123椭圆的标准方程
椭圆的标准方程
椭圆的标准方程首先，让我们来看一下椭圆的定义。
椭圆可以被定义为平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的集合。
这两个定点被称为焦点，常数2a被称为主轴的长度。
椭圆还有一个重要的参数e，被定义为焦距与主轴长度的比值，即e=c/a，其中c为焦距。
通过这些定义，我们可以得到椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程可以表示为：x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1。
其中a和b分别为椭圆的半长轴和半短轴的长度。
通过这个方程，我们可以清晰地看到椭圆的形状和特点。
例如，当a=b时，椭圆变成了一个圆；当a>b时，椭圆在x轴上的投影长度大于在y轴上的投影长度；当a<b时，椭圆在x轴上的投影长度小于在y轴上的投影长度。
除了标准方程，椭圆还有其他一些重要的性质。
例如，椭圆的离心率e可以用a和b表示为e=sqrt(1-b^2/a^2)，这个公式可以帮助我们计算椭圆的离心率。
另外，椭圆还有一个重要的焦点方程，可以表示为PF1+PF2=2a，其中P为椭圆上的任意一点。
这个方程可以帮助我们理解椭圆的焦点性质。
在物理学中，椭圆也有着重要的应用。
例如，行星围绕太阳运动的轨道就是椭圆，椭圆的形状和性质决定了行星运动的规律。
另外，椭圆还可以用来描述光的偏振状态，以及天体运动的轨道等。
总之，椭圆是一个非常重要的数学概念，它在几何学、物理学和工程学中都有着广泛的应用。
通过标准方程，我们可以清晰地了解椭圆的形状和性质，这有助于我们更好地理解和应用椭圆这一数学概念。
希望本文能够帮助读者更好地掌握椭圆的标准方程及其相关知识，进而在学习和工作中更好地应用这一重要的数学概念。
椭圆的标准方程ppt课件共23页
即：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)
Y M (x,y)
因为2a>2c，即a>c，所
以a2-c2>0，令a2-c2=b2，
F1
O
其中b>0，代入上式可得： (-c,0)
F2 X
(c,0)
b2x2+a2y2=a2b2 两边同时除以a2b2得：
x2 a2
y2 b2
1 (a>b>0)
23.09.2019
23.09.2019
方案一
YM
Y
F2 F1
O
F2 X
M
O
方案二
X
F1
23.09.2019
Y M 求椭圆的方程
F1
O
F2 X YM
F1
O
F2 X
如图所示： F1、F2为两定点，且 F1F2 =2c， 求平面内到两定点F1、F2距离之和为定值2a （2a>2c)的动点M的轨迹方程。
23.09.2019
Y M (x,y)
F1
O
(-c,0)
F2 X
(c,0)
解：以F1F2所在直线为X轴， F1F2 的中点 为原点建立平面直角坐标系，则焦点F1、 F设2的M坐（标x,y分)为别所为求(-c轨,0迹)、上(c的,0任)。意一点，
则: MF1 + MF2 =2a 即 : (x c )2 y 2(x c )2 y 2 2 a
例2、求满足下列条件的椭圆的标准方程：
（1）满足a=4,b=1，焦点在X轴上的椭圆的 标准方程为__1_x6_2 __y_2___1__
（2）满足a=4,cb= 15 ，焦点在Y轴上的椭圆
椭圆的标准方程及几何性质
几点补充：1、一般方程：221(0,0,)Ax By A B A B +=>>≠且11122=+⇒By A x .由一般式如何求a,b 及确定焦点的位置？ 2、椭圆的参数方程：12222=+b y a x 的参数方程为⎩⎨⎧==θθsin cos b y a x3、统一定义：椭圆是平面内到一个定点F 的距离和到一条定直线l ()F l ∉的距离的比是常数e (01)e <<的点的轨迹，其中定点F 是焦点，定直线l 是准线，常数e 是离心率.4、221ab ac e -== ,ba=.离心率越大,椭圆越扁长.¤求椭圆的方程 1．离心率21=e ，一个焦点是()3,0-F 的椭圆标准方程为 . 2．与椭圆4 x 2 + 9 y 2 = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_______________．3．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率等于 ． 4．已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率32=e ，短轴长为58，求椭圆的方程．5.设12,F F 是椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左右两个焦点，若椭圆上的点3(1,)2A 到12,F F 两点的距离之和等于4，写出椭圆C 的方程和焦点坐标¤椭圆的标准方程7.椭圆5522=+ky x的一个焦点是（0，2），那么k 等于 。
8、若椭圆2212x y m+=的离心率为12，则m=¤椭圆的第一定义与焦点三角形9.已知△ABC 的顶点B 、C 在椭圆2213x y +=上，顶点A 是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点在BC 边上， 则△ABC 的周长是10.在平面直角坐标系xoy 中,已知△ABC 的顶点(4,0),(4,0)A C -，顶点B 在椭圆221259x y +=上，则s i n s i n s i n A C B+= 。
高中数学2-2-1椭圆及标准方程
【题后反思】 利用椭圆的定义求轨迹方程，是先由条件找
到动点所满足的条件，看其是否符合椭圆的定义，再确定
椭圆的方程．特别注意点A不在x轴上，因此y≠0.
