1复数与复变函数

[思考] 7,6 P31
图形与方程
图形由方程的解集画出，例如 y x 1即(x, y) y x 1.
常见图形的方程：
*圆：(1) z z0 r,
(2)
xy
x0 y0
r r
cos sin
x( ) y( )
[0,2 ]
(3)z z0 rcos i sin z0 rei
z x iy
(单位圆z 1上点的n次幂仍在单位圆上，角度为n .)
[例]
3 i 6 2
3 2
i 2
6
26ei
6
6
64ei
64.
[例] u
[定义] 若对z, 存在，使得n z(n N), 称是z的n次
1
方根, 记为n z或 zn . 求方根的运算叫开方。
设 cos i sin，z rcos i sin rei
（1）和差积商的共轭 共轭的和差积商： z x iy
z1 z2 z1 z2 ,
z1z2 z1 z2 ,
z1 z2
z1 z2
.
(2) z z. z , z“互相”共轭
(3) zz Re(z)2 Im( z)2 x2 y2 0. x2 y2 z 2
(4) z z 2 Re(z) 2x, z z 2i Im( z) 2iy,
(实部•实部-虚部• 虚部) i(交叉相乘)
[共轭] z x iy.（虚部变号） z ? (z R)
[除法]
z1 z2
z1 z2 z2 z2
( x1 ( x2
iy1 ) iy2 )
( x2 ( x2
iy2 ) iy2 )
( ) i( )
x22
y22
. i0
性质：
z x iy
球面称作复球面.
复平面上的直线对应着复球面上的圆（过北极N）。所
以直线被看作是广义的圆-过的圆。
C 扩充复平面 ：复平面 C + {},与复球面一一对应。
S3 复数的乘幂与方根
1. 乘积与商
设z1 r1cos1 i sin1, z2 r2cos2 i sin2,则
z1z2 r1r2cos1 i sin1cos2 i sin2
x
y z
除了复数的平面表示方法外, 还可以用球面上的点来表 示复数.
取一个与复平面切于原点z=0的球面, 球面上的一点S与 原点重合. 通过S作垂直于复平面的直线与球面相交于另一 点N. 称N为北极, S为南极.
对复平面内任一点z, 用直线将z与N相连, 与球面相交 于P点, 则球面上除N点外的所有点和复平面上的所有点有一 一对应的关系,而N点本身可代表无穷远点, 记作. 这样的
z1
2. 减法时向量箭头指向被减数。
3. 互相共轭的两向量关于x轴对称,长度相等，角度相反。
实部相等，虚部相反。
* 4. z1 z2 可以表示两点(即两复数)间的距离。 z i 1
5. (三角不等式) z1 z2 z1 z2 .
x2 ( y 1)2 1
复球面（第五种表示）
N
P SO
1 i.
[注]
1. 如果不要求主值的话，第II , III 象限的
0
加减 均可。
2. 有时可以采用“凑”的方法解题，不一定 0
非要用上述公式。 rcos i sin
[例] u2 求 i,3 4i的r z, Argz,0 arg z.
[例]1 P7 u2
加、减、共轭的几何表示
2.幂与根
[定义] n个相同的复数z的乘积称z的n次幂,记为zn.
zn rcos i sin n r n cos n i sin n r nein
如果定义zn
1 zn
, z0
1,则上式对任意整数都成立。当
r 1时即De Moivre公式
cos i sin n cos n i sin n
r1r2cos1 cos2 sin1 sin2 isin1 cos2 cos1 sin2 r1r2cos1 2 i sin1 2
z rcos i sin
[定理一] 复数乘积的模 模的乘积；乘积的辐角 辐角的和，即
z1z2 z1 z2, Arg(z1z2) Arg(z1) Arg(z2)
[定理二]
复数商的模 模的商；商的辐角 辐角的差，即
z2 z1
r2 r1
e i (2 1 )
z1 z2 z1 z2 , Arg(z1 z2) Arg(z1) Arg(z2)
[注]
1. 几何意义：乘即逆时针转角，除即顺时针转角。
将复数 z1 按逆时针转角
Argz
，
2
再
将
其
伸
缩
z2
倍，
y
即得 z1z2 ，例如，
(4) (指数) z rei . 例： 1 1ei
i ry
1 O x1
Euler公式： ei cos i sin i
[例] 1 i
2
cos
4
i
sin
4
2 cos i sin
4
4
i
2e 4
i
2e 4
i
2e 4
注：不要利用sin, cos的奇偶性化简。否则看不出辐角。
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[对比] ( x1, y1 ) ( x2 , y2 ) ( x1 x2 , y1 y2 )
[共轭] z1 x1 iy1
z1 z2 z1
z1 z2
[注]
z2
1. 复数加减法与向量加减法一样。
实轴x，虚轴y.
C R2
[定义] 向量长度称z的模或绝对值, 记为 z x2 y2 zz.
[定义] 当z 0时从x轴正方向逆时针到向量的转角称z的辐角, 记为Arg z. 当z 0时z的辐角不确定。（Argument ）
1. 显然z有无穷多辐角，相差2的整数倍，即 Arg z 2k , k Z.
t , t
0
t
2
x2 y2 1 (单位圆 z
1)
[直观理解]
给
定一个曲线
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，我们可以
把（x(t), y(t)）理解为某个人在t 时刻所处的位置。随着
时间t 的推移，这个人走出一个轨迹。x(t), y(t)分别代表
他在X方向、Y方向的行走情况。
椭圆：z z1 z z2 r
i
2e 4
8
2ei ,
2k
4
, k 0,1,2,3
2
4
2
82
o
0
x
3
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
r n1ei
2k n
,
k Z.
