轴对称讲义(全)

轴对称

【知识要点】

1、轴对称图形：如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，这样的图形为轴对称图形。这条直线叫做这个图形的对称轴。

2、轴对称：把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，说这两个图形为轴对称。这条直线叫做这个图形的对称轴。

3、对称点：翻折后（图形重合时）能够互相重合的点。

4、垂直平分线（中垂线）：垂直并且平分一条线段的直线。

结论1：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。

结论2：如果一个图形关于某一条直线对称，那么连接对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴。

【典型例题】

例1. 在下列十个汉字中，哪几个是轴对称图形？他们各有几条对称轴？

上下目天田土吕林显王

例2. 如图，下列图案是我国几家银行的标志，其中轴对称图形有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

例3. 下列图形中是轴对称图形的有（）

①矩形；②菱形；③平行四边形；④四边形；⑤等腰梯形；⑥直角梯形；⑦三角形；⑧等边三角形；⑨等腰三角形；⑩正六边形

A. 5个

B.6个

C.7个

D.8个

例3. 判断题

①两个关于某直线对称的图形是一模一样的。（）

A

Q

P

l2 l1

②两个图形关于某直线对称，对称点一定在直线的两旁。（）

③两个对称图形对应点连线的垂直平分线，就是他们的对称轴（）

④平面上两个完全相同的图形一定关于某直线对称（）

例4. 如图，l1、l2交于A点，P、Q的位置如图所示，试确定M点，使它到l1、l2的距离相等，且到P、Q两点的距离也相等。

例5. 已知如图1，MN垂直平分线段AB，CD垂足分别为E、F，求证：AC=BD，∠ACD=∠BDC．

例6. 已知：在△ABC中，AB=AC,D是AB的中点，且DE⊥AB, △BCE周长为8，且AC－BC=2,求AB,BC的长。

例7. 如图，将一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后，D′E与BC的交点为G，点D、C分别落在点D′、C′的位置上，若∠EFG=55°，求∠1，∠2的度数．

画图形的对称轴

【知识要点】

1. 任意两点总关于某一条直线对称，故画这两点的对称轴的方法是_____________

2. 对于复杂图形的对称轴的画法：可先找出轴对称图形或成轴对称的两个图形的任意一组对称点；再连结对称点；然后画出_________则这条________

画轴对称图形

【知识要点】

1、对于某些图形，先画出图形中的一些特殊点（如线段端点）的对称点，连接这些对称点，就可以得到原图形的轴对称图形；

2、平面直角坐标系中关于X轴和Y轴对称的图形的做法：先找出一些特殊点的对称点坐标，连接对称点，即可得到；

3、角平分线和垂直平分线的做法。

【典型例题】

例1. 找出下列轴对称图形的所有对称轴，并把它画出来．

例2. 下图中的各个图形是不是轴对称图形？如果是，画出它的一条对称轴．

例3. 看以下两个图形是否是轴对称图形？你能否画出它的对称轴？

例4．如图，连结B、B′的线段的垂直平分线是否还是你在上图中画的对称轴？

例5. 印制一本书，为了使装订成书后页码恰好为连续的自然数，可按如下方法操作：先将一张整版的纸，对折一次为4页，再对折一次为8页，连续对折三次为16页，……；然后再排页码．如果想设计一本16页码的毕业纪念册，请你按图1，图2，图3（图中的1，16表示页码）的方法折叠，在图中填上按这种折叠方法得到的各页在该面相应位置上的页码．

例6. 如图，∠AOB内一点P，试分别画出点P关于OA和OB的对称点P1和P2

例7. 画出下列图形关于直线L的对称图形．

例8. 下图中，直线L是一个轴对称图形的对称轴，画出这个图形关于直线L对称的另一半．

例9. 如图是台球桌面矩形网格示意图，图中的四个角各有一个入球孔，如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以多次反射），那么该球最后将落入的球袋是（）A．1号袋B．2号袋C．3号袋D．4号袋

等腰三角形

【知识要点】

1、等腰三角形的两个底角相等；

2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简称“三线合一”）；

3、等腰三角形的判定方法：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）。

4、等边三角形：

①等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°；

②三个角都相等的三角形是等边三角形；

③有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

5、在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

【典型例题】

例1. 若等腰三角形的底边长为10cm，则腰长x的取值范围是.

例2. 若等腰三角形的一个角为40°，则另两个角为__________________。

例3. 等腰三角形一腰上的高与底边的夹角为45°，则这个三角形是（）

A.锐角三角形

B.钝角三角形

C.等边三角形

D.等腰直角三角形

例4. 设α是等腰三角形的一个底角,则α的取值范围是（）

A. 0<α<90°

B. α<90°

C. 0<α≤90°

D. 0≤α<90°

例5. 若等腰三角形的一个外角为120°，一边长为2cm，则另外两边长为

例6. △ABC中，∠ACB=90°，∠B=60°，AB+BC=6cm，则BC=