平面任意力系的简化及重心
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第03章 平面任意力系(第4-6讲)
第 4 讲教案第4讲平面任意力系简化第三章 平面任意力系力的作用线分布在同一平面内的力系称为平面力系。
（简易吊车梁）当物体所受的力对称于某一平面时，也可简化为在对称平面内的平面力系。
本章将讨论平面任意力系（简称平面力系）的简化和平衡问题。
§3-1 力线平移定理实际工程与实际生活中与力线平移有关的例子是很多的。
例如、驾船划桨，若双桨同时以相等的力气划，船在水面只前进不转动；若单桨划，船不仅有向前的运动，而且有绕船质心的转动。
此外，乒乓球运动中的各种旋转球也都与力线平移有关。
F A xF AyG 1 G 2F BABα设计： 1、用图片（课件中的简易吊车梁受力）引入平面任意力系。
2、启发学员思考分析任意力系合成和平衡问题的方法：化复杂问题为简单问题。
3、由分析方法引出力线平移设计： 1、用动画讲解力线平移定理。
ABCα定理：作用在刚体上某点的力F可平行移到任一点，平移时需附加一个力偶，附加力偶的力偶矩等于原力F对新作用点的矩。
如图。
证明：在点B上加一平衡力系(F',F")，令F'=-F"=F。
则力F与力系（F',F",F）（图b）等效或与力系[F',(F,F"）]（图c）等效。
后者即为力F向B点平移的结果。
附加力偶（F,F’）的力偶矩M=Fd=M B(F)证毕。
·该定理指出，一个力可等效于一个力和一个力偶，或一个力可分解为作用在同平面内的一个力和一个力偶。
其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可等效或合成一个力。
·该定理既是复杂力系简化的理论依据，又是分析力对物体作用效应的重要方法。
例1、如单手攻丝时（图），由于力系（F'，M O）的作强调：1、该定理表明一个力可分解为同平面内的一个力和一个力偶。
2、其逆定理表明，在同平面内的一个力和一个力偶可合用，不仅加工精度低，而且丝锥易折断。
工程力学：第2章 力系的简化
F1sin45 F2sin45 0 FAsin30 F1cos45 cos30 F2 cos45 cos30 0 FAcos30 F1cos45 sin30 F2cos45 sin30 P 0
B FB1
相同的均质杆围成正方形，求绳EF的拉力。
要求：
用最少的方 程求出绳EF受 的力
FAy
FAx
A
E
P
FDy
FDx
D
G
P
B
F
P
C
FDy FDx
D
G
P
FDy FDx
D
FCy FCx
C
FBx FT
G
P
FBy
B
F
P
C
例3-3
q
FAx A
M B
2a
P
FAy
4a
FB
ll
30
F
M
3l P
q
例3-4
F
体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以在刚体平
面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
③ FR≠0,MO =0,即简化为一个作用于简化中心的合力。这时，
简化结果就是合力（这个力系的合力）, FR FR 。（此时
与简化中心有关，换个简化中心，主矩不为零）
④ FR 0, MO 0 ,为最一般的情况。此种情况还可以继续 简化为一个合力 FR 。
FAy
B FB1x
C
M
B
D
Cr
•
E
A
300 F E
FA
FT
C
F A1
FA
求：销钉A所受的力
M
B D
FD D C
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
任意力系的简化(基本知识点)
3、刚体的重心 刚体所受到的重力系可看作是一个同向的平行力系，它们必存在合力， 刚体重力系的中心称为刚体的重心。刚体的重心在刚体内或其延拓部分占有 确定位置，该位置与刚体在空间的放置情况无关。当刚体的质量分布不均匀 时，其重心和几何中心（形心）不重合。只有均质刚体的重心才与其形心重 合。通常用分割法或负面积法（或负体积法）求组合体的重心。 4、线分布载荷的简化 线分布载荷是指沿构件轴线连续作用的载荷，其大小和方向用载荷集度 表示。线分布载荷的载荷集度是指作用于构件单位长度（该术语在极限意义 下使用）上的力的大小和方向，其单位为N/m。几种常见的线分布载荷的合 力大小及其作用线位置如下：
第三章
ห้องสมุดไป่ตู้
任意力系的简化
基本知识点
1．力系的简化的定义 用一简单力系等效地代替一复杂力系称为力系的简化或合成。 2．力的平移定理 若将作用于刚体上的力 F平移至同一刚体上不在力 F的作用线 上的其它点 o，则必须相应增加一个附加力偶，其力偶矩M等于 原力 F 对平移点 o 的矩，才能保证原力对刚体的作用效果。这一 结论称为力的平移定理。显然M垂直于由点o与原力F的作用线所 作出的平面。 上述定理的逆定理也成立，即当作用于刚体上某点 o的某个 力F1与作用于同一刚体上的某个力偶的力偶矩垂直时，则该力和 力偶可以合成为一个力F，其力矢与原长F1相同，平移的垂直方 向为F1×M方向，平移和垂直距离为M/F1。 力的平移定理表明，一个力可以等效于一个力和一个力偶。 而其逆定理则表明，可以将同一平面内的一个力和一个力偶等效 于一个力。力的平移定理是任意力系向某点简化的理论基础。
第二章-平面力系
3 1 6 ( k N ) Q 3 7 5 ( k N )
分析讨论：从Qmin=(Gb+FP)/(x+a) 和 Qmax=G(a+b)/x 可 以看出，为了增加起重机的稳定性，可从减小 x 值或 增加 a 值这两个方面来考虑。 其最终目标是，扩大 [Qmin，Qmax ]的区间范围。
