矩阵特征根

因为
X(x1,x2,...,xn)T
T()0 (0)
A X0X (X0) 4
§5.3 特征值与特征向量
0EAX0
也即
0 a11 a12 L a1n x1
a21
L
0 a22 L
LO
a2n
x2
源自文库
0
L M
an1
an2
L
0
ann
xn
求特征向量的问题转变成求齐次线性方程组非零解问题，
存在的充要条件是：
P 1 E A P
P 1 E A P E A
线性变换的特征值与基 的选取无关
17
§5.3 特征值与特征向量
当 A , B 表示同一个线性变换在两个基(过渡矩阵为可逆 阵 P )下的矩阵时:
A , B 有相同的特征多项式 线性变换的特征值与基的选取无关.
18
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 3 5 的线性无关的特征向量
1
3(1,2,3)X3(1,2,3)1123
1
T 的属于特征值 3 5 的全部特征向量
k 3 3
（ k 3 不为零）
15
§5.2 线性变换的矩阵
例 R2 上旋转变换T 在单位向量组成的基 e1, e2 下的矩阵
Acsoins
sin
cos
它的特征多项式
(1) 一个特征向量只能属于一个特征值
T() 0 T() 1
0 1
0 1
2
§5.3 特征值与特征向量
(2) 如果 1 、2 都是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则当 1 + 2 0 时，1 + 2 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
T(12)T(1)T(2)0102 0(12)
(3) 如果 是 T 的属于特征值 0 的特征向量，则 的任何一个 非零倍数 k 也是 T 的属于特征值0 的特征向量
例设 计算
1 0 2
A
0
1
1
0 1 0
g (A ) 2 A 8 3 A 5 A 4 A 2 4 E
25
§5.3 特征值与特征向量
解:
1 0 2
f () EA 0 1 1
0 1
3 21
令
g ()2 8 3 5 4 2 4
g()f()(254352914)
(2423710)
3 48 26
B0 B1
An An A n1 B0
A
n
a1 A n1
An2
B
2
A
n
2
B1 A n 1
a2 An2
L
L
A1
B
n
1
A
Bn2 A2
an1 A
E
Bn1 A an E
0 A n a 1 A n 1 L a n 1 A a n E f ( A )
24
§5.3 特征值与特征向量
(4) 常数项的系数为 f(0)A(1)n A
21
§5.3 特征值与特征向量
另一方面，在复数域，特征多项式 f () 必定有 n 个根，因此
可以分解为：
f() 1 2L n n (12 Ln)n 1 L ( 1 )n12Ln
特征多项式 f ()在复数域的 n 个根（特征值）：
(1) 12Lntr(A) (2) 12LnA
22
§5.3 特征值与特征向量
定理5.7 (Hamilton-Cayley定理) 设 A 是数域 P 上一个 n 阶方
阵，f () = E - A是A 的特征多项式，则矩阵多项式
f ( A ) A n a 1 1 a 2 2 L a n n A n 1 L ( 1 ) n A E 0
求线性变换 T 的特征值与特征向量.
解:
1 2 2
f () EA 2
1
2
2 2 1
( 1)2( 5)
A 特征值 121,35 12
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 1 2 1代入特征方程组
得线性无关的特征向量
1
X1
0
1
0
X2
1
1
(EA)X0
将特征值 3 5 代入特征方程组 (EA)X0
其线性组合 k 11 k 22 k rr 即为i 的全部特征向量。
（ k1,k2,L,kr 不全部为零）
8
§5.3 特征值与特征向量
例 求矩阵
1 1 0
A
4 1
3 0
0 2
特征值与特征向量.
