，只 是倾斜了一个角度
结果说明横截面上没有正应力
采用截面法将圆筒截开，横截面上 有扭矩存在，说明横截面上分布有 与截面平行的应力、即存在剪应力
由于壁很薄，可以假设剪应力 沿壁厚均匀分布
由强度条件得
T
WT [ ]
0.2d 3 T
[ ]
T
543
d 3 0.2[ ] 3 0.2 40106 0.0407m 4.07cm
选取轴的直径 d=4.5cm。
（3）校核轴的刚度
T GI p
180
80 109
543 0.1 0.0454
180 3.14
0.945
m
[ ] 1
m
d 0.945
D
WT 0.2D3 (1 4 ) 0.2 8.93 (1 0.9454 ) 29cm3
（2） 强度校核
max
T WT
1930 29106
66.7 106 Pa
66.7MPa [ ] 70MPa
满足强度要求
3-6 扭转变形、扭转刚度条件
1、扭转变形——扭转角
d
l h b
合力 外力
螺栓和单键剪应力及强度计算：
螺栓
4F
d 2
4P
d 2
单键 设合外力为P 剪切力为Q Q P
则剪应力为：
Q P
bl bl
单剪切与双剪切
单剪切
P P
Fra Baidu bibliotek
前面讨论的都是单剪切现象
双剪切 出现两个剪切面
P/2 P/2 P
剪切力为P
中间段 P/2
P/2 剪切面面
积2倍
P
j Tl
GI p
抗扭刚度
为了描述扭转变形的剧烈程 度，引入单位长度扭转角的
j T
概念
l GI p
单位 rad / m 或 / m
2、扭转刚度条件 以每米弧度为单位时
T
GI p
许用单位长度扭转角
以每米度为单位时 T 180
GI p
例3—4 5吨单梁吊车，NK=3.7kW,n=32.6r/min.试选择传动轴 CD的直径，并校核其扭转刚度。轴用45号钢，
τ
心的距离成正比
注意：如果横截面是空心圆，剪应力分布规律一 样适用，但是，空心部分没有应力存在。
2、扭转剪应力的计算 T
圆截面上任意一点剪应力
ρ
T Ip
m
Ip
极惯性矩
圆截面上最大剪应力
R 剪应力具有最大值
m
T Ip
R
定义：Wt
Ip R
称之为抗扭截面模量
m
T Wt
3、抗扭截面模量
实心圆截面
d 3
铆钉或螺栓连接
挤压面为上半个 挤压面为下半个圆周面 圆周面
键连接
上半部分挤压面
l
h 2
下半部分挤压面
1、挤压强度的工程计算
由挤压力引起的应力称为挤压应力 bs
与剪切应力的分布一样，挤压应力的分布
也非常复杂，工程上往往采取实用计算的
办法，一般假设挤压应力平均分布在挤压
面上
挤压力
bs
P Abs
单键连接的受力分析
花键连接
2-2 剪切强度的工程计算
以螺栓为例
剪切面
P
F
P x
P
将螺栓从剪切面截开，由力的平衡，有： X 0
F P 0
FP
F 为剪切内力，即剪应力在剪切面上的合力，我们称之为剪力
剪应力在剪切面上的分布情况是非常复杂的
工程上往往采用实用计算的方法
F
A
上式称为剪切强度条件
bs
许用挤压应力 挤压面面积
关于挤压面面积的确定
键连接
l h b
Abs l h 2
铆钉或螺栓连接
挤压力 分布
d
h
Abs d h
剪切与挤压的主要区别
剪切面与外力平行 挤压面与外力垂直
剪切应力为剪应力 挤压应力为正应力
剪切面计算
挤压面计算
铆钉与螺栓 A 1 d 2
4
键
A bl
Abs d h Abs l h 2
包括横截面取出一个单元体
各个截面上只有剪应力没有正应力的情况称为纯剪切
将（d）图投影到铅垂坐标平面，得到一个平面单元
2、剪应力互等定理
由静力平衡条件的合力矩
方程可以得到
'
两互相垂直截面上在其相交处的剪应力成 对存在，且数值相等、符号相反，这称为剪 应力互等定理。
3 、剪切虎克定律
在剪应力的作用下，单元体的
构件受力和变形分析：
假设下板具有足够
d
的强度不予考虑
b
P
拉杆危险截面
上杆（蓝杆）受拉
t
P
最大拉力为 P 位置在右边第一个铆钉处。
拉杆强度计算：
N A
P
b d t
80 1000
80 1610
125MPa
铆钉受剪切 工程上认为各个铆钉平均受力 剪切力为 P/4
铆钉强度计算:
4Q
d 2
4P /
d 2
例3—5 一传动轴，已知d=45cm,n=300r/min。主动轮输入功率
NA=367kW,从动轮B、C、D输出的功率NB=147kw,NC=ND=11kW。轴的材料
为45号钢，G=80103MPa，=40MPa,=2/m，试校核轴的强度和刚度。
(1) 计算外力偶矩
TA
9550 N A n
9550
率NB= 10KW，A、C为从动轮，输出功率分别为 NA= 4KW ，
NC= 6KW，试计算该轴的扭矩。
先计算外力偶矩
A
B
C x
mA
9550
NA n
9550 4 500
76.4Nm
mB
9550
NB n
9550 10 500
191Nm
mC
9550 NC n
9550 6 500
114.6 Nm
第三章
扭转
本单元主要内容
# 扭转变形的特点 # 外力偶矩的计算 # 扭矩的计算 # 扭转剪应力的计算
3-1 扭转变形的特点
Mn A'
g
A
Mn
B
x
j
B'
圆截面杆受到一对大小相等、方向相反的力偶矩作用
力偶矩方向沿圆杆的轴线
横截面仍为平面，形状不变，只是绕轴线发生相对转 动
3-2 外力偶矩的计算
输入功率：N(kW)
Wt
Tmax
（3）确定载荷
Tmax Wt
举例
例3-3 已知A轮输入功率为65kW，B、C、D轮输出功率分别为 15、30、20kW，轴的转速为300r/min，试设计该轴直径d。
TB
TC
TA
TD
B
C
D A
955N·m
477.5N·m
Tn
637N·m
Tnmax=955N·m
由强度条件设计轴直径：
第二章
剪切与挤压
本单元主要讨论：
键连结和铆钉连 接件应力计算
2-1 剪切问题
1、剪切变形的特点
外力与连接件轴线垂直 连接件横截面发生错位 我们将错位横截面称为剪切面
2、受剪切构件的主要类型
一、铆钉类
铆钉连接
螺栓连接
螺栓受力情况
受剪切面为两组力分界面
P
P
内力外力要平衡
二、键类
F M d
单键连接
36.7 300
1170N m
TB
9550 N B n
9550 14.7 300
468N m
TC
TD
9550 NC n
9550 11 300
351N m
(2) 画扭矩图,求最大扭矩 用截面法求得AB.AC.CD各段的扭矩分别为:
T1 TB 468N m T2 TA TB 1170 468 702N m T3 TA TB TC 1170 468 351 351N m