平面任意力系的平衡方程及其应用 14
箕斗对轨道的压力大小分别等于FNA与FNB，方向与之 相反。
平面任意力系的平衡方程及其应用 8
• 平面特殊力系的平衡方程
平面汇交力系的平衡方程 力系中所有各力在任意互成垂直的两个坐标轴上投 影的代数和分别等于零。
平面任意力系的平衡方程及其应用 9
例2-4 重G=20kN的物体被绞车吊起，绞车的绳子绕过 光滑的定滑轮B，如图所示。若滑轮由不计重量的杆 AB、BC支持，A、B、C三点都是光滑铰链联接，滑轮 B的大小可忽略不计，试求杆AB和杆BC所受的力。
平面任意力系的主矢(主向量，主矢量)
F F F R i i
i 1 i 1nLeabharlann n平面任意力系的简化
3
主矢与简化中心位置无关。在直角坐标系下的投影 n n 式为 F F , F F Rx ix Ry iy
i 1 i 1
主矢的大小为
2 2 2 2 F ( F ) ( F ) ( F ) ( F ) R Rx Ry ix iy
主矢与x轴所夹之锐角 为
tan | F / F | iy iy
M M M ( F O i O i)
i 1 i 1 n n
附加的平面力偶系可以合成为一个合力偶，其矩为
平面任意力系的简化
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
第二章 平面力系
第二章
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
平面力系
§2-1 一般概念
一.力系分类
平面力系（汇交力系、平行力系、一般力系） 空间力系
二.工程实例 在工程地质和工程建筑物中，常遇到
的一些平面力系问题，如：
铁路绗架、水坝、坝基 空间问题一般简化为平面问题处理
W1
W2
1m
§2-2 平面汇交力系的合成与分解
一、二力合成 1、几何法：已知作用在物体上的两个力，F1、F2 ，它们
5.力偶在任意坐标轴上的投影恒等于零.
§2-6 平面力系的合成
一、力的平移定理 作用在物体上的力可以平移到任意点，但必须附加上
一力偶，其矩大小等于此力对新作用点之矩。
M B M B (F ) F d （2 - 10）
二、平面任意力系向已知点简化（如下图）
1、简化方法：
2、简化结果：
主矢 FR Fi 主矩 M O M O (F i) （2 - 11）
P 2 10m
BT T
W1 R
N W2
T
P2
解：可以用解析法和图解法解此题 答案：Ｔ=7500KN，N=21500KN
§2-8 平面一般力系平衡条件和方程式
一、平面任意力系的平衡条件（充要条件）
R0， M00 二、平面任意力系平衡方程式 主矢
必有 主矩
R ( F x)2( F y)20
Fx 0
主矢与简化中心无关，主矩与简化中心有关
三、平面任意力系的合成
1、力和力偶合成一个力 2、合力矩定理：
平面力系的合力，对该平面任一点之矩，等于各分力 对同一点之矩的代数和。
n
M0 R m0(Fi) i1
3、简化结果分析，四种情况有三种结果
§2-7 重心
第二章力系的简化
一、力的平移定理
M= MB(FA)=FA·a
FA
A B
FA
A
FB
a
B
FB´
M
A
FB
B
作用在刚体上的力，可以等效平移到刚体上任一指 定点，但必须在该力和指定点所确定的平面内附加一 力偶，附加力偶的力偶矩等于原力对指定点的矩。
注意：只有在研究力的运动效应时，力才能平行移动。
研究变形效应时一般是不能移动的。
FR MO O
FR FR
d
O
A
FR
d
O
A
主矢与主矩垂直，FR
FR M
可简化为一个合力
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
(a) FR ⊥MO
表明FR与MO在同一平面，即共面
共面的力与力偶合成一个力。 FR
合力为F‘R,等于原力的合力FR
O
MO
作用线过新的简化中心
练习1：确定图示力系的合力大小及作用线位置。
z
4kN
6kN
2m
12kN 3m
y
Ox
x y FR Fy 0
Miy 0
Mix 0
解：
该力系为空间平行力 系，各力指向一致，可知 该力系简化为一个铅垂向 下的力。
FR 22kN
x 12 3 1.636m 22
y 6 2 0.545m 22
空间汇交力系
平面汇交力系
二、力偶系
平面力系
空间力系
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
HOHAI UNIVERSITY ENGINEERING MECHANICS
空间力系的平衡方程式及其应用
即与各坐标轴相交。因此各力对坐标轴的矩均为零，即式（3-17）中，
M x (F ) 0 ， M y (F ) 0， M z (F ) 0 。于是，空间汇交力系的平衡方程
只有三个，即
Fx 0
Fy
0
Fz
0
（3-18）
（2）空间平行力系
若取z轴平行于力系中各力的作用线，则 Oxy 坐标面与各力作用线
衡的必要与充分条件是：力系的主矢和力系对于任意点的主矩矢
都等于零。即
FR 0
MO 0
根据式（3-14）和式（3-16），上述条件可写成
空间任意力系平衡的必要与充分条 件是：力系中各力在任一直角坐标 系中每一轴上的投影的代数和等于 零，以及各力对每一轴的矩的代数 和也等于零。
Fx 0
Fy 0
式中，负号表明 FB ，FC 的实际方向与假设相反，即两杆均受压力。
例3-4
O1 和 O2 圆盘与水平轴 AB 固连，O1 盘垂直于z轴，O2 盘垂直于x轴，
力的矢量和。
即
