刚体定点运动自由刚体运动刚体运动的合成陀螺仪近似讲解

第5章 刚体定点运动、自由刚体运动、刚体运动的合成∙陀螺仪近似理论

5-1 曲柄OA 绕固定齿轮中心的轴O 转动，在曲柄上安装一双齿轮和一小齿轮，如图所示。已知：曲柄转速r/min 300=n ；固定齿轮齿数600=z ，双齿轮齿数401=z 和502=z ，小齿轮齿数353=z 。求小齿轮的转速和转向。

解：以曲柄OA 为动系分析轮系的运动，轮系相对于动系作定轴转动，0z 齿轮与1z 齿轮相对OA 作反向转动。

设0z 齿轮相对于动系OA 转动角速度为r ω，且0r ωω-=

则 r 1

02r ωωz z -= 因 2z 齿轮与3z 齿轮相对OA 作反向转动

2r 3

23r ωωz z -= 003

012r 10323r 3ωωωω-=-==z z z z z z z z 根据合成运动定理 00312003r 3e 32)(

ωωωωωω-=-+=+=z z z z rad/min 60203-=-=n n （3n 与0n 转向相反）

5-3 在齿轮减速器中，主动轴角速度为0ω，齿轮Ⅱ与定齿轮V 相内啮合。齿轮Ⅱ和Ⅲ又分别与动齿轮I 和Ⅳ相外啮合。如齿轮I 、Ⅱ和Ⅲ的半径分别为1r 、2r 和3r ，求齿轮I 和Ⅳ的角速度。

解：将动系固连在系杆，则轮系相对于系杆作定轴转动，原来静止不动的轮V 相对于系杆运动的角速度为

05ωω-=r

于是轮I 和Ⅳ相对于系杆的角速度分别为

01

5r 51225r 1)1(ωωωr r r r r r =⋅-= 04

253r 54325r 4)1(ωωωr r r r r r r r =⋅-= 根据角速度合成定理

01

50r 1e 1ωωωωωr r +=+= 04

2350r 4e 4ωωωωωr r r r +=+= 由啮合关系知

3214r r r r -+=，2152r r r += 代入上式得

)1(21

201r r +=ωω（与0ω同向） )

())((3212322104r r r r r r r r -+++=ωω（与0ω同向）

5-5 图示一双重差动机构，其构造如下：曲柄Ⅲ绕固定轴ab 转动，在曲柄上活动地套一行星齿轮Ⅳ，此行星齿轮由两个半径为mm 501=r 和mm 202=r 的锥齿轮牢固地连接而成。这

两个锥齿轮又分别与半径各为mm 1001=R 和m m 502=R 的另外两个锥齿轮I 和Ⅱ相啮合。齿轮Ⅰ和Ⅱ均可绕轴ab 转动，但不与曲柄相连，其角速度分别为rad/s 5.41=ω，rad/s 92=ω。如两齿轮转动方向相同，求曲柄Ⅲ的角速度3ω和行星齿轮相对于曲柄的角速度43ω。

解：行星齿轮作定点运动，定点为轴Ⅲ与铅垂轴的交点，将动系固连在曲柄Ⅲ上，研究锥齿轮上点的运动。

3e ωω=，43r ωω=

图（a ）为从左侧面看行星齿轮Ⅳ上的A 和B 点的速度分析

显然 r e A A A v v v +=，r e B B B v v v -=

由已知得 m /s 45.022==ωR v A ，m/s 45.011==ωR v B

又 32e ωR v A =，432r ωr v A =

31e ωR v B =，431r ωr v B =

将已知数据代入得 4525432=+ωω，45510432=-ωω

解之得 r a d /s 73=ω，rad/s 543=ω

5-7 锥齿轮的轴通过平面支座齿轮的中心O ，如图所示。锥齿轮在支座齿轮上滚动，每分钟绕铅垂轴转5周。如r R 2=，求锥齿轮绕其本身轴OC 转动的角速度r ω和绕瞬时轴转动的角速度ω。

