数学证明方法

数学证明方法

什么是数学证明？

以勾股定理为例，欧几里得几何原本（成书于公元前300年）有一个严格的证明，但巴比仑人在公元前19世纪就已知道了勾股数（13500，12709，18541），中国古代算学利用面积拼凑法，画了几个图让大家看，就算是证明了。因此，勾股定理的知识，并不始于欧几里得的证明，也不终于欧几里得的证明。先有内容，而且人们相信它，后来才有证明。因此，

数学家有自己的追求，别的科学家并不要求严格证明，印度数学家哈里什-钱德拉（Harish-Chandra）曾在大物理学家狄拉克（Dirac）那里做助手，有一次他对狄拉克说，我很苦恼，因为我已找到了问题的答案，却没法证明它。狄拉克的回答是：“我不管什么证明，我只想知道真相！”

让我们再来看数学家是怎样来证明的。英国数学家哈代（Hardy）在1929年写的一篇论文《数学证明》中说道：“严格说来，没有所谓证明这个东西，归根结蒂，我们只能指指点点。”这句话的意思是，数学证明并不是完全形式化的三段论式的推理，数学家不过是指指点点，指手画脚，使读者和听众信服。讲解证明的是人，理解证明的也是人。难怪苏联数学家曼宁（Manin）说：“一个证明只当它通过‘被接纳为证明’这项社会活动后，它才算证明。”

当然，我们可能会问，数学家何必指指点点？老老实实从公理、定理、定义出发进行逻辑推理岂不好？但这做不到。波兰数学家史坦因豪斯（Steinhauss）的一个学生从希尔伯特的几何公理系统出发，证明勾股定理，写下来竟有80页，更令人吃惊的是，如果罗素和怀特黑（A.N.Whitehead）在1910－1913年出版的《数学原理》，从最初的集合概念开始，证明1＋1＝2足足用了300页，这样的证明，谁愿意读？

计算机辅助证明。我国吴文俊教授给出的机器证明在世界上处于领先的地位，但基本上只能证明初等几何的所有定理，离证明全部数学还远得很。1976年，四色定理的首个证明是一个经典的计算机辅助证明的例子。不少数学家对于计算机证明持谨慎态度，因为很多证明太长，不能由人手直接验证。此外，算法上的错误，输入时的失误甚至计算机运行期间出现的错误都有可能导致错误的结果。

说到这里，似乎都是有关数学证明的“坏话”，那么数学证明的价值何在？首先，数学证明有助于核实真理。数学家的指指点点，是比较严格的，比较符合逻辑的。因而比较可信。其次，数学证明最重要的价值是增进理解，只有弄懂了一个定理的证明，才能真正理解该定理的内容。

对中学数学教育来说，有几点流行的看法需要纠正。中学数学是绝对严格的，中学数学建筑在严格的逻辑推导之上。数学思维能力的核心是逻辑思维能力。真实的情况是，中学数学内容不可能做到绝对严格。中学数学的证明也是“指指点点”，并非三段论式的逻辑演绎。中学数学固然能培养逻辑思维能力，但更重要的是培养学生观察、分析和解决问题的数学观念、数学意识和数学方法。

数学是形式化的思想材料，数学家讲究严密的形式推理，但是学生并不全做数学家，学

习数学应该做到适度的非形式化。数学的严谨性是相对，绝对严格是做不到的，单纯提倡数学严谨性，只会束缚学生的数学直觉和数学想象。

数学证明与其他学科的证实有本质不同，它具有更多的形式化特点，更接近于形式逻辑，有更强的可靠性，因而应该让中学生懂得数学证明的价值，并能适度运用。但是，如果我们贬低其他学科的论证，认为都不严格，都不可靠，惟数学独尊，那是害了学生。连物理学家都说“我只需要真相，不需要什么证明”，何况其他人？我们的学生毕竟将来绝大多数不是数学家，他们的生活天地中，数学只是很小的一个侧面，让一个人按照数学证明的方式行事，那会是何等的荒唐可笑。

常见的证明:

