浙江省杭州学军中学高一数学上学期期末试题
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题(含解析)
2023-2024学年浙江省杭州高一上册期末数学试题一、单选题1．已知集合{}23M x x =-≤≤，{}ln 1N x x =≥，则M N ⋂=（）A ．[]2,0-B ．[)2,e -C ．[]2,e -D ．[]e,3【正确答案】D【分析】由对数函数单调性解不等式，化简N ，根据交集运算求解即可.【详解】因为{}ln 1{|e}N x x x x =≥=≥，{}23M x x =-≤≤,所以[e,3]M N ⋂=，故选：D 2．已知02πα<<，02βπ<<，则“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的（）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【正确答案】A利用充分条件和必要条件的定义直接判断即可.【详解】依题意02πα<<，02βπ<<，若αβ=，则22αβ=，故sin 2sin 2αβ=，即“αβ=”可推出“sin 2sin 2αβ=”；若sin 2sin 2αβ=，结合02απ<<，02βπ<<，则有22αβ=，或者22αβπ+=，故αβ=或2παβ+=，即“sin 2sin 2αβ=”推不出“αβ=”.故“αβ=”是“sin 2sin 2αβ=”的充分不必要条件.故选：A.3．ABC 中，角,A B的对边分别为,a b ，且3A π=，a 4b =，那么满足条件的三角形的个数有（）A ．0个B ．1个C ．2个D ．无数个【正确答案】C【分析】利用余弦定理求出c 的值即可求解.【详解】因为在ABC 中，3A π=，a =，4b =，由余弦定理可得：2222cos a b c bc A =+-，所以214164c c =+-，也即2420c c -+=，解得：2c =2个，故选.C4．已知曲线12π:sin 23C y x ⎛⎫=+⎪⎝⎭，2:sin C y x =，则下面结论正确的是（）A ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移π3个单位长度，得到曲线1C B ．把2C 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C C ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移π3个单位长度，得到曲线1C D ．把2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移2π3个单位长度，得到曲线1C 【正确答案】C【分析】根据函数图像的伸缩变换与平移变换的法则，即可得解．【详解】已知曲线2:sin C y x =，把曲线2C 上各点的横坐标缩短到原来的12倍，纵坐标不变，得到曲线sin 2y x =，再把曲线sin 2y x =向左平移π3个单位长度，得到曲线π2πsin 2sin 233y x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即曲线1C .故选：C.5．用二分法判断方程32330x x +-=在区间()0,1内的根（精确度0.25）可以是（参考数据：30.750.421875=，30.6250.24414=）（）A ．0.825B ．0.635C ．0.375D ．0.25【正确答案】B【分析】设3()233f x x x =+-，由题意可得()f x 是R 上的连续函数，由此根据函数零点的判定定理求得函数()f x 的零点所在的区间．【详解】设3()233f x x x =+-，(0)30f ∴=-<，(1)23320=+-=>f ，3(0.5)20.530.530f =⨯+⨯-< ，()f x ∴在(0,0.5)内有零点，3(0.75)20.7530.7530f =⨯+⨯-> ()f x ∴在(0.5,0.75)内有零点，∴方程32330x x +-=根可以是0.635.故选：B ．6．已知函数()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，若函数()()g x f x m =-恰有两个零点，则实数m 不可．．能．是（）A ．1-B ．-10C ．1D ．-2【正确答案】C【分析】依题意画出函数图像，函数()()g x f x m =-的零点，转化为函数()y f x =与函数y m =的交点，数形结合即可求出参数m 的取值范围；【详解】因为()()()[)22,,0ln ,0,1,1,x x f x x x x x ∞∞-⎧∈-⎪=∈⎨⎪-∈+⎩，画出函数()f x的图像如下所示，函数()()g x f x m =-的有两个零点，即方程()()0g x f x m =-=有两个实数根，即()f x m =有两个实数根，即函数()y f x =与函数y m =有两个交点，由函数图像可得1m ≤-，所以m 不能为1，故选：C.7．已知sin cos sin cos m αααα+==，则m 的值为（）A ．1B ．1-C ．1D ．不存在【正确答案】B【分析】由()2sin cos 12sin cos αααα+=+，代入已知条件解方程即可.【详解】()222sin cos sin cos 2sin cos 12sin cos αααααααα+=++=+，由sin cos sin cos m αααα+==，则212m m =+，解得1m =由三角函数的值域可知，sin cos 1αα+=1m =故选：B8．已知22log 2023log 2022a =-，11cos 2023b =-，12022c =，则（）A ．b a c >>B ．c b a >>C ．b c a>>D ．a c b>>【正确答案】D【分析】比较a c 、，等价成比较()()2log ,1f x x g x x ==-，在20232022x =时的大小，结合函数的单调性，由数形结合即可判断；比较b c 、，构造单位圆A 如图所示，12023BAC Ð=，BD AC ⊥于D ，则比较b c 、转化于比较CD 、 BC的长度即可.【详解】2222033log 2023log 2022log 2022a =-=，203312022c =-，设()()2log ,1f x x g x x ==-，函数图象如图所示，()()f x g x 、均单调递增，且()()()()11,22f g f g ==，结合图象得在()1,2x ∈，()()f x g x >，即()2log 10x x -->，故220332033log 10020222022a c ⎛⎫-->⇒-> ⎪⎝⎭，故a c >；如图，单位圆A 中，BAC θ∠=，BD AC ⊥于D ，则 BC的长度l θ=，sin BD θ=，1cos CD θ=-，则由图易得，l BC BD >>，当π2θ<，则ππ24θC -=>，故tan 1BD C BD CD CD =>Þ>，故当1π20232θ=<时，有11sin 1cos 1cos 20232023BC BD CD θθθ>>Þ>>-Þ>-，∴1111cos 202220232023c b >>-Þ>.综上，a c b >>.故选：D.（1）比较对数式大小，一般可构造函数，根据函数的单调性来比较大小；（2）比较非特殊角三角函数大小，可结合单位圆转化为比较长度，则可由数形结合解答.二、多选题9．在直角坐标系xOy 中，角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边经过点(),2P x -，且tan 2α=，则（）A ．1x =-B．sin 5α=-C．cos 5α=D ．