《高等数学》课程教学改革情况.

《高等数学》课程教学改革情况《高等数学》课程作为非数学专业数学基础课程，历来受到重视，并由理工科向文科不断推进。

我校己在理工科专业物理、化学、计算机、生物、生化、信管和文科专业：工商管理、行政管理、旅游管理等开设《高等数学》课程。

1、基本情况从1999年来，我们承担和主持校级以上《高等数学》教学研究课题３项：《师专物理、化学专业高等数学课程教学内容和体系的研究与实践》（陕西省教育厅教学研究项目984037）、《大学数学课程改革研究》（安康师专系部重点研究项目2003AZXZ001）和《数学实验与高等数学教学》（安康师专科研项目2004AZX003）；获得市级以上学会组织奖励４项：《师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分析》（2003年全国高等师范专科教学研究会优秀论文二等奖）、《高等数学极限理论教学改革的研究与实践》（2004年陕西省教育学会优秀论文一等奖）、《利用Ｄirichlt 函数描述连续和导数概念的局部性》和《一致连续函数的判断》（2004年安康市第七次自然科学优秀论文一等奖和二等奖）。

21世纪以来，出版高等数学教学用书两部：《高等教学》（上、下册）（杨开春、张富林、赵临龙，陕西人民出版社，2003.7）教材一部和《高等数学自学必读》（谢克藻、张少华，西安地图出版社，2004.1）教学参考书一部，并出版高等教学辅助教学参考书《常微分方程研究新论》（赵临龙，西安地图出版社，2000.1）和《数学模型方法及应用》（熊启才、曹吉利、张东生、赵临龙，重庆大学出版社，2003.7）两部；发表教学与科研论文15篇（见参考文献），其中被《ＥＩ》收录论文１篇。

2、教学改革2.1理论研究。

《高等数学》课程作为一门传统课程，其理论体系基本达到完善的程度，但它不等于没有研究的问题。

当前教学改革的核心问题，还是针对大学扩招后的学生，提供一套切实可行的教材，这就要求对传统的《高等数学》教材从理论上作适当处理，自然需要我们对某些理论作进一步讨论，以形成反映现代科技最新成果的教材。

我们在《高等数学》理论研究中，取得以下主要结果：(1)在函数概念中，给出分段函数的统一表达式。

结论：对于分段函数f （x ）=12()()()()f x x a f x x a ≥⎧⎨⎩ 若初等数函f 1（x ）和f 2（x ）满足f 1（a ）= f 2（a ），则f （x ）= f 1[12（]+ f 1[12（]- f 1（a ） (2)在极限理论中，给出两个重要极限的简化证明。

Ⅰ 极限0lim x →[sinx/x] =1 该极限的证明，关键是证不等式:sinx如图.设单位圆⊙O 的渐开线为 AB .若记∠TOA ＝x ，并过Ｔ作ＴＨ ⊥Ｘ轴于Ｈ，ＴＢC 切⊙Ｏ且交AB 及Ｘ轴分别于Ｂ、Ｃ，则Sinx =TH<AT<AT =（x ）=TB <TC=tanx我们说这个证明不仅是一个创造性的，更主要它避免了传统证法中的“循环论证”.因扇形面积ＯAT ＝12x 的求得，一般是n 等分∠ＡＯT 成n 个等腰△A i OA i-1(i=1.2,…,n,A=A 0,T=A n )，则 ∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=12n Sin （x/n ） 此时，扇形面积ＯA T=lim n →∞∑△A i OA i-1=∑12Sin （x/n ）=12x lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）] 显然当lim n →∞[Sin （x/n ）/（x/n ）]=1时，扇形面积ＯAT ＝12x ，但令t= x / n ，则该极限为要证明的重要极限Ｉ，即出现循环论证。

Ⅱ极限limn→∞（1+1/n）n = e设A n=（1+1/n）n，利用算术和几何不等式关系，得：A n=（1+1/n）（1+1/n）……（1+1/n）･1≦[（n（1+1/n）+1）/（n+1）] n+1即数列{A n}单增。