【变式】 已知动圆M过定点A(－3，0)，并且内切于定圆B： (x－3)2＋y2＝64.求动圆圆心M的轨迹方程． 解 设动圆M的半径为r，则|MA|＝r，|MB|＝8－r， ∴|MA|＋|MB|＝8，且8>|AB|＝6， ∴动点M的轨迹是椭圆，且焦点分别是A(－3，0)，B(3， 0)，且2a＝8， ∴a＝4，c＝3， ∴b2＝a2－c2＝16－9＝7. ∴所求动圆圆心 M 轨迹方程是1x62＋y72＝1.
椭圆的标准方程（二）
高二年级理科数学卢
不
图形
同
焦点在x轴上
y M
F1 O F2
x
焦点在y轴上
y
F2
M
O
x
F1
点
标准方程
x2 +y2 =1a>b>0
a2 b2
y2 x2 a2 b2 1(ab0)
焦点坐标 F1-c,0， F2c,0 F10,-c， F20,c
相 a、b、c 的关系
由|AB|＋|AC|＋|BC|＝18，得|AB|＋|AC|＝10，
6分
因此，点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆，这个椭圆上的
点与两焦点的距离之和2a＝10；
8分
但点A不在x轴上．由a＝5，c＝4，得
b2＝a2－c2＝25－16＝9.
10分
所以点 A 的轨迹方程为2x52＋y92＝1(y≠0).
12 分
∴c＝ a2－b2＝1.
又∵P 在椭圆上，
∴|PF1|＋|PF2|＝2a＝2 5
椭圆的标准方程
(x + c)2 + y2 + (x c)2 + y2 = 2a 整理后得: 整理后得 (a2 c2 )x2 + a2 y2 = a2 (a2 c2 ) 设a2 c2 = b2， 得b2x2 + a2 y2 = a2b2 可
2 2
y x x2 y2 即 2 + 2 =1 或 2 + 2 =1 后一方程如何得到？ ， 后一方程如何得到？ a b a b
轴上。 则，椭圆的焦点在X轴上。 椭圆的焦点在 轴上
利用方程
（1）化椭圆方程为标准方程 化椭圆方程为标准方程 （2）比较 2与y2项所对应的分母，分母值 比较x 项所对应的分母， 比较 较大的即为焦点对应的坐标轴。 较大的即为焦点对应的坐标轴。 注 ： a 2 ﹥ b2
试一试：完成下列问题需要多少时间？ 试一试：完成下列问题需要多少时间？
∴ a=5 而a2=b2+c2 ∴b2=a2-c2=9
∴椭圆的标准方程是
轴上。 ∴所求椭圆的焦点在X轴上。 所求椭圆的焦点在 轴上
x2 y2 + =1 25 9
椭圆的标准方程分析
如图：当焦点在 轴上时可得 轴上时可得： 如图：当焦点在y轴上时可得：
2 2 x2 + y + c） + x2 + y c） = 2a （ （ 整理得： 整理得：
椭圆的概念
平面内与两个定点F 平面内与两个定点 1、F2的 距离之和等于常数(2ａ)的点的 距离之和等于常数 的点的 椭圆. 轨迹叫做椭圆 轨迹叫做椭圆 其中，定点F 叫做椭圆的焦点 焦点； 其中，定点 1、F2叫做椭圆的焦点； 两焦点间的距离lF 叫做焦距。 叫做焦距 两焦点间的距离 1F2l叫做焦距。 ａ＞０ ａ＞０且２ａ＞ lF1F2l。 。
原创1：3.1.1 椭圆及其标准方程
典例精析
题型三：与椭圆有关的轨迹问题
例4 已知B,C是两个定点,|BC|=8,且△ABC的周长等于18.
