直角三角形的性质知识点复习讲练与技巧点拨
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直角三角形的性质
【知识点1】 直角三角形的性质
(1)、直角三角形的两个锐角互余:可表示如下:∠C=90°⇒∠A+∠B=90°AB AD AC ∙=2
(2)、在直角三角形中,30°角所对的直角边等于斜边的一半。 (3)、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
(4)、勾股定理:直角三角形两直角边A ,B 的平方和等于斜边C 的平方,即2
2
2
c b a =+ (5)、常用关系式: 等积法可得:AB ∙CD=AC ∙BC 【知识点2】直角三角形的判定
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理:如果三角形的三边长A ,B ,C 有关系2
2
2
c b a =+,那么这个三角形是直角三角形。
【知识点3】射影定理:(直角三角形中,直角边的平方等于其射影与斜边的乘积,……)
例1.一副三角板如图摆放,点F 是45°角三角板ABC 的斜边的中点,AC=4.当30°角三角板DEF 的直角顶点绕着点F 旋转时,直角边DF ,EF 分别与AC ,BC 相交于点M ,N .在旋转过程中有以下结论:①MF=NF:②四边形CMFN 有可能为正方形;③MN 长度的最小值为2;④四边形CMFN 的面积保持不变;⑤△CMN 面积的最大值为2.其中正确的个数是( )
例2.在等边三角形ABC 中,点D 、E 分别在AB 、AC 边上,AD=CE ,CD 与BE 交与F,DG ⊥BE 。 求证:(1)BE=CD;(2)DF=2GF
G E F D
C
B
A
例3.已知:四边形ABCD 中,∠ABC= ∠ADC=90度,E 、F 分别是AC 、BD 的中点。 求证:EF ⊥
BD
例4.如图,在矩形ABCD 中,,AB=1.若AN 平分∠DAB,DM⊥AN 于点M ,CN⊥AN 于点N ,则
DM+CN 的值为( ) A. 1 B.
C.
D.
【练一练】 一、填空题
1.等腰直角三角形的斜边长为3,则它的面积为 .
2.已知在△ABC 中,∠ACB=90°,CD 是高,∠A=30°,AB=4cm,则BC=_______cm,∠BCD=_______,BD=_______cm ,AD=________cm ;
3.已知三角形三个内角的度数比为1:2:3,且最短边是3厘米,则最长边上的中线等于____________;
4.等边三角形的高为2,则它的面积是 。
5.如图,有一块直角三角形纸片,两直角边AC=6cm ,BC=8cm ,现将直角边AC 沿直线 AD 折迭,使它落在斜边AB 上,且与AE 重合,则CD 等于 。
二、选择题
1.如图,等边三角形DEF 的顶点分别在等边三角形ABC 的各边上,且DE⊥BC 于点E .若AB=1,则BD 的长为( ) A.
B. C.
D.
第1题 第2题 第3题
2. 如图,在Rt△ABC 中,∠A=60°,∠ABC=90°,BD⊥AC 于点D .若AD=1,则△ABC 的面积为( )
A.
B.
C.
D.
3. 如图,在等边三角形ABC 中,D 为AC 边的中点,E 为BC 延长线上一点,且BD=DE .若△ABC 的周长为12,则△DCE 的周长为( ) A. 4 B.
C.
D.
4. 如图,在等腰三角形ABC 中,AB=BC ,∠ABC=120°,D 为外角平分线上的一点,且DC⊥BC.若BD=2,则△ABD 的面积为( ) A. 1 B. 3 C.
D.
第4题 第7题
5. 在等腰三角形ABC 中,已知AB=AC=6,P 为BC 上一点,且PA=4,则PB·PC 的值为( ) A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
6.在△ABC 中,已知AB=25,AC=17,BC 边上的高AD=15,则△ABC 的周长为( )
A. 70
B. 8或20
C. 54或70
D. 12或28
7.如图,在Rt△ABC 中,CD 是斜边AB 上的中线,CE 是高.若AB=10cm ,DE=5
2 cm ,则△BCD 的面积为
( )cm 2
.
A. B. C. D.
8. 如图,BD,BE分别是Rt△ABC的斜边AC上的中线与高线.若AB=4,BC=3,则AD:DE:EC=( )
A. 5:3:4
B. 25:9:16
C. 25:7:18
D. 3:2:1
第8题第9题第10题
9. 如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,AB=6,BC=8,以斜边AC为边作正方形ACDE,连接BE,则BE的长
为( ) A. 10 B. C. D.
10.如图,△ABC和△DCE都是边长为4的等边三角形,点B,C,E在同一条直线上,连接BD,则BD的长
为( ) A. B. C. D. 8
11.如图,在△ABC中,D为AB的中点,E在AC上,且BE⊥AC.若DE=10,AE=16,则BE的长度为( )
A. 10
B. 11
C. 12
D. 13
第11题第12题第13题
12. 如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,点M为BC中点,MN⊥AC于点N,则MN等于( )
A. B. C. D.
13. 如图,在△ABC中,∠B=45°,,,则边AC的长为( )
A. B. C. 2 D.
14. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F.若∠F=30°,DE=1,则EF的长是( )