高中奥赛数学竞赛专题讲座-组合数学
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相异元素组合数的计算公式为:
CBaidu Nhomakorabeam
Anm Amm
nn 1 n mm 1
m 1
3 21
C nm n
n m
C m1 n1
二、基础知识
定理1 (加法原理)
定理2 (乘法原理)
定理3 组合恒等式
(1)
Cnm
Cnm n
0
m
n
(2) Cnm
Cm n1
Cm1 n1
1 m n
(3)
n
Cnk 2n.
k 0
(4) n
1k Cnk 0.
k 0
二、基础知识
定理4 (二项式定理) a bn n Cnkankbk .
k 0
定义3 从n个不同的元素中取出m个,按照一 定的顺序排在一个封闭曲线上,叫做环形排列 (或循环排列、圆排列).
相异元素的 圆排列数公式为:
f
n,m
Anm m
m 1!Cnm
至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 (3)把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必 有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
举例说明抽屉原理
例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小 朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中 总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
解设第一个抽屉里放进数:1,1×2,1×22,1×23,1×24, 1×25,1×26;
第二个抽屉时放进数:3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25; 第三个抽屉里放进数:5,5×2,5×22,5×23,5×24; ……………… 第二十五个抽屉里放进数:49,49×2; 第二十六个抽屉里放进数:51. ……………… 第五十个抽屉里放进数:99. 那么随意取出51个数中,必有两个数同属一个抽屉,其中一个数
一、概论
(一)主要类型
2、组合设计问题:对集合A,按照某种性质P来作出 安排,包括
①问题类型 主要有:存在性问题,构造性问题,最优化问题. ②解题方法: 主要有:构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、
递推方法
一、概论
(二) 发展特点
以组合计数、组合设计为基础,与数论、几何 交叉,形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热 点 ,突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决” 特征.这三方面之所以成为热点,从思维方式、解 题技巧上分析,是因为其更适宜数学尖子的脱颖而 出,且常与现代数学思想相联系;从技术层面上分 析,还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目.
一、概论
(一)主要类型
1、组合计数问题包括: ①问题类型: 主要有:有限集合元素的计算、子集的计算、集合分
拆的计算 ②解题方法: 主要有:代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递
推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。
一、概论
(一)主要类型
2、组合设计问题 其基本含义是,对有限集合,按照性质来作出
安排,有时,只是证实具有性质的安排是否存在、 或者验证作出的安排是否具有性质(称为存在性问 题,又可分为肯定型、否定型和探究型);有时, 则需把具体安排(或具体性质)找出来(称为构造 型问题);进一步,还要找出较好的安排(称为最 优化问题).
则
A B
(2)若f是满射,则 A B
(3)若f是一一映射(双射),则 A B
二、基础知识
(二)、《高中数学竞赛大纲 》中组合问 题的要求
1、圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式.
2、组合计数,组合几何. 3、抽屉原理.
4、容斥原理.
5、极端原理.
6、图论问题.
7、集合的划分.
8、覆盖.
9、平面凸集、凸包及应用*.(加试中暂不考,但在 冬令营中可能考).
(2)
A1 U A2 UL U Am A A1 U A2 UL U Am .
定理8 (自然数的良序性)自然数的任一非空子集中,
必有一个元素是最小的.
二、基础知识
定理9 设A,B是两个有限元集合,A , B 分别是两集合的 元素个数,f是A到B的一个映射.
(1)若f是单射,则 A ;B 特别的,f是单射而非满射,
二、基础知识
定义4 从n个不同的元素中,允许重复取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列,称为n个 相异元素允许重复的m元排列.
相异元素的可重复排列数计算公式为:U n,m nm. 定义5 从n个不同的元素中,允许重复取出m
个元素,不管怎样的顺序并成一组,称为n个 相异元素允许重复的m元组合. 相异元素的可重复组合数计算公式为:
f n, m Cnmm1.
二、基础知识
定义6 若n个元素中,有n1个a1, n2个a2...
nm个am,且
n1 n2 L n m n,则这n个元素的
全排列,称为不尽相异元素的全排列.