求这个三角形的顶点A的轨迹方程.
由a=5,c=4,
解 以过B,C两点的直线为x轴,
得b2=a2-c2=25-16=9.
线段BC的垂直平分线为y轴,
2
2
建立平面直角坐标系xOy,如图所示.
所以点A的轨迹方程为 + =1(y≠0).
F1
F2
新知探索
椭圆的定义
把平面内与两个定点F1，F2的距离的和
等于常数（大于｜F1F2｜）的点的轨迹
叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，
两焦点间的距离叫做椭圆的焦距，
焦距的一半称为半焦距．
新知探索
椭圆的定义
A ）
D
动点M到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离和是10
87 ，则动点M的轨迹为（ B
∴2×8b＝12，∴b＝3.
x2 y2
∴椭圆的标准方程为25＋ 9 ＝1.
跟踪练习
4.求以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2, 6)的椭圆的标准方程.
2
解 由 9x +5y =45,得
2
2
9
+
2
5
2
设所求椭圆的标准方程为
2
=1,其焦点 F1(0,2),F2(0,-2),
2
2
2
2
x2 y 2
2 1(a b 0)
2
a
b
2
x2 ( y c)2 x 2 ( y c)2 2a
y 2 x2
2 1(a b 0)
课件3：2.1.1 椭圆及其标准方程
解:设点Ｍ的坐标为(x,y),点Ｐ的坐标为(x ,y ),则
0
0
x
=
x
,y
=
y 0
.
0
2
因为点Ｐ(x ,y )在圆x2 + y2 = 4上，所以
0
0
分析：点P在x圆2 +xy2 2+=y42 .= 4上运动,点P的运动引①起
0
0
点把 M的x 运= 动x,y.我= 2们y代可入以方由程M为①线,得段PD的中点得到点M
解：若 x2 + y2 = 1表示焦点在x轴上的椭圆，则 mn
m > n > 0,且c = m - n, 所以，焦点坐标为( m - n,0),(- m - n,0).
变式引申:
x2 y2 1 mn
⑴若焦点在y轴上；
⑵如果不指明在哪个坐标轴上，写出椭圆的一般形式;
⑶若mx2 + ny2 = 1表示椭圆，m,n应满足什么条件.
应用举例
例1.用定义判断下列动点M的轨迹是否为椭圆。 (1)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为6的点的轨迹。 (2)到F1(0,-2)、F2(0,2)的距离之和为4的点的轨迹。 (3)到F1(-2,0)、F2(2,0)的距离之和为3的点的轨迹。 解 (1)因|MF1|+|MF2|=6>|F1F2|=4，故点M的轨迹为椭圆。
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
练习1、动点P到两定点F1(-4,0)，F2(4,0)的距离之和为8， 则动点P的轨迹为（ B ）
A.椭圆 B.线段F1F2 C.直线F1F2 D.不能确定 练习2、椭圆 x2 上y2一点1 P到一个焦点的距离等于3，
25 16
则它到另一个焦点的距离是（ B）
3.1.2.椭圆的几何性质(简单性质)
A P F1
P
F2
11:10:56
25
2、已知椭圆C： 25
x2
y2 1 , 9
的左右焦点分别为F1，F2，P是椭圆的动点：
（1）求|PF1|· |PF2|的最大值； （2）当∠F1PF2=60º 时，求△F1PF2的面积S；
（3）已知 点A（2，2），求|PA|+|PF2|的最 值.
（4）已知 点B（4，4），求|PB|+|PF2|的最小值.