tan02α<【正确答案】ABD【分析】由已知利用任意角的三角函数的定义即可求解.【详解】则题意可得2tan 2xα-==，则1x =-，A 选项正确；sin α=-B选项正确；cos α==，C 选项错误；由()1,2P --，角α的终边在第三象限，即()3π2ππ,2πZ 2k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，则()π3ππ,πZ 224k k k α⎛⎫∈++∈ ⎪⎝⎭，即角2α的终边在二、四象限，所以tan02α<，D 选项正确.故选：ABD.10．下列说法正确的是（）A ．若()2x k k ππ≠+∈Z ，则1cos 2cos x x+≥B ．若x y ≠，则22x y xy +>恒成立C ．若正数a ，b 满足8a b ab +=-，则ab 有最小值D ．若实数x ，y 满足2sin 1x y +=，则sin x y -没有最大值【正确答案】BC【分析】对A 举反例πx=即可判断，对B 利用配方法即可判断，对C 利用基本不等式得8a b ab +=-≥ab 范围即可，对D ，利用正弦函数的有界性求出x 的范围，再结合二次函数的最值即可判断.【详解】对A ，若πx =，则cos 1x =-，则1cos 22cos x x+=-<，故A 错误；对B ，22223024y x y xy x y ⎛⎫+-=-+≥ ⎪⎝⎭，取等号的条件为2202304y x y ⎧⎛⎫-=⎪ ⎪⎪⎝⎭⎨⎪=⎪⎩，解得00x y =⎧⎨=⎩，但x y ≠，故220x y xy +->恒成立，即22x y xy +>恒成立，故B 正确；对C ，若,0a b >，则8a b ab +=-≥4≥2≤-（舍去）所以16ab ≥，当且仅当4a b ==时等号成立，则()min 16ab =，故C 正确；对D ，2sin 1x y += ，则21sin 1y x =-≤，又1sin 1y -≤≤ ，2111x ∴-≤-≤，解得x ≤，()22215sin 1124x y x xx x x ⎛⎫-=--=+-=+- ⎪⎝⎭，当x =时，()2max 15sin 124x y ⎫-=+-+⎪⎭，故D 错误.故选：BC.11．设函数3()f x x bx c =-+，[,]x a a ∈-，c ∈Z ，若()f x 的最大值为M ，最小值为m ，那么M 和m 的值可能分别为（）A ．3与1B ．4与3-C ．8与2D ．6与1【正确答案】AC【分析】()f x 可以表示为一个奇函数和常数之和，利用奇函数在对称区间上的最大值加最小值为0进行分析即可.【详解】记3()h x x bx =-，[,]x a a ∈-，定义域关于原点对称，由33()()()()h x x bx x bx h x -=-+=--=-，于是()h x 为奇函数，设()h x 在[,]x a a ∈-上的最大值和最小值分别为,p q ，根据奇函数性质，0p q +=，而()()f x h x c =+，故,M p c m q c =+=+，于是2M m c +=，注意到c ∈Z ，经检验，AC 选项符合故选：AC12．已知函数()()()sin 0f x x ωϕω=+>，且()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，则下列结论正确的有（）A ．()f x 的最小正周期是π3B ．若2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭C ．若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则满足条件的ω有且仅有1个D ．若π6ϕ=-，则ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦【正确答案】BCD【分析】利用单调区间长度不超过周期的一半，求出周期范围，判断A ，根据中心对称即可求值，知B 正确，由周期的范围求出ω的范围，利用函数平移求出周期，判断C ，结合已知单调区间得出ω范围后判断D.【详解】对于A ，因为函数()f x 在区间2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减，所以5π2ππ2636T ≥-=，所以()f x 的最小正周期π3T ≥，即()f x 的最小正周期的最小值为π3，故A 错误；对于B ，因为2π5π036f f ⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()f x 的图像关于点3π,04⎛⎫⎪⎝⎭对称，所以3π04f ⎛⎫= ⎪⎝⎭，故B 正确；对于C ，若()π3f x f x ⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭恒成立，则π3为函数()f x 的周期或周期的倍数，所以2ππ3k ω⨯=，所以6k ω=，因为π3T ≥，所以2π6Tω=≤，又0ω>，所以06ω<≤，所以6ω=，即满足条件的ω有且仅有1个，故C 正确；对于D ，由题意可知2π5π,36⎛⎫⎪⎝⎭为()πsin 6f x x ω⎛⎫=- ⎪⎝⎭单调递增区间的子集，所以2πππ2π3625ππ3π2π662k k ωω⎧-≥+⎪⎪⎨⎪-≤+⎪⎩，其中Z k ∈，解得123125k k ω+≤≤+，k ∈Z ，当0k =时，12ω≤≤，当0k =时，2245ω≤≤，故ω的取值范围是22[1,2]4,5⎡⎤⎢⎥⎣⎦，故D 正确.故选：BCD三、填空题13．设函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()()2f f -=______.【正确答案】12【分析】根据分段函数解析式，利用指数式和对数式的运算规则代入求值即可.【详解】函数()()2log 12,22,2x x x f x x ⎧-+<=⎨≥⎩，则()222lo 3g f -=+，2322log +>，()()()223log 2o 22l 3g 2log 222341232f f f +-===⨯==+⨯.故12.14．一艘轮船按照北偏东40°方向，以18海里/小时的速度直线航行，一座灯塔原来在轮船的南偏东20°方向上，经过20分钟的航行，轮船与灯塔的距离为原来的距离为_______海里.【正确答案】4【分析】先结合条件找出已知角及线段长，然后结合余弦定理即可直接求解．【详解】设轮船的初始位置为A ，20分钟后轮船位置为B ，灯塔位置为C，如图所示由题意得，120BAC ∠= ，11863AB =⨯=，BC =由余弦定理得222cos1202AB AC BC AB AC︒+-=⋅，即213676212AC AC +--=，解得4AC =．则灯塔与轮船原来的距离为4海里故4．15．已知函数()log ,021,2a x x f x x x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩.若函数()f x 存在最大值，则实数a 的取值范围是______.【正确答案】(]1,4【分析】分段求出函数在不同区间内的范围，然后结合()f x 存在最大值即可求解【详解】当01a <<时，函数不存在最大值，故1a >，当02x <≤时，()log a f x x =在区间(]0,2上单调递增，所以此时()(],log 2a f x ∞∈-；当2x >时，()1f x x =在区间()2,+∞上单调递减，所以此时()10,2f x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若函数()f x 存在最大值，则1log 22a ≥，解得4a ≤，又1a >，所以a 的取值范围为(]1,4故(]1,416．