直接证明

直接证明法是指从公认的事实或者公理出发，运用逻辑推演而导出需要证明的命题的真伪的方法。

思考过程：“由因导果”的思考，就是由已知出发，逐步推演寻找它的必要条件，直到得出结论为止。但在一定条件下，由已知公理、定理等推出的结论较多，从中寻找欲证结论，有时好像大海捞针，容易误入歧途。因此，一般采用“执果索因”思考顺序分析思考，即由未知的待证结论出发，逐步寻找使结论成立的充分条件，直到追溯到的充分条件是已知为止。在证明过程中还可以常采用“两头凑”，即同时从已知和结论出发，逐步分别进行推理和追溯，直到推得的中间结论与追溯的条件相同时为止。这样往往容易获得证明思路。然受采用“由因导果”顺序写出证明过程。

比如说要证明命题：“任何奇数乘以另一个奇数仍然是奇数”，可以直接证明如下：任何奇数都可以写成的形式，其中是整数。任取两个奇数，都可以写作和，其中和是整数。它们的乘积为

。所有能写成整数的两倍加1的数都是奇数。是整数，所以

是奇数。证明完毕。

构造法

构造法一般用于证明存在性定理，运用构造法的证明称为构造性证明。具体做法是构造一个带有命题里所要求的特定性质的实例，以显示具有该性质的物体或概念的存在性。也可以构造一个反例，来证明命题是错误的。

例如证明命题“2的质数次幂减一后不总是质数”，便可用构造法：

只需证明存在某个质数，使得2的次幂减一后不是质数。为此，考察质数11。2的次幂减一等于。不是质数。因此命题得证。

非构造性证明

与构造法证明相对的是非构造性证明，即不给出具体的构造而证明命题所要求对象的存在性的证明方法。比如下面例子：

命题：存在两个无理数和，使得是有理数。

证明：考虑，若它是有理数，则命题得证。若不是有理数，则一定是无理数。考虑它的次幂：

为有理数，命题仍然正确。

于是无论如何，都存在满足命题要求的无理数。

在这个证明里并没有给出使得是有理数的两个具体的无理数

穷举法

穷举法是一种列举出命题所包含的所有情况从而证明命题的方法。显然，使用穷举法的条件是命题所包含的可能情况为有限种，否则无法一一罗列。

例如证明“所有两位数中只有25和76的平方是以自己作为尾数”，只需计算所有两位数：10至99的平方，一一验证即可。

换质位法

在谓词逻辑里，若同时否定一个命题的主词和谓词，则其结果称为原命题的换质。若交换主词和谓词的位置，则其结果被称作换位。先换质再换位则被称为换质位，同理先换位再换质则被称为换位质。例如“所有的S是P”的换质位是“所有的不是P的不是S”。换质位法是指利用换质或换位，将一个命题改为一个与其逻辑等价的命题，因此只要证明了后者就证明了原来的命题。例如，要证明鸽笼原理：“如果n个鸽笼里装有多于n只鸽子，那么至少有一个笼子里有两只鸽子”，可以转证与其等价的逆否命题：“如果n个鸽笼的每一个中至多装有一只鸽子，那么n个鸽笼里至多装有n只鸽子”。而后者是显然的。

个案分析或分类讨论

个案分析或分类讨论，是指将结论分成有限的个案，然后逐个证明的方法。

算两次

算两次是一种对同一个量进行两种虽不同但都正确的分析，得到两个虽不同但相等的表达式的方法，常用于证明恒等式。

间接证明:

当直接证明一个数学命题有困难时，可以使用间接证法。

间接证法就是不直接证明原命题为真，而去证明与之逻辑等价的另一个命题为真，由等价性间接地证明了原命题为真的方法。

我们这里介绍间接证法中的反证法和同一法。

反证法

反证法是一种古老的证明方法，其思想为：欲证明某命题是假命题，则反过来假设该命题为真。在这种情况下，若能通过正确有效的推理导致逻辑上的矛盾（如导出该命题自身为假，于是陷入命题既真且假的矛盾），又或者与某个事实或公理相悖，则能证明原来的命题为假。无矛盾律和排中律是反证法的逻辑基础。反证法的好处是在反过来假设该命题为真的同时，等于多了一个已知条件，这样对题目的证明常有帮助。

反证法是一种间接的证明方法。它的根据是原命题和逆否命题是等价命题，当一个命题