到神十开展航天医学实验、 技术试验及太空授课活动。
11:10:56 19
神舟十号飞船
任务阶段：载人航天工程第二步第一阶段，
飞船参数高度：约23米 交会对接任务收官之战，载人飞船天地往返运输 系统定型阶段。 试验任务：自动和手动交会对接、 重量：约8吨 组合体飞行、绕飞等。 直径：最大直径2.9米 组成：推进舱、返回舱和轨道舱 发射时间：2013年6月11日17时38分02.666秒 返回时间：2013年6月26日8时07分 飞行速度：约每秒7.9公里，每小时飞行2.8万公里， 每90分钟绕地球一圈 飞行时间：在轨飞行15天，其中12天与天宫一号组成组合体 在太空中飞行 发射初始轨道：近地点约200公里、远地点约330公里的椭圆 轨道交会 对接轨道：距地约343公里的近圆轨道 航天员乘组：聂海胜、张晓光、王亚平
x2 y 2 以椭圆 1的两个焦点及短轴的两个端点为四个顶点的椭圆 3、 25 16 2 2 x y 方程为---------------------------- . 1
11:10:56
9
16
27
一、复习回顾： 图 形 相同点
方程
长轴长 2a, 短轴长 2b
a 2 b2 c2
课件12：2.2.1 椭圆及其标准方程
(1)相同点：它们的大小和形状都相同，都有a＞b＞
0，a2＝b2＋c2，焦距都是2c，椭圆上的点到两焦点
距离的和均为2a.
(2)不同点：两类椭圆的焦点位置不同，即焦点所在
坐标轴不同，因此焦点坐标也不相同．
思考尝试
1．思考判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)动点P到两定点A(0，－2)，B(0，2)的距离之和为4，
解：设圆P的半径为r，
又圆P过点B，所以|PB|＝r，
又因为圆P与圆A内切，圆A的半径为10.
所以两圆的圆心距|PA|＝10－r，
即|PA|＋|PB|＝10(大于|AB|)．
所以点P的轨迹是以A，B为焦点的椭圆．
所以2a＝10，2c＝|AB|＝6，
所以a＝5，c＝3.
所以b2＝a2－c2＝25－9＝16.
则点P的轨迹是椭圆．(
)
(2)椭圆上一点P与两焦点F1，F2构成△PF1F2的周长为
2a＋2c.(
)
2
2
2
2
(3)两椭圆C1： 2 ＋ 2 ＝1与C2： 2 ＋ 2 ＝1的焦距相同，
焦点也相同．(
)
(4)△ABC中，B、C坐标为B(－2，0)，C(2，0)，A为
动点，△ABC周长为10，顶点A的轨迹为椭圆．(
因为A(1，0)，C(－1，0)，
所以点M的轨迹是以(1，0)，(－1，0)为焦点的椭圆，
5
25
21
2
2
2
且2a＝5.所以a＝ ，c＝1，b ＝a －c ＝ －1＝ .
2
4
4
2
2
4
4
故点M的轨迹方程为 25 ＋ 21 ＝1.
y椭圆的简单几何性质
2 2
b F1
a
c F2
o
x
b a c a
b c
b b 越小，椭圆越扁； 越大，椭圆越圆 . a a c c 越大，椭圆越扁； 越小，椭圆越圆 . a a b b 越小，椭圆越扁； 越大，椭圆越圆 . c c
11
四、椭圆的离心率
1.什么是离心率？
(12 分)
【题后反思】 (1)求离心率 e 时，除用关系式 a2＝b2＋c2 外，还 c 要注意 e＝a的代换，通过方程思想求离心率． (2)在椭圆中涉及三角形问题时，要充分利用椭圆的定义、正弦 定理及余弦定理、全等三角形、相似三角形等知识．
小结：
1.椭圆的基本要素：
（1）基本量：a、b、c、e（共四个量）
（2）基本点：顶点、焦点、中心（共七个点） （3）基本线：对称轴（共两条线） 2.数学思想方法： （1）数与形的结合，用代数的方法解决几何问题; （2）分类讨论的数学思想 .
