2020中考专题23——图形变换探究
2020年中考数学压轴题专题10 图形变换综合题探究专题学案(原版+解析)
专题十图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。
【解题攻略】图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1.熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法。
2.结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法。
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等。
【解题类型及其思路】1.变换中求角度注意平移性质：平移前后图形全等，对应点连线平行且相等．2．变换中求线段长时把握折叠的性质：折线是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上．3．变换中求坐标时注意旋转性质：对应线段、对应角的大小不变，对应线段的夹角等于旋转角.4．变换中求面积，注意前后图形的变换性质及其位置等情况。
【典例指引】类型一【图形的平移】【典例指引1】1．两个三角板ABC，DEF按如图所示的位置摆放，点B与点D重合，边AB 与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内)，其中，∠C＝∠DEF＝90°，∠ABC＝∠F＝30°，AC＝DE＝4 cm.现固定三角板DEF，将三角板ABC沿射线DE方向平移，当点C落在边EF上时停止运动．设三角板平移的距离为x(cm)，两个三角板重叠部分的面积为y(cm2)．(1)当点C落在边EF上时，x＝________cm；(2)求y关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；(3)设边BC的中点为点M，边DF的中点为点N，直接写出在三角板平移过程中，点M与点N之间距离的最小值．【举一反三】如图①，将两块全等的三角板拼在一起，其中△ABC的边BC在直线l上，AC⊥BC 且AC=BC；△EFP的边FP也在直线l上，边EF与边AC重合，EF⊥FP且EF=FP．（1）在图①中，通过观察、测量，猜想直接写出AB与AP满足的数量关系和位置关系，不要说明理由；（2）将三角板△EFP沿直线l向左平移到图②的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ．猜想写出BQ与AP满足的数量关系和位置关系，并说明理由．类型二【图形的轴对称--折叠】【典例指引2】将一个直角三角形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点.是边上的一点(点不与点，重合)，沿着折叠该纸片，得点的对应点. (Ⅰ)如图①，当时，求点的坐标；(Ⅱ)如图②，当点落在轴上时，求点的坐标；(Ⅲ)当与坐标轴平行时，求点的坐标(直接写出结果即可).【举一反三】如图，在矩形ABCD中，点E在边CD上，将该矩形沿AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，过点F作FG∥CD，交AE于点G，连接DG．（1）求证：四边形DEFG为菱形；（2）若CD=8，CF=4，求CEDE的值．类型三【图形的旋转】【典例指引3】如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．（1）求证：DE⊥AG；（2）正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．【举一反三】（1）（问题发现）如图1，在Rt△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°，点D为BC的中点，以CD为一边作正方形CDEF，点E恰好与点A重合，则线段BE与AF的数量关系为（2）（拓展研究）在（1）的条件下，如果正方形CDEF绕点C旋转，连接BE，CE，AF，线段BE与AF的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明；（3）（问题发现）当正方形CDEF旋转到B，E，F三点共线时候，直接写出线段AF的长．类型四【图形的位似】【典例指引4】如图，二次函数y=x2﹣3x的图象经过O（0，0），A（4，4），B（3，0）三点，以点O为位似中心，在y轴的右侧将△OAB按相似比2：1放大，得到△OA′B′，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过O，A′，B′三点．（1）画出△OA′B′，试求二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的表达式；（2）点P（m，n）在二次函数y=x2﹣3x的图象上，m≠0，直线OP与二次函数y=ax2+bx+c （a≠0）的图象交于点Q（异于点O）．①连接AP，若2AP＞OQ，求m的取值范围；②当点Q在第一象限内，过点Q作QQ′平行于x轴，与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象交于另一点Q′，与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点M，N（M在N的左侧），直线OQ′与二次函数y=x2﹣3x的图象交于点P′．△Q′P′M∽△QB′N，则线段NQ的长度等于．【举一反三】如图所示，网格纸中的每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点间连线为边的三角形称为“格点三角形”，图中的△ABC是格点三角形．在建立平面直角坐标系后，点B的坐标为(－1，－1)．(1)把△ABC向下平移5格后得到△A1B1C1，写出点A1，B1，C1的坐标，并画出△A1B1C1；(2)把△ABC绕点O按顺时针方向旋转180°后得到△A2B2C2，写出点A2，B2，C2的坐标，并画出△A2B2C2；(3)把△ABC以点O为位似中心放大得到△A3B3C3，使放大前后对应线段的比为1∶2，写出点A3，B3，C3的坐标，并画出△A3B3C3.【新题训练】1．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形）ABC的顶点A，C的坐标分别为（﹣4，5），（﹣1，3）．（1）请在如图所示的网格平面内作出平面直角坐标系；（2）写出点B的坐标；（3）将△ABC向右平移5个单位长度，向下平移2个单位长度，画出平移后的图形△A′B′C′；（4）计算△A′B′C′的面积﹒（5）在x轴上存在一点P，使PA+PC最小，直接写出点P的坐标.2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），将线段AB 先向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到线段CD，连接AC，BD，构成平行四边形ABDC ．（1）请写出点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 ，S 四边形ABDC ； （2）点Q 在y 轴上，且S △QAB ＝S 四边形ABDC ，求出点Q 的坐标；（3）如图（2），点P 是线段BD 上任意一个点（不与B 、D 重合），连接PC 、PO ，试探索∠DCP 、∠CPO 、∠BOP 之间的关系，并证明你的结论．3．（问题情境）在综合实践课上，同学们以“图形的平移”为主题开展数学活动，如图①，先将一张长为4，宽为3的矩形纸片沿对角线剪开，拼成如图所示的四边形ABCD ，3AD =，4BD =，则拼得的四边形ABCD 的周长是_____.（操作发现）将图①中的ABE △沿着射线DB 方向平移，连结AD 、BC 、AF 、CE ，如图②.当ABE △的平移距离是12BE 的长度时，求四边形AECF 的周长. （操作探究）将图②中的ABE △继续沿着射线DB 方向平移，其它条件不变，当四边形ABCD 是菱形时，将四边形ABCD 沿对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长.4．如图，在66⨯的正方形方格中，每个小正方形的边长都为1，顶点都在网格线交点处的三角形，ABC V 是一个格点三角形．()1在图①中，请判断ABC V 与DEF V 是否相似，并说明理由；()2在图②中，以O 为位似中心，再画一个格点三角形，使它与ABC V 的位似比为2：1 ()3在图③中，请画出所有满足条件的格点三角形，它与ABC V 相似，且有一条公共边和一个公共角．5．已知：AD 是ABC ∆的高，且BD CD =.（1）如图1，求证：BAD CAD ∠=∠；（2）如图2，点E 在AD 上，连接BE ，将ABE ∆沿BE 折叠得到'A BE ∆，'A B 与AC 相交于点F ，若BE =BC ，求BFC ∠的大小；（3）如图3，在（2）的条件下，连接EF ，过点C 作CG EF ⊥，交EF 的延长线于点G ，若10BF =，6EG =，求线段CF 的长.图1. 图2. 图3.6．如图，长方形OABC 在平面直角坐标系xOy 的第一象限内，点A 在x 轴正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，点D 、E 分别是OC 、BC 的中点，30∠=︒CDE ，点E 的坐标为()2,a .（1）求a 的值及直线DE 的表达式；（2）现将长方形OABC 沿DE 折叠，使顶点C 落在平面内的点'C 处，过点'C 作y 轴的平行线分别交x 轴和BC 于点F ，G .①求'C 的坐标；②若点P 为直线DE 上一动点，连接'PC ，当'PC D 为等腰三角形，求点P 的坐标.（说明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半）7．如图1，四边形ABCD 的对角线AC ，BD 相交于点O ，OB =OD ，OC =OA +AB ，AD =m ，BC =n ，∠ABD +∠ADB =∠ACB ．（1）填空：∠BAD 与∠ACB 的数量关系为________；（2）求m n的值； （3）将△ACD 沿CD 翻折，得到△A ′CD （如图2），连接BA ′，与CD 相交于点P ．若CD =5+12，求PC 的长．8．如图，直线：y 3x +4与x 轴、y 轴分别別交于点M 、点N ，等边△ABC 的高为3，边BC 在x 轴上，将△ABC 沿着x 轴的正方向平移，在平移过程中，得到△A 1B 1C 1，当点B 1与原点O 重合时，解答下列问题：（1）点A1的坐标为．（2）求△A1B1C1的边A1C1所在直线的解析式；（3）若以P、A1、C1、M为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出P点坐标．9．已知：△ABC和△ADE均为等边三角形，连接BE，CD，点F，G，H分别为DE，BE，CD 中点．（1）当△ADE绕点A旋转时，如图1，则△FGH的形状为，说明理由；（2）在△ADE旋转的过程中，当B，D，E三点共线时，如图2，若AB=3，AD=2，求线段FH的长；（3）在△ADE旋转的过程中，若AB=a，AD=b（a＞b＞0），则△FGH的周长是否存在最大值和最小值，若存在，直接写出最大值和最小值；若不存在，说明理由．10．综合与实践问题背景折纸是一种许多人熟悉的活动，将折纸的一边二等分、四等分都是比较容易做到的，但将一边三等分就不是那么容易了，近些年，经过人们的不懈努力，已经找到了多种将正方形折纸一边三等分的精确折法，最著名的是由日本学者芳贺和夫发现的三种折法，现在被数学界称之为芳贺折纸三定理．其中，芳贺折纸第一定理的操作过程及内容如下（如图1）：操作1：將正方形ABCD对折，使点A与点D重合，点B与点C重合．再将正方形ABCD展开，得到折痕EF；操作2：再将正方形纸片的右下角向上翻折，使点C与点E重合，边BC翻折至B'E的位置，得到折痕MN ，B 'E 与AB 交于点P ．则P 即为AB 的三等分点，即AP ：PB =2：1．解决问题（1）在图1中，若EF 与MN 交于点Q ，连接CQ ．求证：四边形EQCM 是菱形； （2）请在图1中证明AP ：PB =2：l ．发现感悟若E 为正方形纸片ABCD 的边AD 上的任意一点，重复“问题背景”中操作2的折纸过程，请你思考并解决如下问题：（3）如图2．若DE AE =2．则AP BP= ； （4）如图3，若DE AE =3，则AP BP = ； （5）根据问题（2），（3），（4）给你的启示，你能发现一个更加一般化的结论吗？请把你的结论写出来，不要求证明．11．在平面直角坐标系中，四边形AOBC 是矩形，点(0,0)O ，点(5,0)A ，点(0,3)B .以点A 为中心，顺时针旋转矩形AOBC ，得到矩形ADEF ，点O ，B ，C 的对应点分别为D ，E ，F .（Ⅰ）如图①，当点D 落在BC 边上时，求点D 的坐标；（Ⅱ）如图②，当点D 落在线段BE 上时，AD 与BC 交于点H .①求证ADB AOB △△≌；②求点H 的坐标.（Ⅲ）记K 为矩形AOBC 对角线的交点，S 为KDE △的面积，求S 的取值范围（直接写出结果即可）.12．已知O 为直线MN 上一点，OP ⊥MN ，在等腰Rt △ABO 中，90BAO ∠=︒，AC ∥OP 交OM 于C ，D 为OB 的中点，DE ⊥DC 交MN 于E ．(1) 如图1，若点B 在OP 上，则①AC OE (填“＜”，“＝”或“＞”)；②线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式是 ；(2) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α(045α︒<<︒)，如图2，那么(1)中的结论②是否成立？请说明理由；(3) 将图1中的等腰Rt △ABO 绕O 点顺时针旋转α()，请你在图3中画出图形，并直接写出线段CA 、CO 、CD 满足的等量关系式 ；13．如图1，在中，，，点，分别在边，上，，连接，点，，分别为，，的中点.（1）观察猜想 图1中，线段与的数量关系是 ，位置关系是 ；（2）探究证明 把绕点逆时针方向旋转到图2的位置，连接，，，判断的形状，并说明理由； （3）拓展延伸 把绕点在平面内自由旋转，若，，请直接写出面积的最大值.14．已知∠MAN=135°，正方形ABCD绕点A旋转．（1）当正方形ABCD旋转到∠MAN的外部（顶点A除外）时，AM，AN分别与正方形ABCD 的边CB，CD的延长线交于点M，N，连接MN．①如图1，若BM=DN，则线段MN与BM+DN之间的数量关系是；②如图2，若BM≠DN，请判断①中的数量关系是否仍成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；（2）如图3，当正方形ABCD旋转到∠MAN的内部（顶点A除外）时，AM，AN分别与直线BD交于点M，N，探究：以线段BM，MN，DN的长度为三边长的三角形是何种三角形，并说明理由．15．已知：如图，是由一个等边△ABE和一个矩形BCDE拼成的一个图形，其点B，C，D的坐标分别为(1，2)，(1，1)，(3，1)．(1)直接写出E点和A点的坐标；(2)试以点B为位似中心，作出位似图形A1B1C1D1E1，使所作的图形与原图形的位似比为3∶1；(3)直接写出图形A1B1C1D1E1的面积．16．如图1，将长为10的线段OA绕点O旋转90°得到OB，点A的运动轨迹为»AB，P是半径OB上一动点，Q是»AB上的一动点，连接PQ.发现：∠POQ＝________时，PQ有最大值，最大值为________；思考：（1）如图2，若P是OB中点，且QP⊥OB于点P，求»BQ的长；（2）如图3，将扇形AOB沿折痕AP折叠，使点B的对应点B′恰好落在OA的延长线上，求阴影部分面积；探究：如图4，将扇形OAB沿PQ折叠，使折叠后的弧QB′恰好与半径OA相切，切点为C，若OP＝6，求点O到折痕PQ的距离．17．（本小题10分）将一个直角三角形纸片ABO，放置在平面直角坐标系中，点A（3，0），点B（0，1），点O（0，0）．过边OA上的动点M（点M不与点O，A重合）作MN⊥AB 于点N，沿着MN折叠该纸片，得顶点A的对应点A′．设OM =m，折叠后的△A′MN与四边形OMNB重叠部分的面积为S．图①（Ⅰ）如图①，当点A′与顶点B重合时，求点M的坐标；（Ⅱ）如图②，当点A′落在第二象限时，A′M与OB相交于点C，试用含m的式子表示S；（Ⅲ）当S 3M的坐标（直接写出结果即可）．18．如图1，一副直角三角板满足AB=BC，AC=DE，∠ABC=∠DEF=90°，∠EDF=30°操作：将三角板DEF的直角顶点E放置于三角板ABC的斜边AC上，再将三角板DEF绕点E 旋转，并使边DE与边AB交于点P，边EF与边BC于点Q．探究一：在旋转过程中，（1）如图2，当1CEEA =时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并给出证明； （2）如图3，当2CEEA=时，EP 与EQ 满足怎样的数量关系？并说明理由； （3）根据你对（1）、（2）的探究结果，试写出当CEm EA=时，EP 与EQ 满足的数量关系式为 ，其中m 的取值范围是 ．（直接写出结论，不必证明） 探究二：若2CEEA=且AC =30cm ，连接PQ ，设△EPQ 的面积为S （cm 2），在旋转过程中： （1）S 是否存在最大值或最小值？若存在，求出最大值或最小值；若不存在，说明理由． （2）随着S 取不同的值，对应△EPQ 的个数有哪些变化，求出相应S 的值或取值范围．专题十 图形变换综合题探究专题【考题研究】本专题主要包括图形的变换和相似形．其中轴对称图形、平移、中心对称图形的识别，相似三角形性质以填空和选择题为主，主要是考查对图形的识别和性质；图形的折叠、平移、旋转与几何图形面积相关的计算问题以填空题和解答题为主，主要是考查对几何问题的综合运用能力；而相似三角形的性质及判断定的应用往往还会结合圆或者解直角三角形等问题一并考查，主要是以解答题为主。
2019-2020年九年级中考备考专题复习课件：《图形变换》 (共14张PPT)
请完成以下任务：
A
（1）尺规作图：作∠A的平分线，交CB于
点D；过点D作AB的垂线，垂足为点E.
(保留作图痕迹，不写作法)
（2）若AC=3,BC=4.求CD的长.
