高中数学简单几何体的表面积与体积考点及例题讲解

简单几何体的表面积与体积
考纲解读 1.结合三视图求几何体的表面积与体积；2.利用几何体的线面关系求表面积和体积；3.求常见组合体的表面积或体积．
[基础梳理]
1．多面体的表面积与侧面积
多面体的各个面都是平面，则多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．旋转体的表面积与侧面积
名称
侧面积 表面积 圆柱(底面半径r ，母线长l ) 2πrl 2πr (l ＋r ) 圆锥(底面半径r ，母线长l ) πrl πr (l ＋r ) 圆台(上、下底面半径r 1，r 2，母线长l )
π(r 1＋r 2)l
π(r 1＋r 2)l ＋
π(r 21＋r 22
) 球(半径为R )
4πR 2
3.空间几何体的体积(h 为高，S 为下底面积，S ′为上底面积) (1)V 柱体＝Sh .特别地，V 圆柱＝πr 2h (r 为底面半径)． (2)V 锥体＝13Sh .特别地，V 圆锥＝1
3
πr 2h (r 为底面半径)．
(3)V 台体＝13h (S ＋SS ′＋S ′)．特别地，V 圆台＝1
3πh (r 2＋rr ′＋r ′2)(r ，r ′分别为上、下
底面半径)．
(4)V 球＝4
3πR 3(球半径是R )．
[三基自测]
1．正六棱柱的高为6，底面边长为4，则它的表面积为( ) A ．48(3＋3) B ．48(3＋23) C ．24(6＋2) D ．144
答案：A
2．如图，将一个长方体用过相邻三条棱的中点的平面截出一个棱锥，则该棱锥的体积与剩下的几何体体积的比为________．
答案：1∶47
3．一直角三角形的三边长分别为6 cm,8 cm,10 cm ，绕斜边旋转一周所得几何体的表面积为________．
答案：336
5
π cm 2
4．(必修2·1.3A 组改编)球内接正方体的棱长为1，则球的表面积为________． 答案：3π
5．(2017·高考全国卷Ⅰ改编)所有棱长都为2的三棱锥的体积为________． 答案：223
考点一 几何体的表面积与侧面积|易错突破
[例1] (1)(2018·九江模拟)如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为( )
A ．6＋42＋23
B ．8＋42
C ．6＋6 2
D ．6＋22＋43
(2)某品牌香水瓶的三视图如图(单位：cm)，则该几何体的表面积为( )
A.⎝
⎛⎭⎫95－π
2cm 2 B.⎝
⎛⎭⎫94－π
2cm 2 C.⎝
⎛⎭⎫94＋π
2cm 2 D.⎝
⎛⎭⎫95＋π
2cm 2 (3)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为________．
[解析] (1)直观图是四棱锥P ABCD ，如图所示，S △P AB ＝S △P AD ＝S △PDC ＝1
2×2×2＝2，
S △PBC ＝1
2×22×22×sin 60°＝23，S 四边形ABCD ＝22×2＝42，故此棱锥的表面积为6＋
42＋23，故选A.
(2)该几何体的上下为长方体，中间为圆柱． S 表面积＝S 下长方体＋S 上长方体＋S 圆柱侧－2S 圆柱底
＝2×4×4＋4×4×2＋2×3×3＋4×3×1＋2π×12×1－2×π⎝⎛⎭⎫122＝94＋π2(cm 2)． (3)由三视图可知，该几何体是一个长方体内挖去一个圆柱体，如图所示．
长方体的长、宽、高分别为4,3,1，
表面积为4×3×2＋3×1×2＋4×1×2＝38， 圆柱的底面圆直径为2，母线长为1， 侧面积为2π×1＝2π，
圆柱的两个底面面积和为2×π×12＝2π. 故该几何体的表面积为38＋2π－2π＝38. [答案] (1)A (2)C (3)38 [易错提醒]
1．以三视图为载体的几何体的表面积或侧面积问题，要分清三视图中的量是否为各表面计算面积所用的量．
2．几何体切、割后的图形的表面，不一定是减少，甚至可能增加．
3．组合体的表面积，要注意衔接部分分散在哪个面中来计算．
[纠错训练]
1．已知某斜三棱柱的三视图如图所示，求该斜三棱柱的表面积．
解析：由题意知，斜三棱柱的直观图如图中ABC A 1B 1C 1所示．易知正方体的棱长为2.斜三棱柱的两个底面积的和为2S △ABC ＝2×1
2×AB ×AC ＝2，侧面ABB 1A 1的面积S 侧面
ABB 1A 1＝2×1＝2，侧面ACC 1A 1为矩形，S 侧面ACC 1A 1＝AA 1·AC ＝25，侧面BCC 1B 1是边长为5的菱形，连接CB 1、BC 1，易得CB 1＝23，BC 1＝22，且CB 1⊥BC 1，所以S 侧面BCC 1B 1＝12CB 1·BC 1＝1
2×23×22＝26，所以斜三棱柱ABC A 1B 1C 1的表面积为4＋2(5
＋6)．
2．(2016·高考全国卷Ⅰ)如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是28π
3
，求它的表面积．
解析：该几何体是一个球体挖掉1
8
剩下的部分，如图所示，
依题意得78×43πR 3＝28π
3
，解得R ＝2，
所以该几何体的表面积为4π×22×78＋3
4π×22＝17π.
