投影与直观图直观图

2. 将一个水平放置的平面图形 画在纸上,怎样画才有立体感呢? (立体图形)
A
27
感受立体图
问题提出
1.太阳光线(假定太阳光线是平行的)把一个长方形 形状的窗框投射到地板上，变成了什么图形？
影子与窗户 之间有区别吗？
A
29
问题提出
1. 窗框的投影图形与原窗框图比较，哪些几何关系或几 何量发生了变化？哪些没有发生变化？
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
B
O
C
A
34
例1.画水平放置的正三角形的直观图.
画法如下: 第一步
在已知的正三角形ABC中,
取 A B 所 在 的 直 线 为 x 轴 ,取 对 称 轴 C O 为 y 轴 .
画 对 应 的 x ` 轴 、 y ` 轴 ,使 x ` O ` y ` 4 5 0 .
A
2
A
A
A
A
B
D
C
A
B
D
C
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
Βιβλιοθήκη Baidu
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B
D
C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
D C
平行投影
中心 投影
A
B 正投影
探究二：
➢ 2．太阳光线（可看成平行的）照进窗户上， 在地面形成什么图形？
二：平行投影的性质：
当图形中的直线或线段不平行于投射线时，平 行投影都具有以下性质： 1．直线或线段的平行投影仍是直线或线段; 2. 平行直线的平行投影是平行或重合的直线； 3．平行于投射面的线段，它的投影与这条线段 平行且等长；
北师大必修2·§1.2
投影与直 观 图
A
1
知识探究（一）：中心投影与平行投影
1.光是直线传播的，一个不透明物体 在光的照射下，在物体后面的屏幕上会 留下这个物体的影子，这种现象叫做投 影.其中的光线叫做投影线，留下物体影 子的屏幕叫做投影面.
2.我们把光由一点向外散射形成的 投影叫做中心投影，把在一束平行光 线照射下形成的投影叫做平行投影.
D C
平行投影
斜投影 A
中心 投影
B
D
正投影
C
在平行投影中，投影线正对着投影面叫做正投影，
否则叫做斜投影
平行投影与中心投影有什么区别？ ➢ 平行投影的投射线都互相平行，中心投影
的投射线是由同一点出发的．
绘画时经常使用中心投影，但 立体几何中很少使用中心投影原 理来画图。常用平行投影来画图。
一、平行投影1)点的平行投影： 已知图形F，直线l与平面α 相交，过F上任一点M作直 线l’平行于l，交平面α于点 M’，则M’叫做点M在平面α 内关于直线l的平行投影.
例1：下列说法正确的是________．
②③
①直线或线段的平行投影仍为直线或线段
②与投射面平行的平面图形，其投影与这个图 形一定全等
③平行四边形的平行投影可能是矩形
④两平行直线的平行投影一定平行
⑤如果一条长为2米的线段，其平行投影为1米， 则长为10米的线段，其平行投影的长为5米
想一想
1.如何将一个直立放置的平面图形画在纸上?
第 二 步 在 x `轴 上 取 O `A ` O A ,O `B ` O B ,在 y 轴 上 取 O `C ` 1 /2 O C . 第三步
连结A`C`,B`C`,所得的三角形A`B`C` 就是正三角形ABC的直观图.
应用举例:画出水平放置的直角梯形的直观图
y
D
C
AO
Bx
A
y′ C′
D′
A′
B′ x′
（2）已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成 平行于x′轴或y′轴的线段．
（3）已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不 变；平行于y轴的线段，长度为原来的一半．
小结：“横同，纵半，4 5 0 平行性不变”
例题解析
例1 画水平放置边长为2cm的正三角形的直观图．
A
33
例题解析
A
M
P
B 平面图
P’ A’ M’ B’
A
直观图
30
归纳总结
直观图: 表示空间图形的平面图形， 叫做空间图形的直观图.
如何画空间图形的直观图?
斜二测画法
斜二测画法的步骤：
（1）在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于o
点．画直观图时，把它画成对应的x′轴、y′轴，使
xO y=45o或 135o ，它确定的平面表示水平平面。
36
例题解析
例2 画水平放置的正六边形的直观图.
y
y/
F HE
A
O
H/
F/
E/
Dx
A/
O/
D/
x/
B/ G/ C /
BG C
F/
E/
A/
D/
B/
C/
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
探究五
➢ 画空间几何体的直观图，和平面图形比较， 空间几何体多了一个“高”：
➢ （1）z轴在已知图形和直观图中位置是否改 变？
行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (2)铁丝倾斜于投射面，按如图所示投射线，指出其
平行投影，线段与它的投影的大小关系为
.
➢ (3)铁丝垂直于射影面(铁丝不一定要与投射面有公共 点)，按如图所示投射线，指出其平行投影.
探究二： 平行于投射面的正方形的平行投影是 什么？
➢ 平行于投射面的正方形在平行投影下的投 影形状完全不变，相当于把正方形在平行 光线下“平移”到了地面．
（2）图形的平行投影：如果图形F上的所 有点在平面α内关于直线l的平行投影构成 图形F’，则F’叫做图形F在α内关于直线l 的平行投影，平面α叫做投射面，l叫做投 射线。
探究一：
➢ 问题:
➢ 1.如图，把一根直的细铁丝(记为线段AB)放在三个 不同位置:
➢ (1)铁丝平行于投射面;按如图所示投射线，指出其平
4．与投射面平行的平面图形，它的投影 与这个图形全等； 5．在同一直线或平行直线上，两条线段 平行投影长度的比等于这两条线段长度 的比。
1. 直线的平行投影可能是（ A ） （A）点 （B）线段 （C）射线 （D）曲线
2. 两条不平行的直线，其平行投影不可能 是（ D ） （A）两条平行线. （B）一点和一条直线 （C）两条相交直线 （D）两个点
➢ （2）在已知图形中与z轴平行的线段在直观 图中平行关系是否改变？
➢ （3）在已知图形中与z轴平行的线段的长度 在直观图中是否改变？
A
38
例题解析
例3 画正五棱锥的直观图.
五个步骤：取轴、画轴、取点、画点、连线.
y A
B
E
x
G
O
H
y’
O’
x’
C
FD
A
39
例题解析
例4 画棱长为2cm的正方体的直观图.