解：用刚体绕相交轴转动的合成法求解，把动系固连于OA 轴上。由于锥齿轮与平面齿轮的啮合点C 的速度为零，所以OC 为瞬时转动轴，于是绝对运动的角速度ω沿CO 方向，牵连运动是绕过O 的铅垂轴的转动，角速度e ω，相对运动是绕本身轴线的转动，角速度r ω，作角速度矢平行四边形如图。

在直角三角形OCA 中，由于r R 2=

所以 ︒=30θ

由角速度图得 e e r 2s i n 30

ωωω=︒= e e 330cot ωωω=︒=

由于 r a d /s 6

π30πe ==n ω 代入上式得 r a d /s 047.12e r ==ωω rad/s 907.03e ==ωω

5-9 图示圆盘以角速度1ω绕水平轴CD 转动，同时轴CD 以角速度2ω绕通过圆盘中心点O 的铅直轴AB 转动。rad/s 51=ω，rad/s 32=ω，求圆盘的合成角速度ω和瞬时角加速度α的大小和方向。

解：圆盘的运动是绕其中心点的定点运动，将动系固连在支

架ADC 上，其牵连角速度为2ω，相对角速度1ω。作角速

度矢平行四边形图如图（a ）。有

21ωωω+=

21ωω⊥ rad/s 83.52221=+=ωωω

6.0tan 1

2==ωωα 由于 2ω始终垂直1ω，所以圆盘作规则进动

12r e ωωωωα⨯=⨯=

代入已知数据得 212r a d /s 1590sin =︒⋅=ωωα，α的方向沿y 轴正向。

5-11 人造卫星以恒定的角速度rad/s 5.01=ω绕其z 轴转动，太阳能电池板以恒定角速度rad/s 25.02=ω绕y 轴转动。坐标轴Oxyz 固结在卫星上，尺寸如图。图示瞬时︒=30θ，忽略O 点的加速度，求此瞬时电池板的绝对角加速度α和点A 的绝对加速度A a 。

解：取固连于卫星的动坐标系Oxyz 如图，以O 为基点，则太阳能电池板对基点O 作定点运动，它的绝对角速度（平动坐标系过O ，图中未示出）

r e a ωωω+=k j j k 5.025.021+-=-=ωω

① 翼板的角速度

t d d a ωα=t

t d d 5.0d d 25.0k j +-=k j ⨯+⨯-=e e 5.025.0ωωk k j k ⨯+⨯-=115.025.0ωω 2

1rad/s 125.025.0i i ==ω

或 r e ωωα⨯=21ωω⨯=j k )25.0(5.0-⨯=2r a d /s 125.0i = ② 0=O a

r a v ωr αa a ⨯+⨯+=A O A

当︒=30θ时，A 点矢径：k j i r A ︒++︒-=30cos 6.04.230sin 6.0

A 点相对速度

A r v ⨯=a r ωk j i k j 5196.04.23.0(5.025.0(++-⨯+-=)075.0150.033.1(k j i ++-= )5.025.0()5196.04.23.0(125.00k j k j i i a A +-+++-⨯+=)075.0150.033.1)(1(k j i ++-⨯ k j i 0325.0730.009375.0--=

2

m /s 033.0730.0094.0k j i --=

2222m/s 737.0033.073.0094.0=++=A a

5-13 图示电机托架OB 以恒角速度rad/s 3=ω绕z 轴转动，电机轴带着半径为120 mm 的圆

盘以恒定的角速度rad/s 8=ϕ

自转。设︒=30γ，此时圆盘最高点A 的速度、加速度，以及圆盘的绝对角速度、角加速度。

解：γγsin 120cos 300350e -+=r 2112023300

350-+=8.549=mm mm 8.549e j r =，k ω==ωωe i r ωv 16498.549e e e -=-=⨯=i ω，k j ωγϕγϕϕ

sin cos r +== k j r γγcos 120sin 120r +-=

i i r ωv 960120r r r ==⨯=ϕ

r e a v v v +=m/s 689.0i -=

C n r n e a a a a a ++= （0t e =a ，0t r =a ）