考点二 空间几何体的体积|方法突破
[例2] (1)(2017·高考全国卷Ⅱ)
如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为( )
A ．90π
B ．63π
C ．42π
D ．36π
(2)正三棱柱ABC A 1B 1C 1的底面边长为2，侧棱长为3，D 为BC 中点，则三棱锥C 1B 1DA 的体积为( )
A ．3 B.32 C ．1
D.32
(3)(2017·高考山东卷)由一个长方体和两个1
4圆柱体构成的几何体的三视图如下，则该几
何体的体积为________．
[解析] (1)法一：由题意知，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，故其体积V ＝π×32×10－1
2
×π×32×6＝63π.
法二：依题意，该几何体由底面半径为3，高为10的圆柱截去底面半径为3，高为6的圆柱的一半所得，其体积等价于底面半径为3，高为7的圆柱的体积，所以它的体积V ＝π×32×7＝63π，选择B.
(2) 在正△ABC 中，D 为BC 中点， 则有AD ＝
3
2
AB ＝3， S △DB 1C 1＝1
2
×2×3＝ 3.
又∵平面BB 1C 1C ⊥平面ABC ，AD ⊥BC ，AD ⊂平面ABC ，∴AD ⊥平面BB 1C 1C ，即AD 为三棱锥A B 1DC 1底面上的高．
∴VC 1B 1DA ＝VA C 1B 1D ＝13S △DB 1C 1·AD ＝1
3
×3×3＝1.
(3)该几何体由一个长、宽、高分别为2,1,1的长方体和两个底面半径为1，高为1的四分之一圆柱体构成，
∴V ＝2×1×1＋2×14×π×12×1＝2＋π
2.
[答案] (1)B (2)C (3)2＋π
2
[方法提升]
求几何体的体积的方法 方法
解读
适合题型 直接法
对于规则几何体，直接利用公式计算即可．若已知三视图
求体积，应注意三视图中的垂直关系在几何体中的位置，确定几何体中的线面垂直等关系，进而利用公式求解 规则 几何体
割补法
当一个几何体的形状不规则时，常通过分割或者补形的手
段将此几何体变为一个或几个规则的、体积易求的几何体，然后再计算．经常考虑将三棱锥还原为三棱柱或长方体，将三棱柱还原为平行六面体，将台体还原为锥体
不规则 几何体 等积转换法 利用三棱锥的“等积性”可以把任一个面作为三棱锥的底面．求体积时，可选择“容易计算”的方式来计算
三棱锥
[跟踪训练]
1．(2018·大连双基检测)如图，在边长为1的正方形网格中用粗线画出了某个多面体的三视图，则该多面体的体积为( )
A ．15
B ．13
C ．12
D ．9
解析：几何体的直观图如图所示，其中底面ABCD 是一个矩形(其中AB ＝5，BC ＝2)，棱EF ∥底面ABCD ，且EF ＝3，直线EF 到底面ABCD 的距离是3.连接EB ，EC ，则题中的多面体
的体积等于四棱锥E ­ABCD 与三棱锥E ­FBC 的体积之和，而四棱锥E ­ABCD 的体积等于
1
3×(5×2)×3＝10，三棱锥E ­FBC 的体积等于13×⎝⎛⎭⎫1
2×3×3×2＝3，因此题中的多面体的体积等于10＋3＝13，选B.