已知π,0,2x y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，且tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则222(1)x y --的最大值为________.【正确答案】2π2π22-+【分析】由tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，通过研究函数tan sin y x x =+单调性可得02πx y <+≤，后设x y m +=，则222(1)x y --()22422y m y m =-+-+-，其中02π,y ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，π02m <≤.【详解】因tan tan tan sin sin 1x y x y x +-≤，则1122sin ππtan sin cos tan sin tan tan x y y x x x x x ⎛⎫⎛⎫++≤=+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因函数tan ,sin y x y x ==均在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，则函数tan sin y x x =+在π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增，故有.02πx y <+≤设x y m +=，其中π02m <≤，则()()22222(1)21x y m y y --=---()()()()2222242222121y m y m y m m m ⎡⎤=-+-+-=---+-≤-⎣⎦，当且仅当2y m =-时取等号，则此时022πm <-<，得222ππm -<≤又函数()()221f m m =-在212π,m ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦时单调递减，在12π,m ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时单调递增，222ππf f ⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则()()22212222πππf m m f ⎛⎫=-≤=-+ ⎪⎝⎭，此时222π，π-y x =-=.故2π2π22-+关键点点睛：本题涉及构造函数，含参二次函数的最值，难度较大.对于所给不等式，分离含x ，y 式子后，通过构造函数得到02πx y <+≤.后将问题化为求含参二次函数的最值问题.四、解答题17．在ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+.(1)求角A 的大小；(2)若a =ABCABC 的周长.【正确答案】(1)π3(2)+【分析】（1）由()(sin sin )sin 3sin b c B C a A b C ++=+，根据正弦定理化简得22()3b c a bc +=+，利用余弦定理求得1cos 2A =，即可求解；（2）由ABC 4bc =，结合余弦定理，求得b c +=.【详解】（1）由题意及正弦定理知22()3b c a bc +=+，222a b c bc ∴=+-，2221cos 22b c a A bc +-∴==，0πA << ，π3A ∴=.（2）a = ，226b c bc ∴+-=①又1=sin 2S bc A = ，4bc ∴=②由①，②可得b c +=所以ABC 的周长为+.18．已知π02α<<，π02β-<<，tan 7α=，sin 5β=-.(1)求()cos αβ-的值；(2)求tan(2)αβ-的值，并确定2αβ-的大小.【正确答案】(1)10(2)1-，3π4【分析】（1）由tan α解得sin ,cos αα，由sin β求出cos β，利用两角差的余弦公式求解()cos αβ-的值；（2）由sin β，cos β求出tan β，再求tan 2β，利用两角差的正切公式计算tan(2)αβ-的值，并得到2αβ-的大小.【详解】（1）π02α<< ，由22sin tan 7cos sin cos 1ααααα⎧==⎪⎨⎪+=⎩，sin 10α∴=，cos 10α=，又π02β-<<，sin 5β=，cos β∴，cos()cos cos sin sin αβαβαβ∴-=+（2）由（1）可知，1tan 2β=-，22tan 4tan 231tan βββ∴==--，tan tan 2tan(2)11tan tan 2αβαβαβ-∴-==-+，3π022αβ<-< ，3π24αβ∴-=.19．已知函数2()2sin cos 26f x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭.(1)求函数()f x 的最小正周期和单调递增区间；(2)当02x π≤≤时，求()f x 的值域.【正确答案】(1)π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z (2)30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】（1）由三角恒等变换化简解析式，由余弦函数的性质求解；（2）由余弦函数的性质得出()f x 的值域.【详解】（1）()11cos 2cos 21cos 2sin 2cos 2cos 213223f x x x x x x x ππ⎛⎫⎛⎫=--+=--+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ，T π∴=，由2223k x k ππππ-≤+≤可得236k x k ππππ-≤≤-，k ∈Z ，即()f x 的最小正周期为π，单调递增区间为()2,36k k k ππππ⎡⎤--∈⎢⎥⎣⎦Z .（2）02x π≤≤ ，42333x πππ∴≤+≤，1cos(2)1,32x π⎡⎤+∈-⎢⎣⎦故()f x 的值域为30,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦.20．为了迎接亚运会，滨江区决定改造一个公园，准备在道路AB 的一侧建一个四边形花圃种薰衣草（如图）.已知道路AB 长为4km ，四边形的另外两个顶点C ，D 设计在以AB 为直径的半圆O 上.记02COB παα⎛⎫∠=<< ⎪⎝⎭.(1)为了观赏效果，需要保证3COD π∠=，若薰衣草的种植面积不能少于(3+km 2，则α应设计在什么范围内?(2)若BC =AD ，求当α为何值时，四边形ABCD 的周长最大，并求出此最大值.【正确答案】(1)62ππα≤<(2)3πα=，10km【分析】（1）由ABCD OBC OCD OAD S S S S =++ ，利用三角形面积公式得到πsin 62α⎛⎫+≥ ⎪⎝⎭求解；（2）由BC =AD 得到,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，进而得到AB BC CD DA +++=28sin 8sin 822αα-++，利用二次函数的性质求解.