FR F1 F2 Fn Fi （3-11）
图3-9
附加力偶系可合成为一个空间力偶，其力偶矩 MO，等于各附加力
偶矩的矢量和，亦即等于原力系中各力对于简化中心O的矩的矢量和。
MO MO (F1) MO (F2 ) MO (Fn ) MO (Fi )
F称R 为原力系的主矢，称为原力系对简化中心O的主矩矢 M。O
Fz 0
M
x
(F
)
0
M y (F ) 0
M
z
(F
)
0
（3-17）
空间任意力系是物体受力的最一般情况，其他类型的力系都可 以认为是空间任意力系的特殊情形，因而它们的平衡方程也可 由方程式（3-17）导出，具体如下。
4任意力系的简化
这个力偶是力系的主矩，等于各力对该点之矩的矢量和。 主矢的大小、方向与简化中心无关。 主矩的大小、方向与简化中心有关。
Theoretical Mechanics
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任意力系的简化
3 力系的简化结果分析
1.力系简化为合力偶M
F'R = 0，MO≠0 力偶矩M = MO = ∑MO(Fi) 其大小、方向与简化中心无关
由此可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力
的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则通过该图形的
形心。
Theoretical Mechanics
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平行力系与重心
1 平行力系的简化 ·平行力系的中 心
例 ：求图示分布载荷的合力及对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为 1 1
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
n
n
MO
称为该力系的主矢 MO称为该力系对简化中心O的主矩。
FR
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任意力系的简化
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
结
论
任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一
个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，
任意力系的简化
1 力的平移定理
力的平移定理
FR FR FR
FR
M
, FR ) (FR )O ( FR
Theoretical Mechanics
FR
+ M
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任意力系的简化
结 论
力的平移定理：作用于刚体上的力F ，可以平移 至同一刚体的任一点O ，但必须增加一个附加力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即
Theoretical Mechanics
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任意力系的简化
3 力系的简化结果分析
1.力系简化为合力偶M
F'R = 0，MO≠0 力偶矩M = MO = ∑MO(Fi) 其大小、方向与简化中心无关
由此可知：对于沿直线分布的垂直分布载荷来说，其合力
的大小等于分布载荷图形的面积，合力作用线则通过该图形的
形心。
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平行力系与重心
1 平行力系的简化 ·平行力系的中 心
例 ：求图示分布载荷的合力及对A点之矩。
解：将分布载荷图形分成两个三 角形，每个三角形载荷合力大小 分别为 1 1
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
n
n
MO
称为该力系的主矢 MO称为该力系对简化中心O的主矩。
FR
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任意力系的简化
2 力系向一点简化· 主矢和主矩
结
论
任意力系向一点简化的结果为作用于该点的一个力和一
个力偶。这个力是力系的主矢，等于力系中各力的矢量和，
任意力系的简化
1 力的平移定理
力的平移定理
FR FR FR
FR
M
, FR ) (FR )O ( FR
Theoretical Mechanics
FR
+ M
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任意力系的简化
结 论
力的平移定理：作用于刚体上的力F ，可以平移 至同一刚体的任一点O ，但必须增加一个附加力偶， 附加力偶的力偶矩等于原力F对于平移点O之矩，即
第二章平面问题的受力分析
FR ′
O d
FR
FR ′
Mo O
FR
O
d
