平面任意力系的简化及重心
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解: 建立图示坐标系 x1=－15, y1=45, A1=300
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
F1
F2′
O
M2
F1′
M1
O
FR′ MO
O
F3
F3′
M3
F1 =F1′ M1=MO(F1) O
简化中心
F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR ′ =F ′1+F′2+F ′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
A
FA
B
FB
C
P
A
D
P
E
(b) 称重法
第一步：
P xC F1 l 0
第二步：
F1 l xC P F2 l xC P
上四个力构成的力系对 O 点的简化结果，以及该力
系的最后合成结果。
y
F2
A
60°
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
y
解： 求向O点简化结果
F2 A
60°
B
F3
1.求主矢
。 建立如图坐标系Oxy。
2m
F1 C O
3m
F4
30°
x
所以，主矢的大小
主矢方向:
2. 求主矩MO
A
y B
3. 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后
2.合力作用线位置： 合力矩定理
1.合力大小：
Ph dP x q( x) xdx
l 0
P dP q( x)dx
l 0
q ( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
l
例题
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1 kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
′≠ 0 FR
此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心 合力作用线离简化中心的距离 d
MO FR
′= 0 FR
力
平
偶
衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
应用：求分布载荷的简化结果
P
q(x)
已知： q(x)
B
x
载荷集度
dP
A
x dx h l
问题：平面平行分布载荷的简 化结果是什么？
O′
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′ R≠ 0，MO ≠0
FR ′ ′ FR
Mo
O
O′
O
d
MO d FR
O
d
O′
′′ FR
一句话总结： 什么情况下，平面任意力系简化为一个合力？
3 .
平面任意力系平衡的情形
原力系平衡
● F′ R=0，MO=0
汇总结果
主 矢 主 矩 MO = 0 MO≠0 MO ≠0 MO = 0 合成结果 合 合 力 力 说 明
y
FR′ MO
Fi FR
i 1
n
O
x
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
★ 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FR Fyi Fxi , i) , j) cos( FR , cos( FR FR FR
求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。
y dl A
d
B
解: 取圆心 O 为坐标原点
x
o
xc 0 yC ydl R cos Rd R sin
l
l
R 2
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例 题 11 求：Z 形截面重心。
Fra Baidu bibliotekF1
F2 l 0 P xC
l l cos
xC cos h sin xC
H l2 H 2 sin , cos l l
F2
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
A
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力 偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
实例 分析
F M
F′
F (a)
F M F′
(b)
(b)
若物体上作用的不止一个力， 如何确定其最终的作用效果？
2.平面任意力系向作用面内一点的简化
F2
x2=5,
y2=30, A2=400
(b)负面积法（负体积法）
y
o
20mm 40mm 50mm
例 题 11 求：图示截面重心。
解：建立图示坐标系，由对 称性可知：yC=0
x
4R 40 x1 , 3 3
x2 25, x3 40
R2 A1 50 , A2 1000, A3 r 2 25 2
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0
10mm
30mm
30mm
o
x
xi Aiy3=x x A2 x3 A3 1A 1 2 300 x = 15, 5, A = 3 3 xc 2mm Ai A1 A2 A3 yi Ai y1 A1 y2 A2 y3 A3 yc 27mm Ai A1 A2 A3
● F′ R≠ 0，MO ≠0
1.
平面任意力系简化为一个力偶的情形
M O M O ( Fi )
i 1 n
● F′ R=0，MO≠0 选择题：
当力系合成为一个力偶时，主矩与简化中心的选择 (a）有关 （b）无关 （c）不能确定
2 .