C
B
3、在解答尺规作图题时常见的三种考查方法： （1）直接作图，如作线段的垂直平分线等； （2）所作图形不是五种基本的尺规作图,先判断是用哪几 种作图方法（组合）来解答,如作三角形的内切圆;
(3)根据作图痕迹或步骤,进行结论判断或计算。
1、已知一直角边m和斜边n作直角三角形;
n
m
2、如图，已知在RT⊿ABC中，∠ACB=900，
： 五种基本作图
（1）作一条线段等于已知线段 已知线段a,求作一条线段OA等于线段a
(2)作已知角的平分线
已知∠AOB，求作∠AOB的平分线OP
(3)作线段的垂直平分线 已知线段AB ，求作线段AB的垂直平分线CD
(4)作一个角等于已知角 已知：∠AOB，求作∠A′O′B′，使∠A′O′B′＝∠AOB
《图形变换》专题复习
第（1）课时 尺规作图
（1）了解尺规作图的定义和基本步骤； （2）复习五种基本尺规作图，
利用基本作图进行尺规作图拓展 ，
利用作图性质进行相关计算；
（3）通过对尺规作图的回顾，梳理所学 知识，逐渐建立知识体系。
重点: 掌握五种基本的尺规作图； 难点: 利用基本作图进行尺规作图拓展和计算。
： 尺规作图
1、定义 在几何里把只限定用直尺（无刻度）
和圆规 来 画图，称为尺规作图。 最基本最常用的尺规作图，称为基本作图。
2、基本步骤
（1）已知：写出已知的线段和角，画出图形； （2）求作：求出什么图形，使它符合什么条件； （3）作法：运用五种基本作图，保留作图痕迹； （4）证明；验证所作图形的正确性； （5）结论：对所作的图形下结论。
中考数学总复习：图形的变换--知识讲解(基础)【含解析】
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】中考总复习：图形的变换--知识讲解（基础）【考纲要求】1.通过具体实例认识轴对称、平移、旋转，探索它们的基本性质；2.能够按要求作出简单平面图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，能作出简单平面图形经过一次或两次轴对称后的图形；3.探索基本图形（等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆）的轴对称性质及其相关性质.4.探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）；5.利用轴对称、平移、旋转及其组合进行图案设计；认识和欣赏轴对称、平移、旋转在现实生活中的应用.【知识网络】【考点梳理】考点一、平移变换1.平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不改变图形的形状和大小．【要点诠释】（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换；（2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移的依据；（3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据．2．平移的基本性质：由平移的概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应角相等．【要点诠释】（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征；（2）“对应点所连的线段平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据．考点二、轴对称变换1．轴对称与轴对称图形轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线对称，也叫做这两个图形成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的对应点，叫做对称点. 轴对称图形：把一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.2．轴对称变换的性质①关于直线对称的两个图形是全等图形.②如果两个图形关于某直线对称，对称轴是对应点连线的垂直平分线.③两个图形关于某直线对称，如果它们对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.④如果两个图形的对应点连线被同一直线垂直平分，那么这两个图形关于这条直线对称.3．轴对称作图步骤①找出已知图形的关键点，过关键点作对称轴的垂线，并延长至2倍，得到各点的对称点．②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.考点三、旋转变换1．旋转概念：把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角.２．旋转变换的性质图形通过旋转，图形中每一点都绕着旋转中心沿相同的方向旋转了同样大小的角度，任意一对对应点与旋转中心的连线都是旋转角，对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等，旋转过程中，图形的形状、大小都没有发生变化.３．旋转作图步骤①分析题目要求，找出旋转中心，确定旋转角.②分析所作图形，找出构成图形的关键点.③沿一定的方向，按一定的角度、旋转各顶点和旋转中心所连线段,从而作出图形中各关键点的对应点.④按原图形连结方式顺次连结各对应点.４．中心对称与中心对称图形中心对称：把一个图形绕着某一点旋转180°，它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做对称中心，这两个图形中的对应点叫做关于中心对称的对称点．中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫中心对称图形.5．中心对称作图步骤①连结决定已知图形的形状、大小的各关键点与对称中心，并且延长至2倍，得到各点的对称点.②按原图形的连结方式顺次连结对称点即得所作图形.【要点诠释】图形变换与图案设计的基本步骤①确定图案的设计主题及要求；②分析设计图案所给定的基本图案；③利用平移、旋转、轴对称对基本图案进行变换，实现由基本图案到各部分图案的有机组合；④对图案进行修饰，完成图案.【典型例题】类型一、平移变换1.如图1，两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得到图2，则阴影部分的周长为____________.【思路点拨】根据两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，得出线段之间的相等关系，进而得出OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2，即可得出答案．【答案与解析】∵两个等边△ABD，△CBD的边长均为1，将△ABD沿AC方向向右平移到△A′B′D′的位置，∴A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′，∴OM+MN+NR+GR+EG+OE=A′D′+CD=1+1=2；【总结升华】此题主要考查了平移的性质以及等边三角形的性质，根据题意得出A′M=A′N=MN，MO=DM=DO，OD′=D′E=OE，EG=EC=GC，B′G=RG=RB′是解决问题的关键．举一反三：【变式】（2015•顺义区一模）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD边上一点，且CE⊥BD于点F，将△DEC沿从D到A的方向平移，使点D与点A重合，点E平移后的点记为G．（1）画出△DEC平移后的三角形；（2）若BC=，BD=6，CE=3，求AG的长．【答案】解：（1）△AGB为△DEC平移后的三角形，如下图所示；（2）∵△AGB为△DEC平移后的三角形，∴BG=CE=3，BG∥CE，∵CE⊥BD，∴BG⊥BD．在Rt△BDG中，∵∠GBD=90°，BG=3，BD=6，∴DG==3，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD=BC=2，∴AG=D G﹣AD=3﹣2=．2．如图（1），已知ABC ∆的面积为3，且,AC AB =现将ABC ∆沿CA 方向平移CA 长度得到EFA ∆. （1）求ABC ∆所扫过的图形面积；（2）试判断，AF 与BE 的位置关系，并说明理由； （3）若,15︒=∠BEC 求AC 的长.【思路点拨】（1）根据平移的性质及平行四边形的性质可得到S △EFA =S △BAF =S △ABC ，从而便可得到四边形CEFB 的面积；（2）由已知可证得平行四边形EFBA 为菱形，根据菱形的对角线互相垂直平分可得到AF 与BE 的位置关系为垂直；（3）作BD ⊥AC 于D ，结合三角形的面积求解． 【答案与解析】（1）由平移的性质得 AF ∥BC ，且AF=BC ，△EFA ≌△ABC ∴四边形AFBC 为平行四边形 S △EFA =S △BAF =S △ABC =3∴四边形EFBC 的面积为9；（2）BE ⊥AF证明：由（1）知四边形AFBC 为平行四边形 ∴BF ∥AC ，且BF=AC 又∵AE=CA∴BF ∥AE 且BF=AE∴四边形EFBA 为平行四边形又已知AB=AC ∴AB=AE∴平行四边形EFBA 为菱形 ∴BE ⊥AF ；（3）如上图，作BD ⊥AC 于D ∵∠BEC=15°，AE=AB ∴∠EBA=∠BEC=15° ∴∠BAC=2∠BEC=30°BCA （'C ）E∴在Rt△BAD中，AB=2BD 设BD=x，则AC=AB=2x∵S△ABC=3，且S△ABC=12AC•BD=12•2x•x=x2∴x2=3∵x为正数∴x=3∴AC=23．【总结升华】此题主要考查了全等三角形的判定，平移的性质，菱形的性质等知识点的综合运用及推理计算能力．类型二、轴对称变换3（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C=90°，，求证：∠B=30°，请你完成证明过程．（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），当AB=6，求EF的长．【思路点拨】（1）Rt△ABC中，根据sinB═=，即可证明∠B=30°；（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．（3）先判断出AD=AC，得出∠ACD=30°，∠DAC=60°，从而求出AD的长度，根据翻折变换的性质可得出∠DAF=∠FAO=30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出EO，再由EF=EO+FO，即可得出答案．【答案与解析】（1）证明：Rt△ABC中，∠C=90°，，∵sinB==，∴∠B=30°；（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，∴EA=FD=×边长=1，∵沿过点D的抓痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，∴A′D=AD=2，∴=，∴∠FA′D=30°，可得∠FDA′=90°﹣30°=60°，∵A沿GD折叠落在A′处，∴∠ADG=∠A′DG，AG=A′G，∴∠ADG===15°，∵A′D=2，FD=1，∴A′F==，∴EA′=EF﹣A′F=2﹣，∵∠EA′G+∠DA′F=180°﹣∠GA′D=90°，∴∠EA′G=90°﹣∠DA′F=90°﹣30°=60°，∴∠EGA′=90°﹣∠EA′G=90°﹣60°=30°，则A′G=AG=2EA′=2（2﹣）；（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，∴AO=AD=CB=CO，∴DA=，∵∠D=90°，∴∠DCA=30°，∵AB=CD=6，在Rt△ACD中，=tan30°，则AD=DC•tan30°=6×=2，∵∠DAF=∠FAO=∠DAO==30°，∴=tan30°=，∴DF=AD=2，∴DF=FO=2，同理EO=2，∴EF=EO+FO=4．【总结升华】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性质，综合考察的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．举一反三：【变式】（2016·松北区模拟）如图（1）是四边形纸片ABCD，其中∠B=120°，∠D=50°.若将其右下角向内这出△PCR，恰使CP∥AB，RC∥AD，如图（2）所示，则∠C＝度.【答案】∵∠CPR=12∠B=12×120°=60°，∠CRP=12∠D=12×50°=25°，∴∠C=180°－60°－25°=95°．4. 如图1，矩形纸片ABCD的边长分别为a，b（a<b）．将纸片任意翻折（如图2），折痕为PQ．（P 在BC上），使顶点C落在四边形APCD内一点C′，PC′的延长线交直线AD于M，再将纸片的另一部分翻折，使A落在直线PM上一点A′，且A′M所在直线与PM•所在直线重合（如图3），折痕为MN．（1）猜想两折痕PQ，MN之间的位置关系，并加以证明．（2）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中保持不变，则每次翻折后，两折痕PQ，•MN间的距离有何变化？请说明理由．（3）若∠QPC的角度在每次翻折的过程中都为45°（如图4），每次翻折后，非重叠部分的四边形MC′QD，及四边形BPA′N的周长与a，b有何关系，为什么？（1）（2）（3）（4）【思路点拨】（1）猜想两直线平行，由矩形的对边平行，得到一组内错角相等，翻折前后对应角相等，那么可得到PQ与MN被MP所截得的内错角相等，得到平行．（2）作出两直线间的距离．∵PM长相等，∠NPM是不变的，所以利用相应的三角函数可得到两直线间的距离不变．（3）由特殊角得到所求四边形的形状，把与周长相关的边转移到同一线段求解．【答案与解析】（1）PQ∥MN．∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，且M在AD直线上，则有AM∥BC．∴∠AMP=∠MPC．由翻折可得：∠MPQ=∠CPQ=12∠MPC，∠NMP=∠AMN=12∠AMP，∴∠MPQ=∠NMP，故PQ∥MN．（2）两折痕PQ，MN间的距离不变．过P作PH⊥MN，则PH=PM•sin∠PMH，∵∠QPC的角度不变，∴∠C′PC的角度也不变，则所有的PM都是平行的．又∵AD∥BC，∴所有的PM都是相等的．又∵∠PMH=∠QPC，故PH的长不变．（3）当∠QPC=45°时，四边形PCQC′是正方形，四边形C′QDM是矩形．∵C′Q=CQ，C′Q+QD=a，∴矩形C′QDM的周长为2a．同理可得矩形BPA′N的周长为2a，∴两个四边形的周长都为2a，与b无关．【总结升华】翻折前后对应角相等，对应边相等，应注意使用相应的三角函数，平行线的判断，特殊四边形的判定．类型三、旋转变换【高清课堂图形的变换例4】5．已知O是等边三角形ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝135°，试问：（1）以OA，OB，OC为边能否构成一个三角形?若能，求出该三角形各角的度数；若不能，请说明理由；（2）如果∠AOB的大小保持不变，那么当∠BOC等于多少度时，以OA，OB，OC为边的三角形是一个直角三角形?【思路点拨】因为△ABC是等边三角形，所以可以运用旋转将△BCO转至△ACD.【答案与解析】（1）以OC为边作等边△OCD，连AD.∵△ABC是等边三角形∴∠BCO=∠ACD (∠BCO+∠ACO=60°，∠ACD+∠ACO=60°)∵ BC=AC，OC=CD∴△BCO≌△ACD (SAS)∴ OB=AD，∠ADC=∠BOC又∵OC=OD∴△OAD是以线段OA，OB，OC为边构成的三角形∵∠AOB=110°, ∠BOC=135°∴∠AOC=115°∴∠AOD=115°-60°=55°∵∠ADC=135°∴∠ADO=135°-60°=75°∴∠OAD=180°-55°-75°=50°∴以线段OA，OB，OC为边构成的三角形的各角是50°、55°、75°.（2）∠AOB+∠AOC+∠BOC=∠AOB+∠AOC+∠ADC=∠AOB+(∠AOD+∠DOC)+(∠ADO+∠CDO)=∠110°+(∠AOD+60°)+(∠ADO+60°) =360°∴∠AOD+∠ADO=130°∴∠OAD=50°当∠AOD是直角时，∠AOD=90°，∠AOC=90°+60°=150°，∠BOC=100°;当∠ADO是直角时，∠ADC=90°+60°=150°，∠BOC=150°.【总结升华】此题主要运用旋转的性质、等边三角形的判定、勾股定理的逆定理等知识，渗透分类讨论思想．6 . 如图1，O为正方形ABCD的中心，分别延长OA、OD到点F、E，使OF＝2OA，OE＝2OD，连接EF．将△EOF绕点O逆时针旋转α角得到△E1OF1(如图2)．(1)探究AE1与BF1的数量关系，并给予证明；(2)当α＝30°时，求证：△AOE1为直角三角形．【思路点拨】(1)要证AE1＝BF1，就要首先考虑它们是全等三角形的对应边；(2)要证△AOE1为直角三角形，就要考虑证∠E1AO＝90°.【答案与解析】(1)AE1＝BF1，证明如下：∵O为正方形ABCD的中心，∴OA＝OB＝OD.∴OE＝OF .∵△E1OF1是△EOF绕点O逆时针旋转α角得到，∴OE1＝OF1.∵ ∠AOB＝∠EOF＝900，∴ ∠E1OA＝900－∠F1OA＝∠F1OB.在△E1OA和△F1OB中，1111OE OFE OA FOBO A OB⎧⎪∠∠⎨⎪⎩＝＝＝，∴△E1OA≌△F1OB（SAS）.∴AE1＝BF1.(2)取OE1中点G，连接AG.∵∠AOD＝900，α＝30°，∴ ∠E1OA＝900－α＝60°.∵OE1＝2OA，∴OA＝OG，∴ ∠E1OA＝∠AGO＝∠OAG＝60°.∴ AG＝GE1，∴∠GAE1＝∠GE1A＝30°.∴∠E1AO＝90°.∴△AOE1为直角三角形.【总结升华】正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定. 举一反三：【变式】如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).(1)求∠APB的度数；(2)求正方形ABCD的面积.【答案】(1)将△ABP 绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.于是PB=QB=2a，.在△PQC中，∵，.∴.∴.∵△PBQ是等腰直角三角形，∴∠BPQ=∠BQP=45°.故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.(2)∵∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，∴三点A、P、Q在同一直线上.在Rt△AQC中，.∴正方形ABCD的面积.中考数学知识点代数式一、重要概念分类：1.代数式与有理式用运算符号把数或表示数的字母连结而成的式子，叫做代数式。
2020年中考 图形变化专题练习题(无答案)
图形变化专题练习一、平移1、下列现象中是平移的是（）A、将一张纸沿它的中线折叠B、飞碟的快速转动C、电梯的上下移动D、翻开书中的每一页纸张2、如图所示，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位长度得到△DEF，则四边形ABFD 的周长为（）A、6B、8C、10D、123、如图，在平面直角坐标系XOY中，已知点A．若平移点A到点C，使以点O、A、C、(B)1,1(),0,2B为顶点的四边形是菱形，则正确的平移方法是（）A、向左平移1个单位，再向下平移1个单位2个单位，再向上平移1个单位B、向左平移1-2C、向右平移2个单位，再向上平移1个单位D、向右平移1个单位，再向上平移1个单位4、如图，已知直线l1∥l2，l1、l2之间的距离为8，点P到直线l1的距离为6，点Q到直线4，在直线l1上有一动点A，直线l2上有一动点B，满足AB⊥l2，l2的距离为4，PQ=30且PA+AB+BQ最小，此时PA+BQ= ．5、如图，在平面内，线段AB=6，P为线段AB上的动点，三角形纸片CDE的边CD所在的直线与线段AB垂直相交于点P，且满足PC=PA．若点P沿AB方向从点A运动到点B，则点E运动的路径长为．6、如图，长方形ABCD中，AB=6，第一次平移长方形ABCD沿AB的方向向右平移5个单位，得到长方形A1B1C1D1，第2次平移将长方形A1B1C1D1沿A1B1的方向向右平移5个单位，得到长方形A2B2C2D2…，第n次平移将长方形A n﹣1B n﹣1C n﹣1D n﹣1沿A n﹣1B n﹣1的方向向右平移5个单位，得到长方形A n B n C n D n（n＞2），若AB n的长度为2016，则n的值为（）A、400B、401C、402D、4037、△ABC与△A’B’C’在平面直角坐标系中的位置如图.8、如图，将△ABC沿着射线BC方向平移至△A'B'C'，使点A'落在∠ACB的外角平分线CD上，连结AA'．9、如图1，已知直线PQ∥MN，点A在直线PQ上，点C、D在直线MN上，连接AC、AD，∠PAC=50°，∠ADC=30°，AE平分∠PAD，CE平分∠ACD，AE与CE相交于E．（1）、求∠AEC的度数；（2）、若将图1中的线段AD沿MN向右平移到A1D1如图2所示位置，此时A1E平分∠AA1D1，CE平分∠ACD1，A1E与CE相交于E，∠PAC=50°，∠A1D1C=30°，求∠A1EC的度数．（3）、若将图1中的线段AD沿MN向左平移到A1D1如图3所示位置，其他条件与（2）相同，求此时∠A1EC的度数．10、如图①，BD是矩形ABCD的对角线，∠ABD=30°，AD=1．将△BCD沿射线BD方向平移到△B'C'D'的位置，使B'为BD中点，连接AB'，C'D，AD'，BC'，如图②．（1）、求证：四边形AB'C'D是菱形；（2）、四边形ABC'D′的周长为；（3）、将四边形ABC'D'沿它的两条对角线剪开，用得到的四个三角形拼成与其面积相等的矩形，直接写出所有可能拼成的矩形周长．二：轴对称（折叠）1、如图，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE 折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为2、如图，△ABC是等边三角形，AD是BC边上的中线，点E在AC上，且∠CDE=20°，现将△CDE沿直线DE折叠得到△FDE，连结BF．∠BFE的度数是.3、如图，在矩形ABCD中，AD=5，AB=8，点E为射线DC上一个动点，把△ADE沿直线AE折叠，当点D的对应点F刚好落在线段AB的垂直平分线上时，则DE的长为．4、如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N。
决胜2020年中考图形的几何变1