解:
1 1 0
f () EA
4 1
3
0
02
(2)(1)2
A 特征值
12,231
9
§5.3 特征值与特征向量
a 1 X 1 a 2 X 2 L a k 1 X k 1 a k X k 0
一方面,两边同时乘矩阵 A :
a 1 A X 1 a 2 A X 2 L a k 1 A X k 1 a k A X k 0
27
§5.3 特征值与特征向量
a 1 1 X 1 a 2 2 X 2 L a k 1 k 1 X k 1 a k k X k 0
29
§5.3 特征值与特征向量
定理5.9 如果1 , 2 ,…, k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值, 而
X i1 ,X i2 ,L ,X ir i ( i 1 ,2 ,L ,k )
是属于特征值 i 的 ri 个线性无关特征向量, 则
X 1 1 , X 1 2 , L , X 1 r 1 , X 2 1 , X 2 2 , L , X 2 r 2 , L , X k 1 , X k 2 , L , X k r k 线性无关.
30
§5.4 矩阵的对角化
定理 5.10 n 阶矩阵 A 相似于对角矩阵的充要条件是 A 具 有n 个线性无关的特征向量. 证明: 必要性, 设
0 a11 a12 L a1n
a21 0 a22 L a2n 0
L
L OL
an1
an2 L 0 ann
5
§5.3 特征值与特征向量
定义5.7 设 A 是数域 P 上一个n 阶方阵， 为一个未知量，
矩阵 E - A 的行列式
0 a11 a12 L a1n
EA a21 0 a22 L a2n
L
L OL
将特征值 1 2 代入特征方程组,得
(1EA)X0
即
3 1 0 x1
4
1
0
x2
0
1 0 0 x3
0
得基础解系
0 1
属于特征值 1 2 的全部特征向量
0
k
1
0
1
k1 0
10
§5.3 特征值与特征向量
将特征值 2 3 1 代入特征方程组,得
2 1 0 x1
得特征向量
1
X
3
1
1
13
§5.3 特征值与特征向量
T 的属于特征值 1 2 1的线性无关的特征向量
1
1(1,2,3)X1(1,2,3)013
1
0
2(1,2,3)X2(1,2,3)123
1
T 的属于特征值 1 2 1的全部特征向量
k11 k22
（ k 1 , k 2 不全部为零）
14
§5.3 特征值与特征向量
三 特征多项式的基本性质
观察特征多项式：
a11 a12 L a1n f()EA a21 a22 L a2n
L L OL
an1 an2 L ann
只有主对角线项可能包含 n 和 n-1 项 n 和 n-1 项必定来自于
a11a22Lann na11a22Lannn1L
20
§5.3 特征值与特征向量
28
§5.3 特征值与特征向量
根据归纳法假设:
a1k a11 0 a1 0 a2k a22 0 a2 0
L
ak 1 k ak 1 k1 0 ak1 0
a 1 X 1 a 2 X 2 L a k 1 X k 1 a k X k 0
ak X k 0
ak 0
Hamilton-Cayley定理的意义: 对于数域 P 上任意一个 n 阶方阵， 提供一种方法使得我们能找到一个 n 次多项式，使得将该矩阵 代入这个多项式 等于零矩阵, 由此我们在计算高阶矩阵多项式 时能通过多项式除法先把次数降低, 然后再计算, 由于多项式运 算的复杂度一般大大低于矩阵运算, 由此降低整个运算的复杂 度.
(1) 特征多项式 f () 是关于 项的 n 次多项式 (2) n 次项( n 项)的系数为 1 (3) n-1 次项(n-1 项)的系数为 – (a11+ a22+…+ ann)
括弧中主对角线元素之和称为矩阵 A 的迹，记为 tr (A ) a 1 1 a 2 2 L a n n
另外，在多项式 f () 中令未知量 为0，应得到常数项，
另一方面,两边同时乘 k :
a 1 k X 1 a 2 k X 2 L a k 1 k X k 1 a k k X k 0
两个等式相减 : a 1 k a 1 1 X 1 a 2 k a 2 2 X 2 L a k 1 k a k 1 k 1 X k 1 0
T(k)kT()k(0) 0(k)
属于特征值0 的全部特征向量 + 零向量构成一个线性子空间 3
§5.3 特征值与特征向量
记 V 0 T ( ) 0 , V
定义5.6 子空间.