′ ， 则原力系简化为一个力。 (2) 若 FR ≠ 0 MO = 0 ， 则原力系简化为一个力 。 在这种 情况下，附加力偶系平衡， 情况下，附加力偶系平衡，主矢即为原力系的合力FR，作 用于简化中心。 用于简化中心。 则原力系简化为一个力偶， (3) 若 FR = 0 MO ≠ 0 ， 则原力系简化为一个力偶， 其矩 ′ ， 等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下， 等于原力系对简化中心的主矩。在这种情况下，简化结果 与简化中心的选择无关。 与简化中心的选择无关。即无论力系向哪一点简化都是一 个力偶，且力偶矩等于主矩。 个力偶，且力偶矩等于主矩。 (4)若 ′ 则原力系是平衡力系。 (4)若 FR = 0 MO = 0，则原力系是平衡力系。 ， 同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、 同理，如果力系是平衡力系，该力系的主矢、主矩必然为 因此， ′ 就是平面一般力系平衡的 零。因此， FR = 0 MO = 0 就是平面一般力系平衡的 ， 必要与充分条件。 必要与充分条件
若已知力F的大小为F，它 和x轴的夹角为α ，则力 在坐标轴上的投影可按下 式计算： 式计算：
若已知力 F 在直角坐标 轴上的投影，则该力的 轴上的投影， 大小和方向为： 大小和方向为：
Fx = F cos α Fy = F sin α
F = Fx2 + Fy2 Fx cos α = F Fy cos β = F
Fy =0 1
F y = −F = −3000N 3 3
F2y = −F2 sin 30° = −5000×0.5N = −2500N
由合力投影定理可得： 由合力投影定理可得：
第三章力系的简化
M O M O ( Fi )
力系若有合力，力系合力对任意轴的 矩等于力系各力对同一轴的矩的矢量和；
M x M x ( Fi )
7. 空间任意力系简化为力螺旋
简化后，若FR0，MO0，且FR与MO平行， 此时无法进一步简化。 这样力与力偶作用面垂直的情况称为力螺旋。
FR与MO同向，称右手螺旋；
4.平面任意力系的简化
1) 平面任意力系向一点简化 平面任意力系
力线平移
平面汇交力系+平面力偶系
平面汇交力系+平面力偶系
合成
平面汇交力系合力FR
平面力偶系合力偶MO
简化点O任选，称简化中心 简化后平面汇交力系的合力FR，有：
简化后平面力偶系的合力偶MO，有：
平面任意力系向作用面内一点简化后得到一个 力和一个力偶，该力的主矢等于原力系的主矢，该 力偶的力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。 简化后有以下几种情况： 1） 若FR=0，MO0，则力系合成为一个合力偶， 合力偶矩等于原力系对简化中心的主矩。这种情 况下，主矩与简化中心的位置无关； 2） 若FR0，MO=0，则力系合成为一个合力， 主矢FR与原力系主矢FR相等。主矢FR通过简化 中心。合力与简化中心的位置有关，换一个简化 中心，则MO不为零。
3）结论
任意平面汇交力系：
可以简化为一合力，合力的大 小与方向等于各分力的矢量和（几 何和），合力的作用线通过汇交点。 用矢量表示：
平面汇交力系平衡的充要条件是：该力系的 合力等于零。
几何法求解平面汇交力系，一般适合三个 力汇交的情况
例：如图，为汽车制动机 构的一部分。驾驶员蹬踩 力F=212N，方向与水平 面夹角α=45º。平衡时， DA垂直，BC水平，求拉 杆BC所受的力。已知， EA=24cm，DE=6cm，点 在上，机构不计自重，C、 B、D均为光滑铰链。
平面任意力系的简化及重心资料
F1′
M1
F1 =F1′ M1=MO(F1)
O
简化中心 F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR′Βιβλιοθήκη MOOFR′ =F′1+F′2+F′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
y
FR′
MO
O
x
n
FR Fi i 1
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？
使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a)
F (b)
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于： 如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1 平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F′
F
M
Bd
B
A
A
F′ ′
M=F. d=MB(F)
xC
A
A
,
yC
A
A
,
zC
A
A
曲线：
xdl
ydl
zdl
xC
l
l
,
yC
l
l
,
zC
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心
例题9
求：半径为R，圆心角为2
的均质圆弧线的重心。
A
解: 取圆心 O 为坐标原点
xc 0
yC
ydl l l
n
理论力学第四章任意力系
由于简化中心是任意选取的，故此式有普遍意义。
合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系 中各力对于同一点之矩的代数和。
二、空间任意力系的简化与合成
1、空间一般力系向一点简化 把研究平面一般力系的简化方法用来研究空间一般力系的
简化问题，须把平面坐标系扩充为空间坐标系。
设作用在刚体上有
F1 F2
AB
I
Fi
y
R'
Ox
y
MO
O
简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
R'
2 . R' 0 , MO 0 ;
x
3 . R' 0 , M O 0 ;