决胜2020年中考图形的几何变换点睛导航1．剪纸问题一张纸经过折和剪的过程，会形成一个轴对称图案．解决这类问题要熟知轴对称图形的特点，关键是准确的找到对称轴．一般方法是动手操作，拿张纸按照题目的要求剪出图案，展开即可得到正确的图案．2．轴对称-最短路线问题（1）最短路线问题在直线L上的同侧有两个点A、B，在直线L上有到A、B的距离之和最短的点存在，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线L的对称点，对称点与另一点的连线与直线L的交点就是所要找的点．（2）凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合本节所学轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．3．翻折变换（折叠问题）翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．在解决实际问题时，对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，这样便于找到图形间的关系．首先清楚折叠和轴对称能够提供给我们隐含的并且可利用的条件．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．我们运用方程解决时，应认真审题，设出正确的未知数．4．坐标与图形变化-平移在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．）挑战突破1．（2020•深圳模拟）如图，已知正方形ABCD的边长为12，BE＝EC，将正方形边CD沿DE折叠到DF，延长EF交AB于G，连接DG，现在有如下4个结论：①△ADG≌△FDG；②GB＝2AG；③△GDE∽△BEF；④S△BEF．在以上4个结论中，正确的有（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2020•闽清模拟）如图，在2×2的方格纸中有一个以格点为顶点的△ABC，则与△ABC 成轴对称且以格点为顶点三角形共有（）个．A．3个B．4个C．5个D．6个3．（2020•宁夏模拟）如图①，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠CAB＝30°，△ABD是等边三角形．如图②，将四边形ACBD折叠，使D与C重合，EF为折痕，则∠ACE的正弦值为（）A．B．C．D．4．（2020•平山模拟）如图，边长为24的等边三角形ABC中，M是高CH所在直线上的一个动点，连结MB，将线段BM绕点B逆时针旋转60°得到BN，连结HN．则在点M运动过程中，线段HN长度的最小值是（）A．12 B．6 C．3 D．15．（2020•淄博模拟）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A，B，C的距离分别为3，4，5，则△ABC的面积为（）A．B．C．D．6．（2020•碑林区校级模拟）如图所示，凸四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝90°，∠D＝60°，AD＝3，AB，若点M、N分别为边CD，AD上的动点，则△BMN的周长最小值为（）A．2B．3C．6 D．37．（2020•慈溪市模拟）如图，已知，M，N分别为锐角∠AOB的边OA，OB上的点，ON ＝6，把△OMN沿MN折叠，点O落在点C处，MC与OB交于点P，若MN＝MP＝5，则PN＝（）A．2 B．3 C．D．8．（2020•二七区校级模拟）如图，在平面直角坐标系上有点A（1，0），点A第一次跳动至点A1（﹣1，1），第二次向右跳动3个单位至点A2（2，1），第三次跳动至点A3（﹣2，2），第四次向右跳动5个单位至点A4（3，2），…，以此规律跳动下去，点A第2020次跳动至点A2020的坐标是（）A．（1012，1011）B．（1009，1008）C．（1010，1009）D．（1011，1010）9．（2020•鼓楼区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知A（2，0），B（4，0），点P 为线段AB外一动点，且P A，以PB为边作等边△PBM，则线段AM的最大值为（）A．B．C．D．10．（2020•浉河区校级模拟）如图，边长为8的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF，则在点E运动过程中，DF的最小值是（）A．4 B．3 C．2 D．111．（2020•山西模拟）如图，两建筑物的水平距离为a米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低建筑物的高为（）A．a米B．a cotα米C．a cotβ米D．a（tanβ﹣tanα）米12．（2020•济宁模拟）如图，两个直径分别为36cm和16cm的球，靠在一起放在同一水平面上，组成如图所示的几何体，则该几何体的俯视图的圆心距是（）A．10cm．B．24cm C．26cm D．52cm13．（2020•南通模拟）下列轴对称图形中，只用一把无刻度的直尺不能画出对称轴的是（）A．菱形B．三角形C．等腰梯形 D．正五边形14．（2020•南宁模拟）如图所示，把一张长方形纸片对折，折痕为AB，再以AB的中点O 为顶点，把平角∠AOB三等分，沿平角的三等分线折叠，将折叠后的图形剪出一个以O 为顶点的直角三角形，那么剪出的直角三角形全部展开铺平后得到的平面图形一定是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形 D．正六边形15．（2020•呼和浩特模拟）如图是某几何体的三视图，根据图中数据，求得该几何体的体积为（）A．60πB．70πC．90πD．160π16．（2020•南岗区校级模拟）如图，将正方形纸片ABCD沿MN折叠，折痕为MN，点A的对应点是点A′，点B的对应点是点B′，点B′落在边CD上，若CB′CD，且BN ＝5，则折痕MN的长为（）A．B．C．D．17．（2020•武昌区模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝6，点P在边AB上，连接CP，将△BCP沿直线CP翻折后，点B恰好落在边AC的中点处，则点P到AC的距离是（）A．2.5 B．C．4 D．18．一些完全相同的小正方体搭成一个几何体，这个几何体从正面和左面看所得的平面图形均如图所示，小正方体的块数可能有（）A．7种B．8种C．9种D．10种。
2023中考九年级数学分类讲解 第十三讲 图形的变换、立体图形的展开与折叠(含答案)(全国通用版)
第十三讲图形的变换、立体图形的展开与折叠专项一轴对称与中心对称知识清单1．轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这条直线，这条直线叫做，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点．2．轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线，直线两旁的部分能够互相，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的．3．轴对称的性质：（1）关于某条直线对称的两个图形；（2）在轴对称图形或两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴，对应线段，对应角．4．中心对称：把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称，这个点叫做．5．中心对称图形：把一个图形绕某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的．6．中心对称的性质：（1）成中心对称的两个图形；（2）成中心对称的两个图形，对应线段，对应角，对应点的连线都经过，且被对称中心．考点例析例1以下是我国部分博物馆的标志图案，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A B C D分析：根据轴对称图形及中心对称图形的定义逐项判断即可．例2如图1，在Rt△ABC中，∠A＝30°，∠C＝90°，AB＝6，P是线段AC上一动点，点M在线段AB上．当AM＝13AB时，PB+PM的最小值为（）A．B．C．2D．3图1 图2分析：如图2，作点B关于AC的对称点B'，连接B'M交AC于点P，此时PB+PM的值最小，为B'M 的长．在Rt△ABC中，由∠A＝30°，AB＝6，可求得BC，进而求得B'B，过点B'作B'H⊥AB于点H，解Rt△B'HB，得B'H，BH的长，结合AM＝13AB，可求得MH，最后在Rt△B'HM中，利用勾股定理求出B'M，即可得解．归纳：在一条直线同侧有两点，则直线上存在到两点的距离之和最短的点，可以通过轴对称来确定，即作出其中一点关于直线的对称点，对称点与另一点的连线与直线的交点即为所求点．跟踪训练1.下列图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）A B C D2.在平面直角坐标系中，点M（﹣2，4）关于原点对称的点的坐标是．3.如图，在△ABC中，AC＝BC，∠B＝38°，D是AB边上一点，点B关于直线CD的对称点为B′．若B′D∥AC，则∠BCD的度数为．第3题图第4题图4.如图，在菱形ABCD中，BC＝2，∠C＝120°，Q为AB的中点，P为对角线BD上任意一点，则AP+PQ 的最小值为．专项二图形的平移知识清单1．平移：在平面内，把一个图形由一个位置整体沿某一直线方向移动到另一个位置，这样的图形运动叫做平移．2．平移两要素：平移的和平移的．3．平移的性质：（1）平移不改变图形的形状和大小，即平移前后的两个图形；（2）平移前后，对应线段（或在同一条直线上）且，对应角；（3）平移前后，连接对应点的线段（或在同一条直线上）且．考点例析例如图，△ABC沿BC所在直线向右平移得到△DEF，已知EC＝2，BF＝8，则平移的距离为．分析：由平移的性质可知BE＝CF，结合题中给出的数据计算即可．跟踪训练1.四盏灯笼的位置如图所示，已知点A，B，C，D的坐标分别是（﹣1，b），（1，b），（2，b），（3.5，b）．若平移y轴右侧的一盏灯笼，使得y轴两侧的灯笼对称，则平移的方法可以是（）A．将B向左平移4.5个单位长度B．将C向左平移4个单位长度C．将D向左平移5.5个单位长度D．将C向左平移3.5个单位长度第2题图2.在平面直角坐标系中，点A（3，2）关于x轴的对称点为A1，将点A1向左平移3个单位长度得到点A2，则点A2的坐标为．3.在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD的对称中心是坐标原点，顶点A，B的坐标分别是（﹣1，1）和（2，1），将平行四边形ABCD沿x轴向右平移3个单位长度，则顶点C的对应点C1的坐标是．专项三图形的旋转知识清单1．旋转：在平面内，把一个图形绕着平面内某一点O转动一个角度，这样的图形运动叫做旋转，点O 叫做，转动的角叫做．2．旋转三要素：、和．3．旋转的性质：（1）旋转不改变图形的形状和大小，即旋转前后的两个图形；（2）对应点到的距离相等；（3）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于．考点例析例如图，将△ABC绕点A逆时针旋转55°得到△ADE．若∠E＝70°，AD⊥BC于点F，则∠BAC的度数为（ ）A ．65°B ．70°C ．75°D ．80°分析：由旋转的性质，得∠BAD ＝55°，∠C ＝∠E ＝70°，再由直角三角形的性质，得∠DAC 的度数，进而得解．归纳：图形的旋转为全等变换，解题时可充分利用其性质，得出线段的长或角的度数．另外，注意旋转角为60°时考虑运用等边三角形的性质，旋转角为90°时考虑运用等腰直角三角形的性质．跟踪训练1.如图，在△AOB 中，AO ＝1，BO ＝AB ＝32．将△AOB 绕点O 逆时针方向旋转90°，得到△A ′OB ′，连接AA ′，则线段AA ′的长为（ ）A ．1BC ．32 D第1题图 第2题图2.如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝α，将△ABC 绕点C 顺时针旋转90°得到△A 'B 'C ，点B 的对应点B '在AC 边上（不与点A ，C 重合），则∠AA 'B '的度数为（ ）A ．αB ．α﹣45°C ．45°﹣αD ．90°﹣α3.如图，在平面直角坐标系中，线段OA 与x 轴正方向的夹角为45°，且OA ＝2．若将线段OA 绕点O 沿逆时针方向旋转105°得到线段OA ′，则点A ′的坐标为（ ）A ．)1-B ．(-C ．()D ．(1,第3题图 第4题图 4.如图，在平面直角坐标系中，点C 的坐标为（﹣1，0），点A 的坐标为（﹣3，3），将点A 绕点C 顺时针旋转90°得到点B ，则点B 的坐标为 ．专项四立体图形的展开与折叠知识清单正方体的表面展开图考点例析例1 下列图形是正方体展开图的个数为（）A．1个B．2个C．3个D．4个分析：根据正方体的表面展开图的特征解答即可．归纳：判断正方体表面展开图的方法：（12）若展开图有三行，3布在该图形上下两侧．借助这些方法可采用排除法快速判断正方体的表面展开图．例2 如图是一个正方体的表面展开图，把它折叠成正方体后，有“学”字一面的相对面上的字是（）A．雷B．锋C．精D．神分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点解答即可．归纳：判断正方体表面展开图的相对面的方法：（1）在一条直线上的三个正方形，首尾两个正方形一定是正方体的相对面；（2）由几个小正方形组成的“Ｚ”字型两端的小正方形是相对面．正方体的每个面都有且只有一个相对面，所以在展开图中分析每个小正方形相对面的个数也可用来判断其是否能围成正方体．跟踪训练1.下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（）A B C D2.把图中的纸片沿虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体的名称是（）A．五棱锥B．五棱柱C．六棱锥D．六棱柱第2题图第3题图3.一个骰子相对两面的点数之和为7，它的展开图如图所示，则下列判断正确的是（）A．A代表B．B代表C．C代表D．B代表专项五投影知识清单1．一般地，用光线照射物体，在某个平面（地面、墙壁等）上得到的影子叫做物体的投影，照射光线叫做投影线，投影所在的平面叫做投影面．2．投影分为投影（由平行光线形成的投影，如太阳光线）和投影（由点光源发出的光线形成的投影）．3．在平行投影中，当投影线与投影面时，物体在投影面上的投影叫做正投影．平面图形的正投影的规律：平行形不变，倾斜形改变，垂直成线段．考点例析例在同一时刻，物体的高度与它在阳光下的影长成正比．在某一时刻，有人测得一高为1.8 m的竹竿的影长为3 m，某一高楼的影长为60 m，那么这幢高楼的高度是（）A．18 m B．20 m C．30 m D．36 m分析：设此高楼的高度为x m，根据同一时刻物高与影长成正比例列出关于x的比例式，求解即可．归纳：投影中蕴含着相似三角形，借助相似三角形的性质进行相关计算可使问题迎刃而解．跟踪训练1.如图，正方形纸板的一条对角线垂直于地面，纸板上方的灯（看作一个点）与这条对角线所确定的平面垂直于纸板．在灯光照射下，正方形纸板在地面上形成的影子的形状可以是（）A B C D2.学习投影后，小华利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度．如图，身高1.7 m的小明从路灯灯泡A的正下方点B处，沿着平直的道路走8 m到达点D处，测得影子DE长为2 m，则路灯灯泡A 离地面的高度AB为m．第2题图专项六三视图知识清单1．对一个物体在三个投影面内进行正投影，在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做；在侧面内得到的由左向右观察物体的视图，叫做．2．画三视图时，三个视图都要放在正确的位置，并且注意视图与视图的长对正，视图与视图的高平齐，视图与视图的宽相等．考点例析例1一个几何体如图1所示，它的左视图是（）A B C D 图1分析：左视图是由左向右观察物体的视图．归纳：画三视图时一定要将物体的边缘、棱、顶点都体现出来，并规定：看得见部分的轮廓线画成实线，因被其他部分遮挡而看不见部分的轮廓线画成虚线，不能漏掉．例2 由若干个完全相同的小立方块搭成的几何体的左视图和俯视图如图2所示，则搭成该几何体所用的小立方块的个数可能是（）A．4个B．5个C．7个D．8个图2分析：由左视图第一行有1个正方形，结合俯视图可知几何体上面一层有1或2个小立方块，由左视图第二行有2个正方形，结合俯视图可知几何体下面一层有4个小立方块，所以该几何体有5或6个小立方块．例3 如图是一个几何体的三视图，根据图中所标数据计算这个几何体的体积为（）A．12πB．18πC．24πD．30π图3分析：观察三视图可知该几何体是空心圆柱，根据圆柱体积公式结合图中数据计算即可．归纳：根据三视图计算几何体的表面积或体积时，首先要确定几何体的形状，若是常见几何体，根据几何体的表面积公式或体积公式直接计算即可；若是较复杂的组合体，可拆分成常见几何体再进行计算．注意要准确判断三视图中的已知数据在实物图中对应的含义．跟踪训练1.如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是（）A．圆锥B．长方体C．球D．圆柱第1题图第2题图2.如图所示的几何体是由5个大小相同的小正方体搭成的，其左视图是（）A B C D3.如图，该几何体的左视图是（）A B C D第3题图第4题图4.如图是由若干个相同的小立方体搭成的几何体的主视图和左视图，则搭成这个几何体的小立方体的个数不可能是（ ）A ．3B ．4C ．5D ．65.我国某型号运载火箭的整流罩的三视图如图所示，根据图中数据（单位：米）计算该整流罩的侧面积（单位：平方米）是（ ）A ．7.2πB ．11.52πC ．12πD ．13.44π第5题图 第6题图 6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的侧面展开图中圆心角的度数为（ ）A ．214°B ．215°C ．216°D ．217°专项七 图形变换中的分类讨论思想知识清单在解决图形变换的有关问题时，由于经过变换的图形位置或形状不确定常导致问题的结果有多种可能，这时就需要把待求解的问题根据图形变换的可能性结合题目要求进行分类讨论，分类讨论时要选择恰当的分类标准，做到不重复、不遗漏．考点例析例 如图1，已知AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AB ＝3，E 为射线BC 上一动点，连接AE ，将△ABE 沿AE 折叠，点B 落在点B ′处，过点B ′作AD 的垂线，分别交AD ，BC 于M ，N 两点．当B ′为线段MN 的三等分点时，BE 的长为（ ）A ．32BC ．32D图1分析：当MB '＝13MN 时，如图2所示；当NB '＝13MN 时，如图3所示．可设BE ＝x ，由折叠的性质表示出相关线段，再在Rt△B'EN中，利用勾股定理列方程即可求得BE的长．图2 图3跟踪训练1.如图，在△AOB中，OA＝4，OB＝6，AB＝△AOB绕原点O旋转90°，则旋转后点A的对应点A′的坐标是（）A．（4，2）或（﹣4，2）B．()4-或()-C．()-或()2-D．(2,-或(-第1题图第3题图2.）在矩形ABCD中，AB＝2 cm，将矩形ABCD沿某直线折叠，使点B与点D重合，折痕与直线AD 交于点E，且DE＝3 cm，则矩形ABCD的面积为cm2．3.如图，腰长为2的等腰三角形ABC中，顶角∠A＝45°，D为腰AB上的一个动点，将△ACD沿CD折叠，点A落在点E处．当CE与△ABC的某一条腰垂直时，BD的长为．参考答案专项一轴对称与中心对称例1 A 例2 B1．D 2．（2，﹣4）3．33°4专项二图形的平移例 31．C 2.（0，﹣2） 3.（4，﹣1）专项三图形的旋转例 C1．B 2．C 3．C 4.（2，2）专项四立体图形的展开与折叠例1 C 例2 D1．D 2．A 3．A专项五投影例 D1．D 2．8.5专项六三视图例1 B 例2 B 例3 B1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．C专项七图形变换中的分类讨论思想例 D1．C 2．(或(6-3或- 11 -。
中考数学复习专项知识总结—图形的变换(中考必备)
中考数学复习专项知识总结—图形的变换（中考必备）1、平移(1)定义：把一个图形沿着某一直线方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移。
(2)平移的性质：平移后的图形与原图形全等；对应角相等；对应点所连的线段平行(或在同一条直线上)且相等。
(3)坐标的平移：点（x，y）向右平移a个单位长度后的坐标变为（x+a，y）；点（x，y）向左平移a个单位长度后的坐标变为（x-a，y）；点（x，y）向上平移a个单位长度后的坐标变为（x，y+a）；点（x，y）向下平移a个单位长度后的坐标变为（x，y-a）。
2、轴对称(1)轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。
这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点。
(2)轴对称图形：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形。
这条直线叫做它的对称轴。
(3)轴对称的性质：关于某条直线对称的图形是全等形。
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
轴对称图形的对称轴，是任何一对对应点所连线段的垂直平分线。
(4)线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等；与一条线段两个端点距离相等的点，在线段的垂直平分线上。
(5)坐标与轴对称：点（x，y）关于x轴对称的点的坐标是（x，-y）；点（x，y）关于y轴对称的点的坐标是（-x，y）；3、旋转(1)旋转定义：把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，叫做图形的旋转。
点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。
如果图形上的点P经过旋转变为点P′，那么这两个点叫做这个旋转的对应点。
旋转的性质：①对应点到旋转中心的距离相等；①对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；①旋转前后的图形全等。
(2)中心对称定义：把一个图形绕着某一点旋转180°，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称。
以“作图”促理解 探“变化”提素养——2020年中考“图形的变化”专题解题分析