25
标准方程
图 范 象 围
x2 y 2 2 1(a b 0) 2 a b
y
O x
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
a、c关系式 ⇒ 离心率
x2 y2 [规范解答] 设椭圆的方程为 2＋ 2＝1(a>b>0)． a b 则有 F1(－c，0)，F2(c，0)，A(0，b)，B(a，0)， 直线 PF1 的方程为 x＝－c， x2 y2 b2 代入方程 2＋ 2＝1，得 y＝± ， a b a
b2 ∴P－c， a .又
椭圆的简单几何性质
1
复习回顾：
1.椭圆的定义:
平面内与两定点F1、F2的距离和等于常数（大于 |F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆.
椭圆的标准方程与几何性质
椭圆的标准方程与几何性质★ 知识梳理★知识点一:椭圆的定义平面内与两定点F 1,F 2距离的和等于常数()212F F a >的点的轨迹叫做椭圆，即点集M={P| |PF 1｜+｜PF 2｜=2a,2a ＞｜F 1F 2|=2c ｝；这里两个定点F 1,F 2叫椭圆的焦点，两焦点间的距离叫椭圆的焦距2c 。
(212F F a =时为线段21F F ，212F F a <无轨迹）。
知识点二：椭圆的方程1．当焦点在x 轴上时，椭圆的标准方程：12222=+by a x )0(>>b a ，其中222b a c -=椭圆的焦点坐标为)0,(c ，)0,(c -；2．当焦点在y 轴上时，椭圆的标准方程:12222=+bx a y )0(>>b a ,其中222b a c -=;椭圆的焦点坐标为),0(c ，),0(c -3。
椭圆的一般方程：.4. 焦点在x 轴上时12222=+b y a x （222a b c =+）⇔{cos sin x a y b ϕϕ==（参数方程,其中ϕ为参数） 知识点三:椭圆 12222=+by a x )0(>>b a 的简单几何性质（1）对称性：椭圆12222=+by a x )0(>>b a ：是以x 轴、y 轴为对称轴的轴对称图形,并且是以原点为对称中心的中心对称图形,这个对称中心称为椭圆的中心。
(2）范围：椭圆上所有的点都位于直线a x ±=和b y ±=所围成的矩形内，所以椭圆上点的坐标满足a x ≤，b y ≤。
（3）顶点：①椭圆的对称轴与椭圆的交点称为椭圆的顶点。
②椭圆12222=+b y a x )0(>>b a 与坐标轴的四个交点即为椭圆的四个顶点，坐标分别为 )0,(1a A -，)0,(2a A ，),0(1b B -，),0(2b B ③线段21A A ,21B B 分别叫做椭圆的长轴和短轴，a A A 221=,b B B 221=。
椭圆及其标准方程
请同学们思考：
1. 椭圆的两个焦点分别是F1(-8，0)和F2(8，0)， 且椭圆上一点到两个焦点的距离之和是20，则此 椭圆方程是_____________。 2. △ABC中，三边a、c、b成等差数列，且 a>c>b，若A（-1，0），B（1，0），则动点C的 轨迹方程为____________。
请同学回答
分析： 因为B（-3，0），C（3，0） 所以|BC|=6 又三边|AC|, |BC| , |AB|长依次成等差数列 ∴ + AB = 2 BC = 12 AC 根据例题同理可知
A
B 2 2 x y + = 1 （ y ≠ 0) 36 27
A点的轨迹方程是
C
板书请学生在草稿纸上完成!
所以所求的椭圆的标准方程为
y2 x2 + = 1. 10 6
请同学们结合所讲再看看书，谈谈求椭圆标准 方程的方法和步骤： 首先，根据题意设出标准方程 其次，根据条件确定a,b的值 第三，写出椭圆的标准方程
A
例2 已知B,C两个定点， BC = 6
B
C
且 ABC 的周长等于16 求顶点A的轨迹方程 分析 在解析几何中，求符合某种条件的点的轨迹方程 要建立适当的坐标系。 在 ABC 中，ABC 的周 长为16， BC = 6 可知，点A到B,C两点的距离为 常数。即 AB + AC = 16 6 = 10 因此，点A的轨迹是以B,C为焦点的椭圆
由椭圆的定义知，
y2 x2 + 2 = 1 (a>b>0) 2 a b
3 2 5 ( ) + ( 2)2 2 2
3 2 5 2a = ( ) + ( + 2)2 + 2 2 3 1 = 10 + 10 2 2 = 2 10 , ∴ a = 10 . 又 c = 10 4 = 6 .