[例] u
[解释] 在实数域内对正数开偶次方，有两个根， 一正一负，例如4 16 2；开奇次方，只有一个 正根，3 8 2。负数不能开偶次方；开奇次方，有 一个负根，3 8 2。
2.复数的代数运算
设z1 x1 iy1, z2 x2 iy2, z x iy
[加减法] z1 z2 (x1 x2) i( y1 y2).
[乘法] z1 z2 ( x1 iy1 )( x2 iy2 )
i2 1
( x1 x2 y1 y2 ) i( x1 y2 x2 y1 ).
第一章 复数与复变函数
●复数的概念及运算：±×÷共轭, 乘幂方根 ●复数的各种表示法及相互关系 ●区域的概念 ●复变函数的概念及性质：映射、极限、连续
S1 复数及其代数运算
1. 复数的概念
常用的数集：
自然数集 N {1,2,3, }
整数集 Z { ,3,2,1,0,1,2,3, }
有理数集Q
n
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
1
r nei
2k n
,
k Z.
1
[几何意义] z rei 的n个根都在半径为r n的圆上，是内
接正n边形的n个顶
点，每隔2
n
有一个根，即n个根
平
分
了360o,
第
一
个
的
角
度
为
n
.例如n
2,3,
[例]2 P16
1 y
1 i
4 1 i 4
i ry
1 O x1
i tan y
x
其他点的辐角主值： ( , ]
arctan x ,
2 2
z I , IV象限，0 arctan
y , 典型z 1 i,1 i. x
0
z
II象限，0
arctan
y x
, 典型z
1
i.
0
z
III象限，0
arctan
y x
, 典型z
双曲线：z z1 z z2 r [例] 4P9 u [例] 25(4) P34
z1z2
2iz z 2ei / 2 , 而 z / 3i 则是
将 z 顺时针转角 ,长度缩小.
2
z2 2
z1
2 1
o
x
z1z2 z1 z2 , Arg(z1z2 ) Arg(z1 ) Arg(z2 )
2. Arg(z1z2 ) Arg(z1 ) Arg(z2 )应理解为集合相等，三个 Arg都是集合，例如 i 1 i,
(x x0)2 ( y y0)2 r2
* 直 线 ：(1)有 参 数t： xy
x1 y1
t(x2 t( y2
x1) y1)
z
z1
t(z2
z1)
(2)无参数t：z 1 z 1表示1， 1的垂直平分线，
即y轴 : x 0, Re z 0。
x y
x1 y1
x2 x1 y2 y1
zz x ,
zz y
与cos z、sin z 有关
2
2i
(5) 实系数有理函数的共轭 共轭的有理函数：Q(z) Q z .
（《信号与系统》中要用到）
[例] 2 P4 u
S2 复数的几何表示
1.复平面 复数的4 种表示法：
(1) z x iy. (2) z与向量(x, y) 一一对应，画在z 平面上，也称复平面，
p q
p,q Z,q 0
Natural Integer
Rational
有理数集对 , , , 运算封闭。
实数集 R :实数与数轴上的点一一对应。 Real
复数集 C x iy x, y R, i2 1
Complex
复数集 C x iy x, y R, i2 1
[定义] i称虚数单位，i2 1. [定义] z x iy 称复数，x, y R. x, y 分别称 z 的实部
2
2k
2n
2
2m
.
ZZZ
2Z 0,2,4,
* 3. 涉及 z1 z2 ，z1 z2 ，zn , n z 时三角（指数）表示式比 x iy好 此时辐角的计算变成加减。
z1z2
zn
r1r2
r e i(1 2 n ) n
,
z2 r2 e i(2 1 ) z1 r1
[例]
[例]1 P14
和虚部，记为Re(z), Im( z). ( Real, Imaginary ) [定义] x 0, y 0时的z iy称纯虚数. [复数表示法的唯一性] x iy a ib x a且y b.
r1ei1 r2ei2 r1 r2 且 1 2 2k .
两个复数不能比较大小. i 2i
n ncos n i sin n z rcos i sin
n r, n 2k , k Z
nr
1
rn,
2k
n
,
k Z.
1
zn
r n1cos
2k
n
i sin
2k
n
r n1ei
2k n
,
k Z.
(对复数开n次方有n个独立的根, k 0,1, , n 1.)
2. 逆时针的转角为正，顺时针的转角为负（补充规定）。
[例] [定义]
1 i
的辐角：7
4
，
4
7
4
2
取值在(- , ]的辐角称z的辐角主值, 记为 arg z 0 (- , ]，Arg z arg z 2k .
z x iy
由z平面的图可知，x r cos, y r sin.
(3) (三角) z rcos i sin .
[曲线的参数表示法] 平面上的曲线F ( x, y) 0可以表示
成
x y
x(t) ,a
y(t )
t
b，在复积分C
f
(z)dz
中要用到。
C
f (z)dz
b
a
f z(t) z'(t) dt, z(t) x(t) iy(t)
要化成我们熟悉的方程的话，只要消去t 即可，例如
x y
cos sin
[计算] 如何由一种表示法求另一种表示法：
（1）（2）: x, y，（3）（4）: r,， ( A) 已知r, ,求x, y ? 简单：x r cos , y r sin . (B) 已知x, y,求r,0(主值 : ( , ])?
r
x2
y2简wenku.baidu.com
单
，
比
0
较
复
杂
：
特殊点：
x 0, y 0, z 0, 0不定。 x 0, y 0, 典型z 1, 0 0. x 0, y 0, 典型z 1, 0 . x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2. x 0, y 0, 典型z i, 0 / 2.