特殊分式方程的几种特殊解法

特殊分式方程的几种特殊解法

解分式方程最常用的方法是去分母法，把分式方程化为整式方程，以之求解的过程，但在一些具体方程中，若用去分母的方法，其未知数的次数会增大，运算复杂，计算量加大，易出现错误，因此要善于观察具体方程的特点，对一些特殊分式方程，采用特殊方法，会简化解题过程。

一. 比例法

例1. 解方程

x x a b a b

b -+=-+≠110() 分式：观察方程，形如：A B D C =的形式，可根据比例“两外项之积等于两内项之积”而直接求解。

解：原方程化为

()()()()x a b a b x -+=-+11

整理得22bx a =

Θb x a b ≠∴=

0，

例2. 解方程：23313222

--=-+x x x x 解：原方程化为

()()()()23223231-+=--x x x x

整理得137x =，

∴=x 713

经检验x =

713是原方程的根。

二. 换元法

例3. 解方程

y y y y -+-+-=32483

0 分析：本题若移项，形如A B D C

=，如果用比例法则去分母后方程变为324702y y ++=，对一元二次方程我们还不能求解。因此，经观察发现483423y y y y +-=⋅+-，其中y y +-23与y y -+32

互为倒数关系，可利用换元法简便求解。 解：设y y A -+=32，则原方程变形为

A A

-

=40 整理得A 24= ∴=±A 2

当A =2时，

y y -+=32

2，解得y 17=-； 当A =-2时，y y -+=-332，解得y 213

=- 经检验，y y 12713=-=-，都是原方程的解。

例4. 解方程组

32511442x y x y y x x y --+=--+=-⎧⎨⎪⎪⎩⎪⎪()()

分析：方程（1），（2）中都含有

11x y x y -+，，因此可运用换元法， 设11x y a x y

b +=-=， 则方程组变形为

32544b a b a -=+=⎧⎨⎩

解这个二元一次方程组，求出a 、b 的值，代入

11x y x y

+-和中，即可解出x ，y 的值。

三. 倒数法 例5. 已知：x x x x

+

=+=1212122，求____________。 分析：已知条件中，x ，1x 互为倒数212212=+，其中212，互为倒数关系，利用此关系，可有下面解法。

解：x x +

=+1212

， ∴==∴+=+=x x x x 212141441422，或

例6. 解方程：21323221174

x x x x -+++-= 分析：方程的左边两项为倒数之和，因此可用倒数法简化求解，

设

213232211x x y x x y

-+=+-=，则 解：原方程变形为y y +=+1414

∴==y y 414

或 当y =4时，则2132

4x x -+=， 解之得x 1910

=- 当y x x =-+=14213214

时，则， 解之得x 265

= 经检验x x 1291065=-=，是原方程的根。