三角函数周期的几种求法

三角函数周期的几种求

法

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三角函数周期的几种求法

深圳市福田区皇岗中学 蔡舒敏

高中数学第一册第二节中涉及到函数周期的问题，学生们往往对此类的问题感到比较困难。本文就这个问题谈三角函数周期的几种求法。

1．定义法：

定义：一般地ｙ＝c ，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，

ｆ（ｘ＋T ）＝ｆ（ｘ）

都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ(ｘ)叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。

例1．求函数y=3sin （3

3

2π

+x ）的周期

解：∵y=f （x ）=3sin （3

3

2π+x ）=3sin （3

3

2π

+x +2π）

=3sin （3

23

2π

π++x ）=3sin[3

)3(3

2π

π+

+x ]

= f （x+3π）

这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3π，且必增加到x+3π时，函数值重复出现。

∴函数y=3sin （33

2π

+x ）的周期是T=3π。

例2：求f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期

解∵f （x+2π）= sin 6（x+2π）+ cos 6（x+2

π）

3

= cos 6x +sin 6x= f （x ）

∴f （x ）=sin 6x+cos 6x 的周期为T=2

π

例3：求f （x ）=

x

x x

x 3cos cos 3sin sin ++的周期

解：∵f （x+π）=

)

cos()cos()

(3sin )sin(ππππ++++++x x x x

=

x cox x

x 3cos 3sin sin ----

=x

x x x 3cos cos 3sin sin ++ = f （x ）

∴求f （x ）=

x

x x

x 3cos cos 3sin sin ++的周期：T=π

2．公式法：

（1）如果所求周期函数可化为y=Asin （ϕω+x ）、y=Acos （ϕω+x ）、ｙ＝tg （ϕω+x ）形成（其中A 、ω、ϕ为常数，且A ≠0、ω＞0、ϕ∈R ），则可知道它们的周期分别是：

ω

π

2、

ω

π

2、

ω

π

。 例4：求函数y=1-sinx+3cosx 的周期

解：∵y=1-2（2

1 sinx-2

3

cosx ） =1-2（cos 3πsinx-sin 3

π cosx ）

=1-2sin （x-3

π

）

这里ω=1 ∴周期T=2π

4

例5：求：y=2（

23sinx-21

cos3x ）-1 解：∵y=2（

23sinx-2

1

cos3x ）-1 =2sin （3x-6

π）-1

这里ω=3 ∴周期为T=3

2π

例6：求y=tg （1+

53x

π）的周期 解：这里ω=53π，∴周期为：T=π/53π=

3

5

（2）如果f （x ）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sin ωx 、cos ωx 、tg ωx 的形式，再确定它的周期。 例7：求f （x ）=sinx ·cosx 的周期 解：∵f （x ）=sinx ·cosx=2

1sin2x

这里ω=3，∴f （x ）=sinx ·cosx 的周期为T=π

例8：求f （x ）=sin 2x 的周期

解：∵f （x ）=sin 2x=

22cos 1x

- 而cos2x 的周期为π，∴f （x ）=sin 2x 的周期为T=π

注：以上二题可以运用定义求出周期。 例9：求y=sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期

解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。 ∵y=sin 6ωx+ cos 6ωx

=（sin 2ωx+ cos 2ωx ）（sin 4ωx-sin 2ωx ·cos 2ωx+ cos 4ωx ） =( sin 2ωx+ cos 2ωx)2-3 sin 2ωx ·cos 2ωx =1-3 sin 2ωx ·cos 2ωx

5

=1-4

3 sin 22ωx

=85+8

3cos4ωx

而cos4ωx 的周期为T=

ωπ42=ω

π

2, ∴y= sin 6ωx+ cos 6ωx 的周期为T=

ω

π2 例10：函数y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期。

解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 ∵y=3sin2x-23sinx ·cosx+5cos 2x =3-23sinx ·cosx+2cos 2x =3-3sin2x+cos2x+1

=4+2(2

1cos2x-2

3

sin2x =4+2cos(2x+3

π

)

∴y=3sin 2x-23sinx ·cosx+5cos 2x 的周期为T=

ππ

=2

2 3．定理法：

如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数

f(x)=f 1(x)+f 2(x)，而f 1(x)的周期为T 1, f 2(x)的周期为T 2，则f(x)的周期为T=P 2T 1=P 1T 2，其中P 1、P 2∈N ，且（P 1、P 2）=1

事实上，由

2

121P P

T T =（既约分数），得T= P 2T 1=P 1T 2 ∵f （x+ P 1T 2）=f 1（x+ P 1T 2）+f 2（x+ P 1T 2） =f 1（x+ P 2T 1）+ f 2（x+ P 1T 2） = f 1（x ）+ f 2（x ）