不尽相异元素的全排列公式为:
V n1, n2 ,L
nm
n1
n! !n2 !L
. nm !
定义7 如果A是一个n元有限集合,那么,它
组合问题的知识点并不多,主要在于对问题性质的探索与思考。 联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主,这类 问题的关键常常在于构造例子或反例。因此,只要我们多加练习这两 类问题,在联赛中还是可以拿到满意的分数的。
2016-07-23
三、题型举例
1、计数问题
三、题型举例
1、计数问题
三、题型举例
2、染色问题
三、题型举例
3、存在性问题
三、题型举例
4、组合构造
三、题型举例
5、组合数论
三、题型举例
6、操作性问题
三、题型举例
7、最值性问题
三、题型举例
8、图论 9、组合方法 10、综合问题
举例说明抽屉原理
例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆 (每面只涂一种色),证明正方体一定有三 个面颜色相同.
证明:把两种颜色当作两个抽屉,把正方体 六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原 则二,至少有三个面涂上相同的颜色.
举例说明抽屉原理
例3 从自然数1,2,3,…99,100这100个数中随意取出51个 数来,求证:其中一定有两个数,,它们中的一个是另一个的倍 数.
二、基础知识
有7个定义、9个定理:
定义1 从n个不同的元素中取出m个,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列.
相异元素排列数的计算公式为:
.
Am n
nn
1
n
m
1
n
n!
m!
m!Cnm
nAm1 n1
二、基础知识
定义2 从n个不同的元素中取出m个,并成一 组,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 一个组合.
数学竞赛中 的组合问题
一、概论
(一)主要类型
1、组合计数问题 包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、
集合分拆方法数的计算等,表现为数值计算、组合 恒等式或组合不等式的证明.知识基础是加法原理、 乘法原理和排列组合公式;常用的方法有:代数恒 等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分 析、容斥原理等.
四、结束语
在高中数学联赛的所有题目中,相信最让大家头痛的莫过于组合 题了,有些同学觉得做组合题很容易就绕晕了,不知道如何下手;有 些同学看了答案总是会说,这个题想法太怪了,不可能想不出来;有 些同学好不容易想出了答案,却经常因为表达不清楚而得不到分。确 实,组合题对数学思维的要求非常高,它经常作为联赛二试的最后一 题出现,会比另外几块内容难上很多,但也并不是无迹可寻的。
的子集 A1, A2,L , Am 组成的集合 叫做的一个子集系.
R A1, A2,L , Am
二、基础知识
定理5 n元集合A中含有 k 0 k n个元素的子集有 Cnk 个;集合A的所有子集共有 2n 个. 定理6 (抽屉原理) (1)把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有
一个抽屉里的东西不少于两件。 (2)把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里,则
是另一个数的倍数.
二、基础知识
定理7 (容斥原理)设集合 A a1,a2,L ,an, A1, A2,L , Am A ,记 Ai 为 Ai 对于全集的补集,则
(1) A1 U A2 UL U Am
m
Ai
Ai U Aj
Ai U Aj U Ak
i 1
1i jm
1i jk n
L 1 m1 A1 U A2 UL U Am .
解 从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种: (兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊
猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿) 把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么
根据原则1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说, 至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.
CBaidu Nhomakorabeam
Anm Amm
nn 1 n mm 1
m 1
3 21
C nm n
n m
C m1 n1
二、基础知识
定理1 (加法原理)
定理2 (乘法原理)
定理3 组合恒等式
(1)
Cnm
Cnm n
0
m
n
(2) Cnm
Cm n1
Cm1 n1
1 m n
(3)
n
Cnk 2n.
k 0
(4) n
1k Cnk 0.
k 0
二、基础知识
定理4 (二项式定理) a bn n Cnkankbk .
k 0
定义3 从n个不同的元素中取出m个,按照一 定的顺序排在一个封闭曲线上,叫做环形排列 (或循环排列、圆排列).