以“作图”促理解探“变化”提素养——2020年中考“图形的变化”专题解题分析钟文丽，万妍青（上海市宝山区教育学院；上海市虎林中学）摘要：几何是研究空间形式的科学，图形是其最主要的表征形式.“图形的变化”作为初中数学几何学习的重点内容之一，是培养学生直观想象、发展空间观念、提升逻辑思维能力的重要载体.文章从“作图”的角度，对2020年全国各地区中考数学试卷中部分涉及“图形的变化”的试题进行评析，并基于几何作图视角通过观察问题、分析问题并解决问题，逐步完善学生的认知结构体系，对“图形的变化”知识的内在联系进行归纳、梳理，落实以逻辑推理为核心的思维发展，提升学生的数学学科核心素养.关键词：图形的变化；几何作图；中考数学收稿日期：2020-09-27作者简介：钟文丽（1969—），女，高级教师，主要从事初中数学教学实践与初中数学青年教师培养研究．一、考点概述《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》）要求通过具体实例了解各种变化的概念，能借助图形探索几何变化后图形的性质，并能“运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计”.综观2020年全国各地区中考数学试题，在“图形的变化”专题有侧重对学生作图能力的考查的趋势，部分地区“图形的变化”部分的试题在灵活性和创新性上都颇具看点.而作图能力反映的是学生的基本应用技能和合情推理能力，同时也是直观想象和逻辑推理核心素养的体现.本文中选取的以作图为载体的“图形的变化”试题，考点主要体现在三个方面：（1）考查轴对称、旋转、平移三种图形变化的基本作图方法；（2）运用尺规作图法分析图形变化后的性质及特点；（3）助力“综合与实践”与“图形的变化”相关联的问题解决.二、试题分析1.重视基础，考查基本作图，强化直观想象能力“图形的变化”专题侧重对作图技能及图形性质的考查，经历对平移、旋转、轴对称的作图体验，在“观察—操作—归纳—应用”的过程中构建与此相关的知识经验，扎实作图技能.同时，在理解“作图步骤”的过程中，将文字语言转化为符号语言和图形语言，提升学生的数学阅读理解能力，进而强化学生的直观想象核心素养.例1（山东·烟台卷）如图1，已知点A ()2，0，B ()0，4，C ()2，4，D ()6，6，连接AB ，CD ，将线段AB绕着某一点旋转一定角度，使其与线段CD 重合（点A 与点C 重合，点B 与点D 重合），则这个旋转中心的坐标为．图1分析：解决此题的关键是能够找到对称中心.解：所作辅助线如图2所示，设旋转中心是点P ，··84则P ()4，2．图2【评析】此题已知两个对称点，要去寻找对称中心，可以借助尺规作图中作线段垂直平分线的方法，即两条中垂线的交点即为对称中心.灵活应用中心对称的性质是解决此题的关键所在.例2（安徽卷）如图3，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了以格点（网格线的交点）为端点的线段AB ，线段MN 在网格线上．图3BAM N（1）画出线段AB 关于线段MN 所在直线对称的线段A 1B 1（点A 1，B 1分别为点A ，B 的对应点）；（2）将线段B 1A 1绕点B 1顺时针旋转90°得到线段B 1A 2，画出线段B 1A 2．分析：此题考查了轴对称和旋转对称的作图方法.解：（1）图4中的线段A 1B 1即为所求．（2）图4中的线段B 1A 2即为所求．图4BAM NA 1B 1A 2【评析】此题第（1）小题考查了轴对称作图的方法，即找出图形中的关键点，过关键点作对称轴的垂线，延长垂线，在垂线的另一端取相等的线段，得到对应点，其他关键点以此类推，连接所有对应点即可得到对称后的图形；第（2）小题考查旋转作图的方法，即找出图形中的关键点，连接关键点和旋转中心，将连线按要求的方向与角度绕中心旋转，在连线上截取相等的线段，得到对应点，连接所有对应点即可得到旋转后的图形.此题是基本作图法最典型的呈现方式.例3（黑龙江·鸡西卷）如图5，正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点A ()5，2，B ()5，5，C ()1，1均在格点上．图5（1）将△ABC 向左平移5个单位得到△A 1B 1C 1，并写出点A 1的坐标；（2）画出△A 1B 1C 1绕点C 1顺时针旋转90°后得到的△A 2B 2C 1，并写出点A 2的坐标；（3）在（2）的条件下，求△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积．（结果保留π.）分析：结合图形平移和旋转的意义作出图形，并求出扫过的圆心角为直角的扇形面积.解：（1）如图6，△A 1B 1C 1即为所求，点A 1的坐标为A 1()0，2；（2）如图6，△A 2B 2C 1即为所求，点A 2的坐标为A 2()-3，-3；（3）如图6，因为BC =42+42=42，所以△A 1B 1C 1在旋转过程中扫过的面积为90π×()422360+12×3×4=8π+6．··85图6【评析】此题第（1）小题考查了平移作图的一般方法，即找出图形中的关键点，过关键点作直线，这条直线要与已知线段平行，在平行线上截取平移距离的长度，得到对应点，连接所有对应点即可得到平移后的图形；第（2）小题的作法同例2；第（3）小题考查了扇形面积和图形旋转之间的关系.《标准》指出，在“图形的变化”部分要能够画出轴对称、旋转和平移后的图形.通过掌握这些基本作图方法，有利于使学生从图形运动变化的角度看全等三角形、平行四边形、圆等几何图形，由静态几何转化为动态几何，更加了解图形的本质和意义.2.重视方法，借助尺规作图法，提升逻辑推理能力尺规作图是帮助学生理解“图形的变化”的基础步骤.一方面，作图为图形的变化提供了直观的图形条件；另一方面，作图也为运动提供了轨迹和思路.同时，在作图的过程中，体现了图形的运动路径，有利于发现运动中的不变性，从而有效解决问题，最终达到提升学生逻辑推理核心素养的目的.例4（湖南·长沙卷）如图7，人教版初中数学教科书八年级上册第48页告诉我们一种作已知角的平分线的方法.已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N．（2）分别以点M，N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求（如图7）．图7OABCMN试根据提供的材料完成下面问题．（1）这种作已知角的平分线的方法的依据是.（填序号）①SSS②SAS③AAS④ASA（2）试证明OC为∠AOB的平分线．分析：（1）根据题意填写作图依据；（2）利用（1）的作图依据，借助三角形全等进行证明.解：（1）①；（2）由基本作图方法，得OM=ON，OC=OC，MC=NC.因为在△OMC和△ONC中，△OMC≌△ONC（SSS），所以∠AOC=∠BOC，即OC为∠AOB的平分线．【评析】此题来源于教材，是对教材的“再理解”，其中蕴含着与轴对称相关联的知识点.从教材或配套练习册中选取素材进行变式成为中考命题的一种角度.因此，深度剖析教材、注重对教材中典型例题（练习题）资源的利用，也是促进问题解决的关键.学生在掌握基础知识、基本技能的同时，通过基本活动经验和基本思想方法的体验，能让“数学化”学习过程自然发生，以此深化数学思考，明晰数学本质.例5（四川·达州卷）如图8，点O在∠ABC的边BC上，以OB为半径作⊙O，∠ABC的平分线BM 交⊙O于点D，过点D作DE⊥BA于点E．图8（1）尺规作图（不写作法，保留作图痕迹），补全图形；（2）判断⊙O与DE交点的个数，并说明理由．分析：（1）根据题意作出圆、角平分线和垂线；（2）根据切线的性质判断⊙O与DE的位置关系.··86解：（1）补全后的图形如图9所示.（2）直线DE 与⊙O 相切，交点只有一个．理由：因为OB =OD ，所以∠ODB =∠OBD.因为BD 平分∠ABC ，所以∠ABM =∠CBM.所以∠ODB =∠ABD.所以OD ∥AB .因为DE ⊥BA ，所以DE ⊥OD.所以直线DE 是⊙O 的切线.所以⊙O 与直线DE 只有一个交点．【评析】此题中的尺规作图法体现在：作圆，作角平分线，过直线外一点作已知直线的垂线.凸显了综合作图与基本作图的关联，再根据轴对称和全等的相关性质，建立求作与已知之间的联系，从而找到解决问题的方法.此题展现了动手与动脑的和谐，又融入了对相关几何知识的理解，是一种深层次的“做中学”.例6（浙江·舟山卷）如图10，在等腰三角形ABC 中，AB =AC =25，BC =8，按下列步骤作图：①以点A 为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交AB ，AC 于点E ，F ，再分别以点E ，F 为圆心，大于12EF 的长为半径作弧相交于点H ，作射线AH ；②分别以点A ，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧相交于点M ，N ，作直线MN ，交射线AH 于点O ；③以点O 为圆心，线段OA 长为半径作圆．则⊙O 的半径为（）.图10OBCN HF E A M （A ）25（B ）10（C ）4（D ）5分析：如图11，设OA 交BC 于点T.解直角三角形求出AT 的长，再在Rt△OCT 中利用勾股定理构建方程即可解决问题．图11OBCN H FE A M T 解：如图11，设OA 交BC 于点T ．因为BC =8，AO 平分∠BAC ，所以AO ⊥BC ，BT =TC =4.所以AT =AC 2-CT 2=()252-42=2.在Rt△OCT 中，则有r 2=()r -22+42.解得r =5.故此题选D ．【评析】此题看似作图步骤复杂，但若从轴对称方向观察，其实就是轴对称性质的“集合”，利用轴对称性质构造基本图形——等腰三角形的三线合一.此题除了可以运用勾股定理列方程求解，还可以利用三角函数求解，即利用sin ∠B =sin ∠AON ，直接计算OA 的长度.再次体现了利用基本作图法和基本图形分析法解决问题的思路，灵活性较强.例7（福建卷）如图12，C 为线段AB 外一点．（1）求作四边形ABCD ，使得CD ∥AB ，且CD =2AB ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹.）（2）在（1）的四边形ABCD 中，AC ，BD 相交于点P ，AB ，CD 的中点分别为M ，N ，求证：M ，P ，N 三点在同一条直线上．分析：（1）借助基本作图法以平移运动，作CD ∥AB ，再作CD =2AB.（2）借助“X ”型基本图形，证明△APM ∽△CPN ，得到∠CPN +∠CPM =180°，继而得到M ，P ，N 三点共线.解：（1）如图13，四边形ABCD 即为所求.图12A C··87图14A B MNCD图13A BCDP （2）证明：如图14，因为CD ∥AB ，所以∠ABP =∠CDP ，∠BAP =∠DCP.所以△ABP ∽△CDP.因为AB ，CD 的中点分别为M ，N ，所以AB =2AM ，CD =2CN.连接MP ，NP ，因为∠BAP =∠DCP ，所以△APM ∽△CPN.所以∠APM =∠CPN.因为点P 在AC 上，所以∠APM +∠CPM =180°.所以∠CPN +∠CPM =180°.所以M ，P ，N 三点在同一条直线上．【评析】此题第（1）小题内涵丰富，有三种方法可达成“过直线外一点作已知直线的平行线”.在进行尺规作图时，有意识地启动一题多解，并对每种作图方法都给出逻辑证明，这样可以在历练学生基本作图能力的基础上，使其知法明理；第（2）小题中证明“三点共线”需要学生具备很强的论证能力，联系中心对称的相关性质，体现“基本作图法”和“基本图形分析法”的有机结合，通过融入思维直觉与逻辑推理，在动手动脑中培养学生的数学学科核心素养.问题解决体现了“行动+反思”的学习过程：尺规作图既有具体的运动行为，也有对运动过程的表示及作图后的反思，即将“外部操作活动”转化为“内部思维活动”的问题载体.充分利用《标准》中的基本作图法，通过作图将复杂问题简单化，体现了转化思想.3.重视应用，设置问题情境，加强综合分析能力“图形的变化”部分的试题往往会和实际问题或函数问题相结合，通过设置具体的问题情境，体现思考、作图和证明的逻辑链，彰显数形结合思想.这正是《标准》所提倡的“经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”，考查了学生合情推理和演绎推理的能力.例8（上海卷）如果存在一条线把一个图形分割成两个部分，使其中一个部分沿某个方向平移后能与另一个部分重合，那么我们把这个图形叫做平移重合图形．下列图形中，平移重合图形是（）.（A ）平行四边形（B ）等腰梯形（C ）正六边形（D ）圆分析：根据“平移重合”的概念判断.解：如图15，在▱ABCD 中，取BC ，AD 的中点E ，F ，连接EF ．图15ABCDFE因为四边形ABEF 向右平移可以与四边形EFCD 重合，所以▱ABCD 是平移重合图形.【评析】此题通过阅读理解的形式考查了图形平移的性质.近年来，以阅读理解和图形的变化相结合的试题屡见不鲜.由此可见，通过阅读挖掘试题本质才是关键.例8（新疆生产建设兵团卷）如图16，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A ()1，3，将OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB ，点B 恰好在抛物线上，OB 与抛物线的对称轴交于点C．图16（1）求抛物线的解析式；（2）P 是线段AC 上一动点，且不与点A ，C 重合，过点P 作平行于x 轴的直线，与△OAB 的边分别交于M ，N 两点，将△AMN 以直线MN 为对称轴翻折，得到△A′MN ，设点P 的纵坐标为m ．①当△A′MN 在△OAB 内部时，求m 的取值范围；②是否存在点P ，使S △A′MN =56S △OA′B ，若存在，求出满足条件m 的值；若不存在，说明理由．分析：（1）抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点是A ()1，3，可以假设抛物线的解析式为y =a ()x -12+3，通过旋转的意义，求出点B 的坐标，利用待定系数法即可解决问··88题．（2）根据翻折的意义画出图形，①根据△A′MN 在△OAB 内部，构建不等式即可解决问题；②求出直线OA ，AB 的解析式，求出MN ，利用面积关系构建方程即可解决问题．解：（1）因为抛物线y =ax 2+bx +c 的顶点为A ()1，3，所以设抛物线的解析式为y =a ()x -12+3.因为OA 绕点O 顺时针旋转90°后得到OB.所以设点B 的坐标为B ()3，-1.把B ()3，-1代入y =a ()x -12+3，得a =-1.所以抛物线的解析式为y =-()x -12+3，即y =-x 2+2x +2.（2）①图17所以直线OB 的解析式为y =-13x.因为A ()1，3，所以C æèöø1，-13.因为P ()1，m ，AP =PA′，所以A′()1，2m -3.由题意-13<2m -3<3，得43<m <3．②因为直线OA 的解析式为y =3x ，直线AB 的解析式为y =-2x +5，P ()1，m ，所以M æèöøm 3，m ，N æèöø5-m 2，m .所以MN =5-m 2-m 3=15-5m 6.因为S △A′MN =56S △OA′B ，所以12·()m -2m +3·15-5m 6=56×12×||||||2m -3+13×3.整理，得m 2-6m +9=||6m -8.解得m 1=6+19（舍），m 2=6-19.当点P 在x 轴下方时，同理，可得m 3m 4=（舍）.所以满足条件的m 的值为6-19或【评析】此题体现了在直角坐标系中解决“图形的变化”的问题，需要图形在坐标系中有“位置”，这个“位置”就是图形在直角坐标系中的坐标.借助基本作图法，作出旋转、翻折后的图形，利用全等三角形的性质求出其坐标.函数背景下的图形的变化问题，其本质是借助数形结合思想，理清变化前后图形之间的关系.例9（江苏·南京卷）如图18（1），要在一条笔直的路边l 上建一个燃气站，向l 同侧的A ，B 两个城镇分别铺设管道输送燃气．试确定燃气站的位置，使铺设管道的路线最短．（1）如图18（2），作出点A 关于l 的对称点A ′，线段A ′B 与直线l 的交点C 的位置即为所求，即在点C处建燃气站，所得路线ACB 是最短的．为了证明点C 的位置即为所求，不妨在直线l 上另外任取一点C ′，连接AC ′，BC ′，证明AC +CB <AC′+C′B.试完成这个证明．（2）如果在A ，B 两个城镇之间规划一个生态保护区，燃气管道不能穿过该区域.试分别给出下列两种情形的铺设管道的方案（不需说明理由）．①生态保护区是正方形区域，位置如图18（3）所示；②生态保护区是圆形区域，位置如图18（4）所示．ABl（1）BAC A′C′Bl AB l图18（2）（3）（4）分析：（1）借助轴对称的性质作出图形；（2）借助轴对称、正方形和圆的切线性质作出最短路线.解：（1）如图19，连接A′C′，因为点A ，A′关于直线l 对称，点C 在l 上，所以CA =CA′.所以AC +BC =A′C +BC =A′B.同理，可得AC′+C′B =A′C′+BC′.因为A′B <A′C′+C′B ，所以AC +BC <AC′+C′B.BAC A′C′l图19··89（2）如图20，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是折线ACDB（其中点D是正方形的顶点）；如图21，在点C处建燃气站，铺设管道的最短路线是折线ACD，DE，EB构成的曲线（其中CD，BE都与圆相切）.图20图21【评析】此题是“将军饮马”问题的典型变式.第（1）小题利用轴对称的相关性质证明了最短距离问题，建立了数学模型；第（2）小题借助第（1）小题的模型，解决了正方形和圆背景下的最短路径问题，考查了学生数学抽象和数学建模的核心能力.“图形的变化”虽然可以与不同背景的问题相结合，但是其作图依据还是来源于图形变换的性质.熟悉各种类型的作图方法，了解各类作图的原理，才能在“图形的变化”的新情境中游刃有余.三、复习建议通过对2020年全国部分地区中考数学试卷中“图形的变化”部分试题的分析，笔者认为在中考复习中应该注意以下三点.1.认识几何作图的价值，为“图形的变化”的教学奠定基础画图意识的培养不是一蹴而就的，教学中应设计适当的问题（任务），引导学生画图、用图，除了培养学生基本的画图技巧，还要加强学生的图形语言表达能力.在“图形的变化”的教学中，教师要紧密联系学生熟悉的实例，使学生认识生活中的图形变换，以观察、动手操作为主要方式组织学生开展实践活动，切实把握好图形变换的具体目标及其要求的“度”.例如，利用“图形的变化”设计图案是一项十分有趣的实践活动，教师应该充分发挥学生的主动性和创造性，引导学生自主设计漂亮的图案，在这样的活动中，学生主动进行基本作图技能的训练，这能对培养学生的类比推理及演绎推理能力起到潜移默化的作用.2.加强教学活动设计，为活动经验和数学思想方法的积累搭建平台“图形的变化”的教学不能仅停留在“作图”这个层面，要通过归纳等手段，引导学生理解作图的依据，发现变化中的不变性.只有深谙几何知识原理，才能驾轻就熟地解决这类问题.当然，“图形的变化”的问题背景千变万化，这就要求我们在日常教学时贯穿“能作图时尽量作图”，在作图的基础上看图说话、用图探究.同时紧扣“四基”，回归到数学知识的层面去分析和解释问题，并注重日常积累，这样才有利于培养学生的综合能力.3.以作图为抓手，在“图形的变化”的应用中提升数学素养“图形的变化”的应用不仅局限于作图或几何证明，而更多地体现在生活中的应用.例如，将图形的变化与图形设计相结合，将实际生活中的问题抽象成数学问题等，有助于培养学生的数学建模素养.通过解决此类问题，可以使学生透过运动的过程看本质，在复杂图形中发现基本图形，体验数学在解决实际问题中的价值和作用，有利于激发学生的数学学习兴趣，培养学生的创新意识和实践能力.如图22，体现了以作图为抓手的“图形的变化”的学习进程，无论是应用作图还是综合作图，最终都落实为基本作图，体现了扎实基础、回归本源的重要性.而每上升一个层级，又促进了学生数学学科核心素养的提升.由此可见，以作图为基点，积累“图形的变化”相关问题的解题经验，是培养学生几何直观、发展学生空间观念、提高学生发现问题和解决问题的能力的助力器.参考文献：［1］中华人民共和国教育部制定.义务教学数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.［2］仇恒光.尺规作图教学的策略探究［J］.中学数学教学参考（中旬），2018（4）：61-63.［3］李铁安.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读（初中数学）［M］.北京：教育科学出版社，2012.··90。
图形的变化——中心对称备战2023年中考数学考点微专题
考向5.4 图形的变化——中心对称【知识要点】1、定义把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心。
2、性质（1）关于中心对称的两个图形是全等形。
（2）关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。
（3）关于中心对称的两个图形，对应线段平行（或在同一直线上）且相等。
3、判定如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称。
4、中心对称图形把一个图形绕某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个店就是它的对称中心。
