CH9-1~CH9-2拉普拉斯变换对的定义及收敛域

[e0.8t u(t
)

e0.8t u(t
)]estdt

0

e（s0.8)t
dt

e(
s 0.8)t dt


0

1 s 0.8
1 s 0.8

1.6 s2 0.82
Re( s) 0.8 Re( s) 0.8
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1
Laplace变换与Fourier变换的关系：
X (s)|s j X ( j ) (9.6)
X (s) [ x(t )e t ]e jtdt (9.8)
拉普拉斯反变换的定义
x(t)
1
j
X (s)estds
(9.56)
j2 j
有理的X (s)具有如下形式：
X (s) N (s) (9.31) D(s)
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4
常用信号的拉普拉斯变换是s的有理分式：
X(s)

N(s) D(s)

bm sm an s n
bm1sm1 an1sn1
b1s b0 a1s a0
(an 1)
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Re(s) 0.2
t 0, x(t) 0
L[e0.2t u(t )] 1 s 0.2
t 0, x(t) 0 Re(s) 0.2
L[e0.2tu(t)] 1 s 0.2
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0.8 Re(s) 0.2
2019/10/31 则其ROC是整个s平面。
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性质4：对于右边信号( x(t) 0,t T1 ), X (s)的ROC为：
性质5：对于左边信号( x(t) 0,t T1 ),
X (s)的ROC为：
性质6：对于双边信号( x(t)存在,t ),
X (s)的ROC为：
分子系数矩阵：b [1 0 1]
分母系数矩阵：a [1 0 1]
>> b=[1 0 1]; >> a=[1 0 -1]; >> [p,q]=splane(a,b)
splane.m
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N(s) s2 1
X (s) D(s) s2 1 连续系连统续 系的统 零的 零、、 极极点 图点图
Real(s)
2 1
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9.2 拉普拉斯变换的收敛域（ROC）
若存在正实数M ，那么使得不等式


x(t )e st dt x(t )e( j )tdt



x(t ) e tdt M (9.36)
成立的所有的s，称为函数x(t)的拉氏变换的ROC
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为了便于理解和分析X (s)随s的变化规律， 我们将X (s)写成： X (s) X (s) e j(s)
其中：X (s) 为复信号X (s)的模， (s)为X (s)的相角。
从三维几何空间的角度来看，X (s) 和 (s)对应着
复平面上的两个曲面。
一般的LTI系统，其H ( s)是有理的； 此外，如果x(t)是实指数或复指数信号的线性组合，X (s)就是有理的
9.1 拉普拉斯变换的定义
拉普拉斯变换的定义
MAPPING

X (s) x(t)estdt (9.3)
(s j )
能使Laplace定义存在的复数 s 在 s 平面的取值范围， 称为函数 X (s) 的收敛域 — ROC ( Reg ion of convergence ) 。
(Laplace变换)零、极点分布对曲面图的影响
• 从信号的Laplace变换曲面图我们可以看出，曲面图中均 有突出的尖峰。仔细观察，这些峰值点在S平面的对应点 就是信号Laplace变换的极点位置。
如果将Laplace变换曲面图比喻为一个地貌图．极点位置 就对应着山峰的峰点。而零点位置就对应着谷点。
ROC的定义：
使|X (s)| 成立的s的取值范围。
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如果存在有公共区域

那么拉氏变换收敛，即
性质1：X (s) 的收敛域 (ROC)是在 s 平面上 由平行于纵轴的两条 直线形成的带状区域。
性质2：有理的X ( s)的ROC中不包含极点！
性质3：有限信号x(t)如果绝对可积，
连续系统的零、极点图 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1
20-119/-01.80/3-01.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
Magnitude
|F(s)|
8
6
4
2
0 2
1 0 -1
Inaginary(s)
-2 -2
0 -1
X (s)

s s2 1
s X(s) s2 1
p1 1, p2 1 z1 0, z2
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有限值零极点和无限值零极点
X(s) s2 1 s
s2 1 X(s)
s
p1 0, p2 z1 1, z2 1
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10
1
0.8
0.6
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
-0.8
-1
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7
N(s) s2 1 X (s) D(s) s2 1
| X(s) |
s - 平面
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有限值零极点和无限值零极点p476
将有理分式写为零—极点形式：
m
X (s)
N (s) D(s)

bm
(s zi )
i 1 n
(s pi )
零点 极点
i 1
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用MATLAB绘制连续系统的零、极点图
例：X (s)

N (s) D(s)

s2ห้องสมุดไป่ตู้s2
1 1

(s j)(s j) (s 1)(s 1)
L[e0.2t u(t ) e0.8t u(t )] 1 1 s 0.2 s 0.8
Re(s) 0.2 Re(s) 0.8
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例9.7
L[e0.8 t ] L[e0.8tu(t) e0.8tu(t)] 0.8 Re(s) 0.8
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拉普拉斯变换符号表示及物理含义
符号表示：
X (s) L[ x(t )] x(t ) L1[ X ( s)]
x(t ) L X (s)
物理意义：
信号x(t)可分解成复指数est的线性组合
X(s)为单位带宽内各谐波的合成振幅，是密度函数。
s是复数称为复频率，X(s)称复频谱。
性质7：若X (s)是有理的，则： 其ROC由极点决定且不包含极点；
性质8：若X(s)是有理的， 若x(t)是右边信号，则其ROC在s平面上最右边极点的右边； 若x(t)是左边信号，则其ROC在s平面上最左边极点的左边；
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