答案：B
2．如图所示(单位：cm)，则图中的阴影部分绕AB 所在直线旋转一周所形成的几何体的体积为________．
解析：由题图中数据，根据圆台和球的体积公式，得 V
圆台
＝13×(π×AD 2＋π×AD 2×π×BC 2＋π×BC 2)×AB ＝1
3
×π×(AD 2＋AD ×BC ＋BC 2)×AB
＝1
3
×π×(22＋2×5＋52)×4＝52π(cm 3)， V 半球＝43π×AD 3×12＝43π×23×12＝16
3
π(cm 3)，所以旋转所形成几何体的体积V ＝V 圆台－V
半球
＝52π－163π＝140
3π(cm 3)．
答案：140
3
π(cm 3)
考点三 有关球的组合体及面积、体积最值问题|思维突破
[例3] (1)已知正六棱柱的12个顶点都在一个半径为3的球面上，当正六棱柱的体积
取最大值时，其高的值为( )
A ．33 B.3 C ．2 6
D ．23
(2)(2017·高考全国卷Ⅰ)已知三棱锥S ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，SC 是球O 的直径．若平面SCA ⊥平面SCB ，SA ＝AC ，SB ＝BC ，三棱锥S ABC 的体积为9，则球O 的表面积为________．
(3)正四棱柱ABCD A 1B 1C 1D 1的各顶点都在半径为R 的球面上，则正四棱柱的侧面积有最________值，为________．
[解析] (1)设正六棱柱的底面边长为a ，高为h ，则可得a 2
＋h 24＝9，即a 2
＝9－h 2
4
，那
么正六棱柱的体积V ＝⎝
⎛⎭⎫6×34a 2×h ＝332(9－h 24)h ＝332(－h 34＋9h )． 令y ＝h 34＋9h ，∴y ′＝－3h 2
4＋9.
令y ′＝0，∴h ＝2 3.
易知当h ＝23时，正六棱柱的体积最大，故选D.
(2)设球O 的半径为R ，∵SC 为球O 的直径，∴点O 为SC 的中点，连接AO ，OB (图略)，∵SA ＝AC ，SB ＝BC ，∴AO ⊥SC ，BO ⊥SC ，∵平面SCA ⊥平面SCB ，平面SCA ∩平面SCB ＝SC ，∴AO ⊥平面SCB ，∴V S
ABC ＝V A
SBC ＝13×S △SBC
×AO ＝13×(1
2
×SC ×OB )×AO ，即9＝13×(1
2
×2R ×R )×R ，解得R ＝3，∴球O 的表面积为S ＝4πR 2＝4π×32＝36π.
(3)如图，截面图为长方形ACC 1A 1和其外接圆．球心为EE 1的中点O ， 则R ＝OA .设正四棱柱的侧棱长为b ，底面边长为a ，则AC ＝2a ，AE ＝22a ，OE ＝b
2
，R 2＝⎝⎛
⎭⎫22a 2＋⎝⎛⎭
⎫b 22
， ∴4R 2＝2a 2＋b 2，则正四棱柱的侧面积： S ＝4ab ＝2·2
a ·2
b ≤2(a 2＋2b 2)＝42R 2，
故侧面积有最大值，为42R 2，当且仅当a ＝2b 时等号成立． [答案] (1)D (2)36π (3)大 42R 2 [思维升华]
1．求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．
2．解决几何体最值问题的方法 方法
解读
适合题型
基本不等式法
根据条件建立两个变量的和或积为定值，然后利用基本不等式求体积的最值
(1)求棱长或高为定值的几何体的体积或
表面积的最值；
(2)求表面积一定的空间几何体的体积最大值和求体积一定的空间几何体的表面积的最小值
函数法
通过建立相关函数式，将所求的
组合体中的最值问题
最值问题转化为函数的最值问题求解，此法应用最为广泛
几何法 由图形的特殊位置确定最值，如垂直
图形位置变化中的最值
[跟踪训练]
(2015·高考全国卷Ⅱ)已知A ，B 是球O 的球面上两点，∠AOB ＝90°，C 为该球面上的动点．若三棱锥O ABC 体积的最大值为36，则球O 的表面积为( )
A ．36π
B ．64π
C ．144π
D ．256π
解析：△AOB 的面积为定值，当OC 垂直于平面AOB 时，三棱锥O ABC 的体积取得最大值．由1
6
R 3＝36得R ＝6.从而球O 的表面积S ＝4πR 2＝144π.故选C.