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们来回顾一下椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
根据椭圆的定义，我们可以得到椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
其中(h,k)为椭圆的中心坐标，a为椭圆长轴的长度的一半，b 为椭圆短轴的长度的一半。
接下来，我们来讨论如何求解椭圆的标准方程。
首先，我们需要知道椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b。
如果我们已知椭圆的焦点坐标和长轴长度，我们可以通过以下步骤求解椭圆的标准方程：步骤一，确定椭圆的中心坐标(h,k)。
椭圆的中心坐标可以通过焦点坐标F1和F2的平均值得到，即(h,k) = ((x1+x2)/2,(y1+y2)/2)。
步骤二，确定椭圆长轴的长度2a和短轴的长度2b。
根据椭圆的定义，长轴的长度2a等于两个焦点的距离，即2a = 2√((x2-x1)² + (y2-y1)²)。
而短轴的长度2b可以通过长轴长度和离心率e计算得到，即2b = 2a√(1-e²)。
步骤三，代入椭圆的中心坐标(h,k)和长短轴的长度a和b到椭圆的标准方程中，即可得到椭圆的标准方程。
通过以上步骤，我们可以求解椭圆的标准方程。
需要注意的是，当椭圆的长轴与x轴平行时，椭圆的标准方程为：(x-h)²/a² + (y-k)²/b² = 1。
而当椭圆的长轴与y轴平行时，椭圆的标准方程为：(x-h)²/b² + (y-k)²/a² = 1。
总之，求解椭圆的标准方程是一个基础而重要的数学问题。
通过掌握椭圆的定义和标准方程的求解方法，我们可以更好地理解和运用椭圆的性质，为数学和工程领域的应用奠定坚实的基础。
希望本文的介绍能够对您有所帮助，谢谢阅读！。
数学人教A版选修2-12.2.1椭圆及其标准方程课件
由已知条件得a42＋b22＝1 a12＋41b42＝1
，解得ab22＝＝84 .
∴所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
同理可得：焦点在 y 轴上的椭圆不存在.
综上，所求椭圆的标准方程为x82＋y42＝1.
解法二： 设椭圆的一般方程为 Ax2＋By2＝1(A>0，B>0，A≠B)．
将两点(2，－ 2)，(1， 214)代入，
一个概念； 二个方程； 二个方法：
|MF1|+|MF2|=2a
x2 a2
y2 b2
1
y2 a2
x2 b2
1
a b 0
去根号的方法；求标准方程的方法
三个意识：求美意识， 求简意识， 猜想的意识。
F2
表描示画出|椭M圆F1的| +几|M何F特2|征= 常数
推导椭圆的标准方程
建立直角坐标系一般应符合简单和谐的原则， 注意要充分利用图形的对称性。
一般美观的图形他的方程也会很简洁，比如我们在求圆的标准 方程时，把圆心作为坐标原点，得到的方程就很简洁美观。
x2 y2 r2
r
YM
F1
O
F2 X
[方法规律总结] 1.由椭圆的标准方程可求a、b、c的值，进而可求焦点坐标等． 2．椭圆标准方程中，哪个项的分母大，焦点就在哪个轴上．
求椭圆的标准方程
求适合下列条件的椭圆的标准方程： (1)两个焦点的坐标分别为 F1(－4,0)，F2(4,0)，并且椭圆上 一点 P 与两焦点的距离的和等于 10； (2)焦点分别为(0，－2)，(0,2)，经过点(4,3 2)； (3)经过两点(2，－ 2)，(－1， 214)．
1
a
b
0
F(0，±c)
椭圆的简单几何性质最全
结论：椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成
的矩形里． 即 -a≤x≤a -b ≤y≤b
.
5
二、椭圆的对称性
Y
x2 a2
by22
1(ab0)
关于y轴对称
P2（-x，y）
P（x，y）
关于原点对称
P3（-x，-y）
.