【详解】（1）解：11π1222sin 22sin 22sin π22323ABCD OBC OCD OAD S S S S αα⎛⎫=++=⋅⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅- ⎪⎝⎭，π2sin sin 26αααα⎛⎫=++=+ ⎪⎝⎭，由题意，π36α⎛⎫+≥+ ⎪⎝⎭，sin()6πα+因为02πα<<，所以ππ2π363α≤+<，解得ππ62α≤<；（2）由BC =AD 可知，,π2AOD COB COD αα∠=∠=∠=-，故π2422sin 22sin 22sin 48sin 4cos 2222AB BC CD DA ααααα-+++=+⋅+⋅+⋅=++，222148sin 412sin 8sin 8sin 88sin 10222222ααααα⎛⎫⎛⎫=++-=-++=--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，从而四边形ABCD 周长最大值是10km ，当且仅当1sin22α=，即π3α=时取到.21．已知函数11()1x x f x axa -=-++，其中a 为常数，且1a >.(1)若()f x 是奇函数，求a 的值；(2)证明：()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点；(3)设()f x 在(0,)+∞上的零点为0x ，证明.011log 2a x a ⎛⎫->- ⎪⎝⎭【正确答案】(1)2a =(2)证明见解析(3)证明见解析【分析】（1）()f x 是奇函数，由()()f x f x -=-恒成立，求a 的值；（2）()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，结合由零点存在定理可证；（3）把零点代入函数解析式，有00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由零点所在区间得011(1)221x a a a +>+=-，化简变形可得结论.【详解】（1）由题意，0x ∀≠，()()f x f x -=-恒成立，即1111()11x x x x ax axa a -----+=--+-++，化简得21a=，解得2a =.（2）由题意，111()1x f x ax a a =--++，∵1a >，∴11x a -+和1ax-在(0,)+∞上都是连续增函数，∴()f x 在(0,)+∞上是连续增函数，又1(1)01f a =-<+，22211(1)(2)0212(1)a f a a a a -=-+=++，所以，由零点存在定理可知()f x 在(0,)+∞上有唯一的零点.（3）由0()0f x =可知0001101x x ax a --+=+，即00001+1=(1)11x ax a a x x =+--，由（2）可知012x <<，∴011(1)221x a a a +>+=-，021x a a ∴>-，即0log (21)a x a >-，所以011log (2)a x a->-.思路点睛：第3问的证明，可以从结论出发，经过变形，对数式换指数式，寻找与已知条件的关联.22．已知函数()f x 满足：对x ∀∈R ，都有1(3)()2f x f x +=-，且当[0,3]x ∈时，2()f x x x m =--+.函数3()log (54)x x g x =-.(1)求实数m 的值；(2)已知22()3h x x x λλ=-+-+，其中[0,1]x ∈.是否存在实数λ，使得()()()()g h x f h x >恒成立?若存在，求出实数λ的取值范围；若不存在，请说明理由.【正确答案】(1)8(2)存在，01λ<<【分析】（1）根据题意代入0x =，运算求解即可；（2）先根据对数函数的定义求得1λ-<<，进而可得当1λ-<<时，则可得0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，结合恒成立问题结合函数单调性分析可得()0h x >恒成立，列式运算求解.【详解】（1）由题意可得：1(3)(0)2f f =-，则21332m m --+=-，解得m =8.（2）令540x x ->，可得5(14x >，即0x >，∴()g x 定义域为(0,)+∞，∵5544()14x x x x ⎡⎤-=-⎢⎥⎣⎦，则对()12,0,x x ∀∈+∞，且12x x <，可得112255()1()14044,04x x x x <<<-<-，故11225504(14()144x x x x ⎡⎤⎡⎤<-<-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，即112205454x x x x <-<-，且3log y x =在(0,)+∞是增函数，则()()112233log 54log 54x x x x -<-，即12()()<g x g x ，∴3()log (54)x x g x =-在(0,)+∞是增函数，若要使(())(())g h x f h x >恒成立，则首先要满足()0h x >恒成立，则22(0)30(1)130h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得1λ-<，则22233()(333244h x x λλλ=---+≤-+≤，故当1λ-<<时，则0()3h x <≤对任意[]0,1x ∈时恒成立，令()t h x =(03)t <≤，则()()g t f t >恒成立，即()()0g t f t ->恒成立，而()g t 在(0,3]上是增函数，()f t 在(0,3]上是减函数，∴()()g t f t -在(0,3]上是增函数，又32()log (54()8)t t f t t g t t =+-+--，(2)(2)0g f -=，故只需2t >恒成立，则22(0)32(1)132h h λλλ⎧=-+>⎨=-+-+>⎩，解得01λ<<，综上所述：存在01λ<<满足条件.方法点睛：函数的性质主要是函数的奇偶性、单调性和周期性以及函数图象的对称性，在解题中根据问题的条件通过变换函数的解析式或者已知的函数关系，推证函数的性质，根据函数的性质解决问题．。
【优质文档】人教A版2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一第一学期(上)期末数学试卷含解析
则 a， b，c 的大小关系 c＞ a＞ b， 故选： D．
6．已知 sin α +cosα＝ ，α∈（ 0，π），则
＝（
）
A．
B．﹣
C．
D．﹣
【分析】把已知等式两边平方，求得 sin αcos α，进一步得到 sin α﹣ cos α的值，联立 求得 sin α， cos α，得到 tan α，代入得答案．
若
，则 ? ＝ 1× x+2×（﹣ 3）＝ 0，x＝ 6．
故答案为：﹣ ， 6．
12．函数 f （ x）＝
的定义域为 [2 ， +∞） ．
【分析】解关于对数函数的不等式，求出 解：由题意得： log 2x≥ 1， 解得： x≥ 2， ∴函数 f （ x）的定义域是 [2 ， +∞）． 故答案为： [2 ， +∞）．
当 x≥ 1 时，可知函数 y 是递增函数，可得 y≥ 1+
当 x≤ 1 时，可得 y﹣ x＝
≥ 0，
两边平方， ∵ y﹣ x≥0，
即 y＞1；
∴（ y﹣x） 2＝
，
可得： x2﹣2xy+y2＝ x2﹣ 2x+3，（ y≠ 1）
∴x＝
≤1．得 y∈ R．
由 y﹣ x＝y﹣
＝
≥ 0，
∵ y＞ 1． ∴ y2﹣ 2y+3≥ 0 可得： y∈ R 综上可得 y＞ 1．
）
A．
B．﹣
C．﹣
D．
【分析】 利用任意角的三角函数的定义求得 cos α的值，再利用诱导公式， 求得 sin（ + α）的值． 解：∵角α的终边与单位圆交于点 P（﹣ ， ），∴ x＝﹣ ，y＝ ，r ＝ | OP| ＝ 1，∴