相异元素的 圆排列数公式为:
f
n,m
Anm m
m 1!Cnm
至少有一个抽屉里有不少于m+1的物体。 (3)把(mn-1)个物体放入n个抽屉中,其中必 有一个抽屉中至多有(m—1)个物体。
举例说明抽屉原理
例1 幼儿园买来了不少白兔、熊猫、长颈鹿塑料玩具,每个小 朋友任意选择两件,那么不管怎样挑选,在任意七个小朋友中 总有两个彼此选的玩具都相同,试说明道理.
解设第一个抽屉里放进数:1,1×2,1×22,1×23,1×24, 1×25,1×26;
第二个抽屉时放进数:3,3×2,3×22,3×23,3×24,3×25; 第三个抽屉里放进数:5,5×2,5×22,5×23,5×24; ……………… 第二十五个抽屉里放进数:49,49×2; 第二十六个抽屉里放进数:51. ……………… 第五十个抽屉里放进数:99. 那么随意取出51个数中,必有两个数同属一个抽屉,其中一个数
一、概论
(一)主要类型
2、组合设计问题:对集合A,按照某种性质P来作出 安排,包括
①问题类型 主要有:存在性问题,构造性问题,最优化问题. ②解题方法: 主要有:构造法、反证法、抽屉原理、染色方法、
递推方法
一、概论
(二) 发展特点
以组合计数、组合设计为基础,与数论、几何 交叉,形成组合数论、组合几何、集合分拆三大热 点 ,突出而鲜明的体现数学竞赛的“问题解决” 特征.这三方面之所以成为热点,从思维方式、解 题技巧上分析,是因为其更适宜数学尖子的脱颖而 出,且常与现代数学思想相联系;从技术层面上分 析,还由于都能方便提供挑战中学生的新颖题目.
一、概论
(一)主要类型
1、组合计数问题包括: ①问题类型: 主要有:有限集合元素的计算、子集的计算、集合分
拆的计算 ②解题方法: 主要有:代数恒等变形、二项式定理、组合等式、递
推、组合分析、容斥原理、数学归纳法。
一、概论
(一)主要类型
2、组合设计问题 其基本含义是,对有限集合,按照性质来作出
安排,有时,只是证实具有性质的安排是否存在、 或者验证作出的安排是否具有性质(称为存在性问 题,又可分为肯定型、否定型和探究型);有时, 则需把具体安排(或具体性质)找出来(称为构造 型问题);进一步,还要找出较好的安排(称为最 优化问题).
则
A B
(2)若f是满射,则 A B
(3)若f是一一映射(双射),则 A B
二、基础知识
(二)、《高中数学竞赛大纲 》中组合问 题的要求
1、圆排列,有重复元素的排列与组合,组合恒等式.
2、组合计数,组合几何. 3、抽屉原理.
4、容斥原理.
5、极端原理.
6、图论问题.
7、集合的划分.
8、覆盖.
9、平面凸集、凸包及应用*.(加试中暂不考,但在 冬令营中可能考).
(2)
A1 U A2 UL U Am A A1 U A2 UL U Am .
定理8 (自然数的良序性)自然数的任一非空子集中,
必有一个元素是最小的.
二、基础知识
定理9 设A,B是两个有限元集合,A , B 分别是两集合的 元素个数,f是A到B的一个映射.
(1)若f是单射,则 A ;B 特别的,f是单射而非满射,
二、基础知识
定义4 从n个不同的元素中,允许重复取出m 个元素,按照一定的顺序排成一列,称为n个 相异元素允许重复的m元排列.
相异元素的可重复排列数计算公式为:U n,m nm. 定义5 从n个不同的元素中,允许重复取出m
个元素,不管怎样的顺序并成一组,称为n个 相异元素允许重复的m元组合. 相异元素的可重复组合数计算公式为:
f n, m Cnmm1.
二、基础知识
定义6 若n个元素中,有n1个a1, n2个a2...
nm个am,且
n1 n2 L n m n,则这n个元素的
全排列,称为不尽相异元素的全排列.