O
X
P1（x，-y）
关于x轴对称
6
二、椭圆的对称性
y
F1 O F2 x 结论：椭圆既是轴对称图形， 又是中心对称图形
y2 a2
x2 b2
1
a b0
F1(0，c) F2(0，-c) .
y
F1 o
M
F2 x
a2 b2c2
y
. F1
o
x
. F2
a2 b2c2 3
椭圆的一般方程
Ax2＋By2＝1（A＞0，B＞0，A≠B）
.
4
一、椭圆的范围
y
b
-a
a
o
x
-b
由 x2y2 1 x2 1 和 y2 1
a2 b2
a2
b2
即 ： xa和yb
.
8
练习：1.已知点P(3，6)在
x2 y2 a2 b2
1
上,则(
)
(A) 点(-3,-6)不在椭圆上
(B) 点(3,-6)不在椭圆上
C
(C) 点(-3,6)在椭圆上 (D) 无法判断点(-3,-6), (3,-6), (-3,6)是否在椭圆上
.
9
三、椭圆的顶点
顶点：椭圆与它的对称轴的四个交点，叫做椭
x2 y2 1
36 20
(B)
x2 y2 1
椭圆的标准方程怎么求
椭圆的标准方程怎么求首先，我们需要了解椭圆的定义。
椭圆是平面上到两个定点F1和F2的距离之和等于常数2a的点P的轨迹。
这两个定点F1和F2称为椭圆的焦点，常数2a称为椭圆的长轴长度。
椭圆上任意一点P到两个焦点的距离之和等于常数2a，这个性质决定了椭圆的形状。
其次，我们需要知道椭圆的标准方程是什么。
椭圆的标准方程是x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1，其中a和b分别是椭圆的长轴和短轴长度。
通过椭圆的标准方程，我们可以直观地了解椭圆的形状和大小。
接下来，我们来介绍如何求解椭圆的标准方程。
首先，我们需要知道椭圆的焦点坐标和长轴短轴长度。
如果我们已知椭圆的焦点坐标为(F1x, F1y)和(F2x, F2y)，长轴长度为2a，短轴长度为2b，那么我们可以通过这些信息来求解椭圆的标准方程。
椭圆的焦点坐标和长短轴长度可以通过椭圆的参数方程来求解。
椭圆的参数方程为：x = acosθ。
y = bsinθ。
其中θ为参数，a和b分别为椭圆的长轴和短轴长度。
通过参数方程，我们可以得到椭圆上任意一点的坐标，从而确定椭圆的形状和大小。
通过参数方程得到椭圆上任意一点的坐标后，我们可以利用这些点的坐标来确定椭圆的标准方程。
具体来说，我们可以将参数方程中的x和y代入椭圆的标准方程中，然后整理得到标准方程的形式。
最后，我们需要验证求解得到的标准方程是否正确。
我们可以通过将椭圆上几个特殊点的坐标代入标准方程中，来验证标准方程是否成立。
如果代入后等式成立，那么我们求解得到的椭圆标准方程就是正确的。
总结一下，求解椭圆的标准方程需要先确定椭圆的焦点坐标和长短轴长度，然后利用椭圆的参数方程来求解标准方程，最后通过验证来确定求解结果的正确性。
掌握了这些方法，我们就能准确地求解椭圆的标准方程。
椭圆的标准方程
M
化简： 化简方程f(x,y)=0.
证明： 说明曲线上的点都符合条 件（纯粹性）；符合条件的点都在 曲线上（完备性）.
F1 F2
MF1 MF2 2a
x y 1 36 16
2
2
或
x y 1 16 36
2
2
小菜一碟
例1．椭圆的两个焦点的坐标分别是（－4，0） （4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10， 求椭圆的标准方程。 解： ∵椭圆的焦点在x轴上
.