V 0 称为线性变换 T 的属于特征值0 的特征
二 特征值与特征向量的求法
设 1, 2,…, n 是数域 P 上 n 维线性空间 V 的一个基， 线性变换 T 在该基下的矩阵为A ，0 为 T 的一个特征 值，属于特征值 0 的特征向量 在该基下的坐标为
an1
an2 L 0 ann
称为 A 的特征多项式，记为
f () EA
f () 0 的根称为 A 的特征根（或特征值）
6
§5.3 特征值与特征向量
当0 为 A 的一个特征值时，方程
(0EA)X0 （称为特征方程组）
的非零解称为 A 的特征向量 显然：
当线性变换 T 对应于 n 阶方阵 A 时 T 的特征值 对应于 A 的特征值 T 的特征向量坐标 对应于 A 的特征向量
证明：设 B() 是 (E - A) 的伴随矩阵，即 (E - A)* ，由行
列式性质,
B ()(E A )E A E f()E
设 B()n1B0n2B1LBn1 B()(EA)
(nB0n1B1LBn1)(n1B0An2B1ALBn1A)
nB0n1(B1B0A)n2(B2B1A)L
(Bn1Bn2A)Bn1A
23
§5.3 特征值与特征向量
f()n a 1n 1 L a n 1 a n f()E n E a 1n 1 E L a n 1E a n E
B0 E
B
1
B0A
a1E
B L
2
B1A
a2E
B
n 1
B n2 A
a n1E
B n 1 A a n E
An A n1
线性代数
第五章 线性变换
§5.3 特征值与特征向量
一 特征值与特征向量的概念 定义6.1 设 T 是数域 P 上线性空间 V 中的一个线性变换，对
于数域 P 上一个数 0 ，如果存在一个非零向量 使得
T() 0
则称 0 为 T 的一个特征值，非零向量 称为T 的属于0 的一
个特征向量 .
一些基本性质:
4
2
0
x2
0
1 0 1 x3
1
得基础解系
2
1
属于特征值 2 3 1 的全部特征向量
1
k2
2
k2 0
1
11
§5.3 特征值与特征向量
例 设 1, 2, 3 是数域 P 上 3 维线性空间 V 的一个基，线性
变换T 在该基下的矩阵为
1 2 2
A
2
1
2
2 2 1
g(A)24A237A10E0 95 61
0 61 34
26
§5.3 特征值与特征向量
四 特征向量的线性无关性
定理5.8 属于不同特征值的特征向量线性无关.
证明: 设 1 , 2 ,…, k 是矩阵 A 的 k 个不同的特征值, X1 , X2 ,…,
Xk 是分别属于它们的特征向量 对向量个数用数学归纳法, k =1 时自然成立. 设向量个数为 k-1 时成立, 设
EA cos sin sin cos
2 2cos1
如果 k c o s 1 E A 0 无解
16
§5.3 特征值与特征向量
定理5.6 相似的矩阵有相同的特征多项式 证明: 设 A B , 存在可逆阵 P 使得
P-1A P = B
E B E P 1A P
P 1 E P P 1 A P
7
§5.3 特征值与特征向量
求矩阵的特征值与特征向量的步骤： (1) 计算矩阵 A 的特征多项式
E n A (1 ) (2 ) L (n )
(2) 由
En A 0
得所有根 1, 2,, n即为矩阵A的特征值
(3) 对 A 的不同特征值 i , 分别求解方程组
(iEA)X0
得基础解系 1,2,L,r
考察特征向量: 设 X 为 A 的特征向量:
AX 0X
BPX PP1 BPX
P P1BP X PAX
P0X 0 PX
PX 为 B 的特征向量,而 X 和 PX 为同一个向量在两 个基(过渡矩阵为可逆阵 P )下的坐标
线性变换的特征向量与基的选取无关.
19
§5.3 特征值与特征向量