4. R' 0 , M O 0 .
4. R' 0 , M O 0 .
为最一般的情况。此种情况还可以继续
2 . R' 0 , MO 0 ;
简化结果为一合力偶,MO = M 此时力系等效于一个力偶的作用.
因为力偶 可以在平面内任意 移动，故 这种情况下主矩与 简化中心 O 无关。
F1 F2
AB
I
Fi
y
MO Ox
y
MOOΒιβλιοθήκη 简化结果：主矢 R ，主矩 MO 。
1. R' 0 , MO 0 ;
求：１）合力的大小与方向；２）合力与基线OA的交点到O点的
距离 x 及合力作用线方程。(力系向Ｏ点简化的最后结果）
y 3m
解:１）求 FR'x , FR'y
▼
P1
1.5
9m
F1
3m
P2
第03章 平面任意力系
第三章平面任意力系3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩3.2 平面任意力系的平衡条件与平衡方程3.3 物体系统的平衡·静定与静不定问题3.4 平面简单桁架的内力计算3.1 平面任意力系的简化·主矢与主矩所谓平面任意力系是指力系中各力的作用线在同一平面内且任意分布的力系，简称平面力系。
在实际工程中经常会遇到平面任意力系的情形，例如，下图所示的曲柄连杆机构，受力F ，矩为M 1，M 2的力偶以及支座反力F Ax ，F Ay 和F N 的作用，这些力及力偶构成平面任意力系。
3、固定端（或插入端）约束FAxFAyM AA4、平面任意力系的简化结果分析（1）简化为一个力偶当F R = 0，M O ≠0则原力系合成为合力偶，其矩为∑=)(i O O M M F 此时主矩与简化中心选择无关，主矩变为原力系合力偶。
由此很容易证得平面任意力系的合力矩定理：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等于力系中各力对同一点的矩的代数和。
即∑=)()(R i O O M M F F 当F R ’= 0，M O = 0则原力系平衡。
（3）平面力系平衡例题3-3考虑一小型砌石坝的1m长坝段，受重力和的静水压力作用。
已知h = 8 m，a= 1.5 m，b= 1 m，P1=600 kN，P2=300 kN，单位体积的水重γ = 9.8 kN/m3。
求（1）将重力和水压力向O点简化的结果，（2）合力与基线OA的交点到点O的距离x，以及合力作用线方程。
解：（1）以点O 为简化中心，求主矢∑=′x RxF F ()()kNF F yxR1.95322=+=′∑∑F 329.0cos =′=∑RxF F θ944.0cos −=′=∑RyF F β°±=79.70θ°±°=21.19180β故主矢在第四象限内，与x 轴的夹角为°−79.70F R ’M O θβkN 6.313=22121h qh γ==kN P P F F y Ry 90021−=−−==′∑（2）以点O 为简化中心，求主矩F R ’M O θβ()()()q M P M P M M O O O O ++=21bP a P hh 212321−+×−=γmkN ⋅−= 27.236表明主矩的方向与假设方向相反，及主矩的方向为顺时针。
任意力系简化
0
Rq0 cos 2 R q0
30
0
图2-29
HOHAI UNIVERSITY
再求F的作用线位置。设作用 线与xy平面的交点为C。 由于对称，C必位于y轴上，即xc 0,只须求yc。于此有 yc F R sin dF R 2 q0 sin 2d
0 2 R q0 1 2 R q0 ( 2 ) 2 4 2 0
HOHAI UNIVERSITY
任意力系的简化
HOHAI UNIVERSITY
空间力系的简化
一、简化方法 利用力的平移定理，将各力平行移到简化中心O，并各加 一个附加力偶，从而得到一个作用在O点的空间汇交力系 和一个空间力偶系。
HOHAI UNIVERSITY
二、简化的一般结果
FR=F1'+F2 ' +… Fi ' +… + Fn '
cos(FR，x)=
FRx
FR
cos(FR，y)=
FRy
FR
cos(FR，z)=
FRz
FR
主矩：MO=∑ mi
Mx cos(MO，x)= MO
Mx = ∑ mix My = ∑ miy Mz = ∑ miz MO=√Mx2+My2+Mz2
My cos(MO，y)= MO
Mz cos(MO，z)= MO
其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
Rq0 cos 2 R q0
30
0
图2-29
HOHAI UNIVERSITY