2023-2024学年浙江省杭州市高一(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．1146．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tan θ+2sin θcos θ的值为（ ） A ．−3310B ．−185C ．−95D ．1257．已知a ＞1，b ＞0，且a +1b =2，则4a−1+b 的最小值为（ ） A ．4B ．6C ．8D ．98．已知函数f(x)=√x +2+1ax+1(a ∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x 都有f （x ）＞0，则a 的最大值为（ ） A ．0B ．12C ．1D ．2二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =011．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 ．（写出一个即可）15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 ．16．已知下列五个函数：y ＝x ，y =1x，y ＝x 2，y ＝lnx ，y ＝e x ，从中选出两个函数分别记为f （x ）和g （x ），若F （x ）＝f （x ）+g （x ）的图象如图所示，则F （x ）＝ ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A ={x|y =√−2x 2+x +1}，集合B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． （1）当a ＝1时，求∁R （A ∪B ）； （2）若A ∩B ＝A ，求实数a 的值．18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值；（2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数．（Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)．（Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x −5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式． （2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ．（1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2mb]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．2023-2024学年浙江省杭州市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝（ ） A ．{2}B ．{2，3}C ．{﹣1，1，2，3}D ．∅解：集合A ＝{x ∈Z |x （x ﹣3）＜0}＝{x ∈Z |0＜x ＜3}＝{1，2}，B ＝{﹣1，2，3}，则A ∩B ＝{2}． 故选：A ．2．若a ，b ∈R ，则“ab ＞2”是“a ＞√2且b ＞√2”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解：当ab ＞2时，可能a 、b 都小于−√2，不能推出“a ＞√2且b ＞√2”，充分性不成立； 当a ＞√2且b ＞√2时，必定可以得到ab ＞2，充要性成立． 故选：B ． 3．函数f(x)=lnx +1x−1的定义域为（ ） A ．（0，+∞）B ．（1，+∞）C ．（0，1）∪（1，+∞）D ．（﹣∞，1）∪（1，+∞）解：由函数f(x)=lnx +1x−1，可得x ＞0，且x ≠1， 故函数的定义域为{x |x ＞0，且x ≠1}，即（0，1）∪（1，+∞）． 故选：C ．4．要得到函数y ＝2sin2x 的图象，只要将函数y ＝2sin （2x +1）的图象（ ） A ．向左平移1个单位 B ．向右平移1个单位C ．向左平移12个单位D ．向右平移12个单位解：将函数y ＝2sin （2x +1）的图象向右平移12个单位，可得y ＝2sin2x 的图象，故选：D ．5．若函数f(x)={2x −3，x ＞0g(x)，x ＜0是奇函数，则g （﹣2）＝（ ）A ．1B ．﹣1C ．−114D ．114解：当x ＜0时，f （﹣x ）＞0，则f（﹣x）＝2﹣x﹣3，则﹣f（x）＝2﹣x﹣3，故f（x）＝3﹣2﹣x，所以g（x）＝f（x）＝3﹣2﹣x，故g（﹣2）＝3﹣22＝﹣1．故选：B．6．若sinθ+cosθ=√105(0＜θ＜π)，则tanθ+2sinθcosθ的值为（）A．−3310B．−185C．−95D．125解：由sinθ+cosθ=√105（0＜θ＜π），可得θ为钝角，且|sinθ|＞cosθ，故tanθ＜﹣1，把条件平方可得sinθcosθ=−3 10，∴sinθcosθsin2θ+cos2θ=−310，tanθtan2θ+1=−310，即得tanθ＝﹣3，所有tanθ+2sinθcosθ＝﹣3−35=−185．故选：B．7．已知a＞1，b＞0，且a+1b =2，则4a−1+b的最小值为（）A．4B．6C．8D．9解：由a+1b=2，得(a−1)+1b=1，其中a﹣1＞0，b＞0．所以4a−1+b=[(a−1)+1b](4a−1+b)=5+4b(a−1)+b(a−1)≥5+2√4=9，当且仅当b（a﹣1）＝2，即a=53，b=3时，等号成立．综上所述，4a−1+b的最小值为9．故选：D．8．已知函数f(x)=√x+2+1ax+1(a∈R)，若对于定义域内任意一个自变量x都有f（x）＞0，则a的最大值为（）A．0B．12C．1D．2解：若a＝0，则f（x）=√x+2+1＞0恒成立，符合题意；若a＞0，①当1a=−2，即a=12时，f（x）=√2+x+2x+2，定义域为{x|x＞﹣2}，此时f（x）＞0显然成立，符合题意；②当−1a ＜−2，即0＜a ＜12时，定义域为[﹣2，+∞），则ax +1≥﹣2a +1＞0，此时f （x ）＞0恒成立，符合题意； ③当−1a ＞−2，即a ＞12时，定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，则取x ＝﹣t −1a ，则f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at，令0＜t ≤2−1a ，当t →0时，−1at →﹣∞，f （﹣t −1a ）=√−1a −t +2−1at 可以取得负值，不符合题意；若a ＜0，则函数定义域为{x |x ≥﹣2且x ≠−1a }，令x =−1a +t ，则f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at，当t ＞0且t →0时，1at→﹣∞，f （−1a +t ）=√−1a +t +2+1at 可以取得负值，不符合题意，综上，0＜a ≤12，即a 的最大值为12．故选：B ．二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的或不选的得0分. 9．下列各式的值为12的是（ ）A ．sin （﹣930°）B ．2sinπ12sin 5π12C ．cos33°cos27°+sin33°sin27°D ．tan22.5°1−tan 222.5°解：对于A ：sin(−930°)=−sin(720°+210°)=sin30°=12，故A 正确；对于B ：2sinπ12sin 5π12=2sin π12sin(π2−π12)=2sin π12cos π12=sin π6=12，故B 正确； 对于C ：cos33°cos27°+sin33°sin27°＝cos （33°﹣27°）＝cos6°，故C 错误； 对于D ：tan22.5°1−tan 222.5°=12×2tan22.5°1−tan 222.5°=12tan45°=12，故D 正确． 