高三一轮复习之基本不等式

高三一轮复习之基本不

等式

-CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN

基本不等式

一、考试方向

1．考查应用基本不等式求最值、证明不等式的问题．

2．考查应用基本不等式解决实际问题．

二、能力要求

要求学生掌握基本不等式的使用条件：一正二定三相等；

掌握四种类型的基本不等式的应用：和定求积；积定求和；和定求和；和积关系求和积。

三、基础知识

1.基本不等式：ab ≤a ＋b 2

(1)基本不等式成立的条件：a ＞0，b ＞0.

(2)等号成立的条件：当且仅当a ＝b 时取等号．

2．几个重要的不等式

(1)a 2＋b 2≥2ab (a ，b ∈R )；

(2)b a ＋a b ≥2(a ，b 同号)；

(3)ab ≤⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )； (4)a 2＋b 22≥⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )． 3.最值问题： 已知y x ,是正数，

①如果积xy 是定值P ，则当y x =时，和y x +有最小值P 2；

②如果和y x +是定值S ，则当y x =时，积xy 有最大值24

1S . 利用基本不等式求最值时，要注意变量是否为正，和或积是否为定值，等号是否成立，以及添项、拆项的技巧，以满足均基本不等式的条件。

四、经典题型

类型一 基本不等式适用条件的应用

使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是其存在前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．

例1．已知ab ≠0，a ，b ∈R ，则下列式子总能成立的是( ) A.b a ＋a b ≥2 B.b a ＋a b ≥－2 C.b a ＋a b ≤－2 D.⎪⎪⎪⎪

⎪⎪b a ＋a b ≥ 例2．下列结论正确的是

A ．当0x >且1x ≠时，1lg lg x x +2≥

B ．0x >当时，2x x +≥

C ．x x x 1,2+≥时当的最小值为2

D ．当x x x 1,20-≤<时无最大 例3．下列函数中，y 的最小值为4的是________(写出所有符合条件的序号)．

①y ＝x ＋4x (x>0)；②y ＝2(x 2＋3)x 2＋2

；③y ＝e x ＋4e －x ；④y ＝sinx ＋4sinx . 例4.若a>b>1，P ＝lga·lgb ，Q ＝12(l ga ＋lgb)，R ＝l g ⎝ ⎛⎭

⎪⎫a ＋b 2，则P ，Q ，R 的大小关系为________．例5.设0

A ．a ＜b ＜ab ＜a ＋b 2

B ．a ＜ab ＜a ＋b 2＜b

C ．a ＜ab ＜b ＜a ＋b 2 D.ab ＜a ＜a ＋b 2＜b 类型二、基本不等式的应用之和定求积

例1.已知0>a ，0>b ，1=+b a ，则ab 的最大值是______.

例2.已知0＜x ＜25，则y ＝2x －5x 2的最大值为________．

类型三、基本不等式的应用之积定求和

例1.已知x>0，y>0，lgx ＋lgy ＝1，求z ＝2x ＋5y 的最小值； 例2．设R b a ∈,，且3=+b a ，则b a 22+的最小值是

A ．6

B ．24

C ．22

D ．62x>0，

例3.已知0>x ，求f(x)＝12x ＋3x 的最小值；

例4． 函数)1)(51

1(log 3>+-+

=x x x y 的最小值是_____________. 例5.已知0

x 432++的最大值是________. 例6.x<3，求f(x)＝4x －3＋x 的最大值． 例7.若M ＝a 2＋4a (a ∈R ，a ≠0)，则M 的取值范围为( )

A ．(－∞，－4]∪[4，＋∞)

B ．(－∞，－4]

C ．[4，＋∞)

D ．[－4,4]

例8．对一切正数m ，不等式n<4m ＋2m 恒成立，则常数n 的取值范围为( )

A ．(－∞，0)

B ．(－∞，42)

C ．(42，＋∞)

D ．[42，＋∞)

例9.设a ＞b ＞0，则a 2＋1ab ＋1a (a －b )

的最小值是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

例10.已知0,0a b >>，则112ab a b

++的最小值是（ ） A ．2

B ．22

C ．4

D ．5

利用基本不等式求函数最值时，注意“一正、二定、三相等，和定积最大，积定和最小”．常用的方法为：拆、凑、代换、平方．

类型四、基本不等式的应用之和定求和

例1．设x 、y 为正数，则有(x+y)(1x ＋4y )的最小值为（ ）

A ．15

B ．12

C ．9

D ．6

例2． 已知2a ＋3b ＝6，且a>0，b>0，则32a ＋1b 的最小值是________．

例3．设0,0.a b >>1133a b a b

+与的等比中项，则的最小值为 A 8 B 4 C 1 D 14

例4.已知,,,a b x y R +∈（,a b 为常数），1a b x y

+=，求x y +的最小值．

类型五、基本不等式的应用之和积关系求和积

例1．设,x y R +∈，且()1xy x y -+=，则 （ ）

()A 1)x y +≥ ()B 1xy ≤ ()C 21)x y +≤ ()D 1)xy ≥

例2．若正数a 、b 满足ab=a+b+3，则ab 的取值范围是 ．例3.已知x ＞0，y ＞0，xy ＝x ＋2y ，若xy ≥m －2恒成立，则实数m 的最大值是________．

例4．已知0,0>>y x ，且082=-+xy y x ，

求（1）xy 的最小值；（2）y x +的最小值。

解：（1）由08=-+xy y x ，得1

28=+y x ，

又0,0>>y x ，则xy y x y x 8282281=⋅≥+=，得64≥xy ，

当且仅当y x =时，等号成立。

（2）法1：由08=-+xy y x ，得

28-=y y

x ，20>∴>y x