再求F的作用线位置。设作用 线与xy平面的交点为C。 由于对称，C必位于y轴上，即xc 0,只须求yc。于此有 yc F R sin dF R 2 q0 sin 2d
0 2 R q0 1 2 R q0 ( 2 ) 2 4 2 0
HOHAI UNIVERSITY
任意力系的简化
HOHAI UNIVERSITY
空间力系的简化
一、简化方法 利用力的平移定理，将各力平行移到简化中心O，并各加 一个附加力偶，从而得到一个作用在O点的空间汇交力系 和一个空间力偶系。
HOHAI UNIVERSITY
二、简化的一般结果
FR=F1'+F2 ' +… Fi ' +… + Fn '
cos(FR，x)=
FRx
FR
cos(FR，y)=
FRy
FR
cos(FR，z)=
FRz
FR
主矩：MO=∑ mi
Mx cos(MO，x)= MO
Mx = ∑ mix My = ∑ miy Mz = ∑ miz MO=√Mx2+My2+Mz2
My cos(MO，y)= MO
Mz cos(MO，z)= MO
其面积与坐标分别为
2 A 300 mm x1 15mm y1 45mm 1 x 2 5mm y 2 30mm A2 400mm 2 2 A 300 mm x 3 15mm y 3 5mm 3
Ai x i A1 x1 A2 x 2 A3 x 3 xC 2mm A A1 A2 A3 Ai y i A1 y1 A2 y 2 A3 y 3 yC 27mm A A1 A2 A3
3平面任意力系
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和主矩 MO 都等于零，即：
R '( X )2 ( Y )20 MOmO(Fi)0
9
平衡方程：
X0
Y0
mO(Fi)0
X0 mA(Fi)0 mB(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
28
29
3、 特征： 大小：0FFmax（平衡范围）满足 X0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：Fmaxf N（ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力： 大小： F' f'N
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： F' f'N（f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
17
例 试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已 知d、q和M。注意比较和讨论图a、b、c三梁的约束力。
解：图中所示的各梁，都 是由两个刚体组成的刚体系 统。只考虑整体平衡，无法 确定全部未知约束力，因而 必须将系统拆开，选择合适 的平衡对象，才能确定全部 未知约束力。
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目—为静定 独立方程数 ＜未知力数目—为静不定
五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
R '( X )2 ( Y )20 MOmO(Fi)0
9
平衡方程：
X0
Y0
mO(Fi)0
X0 mA(Fi)0 mB(Fi)0
mA(Fi)0 mB(Fi)0 mC(Fi)0
①一矩式
②二矩式
③三矩式
条件：x 轴不AB 连线
所以增大摩擦力的途径为：①加大正压力N, ②加大摩擦系数f
28
29
3、 特征： 大小：0FFmax（平衡范围）满足 X0
静摩擦力特征：方向：与物体相对滑动趋势方向相反 定律：Fmaxf N（ f 只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
二、动滑动摩擦力： 大小： F' f'N
动摩擦力特征：方向：与物体运动方向相反 定律： F' f'N（f '只与材料和表面情况有 关，与接触面积大小无关。）
解物系问题的一般方法： 由整体 局部（常用），由局部
整体（用较少）
17
例 试求图示静定梁在A、B、C三处的全部约束力。已 知d、q和M。注意比较和讨论图a、b、c三梁的约束力。
解：图中所示的各梁，都 是由两个刚体组成的刚体系 统。只考虑整体平衡，无法 确定全部未知约束力，因而 必须将系统拆开，选择合适 的平衡对象，才能确定全部 未知约束力。
mi 0
四、静定与静不定
独立方程数 ≥ 未知力数目—为静定 独立方程数 ＜未知力数目—为静不定
五、物系平衡 物系平衡时，物系中每个构件都平衡， 解物系问题的方法常是：由整体 局部