考点五、坐标系中对称点的特征 （3分） 1、关于原点对称的点的特征两个点关于原点对称时，它们的坐标的符号相反，即点P （x ，y ）关于原点的对称点为P ’（-x ，-y ）2、关于x 轴对称的点的特征两个点关于x 轴对称时，它们的坐标中，x 相等，y 的符号相反，即点P （x ，y ）关于x 轴的对称点为P ’（x ，-y ）3、关于y 轴对称的点的特征两个点关于y 轴对称时，它们的坐标中，y 相等，x 的符号相反，即点P （x ，y ）关于y 轴的对称点为P ’（-x ，y ）例：（2020·河北唐山·模拟预测）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为24A （﹣，﹣），04B （，-），11C （，﹣）（1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点33P （﹣，﹣），连接PC ，则tan BCP ＝ ．【分析】(1)分别作出点B 、C 关于原点对称的点，然后连接即可；(2)根据网格特点，找到AB的中点D，作直线CD，根据点D的位置写出坐标即可；(3)连接BP，证明△BPC是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.解：(1)如图所示，线段B1C1即为所求作的；(2)如图所示，D(-1，-4)；(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，BP2+BC2=PC2，∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，∴∠BCP=45°，∴tan∠BCP=1，故答案为1.【点拨】本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.一、单选题1．（2021·广西河池·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．（2021·湖北黄石·中考真题）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．梯形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．矩形3．（2021·广西贺州·中考真题）在平面直角坐标系中，点()3,2A 关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（－3，2）B ．（3，－2）C ．（－2，－3）D ．（－3，－2）4．（2020·陕西师大附中一模）直线l 1：y ＝﹣12x ＋1与直线l 2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A ．将l 1向下平移1个单位得到l 2 B ．将l 1向左平移1个单位得到l 2C ．将l 1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l 2D ．将l 1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l 2 二、填空题5．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝2k x图象相交于A 、B 两点，若点A 的坐标是（3，2），则点B 的坐标是___．6．（2021·山东临沂·一模）若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，下列关于x 的函数：①2y x =；②()0my m x=≠；③31y x =-；④2y x ．其中是“H 函数”的为________．（填上序号即可）7．（2021·湖北·武汉六中上智中学模拟预测）在平面直角坐标系中，点6(4,)P -与点(,1)Q m n +关于原点对称，那么m n +=________．8．（2021·湖南·张家界市永定区教育研究室一模）如图，以平行四边形ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 若D 点坐标为（5，3），则B 点坐标为__________．9．（2021·湖南师大附中高新实验中学二模）在平面直角坐标系中，若点(),P a b 的坐标满足0a b =≠，则称点P 为“对等点”．已知一个二次函数22y x mx m =+-的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_________．10．（2021·山东威海·一模）如图，O 是▱ABCD 的对称中心，点E 在边BC 上，AD ＝7，BE ＝3，将ABE △绕点O 旋转180°，设点E 的对应点为E '，则AEE ABCDSS'＝______．三、解答题11．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为24A （﹣，﹣），04B （，-），11C （，﹣）（1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点33P （﹣，﹣），连接PC ，则tan BCP ∠＝ ．12．（2018·山东枣庄·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上．（1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．一、单选题1．（2021·广西河池·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A ．B ．C ．D ．2．（2021·湖北黄石·中考真题）下列几何图形中，是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A ．梯形B ．等边三角形C ．平行四边形D ．矩形3．（2021·广西贺州·中考真题）在平面直角坐标系中，点()3,2A 关于原点对称的点的坐标是（ ） A ．（－3，2）B ．（3，－2）C ．（－2，－3）D ．（－3，－2）4．（2020·陕西师大附中一模）直线l 1：y ＝﹣12x ＋1与直线l 2关于点（1，0）成中心对称，下列说法不正确的是（ ） A ．将l 1向下平移1个单位得到l 2 B ．将l 1向左平移1个单位得到l 2C ．将l 1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到l 2D ．将l 1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到l 25．（2021·内蒙古通辽·中考真题）定义：一次函数y ax b =+的特征数为,a b ，若一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，则一次函数2y x m =-+的特征数是（ ） A ．[]2,3B ．[]2,3-C ．[]2,3-D ．[]2,3--6．（2021·湖北荆门·中考真题）下列图形既是中心对称又是轴对称的是（ ）A ．B ．C ．D ．7．（2021·四川眉山·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线245y x x =-+与y 轴交于点C ，则该抛物线关于点C 成中心对称的抛物线的表达式为（ ） A ．245y x x =--+ B ．245y x x =++ C ．245y x x =-+-D ．245y x x =---8．（2020·黑龙江牡丹江·中考真题）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个二、填空题9．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，正比例函数y ＝k 1x 和反比例函数y ＝2k x图象相交于A 、B 两点，若点A 的坐标是（3，2），则点B 的坐标是___．10．（2021·山东临沂·一模）若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H 函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H 点”．根据该约定，下列关于x 的函数：①2y x =；②()0my m x=≠；③31y x =-；④2y x ．其中是“H 函数”的为________．（填上序号即可）11．（2021·湖北·武汉六中上智中学模拟预测）在平面直角坐标系中，点6(4,)P -与点(,1)Q m n +关于原点对称，那么m n +=________．12．（2021·湖南·张家界市永定区教育研究室一模）如图，以平行四边形ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系． 若D 点坐标为（5，3），则B 点坐标为__________．13．（2021·湖南师大附中高新实验中学二模）在平面直角坐标系中，若点(),P a b 的坐标满足0a b =≠，则称点P 为“对等点”．已知一个二次函数22y x mx m =+-的图像上存在两个不同的“对等点”，且这两个“对等点”关于原点对称，则m 的值为_________．14．（2021·山东威海·一模）如图，O 是▱ABCD 的对称中心，点E 在边BC 上，AD ＝7，BE ＝3，将ABE △绕点O 旋转180°，设点E 的对应点为E '，则AEE ABCDSS'＝______．15．（2021·山东聊城·中考真题）有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、菱形和圆，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的卡片正面上的图形都既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是__________． 16．（2020·贵州黔东南·中考真题）以▱ABCD 对角线的交点O 为原点，平行于BC 边的直线为x 轴，建立如图所示的平面直角坐标系．若A 点坐标为（﹣2，1），则C 点坐标为_____．三、解答题17．（2019·黑龙江绥化·中考真题）如图，已知ABC 三个顶点的坐标分别为24A （﹣，﹣），04B （，-），11C （，﹣）（1）请在网格中，画出线段BC 关于原点对称的线段11B C ；（2）请在网格中，过点C 画一条直线CD ，将ABC 分成面积相等的两部分，与线段AB 相交于点D ，写出点D 的坐标；（3）若另有一点33P （﹣，﹣），连接PC ，则tan BCP ＝ ．18．（2018·山东枣庄·中考真题）如图，在4×4的方格纸中，△ABC 的三个顶点都在格点上． （1）在图1中，画出一个与△ABC 成中心对称的格点三角形；（2）在图2中，画出一个与△ABC 成轴对称且与△ABC 有公共边的格点三角形； （3）在图3中，画出△ABC 绕着点C 按顺时针方向旋转90°后的三角形．1．B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答． 【详解】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意； B 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B 符合题意； C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 不符合题意； D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意； 故选：B ．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形要找到对称轴，图形关于对称轴折叠能完全重合；中心对称图形要找到对称中心，图形绕着对称中心旋转180°能与自身重合是解题的关键． 2．B 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可． 【详解】A 、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D 、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误． 故选：B ．【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键． 3．D 【解析】 【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解． 【详解】∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反， ∴点()3,2A 关于原点对称的点的坐标是（-3，-2）．故选：D．【点拨】考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．B【解析】【分析】设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣12x＋1上，代入可得直线l2解析式，根据直线l1与直线l2的解析式即可判断．【详解】解：设直线l2的点（x，y），则（2﹣x，﹣y）在直线l1：y＝﹣12x＋1上，∴﹣y＝﹣12（2﹣x）＋1，∴直线l2的解析式为：y＝﹣12x，A、将l1向下平移1个单位得到y＝﹣12x，故此选项正确；B、将l1向左平移1个单位得到y＝﹣12x＋12，故此选项错误；C、将l1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y＝﹣12x，故此选项正确；D、将l1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y＝﹣12x，故此选项正确；故选：B．【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l2的解析式是关键．5．（﹣3，﹣2）【解析】【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A、B两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A、B两点关于原点对称，∵A的坐标为（3，2），∴B的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点拨】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.6．①②【解析】【分析】设函数上一个点的坐标为(,)a b ，先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得对称点的坐标为(,)a b --，再代入函数的解析式逐个检验即可得．【详解】解：设函数上一个点的坐标为(,)a b ，则其关于原点对称的点坐标为(,)a b --，①将点(,)a b 代入2y x =得：2b a =，当x a =-时，2y a b =-=-，即点(,)a b --在函数2y x =上，则函数2y x =是“H 函数”；②将点(,)a b 代入()0m y m x =≠得：m b a =， 当x a =-时，m y b a ==--，即点(,)a b --在函数()0m y m x =≠上， 则函数()0m y m x=≠是“H 函数”； ③将点(,)a b 代入31y x =-得：31b a =-，即31a b =+，当x a =-时，312y a b =--=--，则点(,)a b --不在函数31y x =-上，此函数不是“H 函数”；④将点(,)a b 代入2y x 得：2b a =，当x a =-时，22()y a a b =-==，则点(,)a b --不在函数2y x 上，此函数不是“H 函数”；综上，是“H 函数”的为①②，故答案为：①②．【点拨】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，理解“H 函数”的定义是解题关键． 7．1．【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】由点6(4,)P -与点(,1)Q m n +关于原点对称，得4,16m n =-+=，所以5n =．则451m n +=-+=，故答案为：1．【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．8．（－5，－3）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据平行四边形ABCD 对角线的交点O 为原点和点D 的坐标，即可得到点B 的坐标．【详解】解：∵坐标原点O 为平行四边形ABCD 对角线的交点∴B 、D 两点关于点O 对称∵D （5，3）∴B （-5，-3）故答案为：（-5，-3）【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形性质解答．9．12【解析】【分析】设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【详解】解：设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入22y x mx m =+-得 2222a am m a a am m a ⎧+-=⎨--=-⎩， 两式相减得24a am =， 解得12m =， 故答案为：12．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式．10．27【解析】 【分析】首先根据题意画出图形，进而可得AE '的长度，ABCD 和AEE '是等高，设高为h ，然后再利用平行四边形的面积和三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CDE '与ABE △关于点O 对称，连接EE '，∵CDE '与ABE △关于点O 对称， ∴3BE DE '== ，∵AD ＝7，∴4AE '=， 设ABCD 的高为h ，则AEE '的高也等于h ，则1422.77AEE h S S ABCD h '⨯== 故答案为：27．【点拨】本题主要考查了中心对称，以及平行四边形的性质，关键是正确画出图形，掌握中心对称的性质．11．（1）见解析；（2）见解析，()1,4D --；（3）1.【解析】【分析】(1)分别作出点B 、C 关于原点对称的点，然后连接即可；(2)根据网格特点，找到AB 的中点D ，作直线CD ，根据点D 的位置写出坐标即可；(3)连接BP ，证明△BPC 是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.【详解】(1)如图所示，线段B 1C 1即为所求作的；(2)如图所示，D(-1，-4)；(3)连接BP，则有BP2=32+12=10，BC2=32+12=10，BC2=42+22=20，BP2+BC2=PC2，∴△BPC是等腰直角三角形，∠PBC=90°，∴∠BCP=45°，∴tan∠BCP=1，故答案为1.【点拨】本题考查了作图——中心对称，三角形中线的性质，勾股定理的逆定理，正切，熟练掌握相关知识并能灵活运用网格的结构特征是解题的关键.12．（1）如图所示见解析；（2）如图所示见解析；（3）如图所示见解析.【解析】【分析】（1）根据中心对称的定义画图即可.（2）根据轴对称的定义画出图形，注意与已知三角形有公共边.（3）明白顺时针的方向，根据要求画图即可.【详解】（1）如图所示，△DCE为所求作；（2）如图所示，△ACD为所求作；（3）如图所示△ECD为所求作．【点拨】本题是一道画图题，考查动手能力，解题关键是掌握轴对称，中心对称等定义．1．B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，即可解答．【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A不符合题意；B、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故B符合题意；C 、是中心对称图形，不是轴对称图形，故C 不符合题意；D 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A 不符合题意；故选：B ．【点拨】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的定义，理解轴对称图形要找到对称轴，图形关于对称轴折叠能完全重合；中心对称图形要找到对称中心，图形绕着对称中心旋转180°能与自身重合是解题的关键．2．B【解析】【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质对各项进行分析即可．【详解】A 、梯形不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项说法错误；B 、等边三角形是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项说法正确；C 、平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项说法错误；D 、矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项说法错误．故选：B ．【点拨】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握轴对称图形和中心对称图形的定义以及性质是解题的关键．3．D【解析】【分析】由两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反特点进行求解．【详解】∵两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，∴点()3,2A 关于原点对称的点的坐标是（-3，-2）．故选：D ．【点拨】考查了关于原点对称的点的坐标，解题关键是掌握好对称点的坐标规律：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数；关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．4．B【解析】【分析】设直线l 2的点（x ，y ），则（2﹣x ，﹣y ）在直线l 1：y ＝﹣12x ＋1上，代入可得直线l 2解析式，根据直线l 1与直线l 2的解析式即可判断．【详解】解：设直线l 2的点（x ，y ），则（2﹣x ，﹣y ）在直线l 1：y ＝﹣12x ＋1上，∴﹣y ＝﹣12（2﹣x ）＋1，∴直线l 2的解析式为：y ＝﹣12x ，A 、将l 1向下平移1个单位得到y ＝﹣12x ，故此选项正确；B 、将l 1向左平移1个单位得到y ＝﹣12x ＋12，故此选项错误；C 、将l 1向左平移4个单位，再向上平移1个单位得到y ＝﹣12x ，故此选项正确；D 、将l 1向右平移2个单位，再向下平移2个单位得到y ＝﹣12x ，故此选项正确； 故选：B ．【点拨】本题考查一次函数图象与几何变换，求得直线l 2的解析式是关键．5．D【解析】【分析】先求出平移后的直线解析式为23y x m =-++，根据与反比例函数3y x =-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，得到直线23y x m =-++经过原点，从而求出m ，根据特征数的定义即可求解．【详解】解：由题意得一次函数2y x m =-+的图象向上平移3个单位长度后解析式为23y x m =-++，∵直线23y x m =-++与反比例函数3y x=-的图象交于A ，B 两点，且点A ，B 关于原点对称，∴点A ，B ，O 在同一直线上，∴直线23y x m =-++经过原点，∴m +3=0，∴m =-3，∴一次函数2y x m =-+的解析式为23y x =--，∴一次函数2y x m =-+的特征数是[]2,3--．故选：D【点拨】本题考查了新定义，直线的平移，一次函数与反比例函数交点，中心对称等知识，综合性较强，根据点A ，B 关于原点对称得到平移后直线经过原点是解题关键．6．C【解析】【分析】根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，以及轴对称图形的定义即可判断出．【详解】解：A 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意．B 、∵此图形旋转180°后能与原图形重合，∴此图形是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C 、此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项符合题意；D 、∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，也不是轴对称图形，故此选项不符合题意．故选：C ．【点拨】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．7．A【解析】【分析】先求出C 点坐标，再设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），求出它关于点C 对称的点的坐标，代入到原抛物线解析式中去，即可得到新抛物线的解析式．【详解】解:当x =0时，y =5，∴C （0,5）；设新抛物线上的点的坐标为（x ,y ），∵原抛物线与新抛物线关于点C 成中心对称，由20x x ⨯-=-，2510y y ⨯-=-；∴对应的原抛物线上点的坐标为(),10x y --；代入原抛物线解析式可得：()()21045y x x -=--⋅-+，∴新抛物线的解析式为：245y x x =--+；故选：A ．【点拨】本题综合考查了求抛物线上点的坐标、中心对称在平面直角坐标系中的运用以及求抛物线的解析式等内容，解决本题的关键是设出新抛物线上的点的坐标，求出其在原抛物线上的对应点坐标，再代入原抛物线解析式中求新抛物线解析式，本题属于中等难度题目，蕴含了数形结合的思想方法等．