另外，设Ｂn＝n/（n+1），利用算术和几何不等式关系，得：Ｂn＝1- 1/（n+1）>1- 1/n=[（2･(1/2)+（n-2））/n]≥[（1/2）2･1n-2]=（1/4）1/n则4≥[（n+1）/ n]= （1+1/n）n即数列{A n}有上界。

于是，极限Ⅱ存在，并记为数e。

（3）在函数连续中，给出一致连续函数的充要条件。

结论：函数f(x)在区间Ｉ上一致收敛的充要条件是对区间Ｉ上任意两个数到{x n}与{y n}，当limn→∞（x n-y n）=0时，则limn→∞（f(x n)- f(y n)）=0。

(4)在微积分中，给出牛顿——菜布尼兹积分公式的推广形式。

结论：设在[a，b]上f(x)可积，F(X)连续且在（a，b）内除有限个点外均有F′(X)= f(x)，则ab⎰f(x)dx = F(a)- F(b)(5)在微分方程中，给出二阶线性微分方程不变量解法。

结论：对于方程y〞+p（x）y′+q（x）y=f（x），若存在函数ϕ（x）满足I=p′（x）+2 p（x）- 4 q（x）=ϕ′（x）+2ϕ 2（x），则有方程z〞+ϕ（x）z′+ = f（x）e1/2∫（ϕ- p）dx，其中y=z（x）e1/2∫（p-ϕ）dx。

此结果将二阶线性方程的常、变系及齐次、非齐次方程统一起来，而且扩大了f(x)的形式。

因此，它自然被《EI》收录。

2.2教材建设.1999-2001年我们在承担陕西省教育厅《高等数学课程体系改革研究与实践》教学项目中，通过调查研究于2001年8月，编写出试用教材《高等数学》（内部印刷），经过2年的实践与修订，于2003年7月由陕西人民出版社正式正版《高校21世纪师范类规划教材——高等数学》（上、下册）。

该教材按照国家教育部关于课程和教材改革要适应于社会发展、要服务于经济建设和有利于培养人才要求，突出现代理论成果和应用现代科学技术手段，在理论与实际的联系中，强调理论的应用，同时在高等数学知识传授中，注意渗透数学的思想和方法。

(1)适应时代要求。

教材是联系师生的桥梁，我们在《高等数学》教材编写时，遵循“少而精，广而浅”的原则，略去一些较为繁琐的完理证明和冗长的理论推导，在内容安排上，按照“量力性”和“循序渐近”要求，概念引入，力求朴实、简明和自然，尽可能由读者身边的情境化问题引入；理论学习，尽可能做到严谨，但强调理论证明与直观说明并重，核心是突出数学的思想和方法；实践应用，强调数学建模的作用，并结合用计算机处理问题。

(2)强调数学的功能。

《高等数学》历来以突出“工具性”为主要任务，但它所包含的“思维能力”以及“数学文化”功能，对现代人来说，也是非常重要的内容。

不过应根据专业的不同要求有所侧重而不能按统一要求，对全体学生进行相同能力的培养。

如对理工科学生，就应以突出工具性为前提，进行思维能力和数学文化教育；而对文科学生就应以思维能力和文化教育为主线，适度地强调高等数学的工具性。

我们在《高等数学》教材编写中，在每章知识结构后面，增加“理论应用”单元，以展示高等数学中，一些具有代表的思想方法的优美之处，增强人们用数学的意识。

(3)突出数学建模，今日的数学己发展为一门普通性的“技术”，在解决人类重大问题中发挥重要作用。

这正是数学建模的作用所在，尤其随计算机的普及，使得数学建模更加容易实现，而且国家每年的大学生数学建模竞赛，为数学建模的训练提供了良好的环境。

因此，我们在《高等数学》教材编写中，在每章知识结构后面，还增加“数学模型举例”单元，以展示数学建模的作用，提高人们用数学解决实际问题的能力。

2.3学生创新能力培养。

素质教育的时代要求，必须将传授知识，培养能力，提高素质融为一体，把培养创新人才作为教育的重要任务。

(1)倡导研究性的学习方法。

数学的学习，必须要求学生动手，动脑，因此在大学生的《高等数学》学习中，我们要求他们将自己作为一名研究者，对各种问题开展讨论，从中提高学生的创新能力。

如学生李友海在学习有关三角函数的积分时，利用对称性理论给出某些三角函数积分的简单解法，后在老师的指导下，在《安康师专学报》上发表论文《巧用函数的对称性求某些三角积分》，极大地提高了学生们的研究热情。