单体
39
六、解题步骤与技巧
解题步骤
解题技巧
第3章 平面任意力系
,i
FRx FR
0.614,
FR , i 52.1
A
cosFR
,
j
FRy FR
0.789,
2. 求主矩MO
FR , j 37.9
MO O
FRF R
MO MO F
2F2 cos 60 2F3 3F4 sin 30 0.5 kN m
由于主矢和主矩都不为零，所以最后合
成结果是一个合力FR。如右图所示。
M
F
q
45
B
A
l
24
例题3-6
A
y
FAx
A
MA FAy
解： 取梁为研究对象，受力分析如图
由平衡方程
M
F
Fx 0, FAx F cos 45 0
q
45
B
Fy 0, FAy ql F sin 45 0
l
M AF 0,
MA
ql 2 2
Fl cos
45
M
0
解方程得
q
M 45 F FAx F cos 45 0.707 F
FR FR
合力FR到O点的距离
d MO 0.51 m FR
B x
C
12
例题3-2
水平梁AB受三角形分布的载荷作用，如图所示。
载荷的最大集度为q， 梁长l。试求合力作用线的位置。
A l
解：
q
在梁上距A端为x的微段dx
B x 上，作用力的大小为q'dx，其
中q'为该处的载荷集度 ，由相
似三角形关系可知
F
A
B
C
D
20
例题3-4
A
2平面任意力系简化2-25
增加平衡力系后，作用在A点的力F与作用在B的
力组成一力偶，这一力偶的力偶矩M等于力F对O 点之矩，即：
M M o ( F ) Fh
施加平衡力系后由3个力所组成的力系，变成了由
作用在B点的力F和作用在刚体上的一个力偶矩为M 的力偶所组成的力系，如图2-1c所示。
根据以上分析，可以行到以下重要结论：
合成为一个合力和一个合力偶。
2．3．3平面力系的简化结果 上述分析结果表明： 平面力系向作用面内任意一点简化，一般
情形下，得到一个力和一个力偶。所得力的作
用线通过简化中心，这一力称为力系的主矢，
它等于力系中所有力的矢量和；所得力偶仍作
用于原平面内，其力偶矩称为原力系对于简化 中心主矩，数值等于力系中所有力对简化中心 之矩的代数和。
为机床上夹持工件的夹盘，夹盘对工件的约 束就是固定端约束；图2-6c所示为一端镶嵌 在建筑物墙内的门或窗户顶部的雨罩，墙对 于雨罩的约束也属于固定端约束。
固定端对于被约束的构件，在约束处所产生的约束
力，是一种比较复杂的分布力系。在平面问题中，
如果主动力为平面力系，这一颁约束力系也是平面
例题2-3 图2-5之刚性圆轮上所受复杂力系可以 简化为一磨擦力F和一力偶矩为M、方向已知的 力偶。已知为F的数值为F=2.4kN。如果要使力 F和力偶各B点简化结果只是沿水平方向的主矢 FR ，而主矩等于零。B点到轮心O的距离 OB=12mm（图中长度单位为mm）。求：作 用在圆轮上的力偶的力偶矩M的大小。
例题 2-4 伸臂式起重机如图所示，匀质伸臂AB 重 P=2200N，吊车D、E 连同吊起重物各重QD=QE=4000N。 有关尺寸为：l = 4.3m，a = 1.5m，b = 0.9m，c = 0.15m, α=25°。试求铰链A 对臂AB 的水平和垂直 反力，以及拉索BF 的拉力。 y
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问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
A
FA
B
FB
C
P
A
D
P
E
(b) 称重法
第一步：
P xC F1 l 0
第二步：
F1 l xC P F2 l xC P
解: 建立图示坐标系 x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
2.合力作用线位置： 合力矩定理
1.合力大小：
Ph dP x q( x) xdx
l 0
P dP q( x)dx
l 0
q ( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
l
例题
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1 kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以
O′
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′ R≠ 0，MO ≠0
FR ′ ′ FR
Mo
O
O′
O
d
MO d FR
O
d
O′
′′ FR
一句话总结： 什么情况下，平面任意力系简化为一个合力？
3 .