故选：ABD ．10．下列函数的值域为R 且在定义域上单调递增的函数是（ ） A ．f （x ）＝（x ﹣1）3 B ．f （x ）＝2023xC ．f （x ）＝log 2023xD ．f(x)={−1x ，x ≠00，x =0解：根据幂函数的性质及函数图象的平移可知，f （x ）＝（x ﹣1）3在R 上单调递增且f （x ）的值域为R ，A 符合题意；根据指数函数的性质可知，f （x ）＝2023x 的值域为（0，+∞），不符合题意；根据对数函数的性质可知，f （x ）＝log 2023x 在（0，+∞）上单调递增且值域为R ，符合题意； f （x ）={−1x ，x ≠00，x =0在R 上不单调，不符合题意．故选：AC ．11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，也叫取整函数，则下列叙述正确的是（ ） A ．[cos π4]=0B ．函数y ＝cos x ﹣[cos x ]有3个零点C ．y ＝[cos x ]的最小正周期为2πD ．y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}解：根据题意，依次分析选项：对于A ，[cos π4]＝[√22]＝0，A 正确；对于B ，当x ＝k π+π2，k ∈Z 时，cos x ＝0时，有cos x ﹣[cos x ]＝0，即x ＝k π+π2，k ∈Z 是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点，同理：x ＝k π，k ∈Z 也是函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点， 故函数y ＝cos x ﹣[cos x ]的零点有无数个，B 错误；对于C ，在区间[0，2π）上，y ＝[cos x ]={ 1，x =00，0＜x ≤π2−1，π2＜x ＜3π20，32≤x ＜2π，易得y ＝[cos x ]的最小正周期为2π，C 正确； 对于D ，由C 的结论，y ＝[cos x ]的值域为{﹣1，0，1}，D 正确． 故选：ACD ．12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，则下列判断中正确的是（ ）A ．ω的最大值为2B ．若φ=−π6，则ω∈（0，1]C ．若f(5π12)＞0，则f(π6)+f(2π3)＜0 D ．若函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，则ω＝2 解：由于函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）在区间(π6，2π3)上单调递增，故有T 2=πω≥2π3−π6=π2，求得ω≤2，可得ω的最大值为2，故A 正确；若φ=−π6，由于ωx +φ∈（ωπ6−π6，2ωπ3−π6），则2ωπ3+φ=2ωπ3−π6≤π2，求得ω≤1，故ω∈（0，1]，故B 正确； 由于π6+2π32=5π12∈(π6，2π3)，故当f(5π12)＞0时，f(π6)+f(2π3)＞0，C 错误；令y =f(x)−√32=0，得f （x ）=√32，设y ＝f （x ）与y =√32距离最近的两交点的横坐标分别为x 1，x 2，依题意，得[|ωx 1+φ﹣（ωx 2+φ）|]min =2π3−π3=π3，即ω|x 1﹣x 2|min =π3， 因为函数y =f(x)−√32两个零点间的最小距离为π6，即|x 1﹣x 2|min =π6， 所以ω＝2，D 正确． 故选：ABD ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．log 135−log 1345+432的值为10 ．解：原式＝lo g 1319+23＝2+8＝10．故答案为：10．14．已知函数f （x ）的定义域为R ，且满足f （x ）+f （﹣x ）＝0，f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0，则f （x ）可以是 f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一） ．（写出一个即可） 解：因为函数f （x ）的定义域为R ，且f （x ）+f （﹣x ）＝0，即f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x ）是R 上的奇函数， 又因为f （x +1）﹣f （﹣x ）＝0， 所以f （x +1）＝f （﹣x ）＝﹣f （x ）， 所以f （x +2）＝﹣f （x +1）＝f （x ）， 所以f （x ）的周期为2，所以f （x ）的解析式可以是f （x ）＝sin （πx ）． 故答案为：f （x ）＝sin （πx ）（答案不唯一）．15．已知sin(α+π4)=35，0＜α＜π，则cos(2α+π4)的值为 −17√250．解：由于0＜α＜π，故α+π4∈(π4，5π4)，由于sin π4=√22＞sin(α+π4)=35，故α+π4∈(3π4，π)，所以α的终边不可能在第一象限内，只能在第二象限内，故cos(α+π4)=−45，所以sinα＝sin[（α+π4）−π4]=sin(α+π4)cosπ4−cos(α+π4)sinπ4=35×√22+45×√22=7√210，由于α的终边在第二象限内，故cosα=−√1−sin2α=−√210，所以cos(2α+π4)=cos[α+(α+π4)]=cosαcos(α+π4)−sinαsin(α+π4)=√210×45−35×7√210=−17√250．故答案为：−17√2 50．16．已知下列五个函数：y＝x，y=1x，y＝x2，y＝lnx，y＝e x，从中选出两个函数分别记为f（x）和g（x），若F（x）＝f（x）+g（x）的图象如图所示，则F（x）＝x2+1x．解：根据题意，由函数F（x）的定义域为{x|x≠0}，则f（x）、g（x）中一定没有y＝lnx，一定有函数y=1 x ，设f（x）=1 x ，当g（x）＝x时，F（x）＝x+1x，F（x）为奇函数，不符合题意，当g（x）＝e x时，F（x）＝e x+1x，当x→﹣∞时，F（x）＜0，不符合题意；当g（x）＝x2时，F（x）＝x2+1x，当x＜﹣1时，F（x）=x3+1x＜0，当x＜﹣1时，F（x）＞0，当﹣1＜x＜0时，F（x）＜0，当x＞0时，F（x）＞0，符合题意；故F（x）＝x2+1 x ．故答案为：x2+1 x ．四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17．（10分）已知集合A={x|y=√−2x2+x+1}，集合B＝{x|（x+a﹣1）（x﹣2a）≥0，a∈R}．（1）当a＝1时，求∁R（A∪B）；（2）若A∩B＝A，求实数a的值．解：（1）由﹣2x2+x+1≥0，可得−12≤x≤1，故A＝{x|−12≤x≤1}，当a＝1时，B＝{x|x≥2或x≤0}，故A ∪B ＝{x |x ≥2或x ≤1}，所以∁R （A ∪B ）＝{x |1＜x ＜2}；（2）若A ∩B ＝A ，则A ⊆B ，因为A ＝{x |−12≤x ≤1}，B ＝{x |（x +a ﹣1）（x ﹣2a ）≥0，a ∈R }． 当2a ＝1﹣a ，即a =13时，B ＝R ，符合题意， 当2a ＞1﹣a ，即a ＞13时，B ＝{x |x ≥2a 或x ≤1﹣a }， 则{a ＞132a ≤−12或{a ＞131−a ≥1，此时a 不存在； 当2a ＜1﹣a ，即a ＜13时，B ＝{x |x ≥1﹣a 或x ≤2a }， 则{a ＜131−a ≤−12或2a ≥1，此时a 不存在，所以a =13． 