(人教版数学)七年级竞赛专题讲解：第八讲 一元一次方程

第八讲 一元一次方程

早在300多年前法国数学家笛卡尔有一个伟大的设想：首先把宇宙万物的所有问题都转化为数学问题；其次，把所有的数学问题转化为代数问题；最后，把所有的代数问题转化为解方程．虽然笛卡尔“伟大设想”没有实现，但是充分说明了方程的重要性．

一元一次方程是代数方程中最基础的部分，是后续学习的基础，其基本内容包括：解方程、方程的解及其讨论．

解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤)地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤)解方程．

当方程中的系数是用字母表示时，这样的方程叫含字母系数的方程，含字母系数的一元一次方程总可以化为ax ＝b 的形式，继续求解时，一般要对字母系数a 、b 进行讨论：

1．当0≠a 时，方程有惟一解a

b =； 2．当0,0≠=b a 时，方程无解；

3．当0,0==b a 时，方程有无数个解．

例题

【例1】 (1)已知关于I 的方程x a x x 4)3(23=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

--和1851123=--+x a x 有相同的解，那么这个解是 ． (北京市“迎春杯”竞赛题)

（2）如果2004

2003)1(11216121=+++++n n ，那么n ＝ ． (江苏省竞赛题)

思路点拨 (1)设法建立关于a 等式，再解关于a 的方程求出a 的值；(2)恰当地解关于n 的一元一次方程．

注： 对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是通法，后者是技巧；前者是基础，后者是机智．只有真正掌握一般步骤，才能“热能生巧”．

方程的解是方程理论中的一个重要概念，解题中要学全从两个方面去应用：

(1)求解；通过解方程，求出方程的解进而解决问题；

(2)代解：将方程的解代入原方程进行解题．

当地解关于n 的一元一次方程．

【例2】 当b=1时，关于x 的方程a(3x-2)+b(2x-3)=8x-7有无数多个解，则a 等于( )．

A ．2

B ．一2

C ．3

2- D ．不存在 (“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 将b=1代人原方程，整理所得方程，就方程解的个数情况建立a 的等式．

【例3】 是否存在整数k ，使关于k 的方程(k 一5)x+6=1—5x ；在整数范围内有解?并求出各个解．

思路点拨 把方程的解x 用k 的代数式表示，利用整除的知识求出k ．

【例4】 解下列关于x 的方程．

(1)4x+b=ax-8； (a ≠4)

(2)mx-1＝nx ；

(3))2(4

1)(31

m x n x m +=-． 思路点拨 首先将方程化为ax=b 的形式，然后注意每个方程中字母系数可能取值的情况进行讨论．

【例5】已知q p 、都是质数，并且以x 为未知数的一元一次方程px+5q=97的解是1，求代数式40p 十101q+4的值．

(“希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 用代解法可得到q p 、的关系式，进而综合运用整数相关知识分析． 注：同一个方程在不同的数集范围内求解，其解集往往是不同的．对于含字母系数的方程，我们不但可讨论方程根的个数，而且还可以探求解的性态，如整数解、正数解，负数解，解这类问题，常常要用到整数知识、枚举、分类讨论等方法。

解一元一次方程常用的技巧有：

(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行；(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母；(3)当分母中含有小数，可用分数的基本性质化成整数；(4)逼用整体思想，即把含有求知数的代数式看作一个整体进行变形．

学力训练

1．已知x=一1是关于x 的方程7x 3一3x 2+kx+5=0的解，则k 3+2k 2-11k-85= ． (“信利杯”竞赛题)

2．方程0)104(2

1)25(32)5020(61=+-+++x x x 的解为 ；解方程0333)321(212121=-⎭

⎬⎫⎩⎨⎧-⎥⎦⎤⎢⎣⎡--x ，得x= ． 3．已知关于x 的方程2a(x 一1)＝(5一a)x+3b 有无数多个解，那么a ＝ ． (“希望杯”邀请赛试题)

4．和方程x 一3＝3x+4不同解的方程是( )．

A ．79—4＝59—11

B ．023

1=++x C ．(a 2+1)(x 一3)＝(3x+4)(a 2+1)

D ．(7x 一4)(x —1)＝(5x 一11)(x 一1)

5．已知a 是任意有理数，在下面各题中

(1)方程ax=0的解是x=1

(2)方程ax ＝a 的解是x ＝1

(3)方程ax=1的解是x ＝a

1 (4)方程a x a =的解是x ＝±1

结论正确的个数是( )．

A ．0

B ．1

C ． 2

D ．3 (江苏省竞赛题)

6．方程23

1)153(123661-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+--x x x 的解是（ ）

A ．1415

B ．14

15- C ．1445 D ．1445- 7．已知关于x 的一次方程（3a+8b ）x+7=0无解，则ab=( ) ．

A ．正数

B ．非正数

C ．负数

D ．非负数

8．解关于x 的方程：

（1）ax-1=bx

(2)4x+b=ax-8

(3)k(kx-1)=3(kx-1)

9．A 为何值时，方程)12(6

123--=+x x a x 有无数个解？无解？ 10．已知方程2(x+1)=3(x-1)的解 为a+2，那么方程2[2(x+3)-3(x-a)]=3a 的解为 ．

11．已知关于x 的方程9x-3=kx+14有整数解，那么满足条件的所有整数k = ．

12．已知431)119991(441=++x ，那么代数式)19991999(481872x

x +⋅+的值为 ． 13．若(3a+2b)x 2+ax+b=0是关于x 的一元一次方程，且有唯一解，则x = ．

14．有4个关于x 方程

(1)x-2=-1 (2)(x-2)+(x-1)=-1+(x-1)

(3)x=0 (4)1

11112-+-=-+-x x x 其中同解的两个方程是（ ）

A ．（1）与（2）

B ．（1）与（3）

C ．（1）与（4）

D ．（2）与（4）

15．方程19951996

19953221=⨯++⨯+⨯x x x 的解是（ ） A ．1995 B ．（1996 C ．1997 D ． 1998

16．已知20012

22==-=+c b a ，且k c b a 2001=++，那么k 的值为（ ）． A ．41 B ．4 C ．4

1- D ．－4 17．若k 为整数，则使得方程(k-1999)x=2001-2000x 的解也是整数的k 值有

A ．4个

B ．8个

C ．12个

D ．16个

(“希望杯”邀请赛试题)

18．若干本书分给小朋友，每人m 本，则余14本，每人9本，则最后一人只得6本，问小朋友共几个?有多少本书?

19．下边横排有12个方格，每个方格都有一个数字，已知任何相邻三个数字的和都是20，求x 的值．

20．如果a 、b 为定值，关于x 的方程6

23+=，无论k 为何值，它的根总是1，求a 、b 的值．

(山东省竞赛题)

21．将连续的自然数1～1001按如图的方式排列成一个长方形阵列，用一个正方形框出16个数，要使这个正方形框出的16个数之和分别等于：(1)1988；(2)1991；(3)2000；(4)2080．这是否可能?若不可能，试说明理由；若可能，请写出该方框16个数中的最小数与最大数．