平面任意力系简化为一个合力的情形
合力的作用线通过简化中心
FR FR
合成结果是一个合力FR。
MO
O
FR
FR
C
x
合力FR到O点的距离
２. 重心的概念及其坐标公式
由合力矩定理，得
Pi x i xC Pi Pi y i yC Pi Pi z i zC Pi
O
z
△Vi
Pi
zi xi
C
P
zC y
xC
yi yC x
若物体是均质的，得
xC
F1
F2′
O
M2
F1′
M1
O
FR′ MO
O
F3
F3′
M3
F1 =F1′ M1=MO(F1) O
简化中心
F2 =F2′ M2=MO(F2)
F3 =F3′ M3=MO(F3)
FR ′ =F ′1+F′2+F ′ 3= F1+F2+F3 MO=M1+M2+M3=MO(F2)+ MO(F2) + MO(F3)
xi Ai x1 A1 x2 A2 x3 A3 xc 19.65mm Ai A1 A2 A3
（3）用实验方法测定重心的位置 (a) 悬挂法
A
FA
B
FB
C
P
A
D
P
E
(b) 称重法
第一步：
P xC F1 l 0
第二步：
F1 l xC P F2 l xC P
上四个力构成的力系对 O 点的简化结果，以及该力
系的最后合成结果。
y
F2
A
60°
B
F3
2m
F1 C O
3m
F4
30° x
y
解： 求向O点简化结果
F2 A
60°
B
F3
1.求主矢
。 建立如图坐标系Oxy。
2m
F1 C O
3m
F4
30°
x
所以，主矢的大小
主矢方向:
2. 求主矩MO
A
y B
3. 最后合成结果 由于主矢和主矩都不为零，所以最后
2.合力作用线位置： 合力矩定理
1.合力大小：
Ph dP x q( x) xdx
l 0
P dP q( x)dx
l 0
q ( x) xdx h q( x)dx
0 l 0
l
例题
在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个 力：F1=1 kN，F2=2kN，F3=F4=3kN（如图），试求以
xdV ,
V
V
yC
V
ydV V
, zC
zdV
V
V
曲面：
xC xdA ,
A
A
yC
A
ydA A
, zC
zdA
A
A
曲线：
xC xdl ,
l
l
yC
ydl ,
l
l
zC
zdl
l
l
均质物体的重心就是几何中心，通常称——形心
3. 确定物体重心的方法 （1）简单几何形状物体的重心 例题9
′≠ 0 FR
此力为原力系的合力，合力的作用线 通过简化中心 合力作用线离简化中心的距离 d
MO FR
′= 0 FR
力
平
偶
衡
此力偶为原力系的合力偶，在这种情 况下主矩与简化中心的位置无关
应用：求分布载荷的简化结果
P
q(x)
已知： q(x)
B
x
载荷集度
dP
A
x dx h l
问题：平面平行分布载荷的简 化结果是什么？
O′
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′ R≠ 0，MO ≠0
FR ′ ′ FR
Mo
O
O′
O
d
MO d FR
O
d
O′
′′ FR
一句话总结： 什么情况下，平面任意力系简化为一个合力？
3 .
平面任意力系平衡的情形
原力系平衡
● F′ R=0，MO=0
汇总结果
主 矢 主 矩 MO = 0 MO≠0 MO ≠0 MO = 0 合成结果 合 合 力 力 说 明
y
FR′ MO
Fi FR
i 1
n
O
x
M O M O ( Fi )
i 1
n
F′ R MO
主矢 主矩
★ 平面任意力系向作用面内任一点O简化，可得一个力和一 个力偶，这个力等于该力系的主矢，作用线通过简化中心。这个 力偶的矩等于力系对于点O的主矩。
( Fxi ) 2 ( Fyi ) 2 FR Fyi Fxi , i) , j) cos( FR , cos( FR FR FR
求：半径为R，圆心角为2 的均质圆弧线的重心。
y dl A
d
B
解: 取圆心 O 为坐标原点
x
o
xc 0 yC ydl R cos Rd R sin
l
l
R 2
（2）用组合法求重心
(a) 分割法
10mm
y C1 C2 C3
30mm
例 题 11 求：Z 形截面重心。
Fra Baidu bibliotekF1
F2 l 0 P xC
l l cos
xC cos h sin xC
H l2 H 2 sin , cos l l
F2
F2 F1 1 2 zC r l H2 P H
问题提出
F
当钉子打偏的时候， 会发生什么现象？ 使钉子弯曲的作 用来自哪里呢？
F (a) (b)
F
两圆盘运动形式是否一 样？二者之间有什么联系呢？
两个问题的相同之处在于：
如何将一个力等效地平移到另外一点？
§3-1
平面任意力系向作用面内一点的简化
1.力的平移定理
F′
F B d A F′′ M F′
B
A
M=F. d=MB(F)
可以把作用于刚体上点A的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力 偶的矩等于原来的力F对新作用点B的矩。
实例 分析
F M
F′
F (a)
F M F′
(b)
(b)
若物体上作用的不止一个力， 如何确定其最终的作用效果？
2.平面任意力系向作用面内一点的简化
F2
x2=5,
y2=30, A2=400
(b)负面积法（负体积法）
y
o
20mm 40mm 50mm
例 题 11 求：图示截面重心。
解：建立图示坐标系，由对 称性可知：yC=0
x
4R 40 x1 , 3 3
x2 25, x3 40
R2 A1 50 , A2 1000, A3 r 2 25 2
M O M O ( Fi ) ( xi Fyi yi Fxi )
i 1 i 1
n
n
实例 分析
平面固定端约束（插入端）
约束特点： 既不能移动，又不 能转动。
固定端约束简图
=
=
≠
=
§3-2
平面任意力系的简化结果分析
● F′ R≠ 0，MO=0 ● F′R=0，MO=0
● F′ R=0，MO≠0