(2)鼓励大学生课余开展学习研究。

创新离不开研究，而且研究需要持之一恒的精神，因此我们通过课余的学术报告会和专题讲座，来营造学生研究的平台，将他们吸引到《高等数学》研究领域，锲而不舍的对一些问题开展研究。

如我校赵临龙教授在作《二阶线性微分方程的不变量解法》的学术报告时，指出《中国科学》上的一道二阶线性微分方程解有误，学生雷春来用不变量方法进行研究，在《高等数学研究》上发表论文《一道常微分方程题的商榷》。

而且我们的学生吴作伦也在2001年的陕西省大学生“挑战杯”科技论文竞赛中荣获二等奖的好成绩，学生杨旭在2004年“我与《高等数学研究》”征文活动中，文章获三等奖，极大地促进了学生学习研究风气的形成。

(3)通过竞技活动提高创新能力。

《高等数学》的基础学科性，使它成为专科理工科学生升本的必考课，这为搞好《高等数学》教学创造好良环境。

我们也抓着这一有利因素，认真组织专升本《高等数学》课程教学和辅导。

几年来，我校在专升本中，《高等数学》成绩高出全省平均成绩的20%左右，录取学生也列全省前列；同时，我们借陕西省大学生高等数学竞赛活动，在全校开展高等数学竞赛辅导，最后有7名学生获得2004年竞赛的二、三等奖；而且我们积极参加全国大学生数学建模竞赛活动，连续三年获得二等奖一项和三等奖二项。

这些竞技活动的开展，大大提高了学生的参与力，并将拼搏精神贯穿于高等数学学习与研究中，取得较好成绩。

几年来的教学研究与实践，使我们看到《高等数学》的教学改革的艰巨性，但我们始终充满信心，结合我们的科研课题，争取更好的成绩。

参考文献1 赵临龙、杜贵春、王昭海，师专物理、化学专业高等数学课程建设的调查分标[J].周口师专学报，2001.2.2 赵临龙、成波、汪克刚，二阶变系数线性微分方程的Riccati 方程解法[J].首大学学报，2001.2.3 赵临龙、杜贵春、王昭海，高等数学极限理论教学改革的研究与实践[J].数学•力学•物理学•高新技术研究进展——2004（9）卷，西南交通大学出版社，2001.7.4 赵临龙，“零值定理”的应用[J].数理天地，2002.5.5 赵临龙，关于重要极限 0lim x →[sinx/x]=1的循环论证及新证法[J].数学•力学•物理学•高新技术研究进展——2004（10）卷，西南交通大学出版社，2004.7.6 张东红、赵临龙，Dirichlet 函数描述连续和导数概念的局部性[J].高等数学研究，2004.5.7 谢克藻、李林霞，要注意高等数学统考对教学的指导作用[J].安康师专学报，2001.2.8 谢克藻，原函数需要分段定义的定积分[J].数学通报，2001.5.9 汪义瑞、李本庆，一致连续函数的判断[J].安康师专学报，2003.4.10 汪义瑞，笛卡尔积的几个公式[J]. 安康师专学报， 2004.2.11 汪义瑞，Lebesgue 积分几何意义的另一证法[J]. 安康师专学报，2004.3.12 汪义瑞、苏仁全，反函数连续性定理的补充证明[J].安康师专学报，2004.6.13 汪义瑞、苏仁全，单侧导数与导数的单侧极限[J].安康师专学报，2005.1.14 杜贵春，对于报限lim n →∞（1+1/n ）n 证法的比较研究[J].安康师专学报，2004.4. 15 王昭海，关于定积分计算公试的推广[J].安康师专学报，2005.1.。