8．B【解析】【详解】解：第一个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第二个图是轴对称图形，不是中心对称图形；第三个图是轴对称图形，又是中心对称图形；第四个图是轴对称图形，不是中心对称图形；既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．故选B ．9．（﹣3，﹣2）【解析】【分析】由于正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，所以A 、B 两点关于原点对称，由关于原点对称的点的坐标特点求出B 点坐标即可．【详解】解：∵正比例函数与反比例函数的图象均关于原点对称，∴A 、B 两点关于原点对称，∵A 的坐标为（3，2），∴B 的坐标为（﹣3，﹣2）．故答案为：（﹣3，﹣2）．【点拨】本题主要考查了关于原点对称点的坐标关系，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.10．①②【解析】【分析】设函数上一个点的坐标为(,)a b ，先根据关于原点对称的点坐标变换规律可得对称点的坐标为(,)a b --，再代入函数的解析式逐个检验即可得．【详解】解：设函数上一个点的坐标为(,)a b ，则其关于原点对称的点坐标为(,)a b --，①将点(,)a b 代入2y x =得：2b a =，当x a =-时，2y a b =-=-，即点(,)a b --在函数2y x =上，则函数2y x =是“H 函数”；②将点(,)a b 代入()0m y m x =≠得：m b a =， 当x a =-时，m y b a ==--，即点(,)a b --在函数()0m y m x =≠上， 则函数()0m y m x=≠是“H 函数”； ③将点(,)a b 代入31y x =-得：31b a =-，即31a b =+，当x a =-时，312y a b =--=--，则点(,)a b --不在函数31y x =-上，此函数不是“H 函数”；④将点(,)a b 代入2y x 得：2b a =，当x a =-时，22()y a a b =-==，则点(,)a b --不在函数2y x 上，此函数不是“H 函数”；综上，是“H 函数”的为①②，故答案为：①②．【点拨】本题考查了关于原点对称的点坐标变换规律，理解“H 函数”的定义是解题关键． 11．1．【解析】【分析】根据关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数，可得答案．【详解】由点6(4,)P -与点(,1)Q m n +关于原点对称，得4,16m n =-+=，所以5n =．则451m n +=-+=，故答案为：1．【点拨】本题考查了关于原点对称的点的坐标，解决本题的关键是掌握好对称点的坐标规律：关于原点对称的点，横坐标与纵坐标都互为相反数．12．（－5，－3）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据平行四边形ABCD 对角线的交点O 为原点和点D 的坐标，即可得到点B 的坐标．【详解】解：∵坐标原点O 为平行四边形ABCD 对角线的交点∴B 、D 两点关于点O 对称∵D （5，3）∴B （-5，-3）故答案为：（-5，-3）【点拨】本题考查了平行四边形的性质，坐标与图形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行四边形性质解答．13．12【解析】【分析】设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入抛物线的解析式，两式相减，计算即可求得．【详解】解：设这两个“对等点”的坐标为(),a a 和(),a a --，代入22y x mx m =+-得 2222a am m a a am m a ⎧+-=⎨--=-⎩， 两式相减得24a am =， 解得12m =， 故答案为：12．【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数以及关于原点对称的点的坐标，图象上点的坐标适合解析式．14．27【解析】【分析】首先根据题意画出图形，进而可得AE '的长度，ABCD 和AEE '是等高，设高为h ，然后再利用平行四边形的面积和三角形的面积公式计算即可．【详解】解：作CDE '与ABE △关于点O 对称，连接EE '，∵CDE'与ABE△关于点O对称，∴3BE DE'==，∵AD＝7，∴4AE'=，设ABCD的高为h，则AEE'的高也等于h，则1422.77 AEEhSS ABCD h'⨯==故答案为：27．【点拨】本题主要考查了中心对称，以及平行四边形的性质，关键是正确画出图形，掌握中心对称的性质．15．1 6【解析】【分析】由等边三角形、平行四边形、菱形、圆中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的有菱形、圆，再画出树状图展示所有等可能的结果，进而即可求得答案．【详解】解：设等边三角形、平行四边形、菱形、圆分别为A，B，C，D，根据题意画出树状图如下：一共有12种情况，抽出的两张卡片的图形既是中心对称图形，又是轴对称图形为C、D共有2种情况，∴P（既是中心对称图形，又是轴对称图形）＝2÷12＝16．故答案是：16． 【点拨】本题考查了列表法和树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图，是解题的关键．16．（2，﹣1）【解析】【分析】根据平行四边形是中心对称图形，再根据▱ABCD 对角线的交点O 为原点和点A 的坐标，即可得到点C 的坐标．【详解】解：∵▱ABCD 对角线的交点O 为原点，A 点坐标为（﹣2，1），∴点C 的坐标为（2，﹣1），故答案为：（2，﹣1）．【点拨】此题考查中心对称图形的顶点在坐标系中的表示．17．（1）见解析；（2）见解析，()1,4D --；（3）1.【解析】【分析】(1)分别作出点B 、C 关于原点对称的点，然后连接即可；(2)根据网格特点，找到AB 的中点D ，作直线CD ，根据点D 的位置写出坐标即可；(3)连接BP ，证明△BPC 是等腰直角三角形，继而根据正切的定义进行求解即可.【详解】(1)如图所示，线段B 1C 1即为所求作的；(2)如图所示，D(-1，-4)；。
2020年中考数学专题突破二十三：利用旋转处-理共顶点问题资料
20 20 年中考数学专题突破二十三：利用旋转处-理共顶点问题专题二十三：利用旋转处理共顶点问题导例：如图，将“ABC绕点A顺时针旋转|120°,得到A ADEj这时点D, E, B恰好在同一直线上，则疋ABC的度数为___ •分析：根据全等三角形的对应角相等可得到 / ABC= / D, AD=AB，由/DAB=120。
，得到ZD的度数，即可得到/ ABC的度数【方法指引】方法指引：旋转作为变换的主要作用是把分散的线段、角等相关条件集中起来，从而使已知条件集中在一个我们熟知的基本图形之中，或者把比较集中的条件通过旋转变换进行打散，进行可以转化为一个我们熟知的基本图形，利用旋转变换后的新图形的性质对原图形进行研究，从而使得原问题得到转化那么对于题目中出等现的线段共端点的时候考虑补全旋转结构，添加适当的辅助线从而进行条件的转化.【例题精讲】类型一：可看作旋转情境下的全等类型的证明例1、如图，在△ ABC中，Z BAC=90°,AC=2AB，D是AC的中点，以AD为斜边在△ ABC外作直角三角形AED，使得Z AED=90°,AE=DE，连接BE，EC.试猜想线段BE和CE的数量关系及位置关系，并证明你的猜想.【分析】根据题意可以求出AB=DC/ EAB= ECD可以得到厶BAE^A CDE从而得到/ AEB2 DEC EB=EC我们也可以看作厶BAE绕点A旋转90°得到△ CDE从进转化为证明这两个三角形全等进行问题的解答类型二：依据共顶点的等线段考虑旋转构图进行证明例2、如图,在等腰直角△ ABC中,/ CAB=90 , F是AB边上一点，作射线CF,过点B作BG丄CF于点G,连接AG .(1) 求证：/ ABG= / ACF;(2) 用等式表示线段CG, AG , BG之间的等量关系，并证明.【分析】(1)根据等角的余角相等即可得到答案；(2)由AB=AC且是共顶点的等线段，考虑△ ABG绕点A逆时针旋转90°,所以在CG上截取CH=BG连接AH利用全等三角形的判定和性质进行解答.【专题过关】1. 如图，已知ABC的高，AD= BC,以AB为底边作等腰Rt△ ABE EF//AD,交AC于F,连ED, EC,有以下结论：①厶ADE^A BCE②CEL AB ③BD= 2EF;④S^BDE=S A ACE其中正确的是( )BD=6 , CF=8,求 AD 的长.A.①②③B.②④C.①③D.①③④ 2、如图，正方形 ABCD 中，E , F 分别为AB , AD 上的点，AF=BE , CE 交B于点H , BF 交AC 于点M , 0为AC 的中点,1 论：① BF 丄CE ;② OM=ON ;③ 0H= —CN ; 23、如图，△ ABC 中，/ BAC=90 °,AB=AC ,AD ，过点A 作AE 丄AD ，并且始终保持 AE=AD ，连接CE .(1)求证：△ ABD ACE ;(2)若AF 平分/ DAE 交BC 于F ,探究线段BD ，DF ，FC 之间的数量关系,0B 交CE 于N ，连0H ，下列结④.OH+BH=CH.其中正确的是点D 是BC 上一动点，连接并证明;4. 在△ ABC中，/ ACB= 90°, AC= BC, D为AB的中点，点E为AC延长线上一点，连接DE，过点D作DF丄DE交CB的延长线于点F.(1)求证：BF = CE;(2)若CE = AC,用等式表示线段DF与AB的数量关系，并证明.5. 在厶ABC中，/ BA C= 90，AB=AC点D为直线BC上一动点(点D不与点B、C重合)，以AD为直角边在AD右侧作等腰直角三角形ADE使Z DAE= 90，连结CE探究：如图①，当点D在线段BC上时，证明BC=CE+CD.应用：在探究的条件下，若AB解，CD=1则厶DCE的周长为_—拓展：(1)如图②，当点D在线段CB的延长线上时，BC CD CE之间的数量关系为.⑵如图③，当点D在线段BC的延长线上时，BC CD CE之间的数量关系圍6 如图1,在厶ABC中，AB=AC，过B点作射线BE,过C点作射线CF，使/ ABE= / ACF，且射线BE, CF交于点D .过A点作AM丄BD于M .(1)求证：BM=DM+DC .(2)如图2,将射线BE, CF分别绕点B和点C顺时针旋转至如图位置，若/ABE= / ACF仍然成立，射线BE交射线CF的反向延长线于点D，过A点作AM丄BD于M •请问(1)中的结论是否还成立？如果成立，请证明•如果不成立，线段BM，DM，DC又有怎样的数量关系？并证明你的结论.图17、如图，已知：点 D 是厶ABC的边BC上一动点，且ABAC, DA=D£/ BA(=Z ADt= a.⑴如图1, 当a =60 时，zBC匡⑵如图2, 当a=90°时，试判断/BCE的度数是否发生改变，若变化，请指出其变化范围; 若不变化，请求出其值，并给出证明;(3)如图3,当a=120。
2020年中考数学专题：图形变换中的探究实践问题 训练
专题：图形变换中的探究型问题1.问题情境：小明将两个全等的Rt△ABC和Rt△DEF重叠在一起，其中∠ACB＝∠DFE＝90°，∠ABC ＝∠DEF＝30°，AC＝1.固定△DEF不动，将△ABC沿直线ED向左平移，当B与D重合时停止移动．猜想证明：(1)如图①，在平移过程中，当点D为AB中点时，连接DC，CF，BF，请你猜想四边形CDBF的形状，并证明你的结论；(2)如图②，在平移过程中，连接DC，CF，FB，四边形CDBF的形状在不断地变化，判断它的面积变化情况，并求出其面积；探索发现：(3)在平移过程中，四边形CDBF有什么共同特征？(写出两个即可)____________________________，____________________________________________；(4)请你提出一个与△ABC平移过程有关的新的数学问题(不必证明和解答)．2.问题情境勤奋小组在一次数学活动中，用硬纸片做了两个直角三角形，如图①、②，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，∠DEF＝90°，DE＝3，EF＝4.如图③，勤奋小组将△DEF的直角边DE与△ABC的斜边AB重合在一起，使点B与点E重合，发现BC⊥DF.独立探究(1)请你证明勤奋小组发现的结论；合作交流(2)创新小组受到勤奋小组的启发，继续探究，如图④，在图③的基础上，将△DEF沿BA方向平移，设DF、EF分别与边BC交于点G、H，发现当△DEF位于某一位置时点H 恰好在DF的垂直平分线上．请你求出此时BE的长；探索发现如图④，在图③的基础上，将△DEF沿BA方向平移，当点D到达A处时，停止平移．(3)在平移过程中，当△FGH≌△BEH时，求GH的值；(4)在平移过程中，当GH为何值时，点D位于△ABC某一边的垂直平分线上，任选一边，直接写出此时GH的值．3.问题情境在综合实践课上，老师让同学们以“全等等腰直角三角形纸片的图形变换”为主题开展数学活动．已知两张全等的等腰直角三角形纸片ABC和DEF，∠ACB＝∠DFE＝90°，AC ＝BC＝DF＝EF＝12 cm.操作发现(1)如图①，点F在边AB的中点M处，AB∥DE，将△DEF沿射线AB方向平移a cm，则当a＝______cm时，四边形CAFD是菱形，菱形CAFD的面积为______cm2.(2)如图②，勤奋小组将图①中的△DEF以点F为旋转中心，按逆时针方向旋转一定角度，DF交BC于点G，EF交AC于点H，发现CG＝HA，请你证明这个结论．实践探究(3)请你参照以上小组的操作过程，将图①中的△DEF在同一平面内进行平移或旋转变换，在图③中画出变换后的图形，标明字母，说明变换方法，并结合图形提出一个问题，不必解答．4.综合与实践在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D为斜边AB上的动点(不与点A，B重合)．(1)操作发现：如图①，当AC＝BC＝6时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°得到线段CE，连接DE，BE.①∠CBE的度数为________；②当BE＝________时，四边形CDBE为正方形；(2)探究证明：如图②，当BC＝2AC时，把线段CD绕点C逆时针旋转90°后并延长为原来的两倍，记为线段CE，连接DE，BE.①在点D的运动过程中，请判断∠CBE与∠A的大小关系，并证明；②当CD⊥AB时，求证：四边形CDBE为矩形；(3)拓展延伸：在(2)的探究条件下，当BC＝6时，在点D运动过程中，请在图③中画出DE⊥BC时的△CDE，并直接写出此时四边形CDBE的面积．5.问题情境在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形的旋转”为主题开展数学活动，如图①，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3.操作发现(1)将图①中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α，使α＝∠DAB，得到如图②所示的矩形AB′C′D′，分别连接DD′，BB′，则DD′与BB′的位置关系是________；(2)创新小组将图①中的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α，使点B′恰好落在DC边上，得到如图③所示的矩形AB′C′D′，连接D′D，BB′并延长，延长线交于点P，发现△B′DP是直角三角形，请你证明这个结论；实践探究(3)勤奋小组将图①的矩形ABCD绕点A逆时针旋转角α(α<90°)，使点B′恰好落在AB 的垂直平分线上，得到如图④所示的矩形AB′C′D′，连接D′D，BB′并延长交于点P，请直接写出PB′的长；(4)请仿照上述小组的探究过程，将矩形ABCD继续绕点A逆时针旋转，使得α>90°，连接D′D，BB′，你能从中得到什么结论，请直接写出，无需作答．4.问题情境在综合与实践课上，老师组织同学们以“三角形纸片的旋转”为主题开展数学活动．如图①，现有矩形纸片ABCD，AB＝4 cm，AD＝3 cm.连接BD，将矩形ABCD沿BD剪开，得到△ABD和△BCE.保持△ABD位置不变，将△BCE从图①的位置开始，绕点B按逆时针方向旋转，旋转角为α(0°≤α＜360°)．操作发现(1)在△BCE 旋转过程中，连接AE ，AC ，则当α＝0°时，ACAE 的值是________；(2)如图②，将图①中的△BCE 旋转，当点E 落在BA 延长线上时停止旋转，求出此时ACAE 的值；实践探究(3)如图③，将图②中的△BCE 继续旋转，当AC ＝AE 时停止旋转，直接写出此时α的度数，并求出△AEC 的面积；(4)将图③中的△BCE 继续旋转，则在某一时刻AC 和AE 还能相等吗？如果不能，则说明理由；如果能，请在图④中画出此时的△BCE ，连接AC ，AE ，并直接写出△AEC 的面积值．5. 如图①，将一个等腰直角三角尺ABC 的顶点C 放置在直线l 上，∠ABC ＝90°，AB ＝B C.过点A 作AD ⊥l 于点D.过点B 作BE ⊥l 于点E .观察发现：(1)如图①，当A ，B 两点均在直线l 的上方时． ①猜测线段AD ，CE 与BE 的数量关系，并说明理由； ②直接写出线段DC ，AD 与BE 的数量关系； 操作证明：(2)将等腰直角三角尺ABC绕着点C逆时针旋转至图②位置时，线段DC，AD与BE又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；拓广探索：(3)将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续旋转至图③位置时，AD与BC交于点H，若CD＝3，AD＝9.请直接写出DH的长度；(4)参照上述探究思路，将等腰直角三角尺ABC绕着点C继续逆时针旋转，当点D与点C重合时，画出图形，找出一对相似三角形，不需要证明．2. (11分)综合与实践问题情境在一节数学活动课上，李老师让每个学习小组拿出课前就制作好的Rt△ABC，其中AC ＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，通过折叠，展开数学活动．探究发现(1)“自强”小组将Rt△ABC折叠使点B与点C重合，折痕为DE，如图①，他们很快研究出了S△ADC：S△DEC的值. 请你写出计算过程；(2)“奋进”小组将Rt△ABC折叠使点B与点A重合，折痕为DE，如图②，有同学认为图①、图②两种折叠方法折痕DE的长是相等的．你同意他的观点吗？请说出你的理由；问题解决(3)“开拓”小组将∠B沿DE折叠，使点B落在了点B′，且B′E⊥AB于点F，如图③.当AD＝8时，试判断以B′、D、C、A为顶点的四边形的形状，并说明理由；(4)“创新”学习小组用“开拓”学习小组的折叠方法使点F恰好是边AB的中点．除∠A与∠B互余外，你还能发现哪些互余的角，写出一组，不需要证明．第2题图3. (12分)综合与实践问题背景在一节数学活动课上，张老师把一些宽度均为3 cm的矩形纸条分发给各个小组，要求各小组通过折纸来研究数学问题.实践操作(1)“明志”小组提出：将纸条按如图①的方式折叠，并将重叠部分剪下，得到图②中的四边形ABCD，再将四边形ABCD沿MN折叠，使点B落在边AD上的点B′处，点C落在点C′处，若AB′＝1，则折痕MN的长度是________；(2)“明理”小组在进行了如图①的折叠后，把得到的四边形向右折叠了两次，如图③所示．将重叠部分剪下得到如图④的四边形EFGH，然后将四边形EFGH沿PQ折叠，使点G恰好落在边EH上的点G′处；若测得∠PQG＝30°，请求出四边形QPHG′的面积；(3)“明德”小组用与“明理”小组同样的方法得到四边形EFGH，如图⑤，然后将四边形EFGH沿IJ折叠，使点G与点E重合，点H落在了点H′处．请判断四边形EJGI的形状，并说明理由；拓展创新(4)在图⑤中，由折叠的性质可以知EH′＝GH＝3 cm，那么能否求出四边形EJIH′其他边的长度呢？若能，直接写出一条边的长度，若不能，请说明理由．第3题图1.解：(1)菱形；(1分)证明：由平移得CF∥AD，CF＝AD，(2分)∵点D为AB的中点，∴AD＝BD，∴CF＝BD，(3分)又∵CF∥AD，∴CF∥BD，∴四边形CDBF是平行四边形．(4分)在Rt△ACB中，CD为边AB的中线，∴CD＝DB，(5分)∴四边形CDBF是菱形；(6分)(2)四边形CDBF的面积是定值．(7分)如解图，过点C作CG⊥AB于点G，在Rt△AGC中，∵sin60°＝CGAC，AC＝1，∴CG＝32.(8分)∵AB＝ACsin30°＝2，∴S四边形CDBF＝12(CF＋DB)·CG＝12(AD＋DB)·CG＝12AB·CG＝S△ABC＝12×2×32＝32；(9分)第1题解图(3)①四边形CDBF的对角线互相垂直；②四边形CDBF一组对边平行；③四边形CDBF面积是一个定值；(11分)(写出两个即可，答案不唯一)(4)(答案不唯一，只要符合要求即可得1分)如：平移过程中，求∠FDB与∠CBD的和．(12分)2. (1)证明：如解图①，设BC与DF相交于点G.∵∠ACB ＝90°，∠DEF ＝90°， ∴∠ACB ＝∠DEF . ∵AC ＝6，DE ＝3， ∴AC DE ＝63＝2. ∵BC ＝8，EF ＝4， ∴BC EF ＝84＝2， ∴AC DE ＝BCFE，∴△ABC ∽△DFE ， ∴∠BAC ＝∠FDB ，∴AC ∥DF ， ∴∠DGB ＝∠ACB ＝90°， ∴BC ⊥DF ；(3分)第2题解图①(2)解：如解图②，连接DH ，设HE ＝x ，则FH ＝4－x ， ∵BC 垂直平分DF ， ∴DH ＝FH ＝4－x ， 在Rt △DEH 中，由勾股定理得x 2＋32＝(4－x )2，解得x ＝78，∴EH ＝78，∵∠HEB ＝∠C ＝90°， ∠B ＝∠B ，∴△BEH ∽△BCA ， ∴BE BC ＝EH CA， ∴BE 8＝786， ∴BE ＝76；(6分)第2题解图②(3)解：设GH ＝y ，在△DEF 中，由勾股定理得DF ＝DE 2＋EF 2＝5， 由(1)可知BC ⊥DF ， ∴△DEF ∽△HGF ， ∴DE HG ＝DF HF ，即3y ＝5HF， ∴HF ＝5y 3，∴EH ＝4－5y3，当△FGH ≌△BEH 时，GH ＝EH ， 即y ＝4－5y 3，解得y ＝32，∴GH ＝32；(9分)(4)解：选AB 边，此时GH ＝32.(12分)【解法提示】在Rt △ABC 中，AC ＝6，BC ＝8，由勾股定理得AB ＝10. 当点D 位于AB 的垂直平分线上时，即点D 是AB 的中点，∴BD ＝12AB ＝5，∵DE ＝3， ∴BE ＝2，易证△ABC ∽△HBE ， ∴AC HE ＝BC BE ，即6HE ＝82， ∴HE ＝32，∴FH ＝EF －HE ＝4－32＝52，由(3)可知△DEF ∽△HGF ， ∴DE HG ＝DF HF ，即3GH ＝552， ∴GH ＝32.类型三 图形旋转型跟踪训练1. (1)解：12－62；722；(4分)【解法提示】当四边形CAFD 是菱形时，AC ＝AF ＝12，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝122，∵M 为AB 中点，∴AM ＝62，∴a ＝(12－62)cm ；如解图①，设EF 与AC 交于点N ，易求得NF ＝62，∴S 菱形CAFD ＝AC ·NF ＝12×62＝722cm 2.