平面任意力系平衡的情形
原力系平衡
● F′ R=0，MO=0
汇总结果
主 矢 主 矩 MO = 0 MO≠0 MO ≠0 MO = 0 合成结果 合 合 力 力 说 明
′≠ 0 FR
此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心 合力作用线离简化中心的距离 d
MO FR
′= 0 FR
力
平
偶
衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
应用：求分布载荷的简化结果
P
q(x)
已知： q(x)
B
x
载荷集度
dP
A
x dx h l
问题：平面平行分布载荷的简 化结果是什么？
上四个力构成的力系对 O 点的简化结果，以及该力
系的最后合成结果。
y
F2
A
60°
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
y
解： 求向O点简化结果
F2 A
60°
B
F3
1.求主矢
。 建立如图坐标系Oxy。
2m
F1 C O
3m
F4
30°
x
所以，主矢的大小
主矢方向:
2. 求主矩MO
A
y B
3. 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后
y
FR′ MO
Fi FR
i 1
n
O
x
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
★ 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FR Fyi Fxi , i) , j) cos( FR , cos( FR FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。
y dl A
d
B
解: 取圆心 O 为坐标原点
x
o
xc 0 yC ydl R cos Rd R sin
l
l
R 2
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例 题 11 求：Z 形截面重心。
A
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力 偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
实例 分析
F M
F′
F (a)
F M F′
(b)
(b)
若物体上作用的不止一个力， 如何确定其最终的作用效果？
2.平面任意力系向作用面内一点的简化
F2
x2=5,
y2=30, A2=400
(b)负面积法（负体积法）
y
o
20mm 40mm 50mm
例 题 11 求：图示截面重心。
解：建立图示坐标系，由对 称性可知：yC=0
x
4R 40 x1 , 3 3
x2 25, x3 40
R2 A1 50 , A2 1000, A3 r 2 25 2
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
F1
F2′ห้องสมุดไป่ตู้
O
M2
F1′
M1
O
FR′ MO
O
F3
F3′
M3
F1 =F1′ M1=MO(F1) O
简化中心
F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR ′ =F ′1+F′2+F ′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
F1
F2 l 0 P xC
l l cos
xC cos h sin xC
H l2 H 2 sin , cos l l
F2
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
A
FA
B
FB
C
P
A
D
P
E
(b) 称重法
第一步：
P xC F1 l 0
第二步：
F1 l xC P F2 l xC P
解: 建立图示坐标系 x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
2.合力作用线位置： 合力矩定理
1.合力大小：
Ph dP x q( x) xdx
l 0
P dP q( x)dx
l 0
q ( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
l
例题
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1 kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以
O′
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′ R≠ 0，MO ≠0
FR ′ ′ FR
Mo
O
O′
O
d
MO d FR
O
d
O′
′′ FR
一句话总结： 什么情况下，平面任意力系简化为一个合力？
3 .
平面任意力系平衡的情形
原力系平衡
● F′ R=0，MO=0
汇总结果
主 矢 主 矩 MO = 0 MO≠0 MO ≠0 MO = 0 合成结果 合 合 力 力 说 明
′≠ 0 FR
此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心 合力作用线离简化中心的距离 d
MO FR
′= 0 FR
力
平
偶
衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
应用：求分布载荷的简化结果
P
q(x)
已知： q(x)
B
x
载荷集度
dP
A
x dx h l
问题：平面平行分布载荷的简 化结果是什么？
上四个力构成的力系对 O 点的简化结果，以及该力
系的最后合成结果。
y
F2
A
60°
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
y
解： 求向O点简化结果
F2 A
60°
B
F3
1.求主矢
。 建立如图坐标系Oxy。
2m
F1 C O
3m
F4
30°
x
所以，主矢的大小
主矢方向:
2. 求主矩MO
A
y B
3. 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后
y
FR′ MO
Fi FR
i 1
n
O
x
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
★ 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FR Fyi Fxi , i) , j) cos( FR , cos( FR FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。
y dl A
d
B
解: 取圆心 O 为坐标原点
x
o
xc 0 yC ydl R cos Rd R sin
l
l
R 2
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例 题 11 求：Z 形截面重心。
A
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力 偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
实例 分析
F M
F′
F (a)
F M F′
(b)
(b)
若物体上作用的不止一个力， 如何确定其最终的作用效果？
2.平面任意力系向作用面内一点的简化
F2
x2=5,
y2=30, A2=400
(b)负面积法（负体积法）
y
o
20mm 40mm 50mm
例 题 11 求：图示截面重心。
解：建立图示坐标系，由对 称性可知：yC=0
x
4R 40 x1 , 3 3
x2 25, x3 40
R2 A1 50 , A2 1000, A3 r 2 25 2
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
F1
F2′ห้องสมุดไป่ตู้
O
M2
F1′
M1
O
FR′ MO
O
F3
F3′
M3
F1 =F1′ M1=MO(F1) O
简化中心
F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR ′ =F ′1+F′2+F ′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
F1
F2 l 0 P xC
l l cos
xC cos h sin xC
H l2 H 2 sin , cos l l
F2
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H