∴设它的标准方程为:
∵ 2a=10, 2c=8 ∴ a=5, c=4 ∴ b2=a2－c2=52－42=9
y2 x2 2 1 2 a b
a b 0
去根号的方法；求标准方程的方法
1、方程
x 3
2
y
2
x 3
2
y 2 10
表示________。 2、方程 x 32 y 2 x 32 y 2 6 表示________。 2 2 3、方程 x 2 y 3 x 2 y 3 10 表示________。 4、方程 x 3 4 的解是________。
定 义 y 图 形
F1
|MF1|+|MF2|=2a (2a>2c>0) y
M
F 2 M
o
F2
x
o
F1
x
方 程 焦 点 a,b,c之间
的关系
x2 y2 2 1 a b 0 2 a bF(±c，0)
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概 念
点
a、b、c 的关系
c2 = a 2 -b 2
两
标准方程
不
同
图形
点
x2 a2
+
y2 b2
= 1 ?a
> b > 0?
y2 + x2 = 1 ?a > b > 0?
a 2 b2
种 方
y
y
程
M
F1 O F2
x
F2
M
三
O
F1
x个
意
焦点坐标
识 F1c?- , 0?，F2 ?c , 0? F1 ?0?,?- c?，F2 ?0?,?c?
2.椭圆的定义
M
F1
F2
平面内，与两个定点 F1 ，F2的距离的和等于常数
（大于 |F1F2|）的点的轨迹叫做椭圆 .
这两个定点 F1 ，F2叫做椭圆的 焦点， 两焦点间的距离叫做椭圆的 焦距. 记焦距为 2c，常数为 2a 你能否将椭圆定义的文字语言转换为数学符号语言 ?
复习回顾：求曲线方程的步骤
令 b ? MO ? a 2 ? c2，即 b2 ? a 2 ? c2
则方程可化为
x2 a2
?
y2 b2
? 1 (a
?
b
?
0)
我们把它叫做的 椭圆的标准方程 .它的焦点在 x轴上.
当椭圆的焦点在 y轴上时,它的方程又是怎样的呢 ?
两类标准方程
y
M (x,y)
F1 o
F2 x
y
F2 M (x,y)
ox
F1
焦点在x轴：
x2 a2
?
y2 b2
? 1?a
?
b?
0?
焦点在y轴： y2 x2 a 2 ? b2 ? 1(a ? b ? 0)
a, b, c三者中a最大， c2 ? a 2 ? b2
哪个变量对应的分母大，焦点就在哪个轴上
练习1. 请写出a,b,c及焦点坐标
x2 (11). 52
?
y2 32
? 1，则a＝
椭圆及其标准方程
一、生活中的椭圆
美丽的建筑外观 对称的车标
镜子
吊坠
二、合作探究，形成概念：
1.探究实验： [1]取一条定长的细绳； [2]把它的两端固定在板上的两点 F1、F2； [3]用笔尖（M）把细绳拉紧，在板上慢慢移动观察 画出的图形。
M
F
F2
1
实验有三种情况： ①：绳长大于两定点间的距离 ②：绳长等于两定点间的距离 ③：绳长小于两定点间的距离
。
x2 y2 ? ?1
或
y2 ? x2 ? 1
25 9
25 9
例1、已知椭圆的两个焦点分别是（ -2，0），（ 2，0），并且经过 点 ( 5 ，? 3 ) ，求它的标准方程。
22
四、总结归纳 提高素质
一
个
相 同
定义
平面内与两个定点 F1，F2的距离的和等于 常数（大于 | F1F2 |）的点的轨迹叫做椭圆 .
5 ，b＝
3 ，c＝
4 ， F1
(? 4, 0)， F2
(4, 0)；
y2 (24). ?
x2
?1,
则a＝
7 ，b＝
2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱc＝
3,F1 (0, ? 3,F)2 (0, 3)；
74
练习2.
（1）已知a=5，b ? 3 ，焦点在x轴上的椭圆标准方程为
x2 ? y2 ? 1
25 9 。
（2）已知a =5，b ? 3 的椭圆标准方程为
建立适当的直角坐标系、设点 写集合 列方程 化简
验证
3.椭圆的方程的推导
例：如图 ,已知焦点为 F1，F2的椭圆，且 |F1F2|=2c, M 是椭圆上任一点，
试推导椭圆的方程。
y
x
o
y
M
b ax
?
F1
oc ?
F2
x2
y2
a2 ? a2 ? c2 ? 1
观察左图，你能从中找出
表示ac, , a 2 ? c2的线段吗？