不尽相异元素的全排列公式为:
V n1, n2 ,L
nm
n1
n! !n2 !L
. nm !
定义7 如果A是一个n元有限集合,那么,它
组合问题的知识点并不多,主要在于对问题性质的探索与思考。 联赛中组合题以存在性问题和最值问题以及组合数论问题为主,这类 问题的关键常常在于构造例子或反例。因此,只要我们多加练习这两 类问题,在联赛中还是可以拿到满意的分数的。
2016-07-23
三、题型举例
1、计数问题
三、题型举例
1、计数问题
三、题型举例
2、染色问题
三、题型举例
3、存在性问题
三、题型举例
4、组合构造
三、题型举例
5、组合数论
三、题型举例
6、操作性问题
三、题型举例
7、最值性问题
三、题型举例
8、图论 9、组合方法 10、综合问题
举例说明抽屉原理
例2正方体各面上涂上红色或蓝色的油漆 (每面只涂一种色),证明正方体一定有三 个面颜色相同.
证明:把两种颜色当作两个抽屉,把正方体 六个面当作物体,那么6=2×2+2,根据原 则二,至少有三个面涂上相同的颜色.
举例说明抽屉原理
例3 从自然数1,2,3,…99,100这100个数中随意取出51个 数来,求证:其中一定有两个数,,它们中的一个是另一个的倍 数.
二、基础知识
有7个定义、9个定理:
定义1 从n个不同的元素中取出m个,按照一定 的顺序排成一列,叫做从n个不同的元素中取出 m个元素的一个排列.
相异元素排列数的计算公式为:
.
Am n
nn
1
n
m
1
n
n!
m!
m!Cnm
nAm1 n1
二、基础知识
定义2 从n个不同的元素中取出m个,并成一 组,叫做从n个不同的元素中取出m个元素的 一个组合.
数学竞赛中 的组合问题
一、概论
(一)主要类型
1、组合计数问题 包括有限集合元素的计算、相应子集的计算、
集合分拆方法数的计算等,表现为数值计算、组合 恒等式或组合不等式的证明.知识基础是加法原理、 乘法原理和排列组合公式;常用的方法有:代数恒 等变形、二项式定理、数学归纳法、递推、组合分 析、容斥原理等.
四、结束语
在高中数学联赛的所有题目中,相信最让大家头痛的莫过于组合 题了,有些同学觉得做组合题很容易就绕晕了,不知道如何下手;有 些同学看了答案总是会说,这个题想法太怪了,不可能想不出来;有 些同学好不容易想出了答案,却经常因为表达不清楚而得不到分。确 实,组合题对数学思维的要求非常高,它经常作为联赛二试的最后一 题出现,会比另外几块内容难上很多,但也并不是无迹可寻的。
的子集 A1, A2,L , Am 组成的集合 叫做的一个子集系.
R A1, A2,L , Am
二、基础知识
定理5 n元集合A中含有 k 0 k n个元素的子集有 Cnk 个;集合A的所有子集共有 2n 个. 定理6 (抽屉原理) (1)把多于n个的物体放到n个抽屉里,则至少有
一个抽屉里的东西不少于两件。 (2)把多于mn+1个的物体放到n个抽屉里,则
是另一个数的倍数.
二、基础知识
定理7 (容斥原理)设集合 A a1,a2,L ,an, A1, A2,L , Am A ,记 Ai 为 Ai 对于全集的补集,则
(1) A1 U A2 UL U Am
m
Ai
Ai U Aj
Ai U Aj U Ak
i 1
1i jm
1i jk n
L 1 m1 A1 U A2 UL U Am .
解 从三种玩具中挑选两件,搭配方式只能是下面六种: (兔、兔),(兔、熊猫),(兔、长颈鹿),(熊猫、熊
猫),(熊猫、长颈鹿),(长颈鹿、长颈鹿) 把每种搭配方式看作一个抽屉,把7个小朋友看作物体,那么
根据原则1,至少有两个物体要放进同一个抽屉里,也就是说, 至少两人挑选玩具采用同一搭配方式,选的玩具相同.