解析几何发展史

解析几何

在解析几何创立以前，几何与代数是彼此独立的两个分支。解析几何的建立第一次真正实现了几何方法与代数方法的结合，使形与数统一起来，这是数学发展史上的一次重大突破。解析几何包括平面解析几何和立体解析几何两部分。平面解析几何通过平面直角坐标系，建立点与实数对之间的一一对应关系，以及曲线与方程之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。17世纪以来，由于航海、天文、力学、经济、军事、生产的发展，以及初等几何和初等代数的迅速发展，促进了解析几何的建立，并被广泛应用于数学的各个分支。

文艺复兴的300年间，各种技术都在发展，新技术的发明比当时人类历史上曾经有过的总和还要多，其中包括一系列重大的发明，正是这些发明为数学和科学的突飞猛进扫清了障碍，激发了人们探索自然和了解关于数与形之间奥秘的热情。文艺复兴运动大大解放了人们的思想，在这场运动中，科学得到了复兴，数学有了很大的发展，数学思想进入了一个新阶段。

首先，阿拉伯人的代数学的思想方法得到了发展，整个16世纪乃至17世纪的数学都表现出这样的倾向：一是大多数国家都采用了印度—阿拉伯数码，由此使记数和算术运算得以简化，大大提高了人们的数学能力。二是系统地采用了数学符号，使文艺复兴后的数学不同与古代数学。这一大进步是现代数学思想方法的重要基础之一。三是这一时期的数学逐渐脱离了古代希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法，人们所关注的实际上属于现在所谓代数和分析这些数学门类，这就为解析几何的产生创造了条件。

随着欧洲封建社会的解体和资本主义工场手工业向机器大生产的过渡，自然科学从神学中解放出来，开始大踏步前进。十六世纪以后，由于生产和科学技术的发展，天文、力学、航海等方面都对几何学提出了新的需要。比如德国天文学家开普勒发现行星是绕着太阳沿着椭圆轨道运行的，太阳处在这个椭圆的一个焦点上，提出了行星运动三大定律；意大利科学家伽利略发现投掷物体是沿着抛物线运动的。这些发现都涉及到圆锥曲线，要研究这

些比较复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了，这就导致了解析几何的出

现。解析几何的产生主要以笛卡尔的《几何学》和费马的坐标几何为代表。

在解析几何中，首先是建立坐标系。取定两条相互垂直的、具有一定方向和度量单

位的直线，叫做平面上的一个直角坐标系oxy。利用坐标系可以把平面内的点和一对实数(x,y)建立起一一对应的关系。除了直角坐标系外，还有斜坐标系、极坐标

系、空间直角坐标系等等。在空间坐标系中还有球坐标和柱面坐标。坐标系将几何对象和数、

几何关系和函数之间建立了密切的联系，这样就可以对空间形式的研究归结成比较成熟也容易驾驭的数量关系的研究了。用这种方法研究几何学，通常就叫做解析法。这种解析法不但对于解析几何是重要的，就是对于几何学的各个分支的研究也是十分重要的。

解析几何又分作平面解析几何和空间解析几何。在平面解析几何中，除了研究直线的有关直线的性质外，主要是研究圆锥曲线、圆、椭圆、抛物线、双曲线的有关性质。在空间解析几何中，除了研究平面、直线有关性质外，主要研究柱面、锥面、旋转曲面。

椭圆、双曲线、抛物线的有些性质在生产或生活中被广泛应用。比如电影放映机

的聚光灯泡的反射面是椭圆面，灯丝在一个焦点上，影片门在另一个焦点上。探照灯、聚光灯、太阳灶、雷达天线、卫星的天线、射电望远镜等都是利用抛物线的原理制成的。

总的来说，解析几何运用坐标法可以解决两类基本问题，一类是满足给定条件点的

轨迹，通过坐标系建立它的方程；另一类是通过方程的讨论，研究方程所表示的曲线性质。

运用坐标法解决问题的步骤是首先在平面上建立坐标系，把已知点的轨迹的几何条件“翻译”成代数方程；然后运用代数工具对方程进行研究；最后把代数方程的性质用几

何语言叙述，从而得到原先几何问题的答案。

坐标法的思想促使人们运用各种代数的方法解决几何问题。先前被看作几何学中的

难题，一旦运用代数方法后就变得平淡无奇了。坐标法对近代数学的机械化证明也

提供了有力的工具。

笛卡儿和费马的坐标几何中只有横轴，没有明确指出纵轴，这种方法一直延续到18世纪。直到克拉梅的出现，第一次正式使用纵轴的人是瑞士的克拉梅，在他的著作《代数曲线的解析引论》中正式提出。牛顿的《流数法与无穷级数》包括了坐标几何的许多运用，并且创造性地运用新的坐标系，他用一个固定点和通过此点的一条直线作坐标，和极坐标很相似。

1691年，瑞士的雅各布伯努利在《教师学报》上发表了一篇基本上全是极坐标的文章，他是极坐标的发明者。1729年，德国的赫尔曼不仅正式宣布了极坐标的普遍可用，而且自由地运用极坐标去研究曲线，并建立了直角坐标系和极坐标系的互换公式。欧拉扩充

了极坐标的使用范围并且明确使用三角函数的记号。

更重要的是，要将解析几何推广到三维空间，笛卡儿和费马都曾有三维解析几何的思想，笛卡儿在《几何》第二卷中指出了三维解析几何思想。费马在1643年的一封信里简短地描述了他关于三维解析几何的思想，但是他们都没有进一步考虑和推广。直到1715年约翰伯努利首次引入空间直角坐标系。拉格朗日在一篇关于地球引力的论文中，给出了轴的旋转的对称形式的变换，就是其次线性正交变换。

由于以上科学家们的努力工作，解析几何变成了一个独立的而且充满活力的数学分

支。

解析几何的产生在数学史上具有划时代的意义。有了解析几何，几何概念可以用代数表示，几何的目标可以通过代数达到，它使几何和代数紧密地联系在一起。解析几何的产生为数学思想的发展开辟了新的天地。首先，随着解析几何自身的产生和发展“曲线”概念得到了进一步深化。其次笛卡儿和费马发明的解析几何把二维平面上的点和有序实数对x,y之间对应起来，按同样的思想，可以把三维平面上的点和有序实数组x,y,z之间建立对应关系，那么也可以利用解析几何构造四维空间。19世纪以后经典解析几何已经发展得相当完备，但解析几何依然充满活力。事实上，泛函分析和代数几何在很大程度上都是解析几何的直线延续。