小学二年级奥数第十讲 考虑所有可能情况(一)

第十讲考虑所有可能情况（一）

有些数学题，要求把符合条件的算式或得数全部找出来；若漏掉一个，答案就不对.做这种题，特别强调有秩序的思考.

例1 从2个5分硬币、5个2分硬币、10个1分硬币中，拿出1角钱来，有多少种不同的拿法？

解：找出所有不同的搭配情况，共10种见下表.

例2 5个茶杯的价钱分别是9角、8角、6角、4角和3角，3个茶盘的价钱分别是7角、5角和2角；如果一个茶杯配一个茶盘，一共可以配成多少种不同价钱的茶具？

解：采取“笨”办法进行搭配.先把各种不同价钱的茶杯都配上一个7角钱的茶盘，得出不同价钱的茶具如下：

将这些茶杯与5角钱的茶盘搭配，又可得出一些不同价钱的茶具，但要注意去掉那些与前面相同的价钱：

再将这些茶杯与2角钱的茶盘搭配，同时去掉那些与前面相同的价钱：

最后数一数，共有10种不同价钱的茶具.这些价钱是1元6角，1元5角，1元4角，1元3角，1元1角，1元，9角，8角，6角，5角.

例3 将无法区分的7个苹果放在三个同样的盘子里，允许有的盘子空着不放.问共有多少种不同的放法？

解：用数字代表盘子里的苹果数，用由3个数字组成的数组表示不同的放置方式.如（7，0，0）表示：一个盘子里放7个苹果，而另外两个盘子里都空着不放.各种可能的放置情况如下：

（7，0，0）

（6，1，0）

（5，2，0），（5，1，1）

（4，3，0），（4，2，1）

（3，3，1），（3，2，2）

数一数，共有8种不同的放法.

例4把一个整数表示成若干个小于它的自然数之和，通常叫做整数的分拆.问整数4有多少种不同的分拆方式？

解：分拆时，使自然数按由大到小的顺序出现.可以看出，共有4种不同的分拆方式：

4=3+1

4=2+2

4=2+1+1

4=1+1+1+1.

例5 邮局门前共有5级台阶.若规定一步只能登上一级或两级，问上这个台阶共有多少种不同的上法？

解：如图10—1，同时用数组表示不同的上法.

（1，1，1，1，1）表示每步只上一级，只有1种上法.

见图10—2，①（2，1，1，1）②（1，2，1，1）

③（1，1，2，1）④（1，1，1，2）

表示有一步上两个台阶，其他几步都各上一个台阶，共有四种上法.

见图10—3，①（2，2，1），②（1，2，2），

③（2，1，2）.

表示有两步各上两个台阶，有一步上一个台阶，这种上法共有3种.因此，上台阶共有1+4+3=8种不同的上法.

习题十

1.现有5分币一枚，2分币三枚，1分币六枚，若从中取出6分钱，有多少种不同的取法？

2.从1个5分，4个2分，8个1分硬币中拿出8分钱，你能想出多少种不同的拿法？

3.把3个无法区分的苹果放到同样的两个抽屉里，有多少种不同的放法？

4.把4个苹果放到同样的2个抽屉里，有多少种不同的放法？

5.整数6有多少种不同的分拆方式？

6.用分别写着1，2，3的三张纸片，可以组成多少个不同的三位数？

7.一个盒中装有七枚硬币，两枚1分的，两枚5分的，两枚1角的，一枚5角的，每次取出两枚，记下它们的和，然后放回盒中.如此反复地取出和放回，那么记下的和至多有多少种不同的钱数？

8.一个外国小朋友手中有4张3分邮票和3张5分邮票.请你帮他算一算，他用这些邮票可以组成多少种不同的邮资？

习题十解答

1.解：有5种不同的取法.（见下表）

2.解：有7种不同的拿法.（见下表）

3.解：有2种不同的放法.第1种放法：3个苹果全放在一个抽屉里，另一个抽屉空着不放；第2种放法：2个苹果放在一个抽屉里，1个苹果放在另一个抽屉里；注意：在每种放法中，必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.

4.解：有3种不同的放法.

第1种放法：甲抽屉中放4个，乙抽屉中不放；

第2种放法：甲抽屉中放3个，乙抽屉中放1个；

第3种放法：甲、乙抽屉中各放2个苹果；

注意：这三种放法中，无论哪种放法，都必有一个抽屉里的苹果数等于或大于2.

5.解：6的不同分拆方式共有10种，它们是：

①拆成两个数之和：

6=5+1=4+2=3+3

②拆成三个数之和：

6=4+1+1=3+2+1=2+2+2

③拆成四个数之和：

6=3+1+1+1=2+2+1+1

④拆成五个数之和：

6=2+1+1+1+1

⑤拆成六个数之和：

6=1+1+1+1+1+1.

6.解：可以组成6个不同的三位数.下面是用选择填空法组数；见图10－5.

7.解：列举出两枚硬币搭配的所有情况：

硬币算式和钱数

1分、1分1+1=2（分）

1分、5分 1+5=6（分）

1分、10分 1+10=11（分）（即1角1分）

1分、50分 1+50=51（分）（即5角1分）

5分、5分 5+5=10（分）（即1角）

5分、10分 5+10=15（分）（即1角5分）

5分、50分 5+50=55（分）（即5角5分）

10分、10分 10+10=2O（分）（即2角）

10分、50分10+50=60（分）（即6角）

共有9种不同的钱数.

8.解：把所有的情况都列举出来：4张3分邮票可组成4种邮资：3分，6分，9分，12分.

3张5分邮票可组成3种邮资：

5分，10分，15分.

两种邮票搭配可组成12种邮资：

3+5=8（分） 3+10=13（分）

3+15=18（分） 6+5=11（分）

6+10=16（分） 6+15=21（分）

9+5=14（分） 9+10=19（分）

9+15=24（分） 12+5=17（分）

12+10=22（分） 12+15=27（分）

共可组成4+3+12=19种不同的邮资.