全国高中数学联赛一试常用解题方法之基本不等式法

全国高中数学联赛一试常用解题方法

八、基本不等式法 方法介绍

基本不等式法是指利用基本不等式求解数学问题的方法.中学数学竞赛中常见的基本不等式有：(1)平均值不等式； (2)柯西不等式； (3)绝对值不等式；

(4)函数的单调性的应用. 例题精讲

例1设P 是椭圆19

252

2=+x y 的任意一点，21,F F 是椭圆的两个焦点，试求||||21PF PF ⋅的取值范围.

注：设n PF m PF ==||,||21，则10=+n m ，由焦半径公式得9,1≤≤n m ， 所以25)10(||||21≤-==⋅m m mn PF PF ，当5==n m 时等号成立. 例2数列}{n a 定义如下：1,51,241

1≥+==+n a a a a n

n n .求证：

对任意1>n ，均有251

<≥n a n ，51

15

51451543

3

1>⨯≥+=+n n n a a a . 另一方面，当2=n 时，210

17

2<=

a .设k n =时，有2

5815153

<⨯+<+=k k a a ；若151<

151********<⨯+<+=

+k k k a a a .所以总有21<+k a .下略.

例3已知52

3

≤≤x ，求证：1923153212<-+-++x x x .

注：利用公式15

15

2

15

222115

21a a a a a a +++≤

+++ （平方平均值），可得

左边15

931531632441815331534324418x x x x x x -⨯

+-⨯++⨯≤-⨯+-⨯++⨯= 19215

419

15

<⨯==右边. 另法1：利用公式3

32

3

2221321a a a a a a ++≤

++，可得 左边193963913

)

315()32()1(3

1<+<++=-+-++++≤x x x x x ，下略.

另法2：利用公式2

2

2

2

212

1a a a a +≤

+，可得 左边2

)

315()32(2

12)31532(12x x x x x x -+-++≤-+-++=

1921422

)26()1(42612≤+=-++≤-++=x x

x x x . 另法3：利用柯西不等式，可得

左边192)14(4)3153211)(1111(≤+=

-+-+++++++x x x x x .

例4设λ是给定的正数，若对所有非负实数y x ,均有2

2

2

)(y x c xy y x +≥++λ，求实数c

的最大值.

注：(1)若2≥λ，则2

2

2

2

2

)(2y x xy y x xy y x +=++≥++λ，当0=x 或0=y 时取等号，此时c 的最大值为1； (2)若20<<λ，则

2

22222)2

(42)2)(

2()()2()(y x y x y x xy y x xy y x ++=+--+≥--+=++λλλλ， 当y x =取等号，此时c 的最大值为

42λ

+. 例5设实数c b a ,,满足2

3322

22=++c b a ，求证：12793≥++---c b a .

注：由柯西不等式得

[]

9)3()2()1()321()32(2222

2

2

2=⋅+⋅+⋅++≤++c b a c b a ，

所以332≤++c b a ，故133332793333)32(=≥≥++-++----c b a c b a . 例6设βα,为锐角，且)sin(sin sin 2

2

βαβα+=+，求证：2

π

βα=+.

注：由βα,为锐角得0)cos(>-βα，

又=+)sin(βα)cos()cos(1sin sin 22

βαβαβα-+-=+（*）

于是0)cos()sin(1)cos(≥-+-=

+βαβαβα，故)cos()cos(0,2

||0βαβαπ

βα-<+≤≤-≤，

代入（*）式得，)(sin )(cos 1)sin(02

2βαβαβα+=+-≤+≤，

所以1)sin(≥+βα，只能是2

,1)sin(π

βαβα=+=+.

另法：若2π

βα>

+，则0c o s )2

s i n (s i n ,2>=->->

ββπ

αβπα，

同理0cos sin >>αβ，故)sin(sin cos cos sin sin sin 22βαβαβαβα+=+>+，与)

si n(si n si n 2

2βαβα+=+矛盾，所以2

π

βα=+.

例7已知不等式632sin 2cos sin 6)4cos(

)32(2+<-++-+a a θθθπθ对于]2

,0[πθ∈恒成立，求a 的取值范围.

注：设x =+θθcos sin ，则x x x 2

2

)4

cos(,12sin ],2,1[2

=

--=∈π

θθ，从而原不等式可化为0436

322,63)1(26)32(22>++---+<--+

+a x

x ax x a x x x a ，也即为 0)2(3)2(2>-+--+a x x a x x x ，故0)2)(32(>-+-a x x x ，故02

,032<-+<-a x

x x ，