第1题解图①(2)证明：如解图②，连接CF ，∵M 是AB 中点，点F 与M 重合，△ABC 是等腰直角三角形， ∴CF ⊥AB ，∠A ＝∠FCG ＝45°，AF ＝CF ， ∴∠AFC ＝∠EFD ＝90°，∴∠AFH ＋∠HFC ＝∠HFC ＋∠CFG ＝90°，即∠AFH ＝∠CFG ， 在△AFH 和△CFG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠A ＝∠FCG ，AF ＝CF ，∠AFH ＝∠CFG ， ∴△AFH ≌△CFG ， ∴CG ＝HA ；(8分)第1题解图②(3)解：变换过程：如解图③，将△DEF 绕点F 逆时针旋转，连接DC 、AE ，CF ，当C 、A 、E 三点共线且点A 位于C 、E 之间时，求线段AE 的长．(12分)第1题解图③【解法提示】易证DC ＝AE ，设DC ＝AE ＝x ，则CE ＝12＋x ，在Rt △CDE 中，由勾股定理得DE 2＝CD 2＋CE 2，即122＋122＝x 2＋(12＋x )2，解得x ＝63－6(负值已舍去)，∴此时AE 的长为(63－6)cm.2. (1)解：①45°；(2分)【解法提示】∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ，∴∠ACD＝∠BCE ，在△ACD 和△BCE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AC ＝BC ，∠ACD ＝∠BCE ，CD ＝CE ，∴△ACD ≌△BCE ，∴∠CBE ＝∠CAD＝45°.②解：32；(4分)【解法提示】当四边形CDBE 为正方形时，∠CDB ＝90°，∴BE ＝CD ＝22BC ＝3 2. (2)①解：∠CBE ＝∠A ，证明如下： 如解图①，∵BC ＝2AC ，CE ＝2CD ， ∴AC BC ＝CD CE ＝12， 又∵∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∴∠ACD ＋∠DCB ＝∠DCB ＋∠BCE ， ∴∠ACD ＝∠BCE ， ∴△ACD ∽△BCE ， ∴∠CBE ＝∠A ；第2题解图①②证明：由(2)①得∠CBE ＝∠A ，∴∠DBE ＝∠DBC ＋∠CBE ＝∠DBC ＋∠A ＝90°， ∵CD ⊥AB ， ∴∠CDB ＝90°， 又∵∠DCE ＝90°，∴四边形CDBE 是矩形；(8分)(3)解：画出图形如解图②，四边形CDBE 的面积为452.(12分)【解法提示】∵BC ＝6，∴AC ＝3，在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝35，如解图②，设DE 与BC 交于点F ，由(2)①可知∠CBE ＝∠A ，∴易证△ACB ∽△DCE ，∴∠A ＝∠CDE ，∵DE ⊥BC ，∠DCE ＝90°，易得∠ECB ＝∠CDE ，由(2)①可得∠A ＝∠CBE ，∴∠A ＝∠CDE ＝∠ECB ＝∠CBE ，∴EC ＝EB ，又∵DE ⊥BC ，∴点F 为BC 的中点，DF 为△ABC 中位线，∴CD ＝12AB ＝352，∵△ACB ∽△DCE ，∴AC DC ＝AB DE ，即3352＝35DE，解得DE ＝152，S 四边形CDBE＝S △CDB ＋S △CEB ＝12BC ·DF ＋12BC ·EF ＝12BC ·(DF ＋EF )＝12BC ·DE ＝12×6×152＝452.第2题解图②3. (1)解：DD ′⊥BB ′；(3分)【解法提示】如解图①，延长D ′D 交BB ′于点E .∵四边形ABCD 是矩形，∴∠DAB ＝90°，由旋转知，∠DAD ′＝∠BAB ′＝90°，AD ＝AD ′，AB ＝AB ′，∴∠DAD ′＋∠BAB ′＝180°，∠AD ′D ＝45°，∠ABB ′＝45°，∴D ′、A 、B 三点在同一条直线上．∵∠AD ′D ＋∠ABB ′＝45°＋45°＝90°，∴∠D ′EB ＝90°，∴D ′D ⊥BB ′.第3题解图①(2)证明：由旋转知，AB ＝AB ′，AD ＝AD ′，∠BAB ′＝∠DAD ′＝α， ∴∠AB ′B ＝180°－α2，∠AD ′D ＝180°－α2.∴∠AB ′B ＝∠AD ′D .第3题解图②∵∠AD ′C ′＝90°， ∴∠AD ′D ＋∠C ′D ′P ＝90°. ∵∠AB ′C ′＝90°，∴∠AB ′B ＋∠PB ′C ′＝90°， ∴∠C ′D ′P ＝∠PB ′C ′.如解图②，设DP 与B ′C ′相交于点Q ， ∵∠C ′QD ′＝∠B ′QP ， ∴∠B ′PD ＝∠C ′＝90°， ∴△B ′DP 是直角三角形；(7分) (3)解：33－42；(10分)【解法提示】由(2)知，∠B ′PD ＝90°，如解图③，设BB ′与CD 交于点F ，∴△DFP 是直角三角形．∵B ′在AB 的垂直平分线上，∴AB ′＝BB ′.又∵AB ＝AB ′，∴AB ＝AB ′＝BB ′＝4，∴△ABB ′是等边三角形，∴∠ABB ′＝60°，∴∠CBF ＝30°.在Rt △BCF 中，CF ＝BC ·tan ∠CBF ＝3·tan30°＝3，BF ＝BC cos ∠CBF ＝BC cos30°＝23，∴DF ＝CD －CF ＝4－3，B ′F ＝BB ′－BF＝4－2 3.∵∠CBF ＋∠CFB ＝90°，∴∠CFB ＝90°－30°＝60°，∴∠DFP ＝∠CFB ＝60°.在Rt △DFP 中，PF ＝DF ·cos ∠DFP ＝(4－3)×cos60°＝4－32，∴PB ′＝PF －B ′F ＝4－32－(4－23)＝33－42.第3题解图③(4)解：结论：△AD ′D ∽△AB ′B .(答案不唯一，合理即可)(12分)第3题解图④【解法提示】如解图④，由旋转知，AD ＝AD ′＝3，AB ＝A ′B ＝4，∠B ′AD ′＝∠BAD ＝90°，∴∠DAD ′＝∠BAB ′，AB AD ＝AB ′AD ′＝43，∴△AD ′D ∽△AB ′B .4. 解：(1)53；(2分)【解法提示】如解图①，连接AC ，在矩形ABCD 中，AB ＝4 cm ，AD ＝3 cm ，∴AC ＝BD ＝AD 2＋AB 2＝32＋42＝5 cm ，AE ＝AD ＝3 cm ，∴AC AE ＝53.第4题解图①(2)如解图②，过点C 作CF ⊥AB 于点F ，(3分) ∵图①中四边形ABCD 是矩形，AB ＝4，AD ＝3， ∴BD ＝BE ＝AB 2＋AD 2＝42＋32＝5. ∴sin ∠FBC ＝sin ∠EBC ＝EC EB ＝45，cos ∠FBC ＝cos ∠EBC ＝BC EB ＝35.在Rt △BFC 中，BF ＝BC ·cos ∠FBC ＝3×35＝95，FC ＝BC ·sin ∠FBC ＝3×45＝125，(4分)∴AF ＝AB －BF ＝4－95＝115.在Rt △AFC 中，AC ＝AF 2＋FC 2＝（115）2＋（125）2＝2655.(5分) AE ＝BE －AB ＝5－4＝1. ∴AC AE ＝26551＝2655；(6分)第4题解图②(3)α的度数为60°.(7分)如解图③，设EC 的中点为G ，连接AG ，过点A 作AH ⊥BC 的延长线于点H ， ∴∠GCH ＝180°－∠ECB ＝180°－90°＝90°. ∵AC ＝AE ， ∴AG ⊥EC .∴∠AGC ＝∠GCH ＝∠AHC ＝90°. ∴四边形AGCH 是矩形． ∴GC ＝AH ＝12EC ＝12×4＝2(cm)．在Rt △ABH 中，∵AH ＝2 cm ，AB ＝4 cm ， ∴BH ＝AB 2－AH 2＝23(cm)，(9分) ∴∠ABH ＝30°，则α＝90°－30°＝60°. ∴AG ＝CH ＝BH －BC ＝(23－3)cm. ∴S △AEC ＝12EC ·AG＝12×4×(23－3) ＝(43－6)cm 2；(10分)第4题解图③(4)AC 和AE 还能相等，△BCE 位置如解图④所示；(11分)第4题解图④S △AEC ＝(43＋6) cm 2.(12分)【解法提示】如解图⑤，设EC 的中点为G ，连接AG ，过点A 作AH ⊥CB 的延长线于点H .∵AC ＝AE ，∴AG ⊥EC .∴∠AGC ＝∠GCH ＝∠AHC ＝90°.∴四边形AGCH 是矩形．∴GC ＝AH ＝12EC ＝12×4＝2.在Rt △ABH 中，BH ＝AB 2－AH 2＝23，∴AG ＝CH ＝BH＋BC ＝23＋3.∴S △AEC ＝12EC ·AG ＝12×4×(23＋3)＝(43＋6)cm 2.第4题解图⑤5. 解：(1)①AD ＋CE ＝BE .(1分) 理由如下：如解图①，过点B 作BF ⊥AD .交DA 的延长线于点F .第5题解图①∵BE ⊥l ，BF ⊥AD ， ∴∠BEC ＝∠F ＝90°. 又∵AD ⊥l . ∴∠FDE ＝90°.∴四边形DEBF 为矩形．(2分) ∴∠FBE ＝90°. 又∵∠ABC ＝90°，∴∠ABC －∠ABE ＝∠FBE －∠ABE ， 即∠CBE ＝∠ABF . 在△CBE 和△ABF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠ABF ，∠CEB ＝∠AFB ＝90°，CB ＝AB ，∴△CBE≌△ABF.∴CE＝AF，BE＝BF.又∵四边形DEBF为矩形，∴四边形DEBF为正方形，∴BE＝DE＝FD＝FB.∴AD＋CE＝AD＋AF＝FD＝BE；(4分)②DC＋AD＝2BE；(5分)【解法提示】由①可得BF＝BE，易得四边形DEBF是正方形，∴BE＝DF＝DE＝AF＋AD.又∵CE＝AF，∴BE＝CE＋AD.∵DC＝DE＋CE＝BE＋CE，∴DC＋AD＝AD＋DE＋CE ＝AD＋BE＋CE＝BE＋BE＝2BE.(2)CD－AD＝2BE.(6分)证明：如解图②，过点B作BG⊥AD，交AD延长线于点G.第5题解图②∵BE⊥l，BG⊥AD，∴∠BED＝∠G＝90°.又∵AD⊥l，∴∠GDE＝90°.∴四边形DEBG为矩形．∴∠GBE＝90°.又∵∠ABC＝90°，∴∠ABC－∠ABE＝∠GBE－∠ABE.即∠CBE＝∠ABG.在△BCE 和△BAG 中， ⎩⎪⎨⎪⎧∠CBE ＝∠ABG ，∠CEB ＝∠AGB ＝90°，CB ＝AB ，∴△BCE ≌△BAG .(9分) ∴CE ＝AG ，BE ＝BG . 又∵四边形DEBG 为矩形， ∴四边形DEBG 为正方形， ∴DE ＝BE ＝BG ＝DG . ∵CD ＝CE ＋DE .∴CD ＝AG ＋BE ＝AD ＋DG ＋BE ＝AD ＋2BE . ∴CD －AD ＝2BE ；(10分) (3)DH 的长度为32；(11分)【解法提示】如解图③，过点B 作BF ⊥AD ，交DA 于点F .同理可证，△BAF ≌△BCE .四边形DEBF 为正方形．∴CE ＝AF ，ED ＝BE ＝DF .∵CD ＝CE －ED .∴CD ＝AF －BE ＝AD －DF －BE ＝AD －2BE .∴AD －CD ＝2BE .∵CD ＝3，AD ＝9.∴BE ＝ED ＝3，CE ＝CD ＋ED ＝6.∵DH ∥EB ，∴DH EB ＝CD CE .∴DH 3＝36.∴DH ＝32.第5题解图③(4)(答案不唯一)画出图形如解图④，连接AE 交BC 于点F ，则：△BEC ∽△ABC ，△BFE ∽△CF A .(13分)第5题解图④【解法提示】∵AB ＝AC ，∠ABC ＝90°，∴∠BCA ＝45°，∵AD ⊥l ，点C 、D 重合，∴∠ECB ＝90°－45°＝45°，又∵BE ⊥l ，∴∠BEC ＝∠ABC ＝90°，∴△BEC ∽△ABC ；∵AD ⊥l ，BE ⊥l ，∴△BFE ∽△CF A .6. 解：(1)∵在Rt △ABC 中，∠BAC ＝90°， ∴BC ＝AB 2＋AC 2＝62＋82＝10.(1分) 由折叠知：DE 垂直平分AC ， ∴CE ＝AE ，∠DEC ＝∠DEA ＝90°. ∴∠A ＝∠DEC ＝90°. ∴DE ∥AB . ∴CE AE ＝DCBD＝1.(2分) ∴DC ＝BD ＝12BC ＝5；(3分)(2)MF ＝ME .证明：如解图①，连接DM .第6题解图①由(1)得∠DEC ＝∠DEA ＝90°.由旋转知：∠DFG ＝∠DEC ＝90°，DF ＝DE .(4分) 在Rt △DFM 和Rt △DEM 中，⎩⎪⎨⎪⎧DM ＝DM ，DF ＝DE ， ∴Rt △DFM ≌Rt △DEM (HL)． ∴MF ＝ME ；(5分)(3)①如解图②，连接DM .第6题解图②由(2)得Rt △DFM ≌Rt △DEM ， ∴∠1＝∠2. ∵FG ∥BC ， ∴∠1＝∠MDC .(6分) ∴∠2＝∠MDC . ∴CM ＝CD .(7分) ∵CD ＝5， ∴CM ＝5.∴AM ＝AC －CM ＝8－5＝3；(8分) ②74；(10分) 【解法提示】如解图③，当GF 经过点B 时，连接DM ，由(2)易得∠BMD ＝∠CMD .∵点D 是BC 的中点，∴△BMC 是等腰三角形．∴MD ⊥BC ，则△CMD ∽△CBA .∴CM BC ＝CDAC，即CM 10＝58.∴CM ＝58×10＝254.∴AM ＝AC －CM ＝8－254＝74.第6题解图③③如解图④，△DFG 和射线GF 为所求作的图形． 此时AM ＝10－3 5.(13分)第6题解图④【作法提示】先作∠EDC 的平分线，截取DG ＝CD ；再作∠FDG ＝∠EDC ，截取DF ＝DE ，连接GF 并延长，则△DFG 和射线GF 即为所求．【解法提示】如解图⑤，过点P 作PH ⊥CD 于点H ，根据作图可知PE ＝PH ，△CPH ∽△CDE ，∴CP PH ＝CD DE .由(1)知CD ＝5，CE ＝4，DE ＝3.∴CP PH ＝CD DE ＝53.则CP ＝53PH .∵CE ＝PE ＋CP ，∴4＝PH ＋53PH .解得PH ＝32.则CP ＝52，CH ＝2，DH ＝DC －CH ＝3.在Rt △DPH 中，DP ＝DH 2＋PH 2＝352.PG ＝DG －DP ＝10－352.又∵△MGP ∽△DCP ，∴MPDP ＝PG CP ，则MP352＝10－35252，解得MP ＝65－92.AM ＝AC －MP －CP ＝8－65－92－52＝10－3 5.第6题解图⑤类型四 图形折叠型1. 解：(1)67.5°，2；(4分)【解法提示】∵四边形ABCD 是正方形，∴∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝∠BAD ＝90°，AB ＝AD .∵正方形ABCD 折叠使得点B ，D 都在对角线AC 上的点N 处，∴∠BCE ＝∠ECN ＝∠NCF ＝∠DCF ＝14∠BCD ＝22.5°，∴∠BEC ＝∠CEN ＝67.5°；∴∠AEN ＝180°－2∠BEC ＝45°.∵AC 是正方形ABCD 的对角线，∴∠EAN ＝45°，∴△AEN 是等腰直角三角形，由折叠可知BE ＝EN ，∴AE EN ＝AEBE＝ 2.(2)四边形EMGF 是矩形．(5分) 理由如下：如解图①，∵四边形ABCD 是正方形， ∴∠B ＝∠BCD ＝∠D ＝90°.由折叠可知∠1＝∠2＝∠3＝∠4，CM ＝CG ，∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC ， ∴∠1＝∠2＝∠3＝∠4＝90°4＝22.5°.∴∠BEC ＝∠NEC ＝∠NFC ＝∠DFC ＝67.5°. 由折叠可知MH ，GH 分别垂直平分EC ，FC ， ∴MC ＝ME ，GC ＝GF .∴∠5＝∠1＝22.5°，∠6＝∠4＝22.5°. ∴∠MEF ＝∠GFE ＝90°.(7分) ∵∠MCG ＝90°，CM ＝CG ， ∴∠CMG ＝45°.又∵∠BME ＝∠1＋∠5＝45°，∴∠EMG ＝180°－∠CMG －∠BME ＝90°.(8分) ∴四边形EMGF 是矩形；(9分)第1题解图①(3)画出菱形如解图；第1题解图(答案不唯一，画出一个即可)．(10分) 菱形FGCH (或菱形EMCH )．(11分)2. 解：(1)∵将Rt △ABC 折叠使点B 与点C 重合，折痕为DE ， ∴DE 垂直平分线段BC ，即DE 为Rt △ABC 的中位线， ∴DE ＝12AC ，∵△ADC 边AC 上的高与△DEC 边DE 上的高相等， ∴S △ADC ∶S △DEC ＝12；(3分)(2)不同意； 理由如下：图①中，DE ＝12AC ＝52，图②中，易证△BDE ∽△BCA ， ∴BD BC ＝DECA， 在Rt △ABC 中，由勾股定理得AB ＝13， 由折叠可知DE 垂直平分AB ，∴BD ＝12AB ＝132，∴13212＝DE 5，解得DE ＝6524≠52， 即图①、图②两种折叠方法折痕DE 的长是不相等的；(6分) (3)平行四边形； 理由如下：如解图①，延长B ′D 交BC 于点G ， ∵B ′E ⊥AB ，∴∠B ′FD ＝∠BFE ＝90°， ∴∠B ＋∠BEF ＝90°，由折叠可知∠B ＝∠DB ′E ，BD ＝B ′D ＝13－8＝5， ∴∠DB ′E ＋∠BEF ＝90° ∴∠B ′GE ＝90°，即B ′G ⊥BC ， ∴B ′G ∥AC ， 又∵B ′D ＝AC ＝5，∴以B ′、D 、C 、A 为顶点的四边形是平行四边形；(10分)第2题解图①(4)(答案不唯一)∠B 与∠B ′DF 互余(∠B 与∠BEF 互余)．(12分) 证明：如解图②，由折叠性质可知，∠B ＝∠B ′， 又∵B ′E ⊥AB ， ∴∠DFB ′＝90°，∴∠B ′＋∠B ′DF ＝90°， ∴∠B ＋∠B ′DF ＝90°， 即∠B 与∠B ′DF 互余．第2题解图②3. 解：(1)10 cm ；(3分)【解法提示】解法一：将矩形纸条按如题图①的方式折叠，得到的四边形ABCD 是正方形，∴AB ＝AD ＝3, ∠A ＝∠B ＝∠D ＝∠C ＝90°，根据折叠的性质，可设MB ＝MB ′＝x ，且∠MB ′C ′＝∠B ＝90°，则AM ＝3－x ，∵∠A ＝90°，∴根据勾股定理得AM 2＋AB ′2＝MB ′2，即(3－x )2＋1＝x 2，解得x ＝53，∴AM ＝3－x ＝43，∵∠MB ′C ′＝∠A ＝90°，∴∠AMB ′＋∠AB ′M＝90°，∠AB ′M ＋∠DB ′C ′＝90°，∴∠AMB ′＝∠DB ′C ′，∴△AB ′M ∽△DEB ′，∴AB ′DE ＝AMDB ′，即1DE ＝432，解得DE ＝32，利用勾股定理得B ′E ＝B ′D 2＋DE 2＝52，∴EC ′＝B ′C ′－B ′E ＝BC －B ′E ＝12，又∵∠D ＝∠C ′＝90°，∠B ′ED ＝∠C ′EN ，∴△DB ′E ∽△C ′NE ，∴DB ′C ′N ＝DE C ′E ，解得C ′N ＝23＝CN ，如解图①，过点N 作NQ ⊥AB 交AB 于点Q ，则四边形QBCN 是矩形，NQ ＝3，MQ ＝BM －BQ ＝BM －CN ＝1 , ∴MN ＝MQ 2＋NQ 2＝10 cm ；解法二：将矩形纸条按题图①的方式折叠，得到的四边形ABCD 是正方形，如解图①，连接BB ′，过点N 作NQ ⊥AB 交AB 于点Q , ∴NQ ＝AD ＝AB ＝3 cm.由折叠的性质可知，折痕MN 是线段BB ′的垂直平分线，∴∠ABB ′＋∠QMN ＝90°，∵∠A ＝90°， ∴∠ABB ′＋∠AB ′B ＝90°，∴∠AB ′B ＝∠QMN ，又∵∠A ＝∠MQN ＝90°， AB ＝NQ ，∴△ABB ′≌△QNM (AAS )，∴MN ＝BB ′＝AB 2＋AB ′2＝32＋12＝10 cm.第3题解图①(2)将矩形纸条按题图③的方式折叠，得到的四边形EFGH是矩形，且HG＝EF＝3，∵∠PQG＝30°，且折叠后点G恰好落在边EH上的点G′处，∴∠G′PQ＝∠GPQ＝90°－30°＝60°，PG′＝PG, ∠PG′Q＝∠G＝90°，∴∠G′PH＝180°－∠G′PQ－∠GPQ＝60°，∴∠HG′P＝90°－∠G′PH＝30°，∴PG＝PG′＝2HP，(4分)∵HP＋PG＝3，∴3HP＝3，∴HP＝1，∴PG＝PG′＝2，∴在Rt△HG′P中，HG′＝PG′2－HP2＝ 3.∵∠PQG＝30°，∠G＝90°，∴PQ＝2PG＝4，∴在Rt△PG′Q中，G′Q＝PQ2－PG′2＝2 3.(5分)∴S四边形QPHG′＝S△HG′P＋S△PG′Q＝HP·HG′2＋PG′·G′Q2＝1×32＋2×232＝532cm2；(7分)(3)四边形EJGI是菱形．(8分)理由如下：如解图②，连接IG，由折叠可知点E，点G关于折痕IJ对称，∴IE＝IG，JE＝JG，∠EJI＝∠GJI，∵EH∥FG，∴∠GJI＝∠EIJ，∴∠EIJ＝∠EJI，∴JE＝IE，∴IE ＝IG ＝JE ＝JG ，∴四边形EJGI 是菱形；(10分)第3题解图②(4)①EJ ＝154cm ；(12分)， 【解法提示】已知FG ＝3EF ＝6，EF ＝3，设EJ ＝x ，FJ ＝6－x ，在Rt △EFJ 中，根据勾股定理得EJ 2＝EF 2＋FJ 2，即x 2＝32＋(6－x )2，解得x ＝154，即EJ ＝154cm. ②H ′I ＝94cm ；(12分) 【解法提示】如解图②，由折叠的性质得，EI ＝IG ，HI ＝H ′I ，∠H ′＝∠G ＝90°，设HI ＝x ，则EI ＝6－x ，在Rt △EH ′I 中，由勾股定理得EI 2＝H ′I 2＋H ′E 2，即(6－x )2＝x 2＋32，解得x ＝94，即HI ＝94cm. ③IJ ＝352cm.(12分) 【解法提示】如解图③，过点I 作IM ⊥FG ，垂足为点M .由①②知FJ ＝94，EI ＝154，则JM ＝EI －FJ ＝154－94＝32，在Rt △IJM 中，由勾股定理得IJ ＝IM 2＋MJ 2＝32＋（32）2＝352 (cm)．第3题解图③。
中考数学题型三 图形变换问题
2. (2019·河南)如图，在△OAB中，顶点O(0，0)，A(－3，4)，B(3，4)， 将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，每次旋转90°， 则第70次旋转结束时，点D的坐标为( ) D A. (10，3) B. (－3，10) C. (10，－3) D. (3，－10)
3. (2019·天津)如图，将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC，使点A的 对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定 正确的是( D ) A. AC＝AD B. AB⊥EB C. BC＝DE D. ∠A＝∠EBC
数学
人教版
题型三 图形变换问题
类型一 图形的旋转
例 1 (2020·牡丹江)如图，在平面直角坐标系中， O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点，AD∥x 轴 且 AD＝4，∠A＝60°，将菱形 ABCD 绕点 O 旋 转，使点 D 落在 x 轴上，则旋转后点 C 的对应 点的坐标是( D ) A. (0，2 3 ) B. (2，－4) C. (2 3 ，0) D. (0，2 3 )或(0，－2 3 )
2
21. 如图所示，在正方形纸片 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O， 折叠正方形纸片 ABCD，使 AD 落在 BD 上，点 A 恰好与 BD 上的点 F 重合，展开后，折痕 DE 分别交 AB，AC 于点 E，G，连接 GF，下 列结论中正确的是____①__②__③_________.(填序号) ①∠AGE＝67.5°； ②四边形 AEFG 是菱形； ③BE＝2OF； ④DG＝CO.