18．（12分）如图所示，在平面直角坐标系xOy 中，角α和角β(0＜α＜π2＜β＜2π3)的顶点与坐标原点重合，始边与x 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于点A 、B 两点，点A 的横坐标为35，点C 与点B 关于x 轴对称．（1）求cos(2α−π2)sin 2α+cos2α的值； （2）若cos ∠AOC =−6365，求cos β的值．解：（1）∵A 的横坐标为35，又|OA |＝1，且A 在第一象限， ∴A 的纵坐标为45， ∴cos α=35，sin α=45，∴tan α=sinαcosα=43， ∴cos(2α−π2)sin 2α+cos2α=sin2αsin 2α+cos 2α−sin 2α =2sinαcosαcos 2α=2tan α=83；（2）∵cos ∠AOC =−6365， ∴由图可知sin ∠AOC =√1−cos 2∠AOC =√1−(6365)2=1665， 根据题意可得OC 为α﹣∠AOC 的终边，又点C 与点B 关于x 轴对称，OB 为β的终边，∴cos β＝cos （α﹣∠AOC ）＝cos αcos ∠AOC +sin αsin ∠AOC =35×(−6365)+45×1665=−513． 19．（12分）已知函数f(x)=a x −1a x +a−1(a ∈R ，且a ≠1)是定义在R 上的奇函数． （Ⅰ）求a 的值；（Ⅱ）若关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，求实数k 的取值范围． 解：（Ⅰ）因为y ＝f （x ）是定义在R 上的奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1），即a −1−1a −1+a−1=−a−12a−1， 即1a −11a +a−1=−a−12a−1，1−a a 2−a+1=−a−12a−1， 所以a 2﹣a +1＝2a ﹣1，解得a ＝1（舍）或a ＝2，所以a ＝2．当a ＝2时，f （x ）=2x−12x +1，定义域为R ， f （﹣x ）=2−x −12−x +1=12x −112x +1=1−2x 1+2x =−2x −12x +1=−f （x ）， 所以函数y ＝f （x ）是R 上的奇函数，故a ＝2；（Ⅱ）因为f （x ）=2x−12x +1=1−22x +1， 设x 1＜x 2，则f （x 1）﹣f （x 2）=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x2)(2x 1+1)(2x 2+1)＜0， 所以f （x 1）＜f （x 2），所以y ＝f （x ）在R 上单调递增，又因为关于t 方程f （t 2﹣2t ）+f （4﹣kt ）＝0在[1，3]有且仅有一个根，即关于t 方程f （t 2﹣2t ）＝﹣f （4﹣kt ）＝f （kt ﹣4）在[1，3]有且仅有一个根，t 2﹣2t ＝kt ﹣4在[1，3]有且仅有一个根，易得t ＝0不满足；当t ≠0时，k ＝t +4t−2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 令h （t ）＝t +4t−2，t ∈[1，3]， 由对勾函数的性质可知y ＝h （t ）在[1，2]上单调递减，在[2，3]上单调递增，所以h （t ）min ＝h （2）＝2，又h （1）＝3，h （3）=73， 如图所示：由此可得当k ＝2或73＜k ≤3时，满足k ＝t +4t −2在t ∈[1，3]有且仅有一个根， 所以实数k 的取值范围为（73，3]∪{2}． 20．（12分）设函数f(x)=2sin(x −π3)，g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)． （Ⅰ）求函数f （x ）的对称中心；（Ⅱ）若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，求实数m 的最小值．解：（Ⅰ）令x −π3=k π，k ∈Z ，则x =π3+kπ，k ∈Z ， 故函数的对称中心为（k π+π3，0），k ∈Z ； （Ⅱ）g(x)=f(x −π6)⋅f(x +π6)=4sin （x −π2）sin （x −π6）＝﹣4cos x （√32sin x −12cos x ） ＝﹣2√3sin x cos x +2cos 2x=−√3sin2x +cos2x +1＝2cos （2x +π3）+1， 若函数g （x ）在区间[0，m ]上有最小值﹣1，即cos （2x +π3）在[0，m ]上取得最小值﹣1，令2x +π3=π，可得x =π3， 故m 的最小值为π3． 21．（12分）为了进一步增强市场竞争力，某公司计划在2024年利用新技术生产某款运动手表．经过市场调研，生产此款运动手表全年需投入固定成本100万，每生产x （单位：千只）手表，需另投入可变成本R （x ）万元，且R(x)={2x 2+80x +200，0＜x ＜50201x +6400x−5200，x ≥50．由市场调研知，每部手机售价0.2万元，且全年生产的手机当年能全部销售完．（利润＝销售额﹣固定成本﹣可变成本）（1）求2024年的利润W （x ）（单位：万元）关于年产量x （单位：千只）的函数关系式．（2）2024年的年产量为多少（单位：千只）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？解：（1）W （x ）＝0.2×1000×x ﹣R （x ）﹣100＝200x ﹣R （x ）﹣100，当0＜x ＜50时，W （x ）＝200x ﹣（2x 2+80x +200）﹣100＝﹣2x 2+120x ﹣300，当x ≥50时，W(x)=200x −(201x +6400x −5200)−100=−(x +6400x)+5100， 故W （x ）={−2x 2+120x −300(0＜x ＜50)−(x +6400x)+5100(x ≥50)； （2）若0＜x ＜50，W （x ）＝﹣2x 2+120x ﹣300＝﹣2（x ﹣30）2+1500，当x ＝30时，W （x ）max ＝1500，若x ≥50，W(x)=−(x +6400x)+5100≤−2√6400+5100=4940，当且仅当x ＝80时，等号成立， 所以当x ＝80时，W （x ）max ＝4940，故2024年的年产量为80千部时，企业所获利润最大，最大利润是4940万元．22．（12分）已知函数f(x)=|x −3x+2|+m ． （1）若函数y ＝f （x ）有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4），求证：x 1x 2x 3x 4＝9；（2）是否存在非零实数m ，使得函数f （x ）在区间[a ，b ]（0＜a ＜b ）上的取值范围为[2m a ，2m b]？若存在，求出m 的取值范围；若不存在，请说明理由．