自然数N次方的尾数周期变化情况

自然数N次方的尾数周期变化情况：

2n是以“4”为周期进行变化的，分别为2，4，8，6……

3n是以“4”为周期进行变化的，分别为3，9，7，1……

7n是以“4”为周期进行变化的，分别为7，9，3，1……

8n是以“4”为周期进行变化的，分别为8，4，2，6……

4n是以“2”为周期进行变化的，分别为4，6……

9n是以“2”为周期进行变化的，分别为9，1……

5n、6n尾数不变。

【例3】22007+32007+42007+52007+62007+72007+82007+92007的值的个位数为是多少？

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

【解析】D。这道题的每个指数都很大，而求的是最终值的个位数，因此只要根据自然数N次方的尾数周期变化情况就可以判断。例如，22007是以“4”为周期变化的，于是用2007除以4，可得余3，因此22007=23=8，个位数是8。以此类推将后面几个数的个位数算出来相加即可：原式等价于23+33+41+5+6+73+83+9，所以最终值的尾数是4。

顺逆水问题常用的公式有：

（1）顺水速度（V

顺）=船速（V

船

）＋水速（V

水

）

（2）逆水速度（V

逆）=船速（V

船

）－水速（V

水

）

由（1）和（2）公式推导可以得出：

（3）船速（V

船）=[顺水速度（V

顺

）＋逆水速度（V

逆

）]÷2

（4）水速（V

水）=[顺水速度（V

顺

）－逆水速度（V

逆

）]÷2

（3）、（4）两个公式是顺逆水问题中最核心最常用的两个公式，同学应该将该公式熟记于心。记忆的时候可以这么理解：船速一般要大于水速（不然船就无法在逆水中前行），所以船速是“顺逆相加除以二”、水速是“顺逆相减除以二”。

•一个公式：工作效率×工作时间=工作总量

•一个技巧：设工作时间的最小公倍数为工作总量，再求工作效率

只要牢牢掌握以上两个点，工程问题都可以很快解出。我们可以通过几个例题来理解这一个公式和一个技巧。

【例3】一篇文章，现有甲乙丙三人，如果由甲乙两人合作翻译，需要10 小时完成，如果由乙丙两人合作翻译，需要12 小时完成。现在先由甲丙两人合作翻译4 小时，剩下的再由乙单独去翻译，需要12 小时才能完成，则这篇文章如果全部由乙单独翻译，要( )小时能够完成。

A.15

B.18

C.20

D.25

【解析】A。第一步，设工作总量为60，;第二步：求工作效率，甲乙的效率和为6，乙丙的效率和为5，第三步：求解，丙干了12小时，可以看成与甲、乙分别合干4小时，又单干4小时，与甲合干4小时完成24份工，与乙合干4小时完成20份工，剩余的16份工由乙4小时完成，因此乙的效率为4，总的工作时间为15，选A。

溶液、溶剂、溶质和浓度的关系如下∶

•溶液的质量=溶质的质量+溶剂的质量

•浓度=溶质质量÷溶液质量

•溶液质量=溶质质量÷浓度

•溶质质量=溶液质量×浓度

难度较低的溶液问题只要通过以上几个公式就可以列方程求解，而对于一些较复杂的浓度问题，就要通过“十字交叉法”来求解。

十字交叉法是进行二组分混合物平均量与组分量的计算中常用的一种简便方法。凡是一般的二元一次方程组（Aa +Bb = c( A +B )关系式）的习题，均可用十字交叉法。

该法解题的关键是准确找出平均值。其解题原理为：

Aa＋Bb＝(A＋B)×c

整理变形后可得 (a>c>b)

其中c为平均值

十字相乘法使用时要注意几点：

第一点：用来解决两者之间的比例关系问题。

第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。

第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放对角线上。

【例3】把浓度为20%、30%和50%的某溶液混合在一起，得到浓度为36%的浓液50升，已知浓度为30%的溶液用量是浓度为20%的浓液用量的2倍，浓度为30%的溶液用量是多少升（）

A、18

B、8

C、10

D、20

【解析】D。用十字交叉法计算，假设2%的溶液为L升，则30%的溶液为2L升，先将20%和30%的酒精混合，混合后的浓度为20%*L+30%*2L/L+2L=4/15

设50%浓度的溶液为Y升

溶液1：4/15 7/50 50-Y

36%

溶液2：50% 7/75 Y

因此7/50÷7/75=3/2=50-Y/Y，推出Y=20。故选D。

一、概率问题公式

加法原理：m1+m2+……+m n

乘法原理：m1×m2×……×m n

注意：分类用加法，分步用乘法。

二、排列组合公式

注意：有顺序用排列，无顺序有组合。