1. (2020·绍兴)如图，等腰直角三角形ABC中，∠ABC＝90°，BA＝BC， 将BC绕点B顺时针旋转θ(0°＜θ＜90°)，得到BP，连接CP，过点A作 AH⊥CP交CP的延长线于点H，连接AP，则∠PAH的度数( ) C A. 随着θ的增大而增大 B. 随着θ的增大而减小 C. 不变 D. 随着θ的增大，先增大后减小
2020中考数学专题复习：图形和变换(轴对称、轴对称图形)(共29张PPT)
3- 2
例题6．
A O
Q
F
B E
综合提优
①求证：DQ＝AE；②推断:GF:AE的值；
D
G
C
综合提优
A
D BC:AB＝k(k为常数)．探究GF与AE之间的数量
关系，并说明理由；
MO
F
B
E
G P
C
A
5X
O2 10 F 3 10 x
4X 5X
拓展应用：在(2)的条件下，连接CP,当k＝ 2 D 时，若tan∠CGP＝ 3 ,GF＝2 10 ，求CP的长．3
2. 下列图形中，为轴对称图形的是（ D ）
基础训练
3.(2017黑龙江哈尔滨)下列图形中,既是轴对称图形
又是中心对称图形的是 ( D )
基础训练
4.如图所示,在Rt△ABC中，
∠C= 90°,以顶点A为圆心,适当
长为半径画弧，分别交AC,AB
于点M、N,再分别以点M,N为
圆心,大于0.5MN的长为半径画
例题讲解
∵以△ADE、△AD′E，关于直线AE 成轴对称图形∴AD＝AD′， ∵在△ABD和△ACD′中
∴△ABD≌△ACD′（sss）
（2）解：∵△ABD≌△ACD′，∴∠BAD＝∠CAD′， ∴∠BAC＝∠DAD′＝120°， ∵以△ADE的边AE所在直线为对称轴作△ADE的轴对称图形 △AD′E， ∴∠DAE＝∠D′AE＝ ∠DAD′＝60°，即∠DAE＝60°
E是边CD上一点,连接AE.折叠该纸片,使点A落在AE
上的G点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F在AD上.
若DE=5,则GE的长为
.
例题讲解
12
由折叠及轴对称的性质可知， △ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，
2020中考数学专题—图形变换探究
2020中考专题23——图形变换探究班级姓名.【题型解读】图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．【例题分析】例1.两个三角板ABC,DEF按如图的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).例2[2019·盐城]如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图②;(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B'处,如图③,两次折痕交于点O; (III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC,FD,如图④.【探究】(1)证明:△OBC≌△OED;(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.例3.[2019·德州](1)如图①,菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD∶GC∶EB的结果(不必写计算过程).(2)将图①中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图②,求HD∶GC∶EB.(3)把图②中的菱形都换成矩形,如图③,且AD∶AB=AH∶AE=1∶2,此时HD∶GC∶EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.①②③【巩固训练】1.[2019·海南]如图1,在▱ABCD 中,将△ADC 沿AC 折叠后,点D 恰好落在DC 的延长线上的点E 处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE 的周长为()A.12B.15C.18D.21图1图2图32.[2019·兰州]如图2,在平面直角坐标系xOy 中,将四边形ABCD 先向下平移,再向右平移得到四边形A1B1C1D1,已知A(-3,5),B(-4,3),A1(3,3),则B1的坐标为()A.(1,2)B.(2,1)C.(1,4)D.(4,1)3.[2019·重庆A 卷]如图3,在△ABC 中,D 是AC 边上的中点,连结BD ,把△BDC 沿BD 翻折,得到△BDC',DC'与AB 交于点E ,连结AC',若AD=AC'=2,BD=3,则点D 到BC'的距离为()A .233B .7213C .7D .134.[2019·天津]如图4,将△ABC 绕点C 顺时针旋转得到△DEC,使点A 的对应点D 恰好落在边AB 上,点B 的对应点为E,连结BE,下列结论一定正确的是()A.AC=ADB.AB⊥EBC.BC=DED.∠A=∠EBC图4图5图65.[2019·潍坊]如图5,在矩形ABCD 中,AD=2.将∠A 向内翻折,点A 落在BC 上,记为A',折痕为DE.若将∠B 沿EA'向内翻折,点B 恰好落在DE 上,记为B',则AB=.6.如图Z10-9,在△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,将△ABC 绕C 点按逆时针方向旋转α(0°<α<90°),得到△A'B'C,设A'C 交AB 边于D,连结AA',若△AA'D 是等腰三角形,则旋转角α的度数为.7.[2019·天津]如图Z10-10,正方形纸片ABCD 的边长为12,E 是边CD 上一点,连结AE,折叠该纸片,使点A 落在AE 上的G 点,并使折痕经过点B,得到折痕BF,点F 在AD 上.若DE=5,则GE 的长为.图7图8图98.[2019·贺州]如图Z10-11,正方形ABCD 的边长为4,点E 是CD 的中点,AF 平分∠BAE 交BC 于点F,将△ADE 绕点A 顺时针旋转90°得△ABG,则CF 的长为.9.[2019·深圳]如图Z10-12,在正方形ABCD 中,BE=1,将BC 沿CE 翻折,点B 的对应点刚好落在对角线AC 上;将AD 沿AF 翻折,点D 的对应点刚好落在对角线AC 上,连结EF,则EF=.10.[2019·随州]如图,已知正方形ABCD 的边长为a,E 为CD 边上一点(不与端点重合),将△ADE 沿AE 对折至△AFE,延长EF 交边BC 于点G,连结AG,CF.给出下列判断:①∠EAG=45°;②若DE=31a,则AG∥CF;③若E 为CD 的中点,则△GFC 的面积为101a 2;④若CF=FG,则DE=(2-1)a;⑤BG·DE+AF·GE=a 2.其中正确的是.(写出所有正确判断的序号)11.如图①,将矩形ABCD 沿DE 折叠使顶点A 落在点A'处,然后将矩形展平,沿EF 折叠使顶点A 落在折痕DE 上的点G 处,再将矩形ABCD 沿CE 折叠,此时顶点B 恰好落在DE 上的点H 处,如图②.(1)求证:EG=CH;(2)已知AF=2,求AD 和AB 的长.12.如图,已知一个直角三角形纸片ACB,其中∠ACB=90°,AC=4,BC=3,E,F 分别是AC,AB 边上的点,连结EF.(1)如图①,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在AB 边上的点D 处,且使S 四边形ECBF=3S △EDF,求AE 的长.(2)如图②,若将纸片ACB 的一角沿EF 折叠,折叠后点A 落在BC 边上的点M 处,且使MF∥CA.①试判断四边形AEMF 的形状,并证明你的结论;②求EF 的长.13.[2018·宿迁]如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点E,F 分别在边AB,CD 上,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P,设BE=x.(1)当AM=31时,求x 的值.(2)随着点M 在边AD 上位置的变化,△PDM 的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.(3)设四边形BEFC 的面积为S,求S 与x 之间的函数表达式,并求出S 的最小值.14.[2019·潍坊]如图①,菱形ABCD 的顶点A,D 在直线l 上,∠BAD=60°,以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB'C'D'.B'C'交对角线AC 于点M,C'D'交直线l 于点N,连结MN.(1)当MN∥B'D'时,求α的大小.(2)如图②,对角线B'D'交AC 于点H,交直线l 于点G,延长C'B’交AB 于点E,连结EH.当△HEB’的周长为2时,求菱形ABCD 的周长.2020中考专题23——图形变换探究参考答案例2.解:(1)证明:由折叠可知AD=AF=DE,∴CB=DE.由两次折叠可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45°,∴△OCD是等腰直角三角形,OC=OD,∴△OBC≌△OED.(2)如图,过O向BC作ON⊥BC于N,则△OCN是等腰直角三角形,由(1)得△OCD是等腰直角三角形,OC=OD,∵CD=8,∴OC=42,ON=CN=4,在直角三角形BON中,OB2=BN2+ON2,∴y=(x-4)2+42=x2-8x+32(4<x≤8).巩固训练答案1.[答案]C[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,AD=AE,EC=CD=AB=3,∴ED=6,在▱ABCD中,∵∠B=60°,∴∠D=60°,∴AD=2CD=6,∴AE=6,∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18,故选C.2.[答案]B[解析]∵A(-3,5),A1(3,3),∴四边形ABCD向右平移6个单位,向下平移2个单位,得到四边形A1B1C1D1,∵点B(-4,3),∴点B1(2,1),故选B.4.[答案]D[解析]由旋转的性质可知,AC=CD,但∠A不一定是60°,所以不能证明AC=AD,所以选项A错误;由于旋转角度不确定,所以选项B不能确定;因为AB=DE,不确定AB和BC的数量关系,所以BC和DE的数量关系不能确定;由旋转的性质可知∠ACD=∠BCE,AC=DC,BC=EC,所以2∠A=180°-∠ACD,2∠EBC=180°-∠BCE,从而可证选项D是正确的.11.解:(1)证明:由折叠知AE=AD=EG,BC=CH.∵四边形ABCD是矩形,∴AD=BC,∴EG=CH.。
中考指导23：生活中的图形及图形变换
【中考指导23】生活中的图形及图形变换知识要点：一、几何体分类：几何体⎪⎩⎪⎨⎧.___________________________________________________球体：；锥体：；柱体：二、立体图形与平面图形的转化：1、几何体的侧面展开图：（1）棱柱的侧面展开图是__________；（2）圆柱的侧面展开图是__________； （3）圆锥的侧面展开图是__________；2、几何体的截面形状：（1）______________； （2）______________； （3）______________； （4）_____________； （5）______________； （6）______________； （7）______________；三、图形中的变换关系主要包括：___________________；___________________；___________________。
四、三视图包括：___________________；___________________；___________________。
五、投影的三要素：投影中心：______________；投影线：______________；投影面：______________。
六、投影的种类：______________；______________。
考点举例：【例1】用小立方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示。
这样的几何体只有一种吗？它最少需要多少个小立方块？最多需要多少个小立方块？（1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8）（1） （2） （4）（5） （6） （7）主视图 俯视图练习1、如图，上下底面为全等的正六边形礼盒，其正视图与侧视图均由矩形构成，正视图中大矩形边长如图所示，侧视图中包含两个全等的矩形，如果用彩色胶带如图包扎礼盒，所需胶带长度至少为（ ） （A ）320 cm （B ）395.25cm （C ）431.76cm （D ）480cm【例2】在长、宽都为4m ，高为3m 的房间正中央的天花板上悬挂着一只白炽灯泡，为了集中光线，加上了灯罩，如图，已知灯罩深8cm ，灯泡离地面2m ，为了使光线恰好照在墙脚，问灯罩的直径应为多少？练习2、如图，晚上小亮在灯下散步，在小亮由A 处径直走到B他在地上的影子（ ）（A ）逐渐变短 （B ）先变短后变长 （C ）先变长后变短 （D ）逐渐边长 达标训练：1、如图，一平面经过圆锥的顶点截圆锥所得到的截面形状是（ ）2、如图（1两次对折，并在如图（3）位置上剪 去一个小正方形，打开后是（ ）3、在右图44⨯的正方形网格中，MNP ∆绕某点旋转一定的角度，得到 111P N M ∆，则其旋转中心可能是（ ）（A ）点A （B ）点B （C ）点C （D ）点D 4、如图，这是一组镜子中的号码的实际号码， 它的实际号码是__________。
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2020中考专题23——图形变换探究
班级姓名.【题型解读】
图形的轴对称、平移、旋转是近年中考的新题型、热点题型，它主要考查学生的观察与实验能力，探索与实践能力，因此在解题时应注意以下方面：
1．熟练掌握图形的轴对称、图形的平移、图形的旋转的基本性质和基本方法．
2．结合具体问题大胆尝试，动手操作平移、旋转，探究发现其内在规律是解答操作题的基本方法．
3．注重图形与变换的创新题，弄清其本质，掌握其基本的解题方法，尤其是折叠与旋转等．【例题分析】
例1.两个三角板ABC,DEF按如图的位置摆放,点B与点D重合,边AB与边DE在同一条直线上(假设图形中所有的点、线都在同一平面内),其中,∠C=∠DEF=90°,∠ABC=∠F=30°,AC=DE=6cm.现固定三角板DEF,将三角板ABC沿射线DE方向平移,当点C落在边EF上时停止运动.设三角板平移的距离为x(cm),两个三角板重叠部分的面积为y(cm2).
例2[2019·盐城]如图①是一张矩形纸片,按以下步骤进行操作:
(I)将矩形纸片沿DF折叠,使点A落在CD边上点E处,如图②;
(II)在第一次折叠的基础上,过点C再次折叠,使得点B落在边CD上点B'处,如图③,两次折痕交于点O; (III)展开纸片,分别连结OB,OE,OC,FD,如图④.
【探究】
(1)证明:△OBC≌△OED;
(2)若AB=8,设BC为x,OB2为y,求y关于x的关系式.
例3.[2019·德州](1)如图①,菱形AEGH的顶点E,H在菱形ABCD的边上,且∠BAD=60°,请直接写出HD∶GC∶EB的结果(不必写计算过程).
(2)将图①中的菱形AEGH绕点A旋转一定角度,如图②,求HD∶GC∶EB.
(3)把图②中的菱形都换成矩形,如图③,且AD∶AB=AH∶AE=1∶2,此时HD∶GC∶EB的结果与(2)小题的结果相比有变化吗?如果有变化,直接写出变化后的结果(不必写计算过程);若无变化,请说明理由.
①②③
【巩固训练】
1.[2019·海南]如图1,在▱ABCD中,将△ADC沿AC折叠后,点D恰好落在DC的延长线上的点E 处,若∠B=60°,AB=3,则△ADE的周长为()
A.12
B.15
C.18
D.21
2.
边形
3.
BDC'
4.
图5图6
5.ABCD中,AD=2.将∠A向内翻折,点A落在BC上,记为A',折痕为
将∠恰好落在DE上,记为B',则.
6.C=90°,∠A=30°,将△ABC点按逆时针方向旋转α(0°<
边于D,连结AA',若△AA'D是等腰三角形
7.正方形纸片ABCD的边长为
使点并使折痕经过点B,得到折痕BF,
图7图8图9
8.[2019·贺州]如图Z10-11,正方形ABCD的边长为4,点E是CD的中点,AF平分∠BAE交BC于点F,将△ADE绕点A顺时针旋转90°得△ABG,则CF的长为.
9.[2019·深圳]如图Z10-12,在正方形ABCD中,BE=1,将BC沿CE翻折,点B的对应点刚好落在对角线AC上;将AD沿AF翻折,点D的对应点刚好落在对角线AC上,连结EF,则EF=.
10.[2019·随州]如图,已知正方形ABCD 的边长为a,E 为CD 边上一点(不与端点重合),将△ADE 沿AE 对折至△AFE,延长EF 交边BC 于点G,连结AG,CF.给出下列判断:
①∠EAG=45°;②若DE=31a,则AG∥CF;③若E 为CD 的中点,则△GFC 的面积为10
1a 2;④若CF=FG,则DE=(2-1)a;⑤BG·DE+AF·GE=a 2.其中正确的是.(写出所有正确判断的序号)
A 落在折痕
连结②求EF 的长.
13.[2018·宿迁]如图,在边长为1的正方形ABCD 中,动点E,F 分别在边AB,CD 上,将正方形ABCD 沿直线EF 折叠,使点B 的对应点M 始终落在边AD 上(点M 不与点A,D 重合),点C 落在点N 处,MN 与CD 交于点P,设BE=x.
(1)当AM=3
1时,求x 的值.(2)随着点M 在边AD 上位置的变化,△PDM 的周长是否发生变化?如果变化,请说明理由;如果不变,请求出该定值.
(3)设四边形BEFC 的面积为S,求S 与x 之间的函数表达式,并求出S 的最小值.
14.[2019·潍坊]如图①,菱形ABCD 的顶点A,D 在直线l 上,∠BAD=60°,以点A 为旋转中心将菱形ABCD 顺时针旋转α(0°<α<30°),得到菱形AB'C'D'.B'C'交对角线AC 于点M,C'D'交直线l 于点N,连结MN.
(1)当MN∥B'D'时,求α的大小.
(2)如图②,对角线B'D'交AC 于点H,交直线l 于点G,延长C'B’交AB 于点E,连结EH.当△HEB’的周长为2时,求菱形ABCD 的周长.
2020中考专题23——图形变换探究参考答案
例
∵
∴y=
巩固训练答案
1.[答案]C
[解析]∵折叠后点D恰好落在DC的延长线上的点E处,∴AC⊥DE,AD=AE,EC=CD=AB=3,∴ED=6,
在▱ABCD中,∵∠B=60°,∴∠D=60°,∴AD=2CD=6,∴AE=6,∴△ADE的周长=AE+AD+ED=18,故选C.
2.[答案]B[解析]∵A(-3,5),A1(3,3),
∴四边形ABCD向右平移6个单位,向下平移2个单位,得到四边形A1B1C1D1,
∵点B(-4,3),∴点B1(2,1),故选B.
4.[答案]D[解析]由旋转的性质可知,AC=CD,但∠A不一定是60°,所以不能证明AC=AD,
所以选项A错误;由于旋转角度不确定,所以选项B不能确定;因为AB=DE,不确定AB和BC的数量关系,所以BC和DE的数量关系不能确定;由旋转的性质可知∠ACD=∠BCE,AC=DC,BC=EC,所以2∠A=180°-∠ACD,2∠EBC=180°-∠BCE,从而可证选项D是正确的.
11.解:(1)证明:由折叠知AE=AD=EG,BC=CH.∵四边形ABCD是矩形,
∴AD=BC,∴EG=CH.。