答案：C
1.[考点二](2017·高考全国卷Ⅲ)已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为( )
A ．π B.3π4 C.π2
D.π4
解析：球心到圆柱的底面的距离为圆柱高的1
2，球的半径为1，则圆柱底面圆的半径r
＝
1－(12)2＝32，故该圆柱的体积V ＝π×(32)2×1＝3π
4，故选B.
答案：B
2.[考点一](2016·高考全国卷Ⅱ)如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A ．20π
B ．24π
C ．28π
D ．32π
解析：由三视图知圆锥的高为23，底面半径为2，则圆锥的母线长为4，所以圆锥的侧面积为1
2×4π×4＝8π.圆柱的底面积为4π，圆柱的侧面积为4×4π＝16π，从而该几何体的
表面积为8π＋16π＋4π＝28π，故选C.
答案：C
3.[考点二](2015·高考全国卷Ⅰ)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺．问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米约有( )
A ．14斛
B ．22斛
C ．36斛
D ．66斛
解析：设圆锥底面的半径为R 尺，由14×2πR ＝8得R ＝16π，从而米堆的体积V ＝14×1
3πR 2×5
＝16×203π(立方尺)，因此堆放的米约有16×20
3×1.62×3
≈22(斛)．故选B.
答案：B
4.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅱ)长方体的长、宽、高分别为3,2,1，其顶点都在球O 的球面上，则球O 的表面积为________．
解析：依题意得，长方体的体对角线长为32＋22＋12＝14，记长方体的外接球的半径为R ，则有2R ＝14，R ＝
14
2
，因此球O 的表面积等于4πR 2＝14π.
答案：14π
5.[考点一、三](2017·高考全国卷Ⅰ改编)如图，圆形纸片的圆心为O ，
半径为5 cm ，该纸片上的等边三角形ABC 的中心为O .D ，E ，F 为圆O
上的点，△DBC ，△ECA ，△F AB 分别是以BC ，CA ，AB 为底边的等腰三
角形．沿虚线剪开后，分别以BC ，CA ，AB 为折痕折起△DBC ，△ECA ，△F AB ，使得D ，E ，F 重合，得到三棱锥．当△ABC 的边长变化时，求所得三棱锥体积(单位：cm 3)的最大值．
解析：法一：由题意可知，折起后所得三棱锥为正三棱锥，当△ABC 的边长变化时，设△ABC 的边长为a (a >0)cm ，则△ABC 的面积为34a 2，△DBC 的高为5－36a ，则正三棱锥的高为⎝⎛⎭⎫5－36a 2－⎝⎛⎭⎫36a 2＝25－533a ， ∴25－
533a >0，∴0<a <53，∴所得三棱锥的体积V ＝13×34a 2×25－533a ＝312×25a 4－533a 5.令t ＝25a 4－533a 5，则t ′＝100a 3－2533
a 4，由t ′＝0，得a ＝43，此时所得三棱锥的体积最大，为415 cm 3.
法二：如图，连接OD 交BC 于点G ，由题意知，OD ⊥BC .易得OG ＝3
6
BC ，∴OG 的长度与BC 的长度成正比．设OG ＝x ，则BC ＝23x ，DG ＝5
－x ，S △ABC ＝23x ·3x ·12＝33x 2，则所得三棱锥的体积V ＝13
×33x 2×(5－x )2－x 2＝3x 2×25－10x ＝3×25x 4－10x 5.令f (x )＝25x 4－10x 5，x ∈⎝⎛⎭⎫0，52，则f ′(x )＝100x 3－50x 4，
令f ′(x )>0，即x 4－2x 3<0，得0<x <2，则当x ∈⎝⎛⎭
⎫0，52时，f (x )≤f (2)＝80，∴V ≤3×80＝415.∴所求三棱锥的体积的最大值为415.。