证明：（1）因为函数f(x)=|x −3x+2|+m 有4个零点x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 所以方程f(x)=|x −3x+2|+m =0有4个不同的解x 1，x 2，x 3，x 4（x 1＜x 2＜x 3＜x 4）， 于是方程x −3x +2+m =0，−(x −3x+2)+m =0都各有两个不同的解， 即方程x 2+（2+m ）x ﹣3＝0，x 2+（2﹣m ）x ﹣3＝0各有两个实数根，于是x 1x 2x 3x 4＝9；解：（2）f(x)=|x −3x +2|+m ={x −3x +2+m ，x ≥1−x +3x−2+m ，0＜x ＜1， 所以y ＝f （x ）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增； ①若函数f （x ）在[a ，b ]上不单调，则有0＜a ≤1＜b ，且f(1)=m =2m a ， 由于m ≠0，所以a ＝2，与假设矛盾；②当1≤a ＜b 时，有{f(a)=2m a f(b)=2m b ，即{a −3a +2+m =2m a b −3b +2+m =2m b ， 所以{a 2+(m +2)a −3−2m =0b 2+(m +2)b −3−2m =0， 所以a ，b 是一元二次方程x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ＝0的两个不相等的实数根， 记g （x ）＝x 2+（m +2）x ﹣3﹣2m ，有{Δ=(m +2)2+4(2m +3)＞0−m+22≥11+(m +2)−3−2m ＞0，所以m ＜−6−2√5， ③当0＜a ＜b ≤1时，应有{f(a)=2m b f(b)=2m a ，即{−a +3a −2+m =2m b −b +3b −2+m =2m a， 两式相减得到ab +3＝﹣2m ∈（3，4），所以m ∈(−2，−32)， 两式相加得：a +b =(2m+3)(m−2)3， 又ab ＝﹣（2m +3），∴1a +1b =a+b ab =2−m 3∈(2，+∞)， ∴m ＜﹣4，与m ∈(−2，−32)矛盾， 此时满足条件的实数m 不存在，综合以上讨论，满足条件的实数m 的取值范围是(−∞，−6−2√5)．。
浙江省杭州市学军四校2022-2023学年高一上学期期末数学试题
学军中学四校区2022学年第一学期期末联考高一数学试卷命题人：王馥审题人：顾侠一、单选题：本题共8小题，每小题6分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若角α的终边经过点()()3,0P a a ≠，则A ．sin 0α>B ．sin 0α<C ．cos 0α>D ．cos 0α<2．“a ＞b 2”是b >”的（）A ．充分条件B ．必要条件C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件3．若扇形的周长为16cm ，圆心角为2rad ，则扇形的面积为（）A ．212cm B ．214cm C ．216cm D ．218cm 4．有一组实验数据如下表所示：t 3.0 6.09.012.015.0v1.52.52.93.64.0现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（）A ．0.5v t=B ．()20.51v t =-C ．0.5log v t =D ．2log v t=5．已知函数()f x 是定义在R 上的奇函数，且满足(2)()f x f x +=-，则(2022)f =（）A ．2022-B ．0C ．1D ．20226．函数()ay x b x c =--的图像如图所示，可以判断a ，b ，c 分别满足（）A ．a<0，0b >，0c =B ．0a >，0b >，0c =C ．a<0，0b =，0c >D ．a<0，0b =，0c =7．已知3log 2a =，11log 5b =，lg 4c =，则a ，b ，c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．c<a<bC ．c b a<<D ．a c b<<8．已知函数()2124,13,1x x x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩，若关于x 的方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,且123x x x <<，则()()()()()()2123222f x f x f x +++的值为（）A ．4B ．2C ．()22a +D ．2a +二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．若0,0,2a b a b >>+=，则下列不等式恒成立的有（）A ．1ab ≤BC ．222a b +≥D ．212a b+>10．已知非零实数a ，b ，若()f x ，()g x 为定义在R 上的周期函数，则（）A ．函数()f ax b +必为周期函数B ．函数()af x b +必为周期函数C ．函数()()f g x 必为周期函数D ．函数()()f x g x +必为周期函数11．已知函数()()()4sin 10πϕωϕω=+->≤，f x x 为偶函数，点()1,1A x -，()2,1B x -是()f x 图象上的两点，若12x x -的最小值为2，则下列说法正确的是（）A ．π2=ωB ．π2ϕ=C ．()11f =-D ．()f x 在()111,1x x -+上单调递增12．设函数()()4,,f x x t g x x=+=-若存在[]()12,,......,1,4,N ,3n x x x n n *∈∈≥，使得121121()()......()()()()......()()n n n n f x f x f x g x g x g x g x f x --+++=+++，则t 的值可能是（）A ．-7B ．-6C ．-5D ．-4三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知幂函数3y x αα=-，则此函数的定义域为________．14．已知θ是第二象限角，()3cos π25θ+=，则tan θ=________．15．如图所示，摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，摩天轮按逆时针方向作匀速转动，且每30min 转一圈．若游客甲在最低点坐上摩天轮座舱，则在开始转动5min 后距离地面的高度为________m ．16．设,a b ∈R .若当||1x ≤时，恒有2|()|1x a b -+≤，则a b +的取值范围是____.四、解答题：本题共5小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程成演算步骤．17．已知sin cos π30sin cos 2ααααα+⎛⎫=∈ ⎪-⎝⎭，，.(1)求tan α的值;(2)若()sin αβ-=π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，求角β.18．已知集合{A x y ==，集合{}121B x m x m =+≤≤-，集合{}310,C x x x Z =≤<∈.（1）求A C 的子集的个数；（2）若命题“x A B ∀∈⋃，都有x A ∈”是真命题，求实数m 的取值范围.19．已知函数()()2sin f x x ω=，其中常数0ω>．(1)若()y f x =在π2,π43⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上单调递增，求ω的取值范围；(2)令2ω=，将函数()y f x =的图象向左平移π6个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，再向上平移1个单位，得到函数()y g x =的图象．若()y g x =在区间[],a b 上至少含有30个零点，求b a -的最小值．20．某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时．某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤．分析显示：当S 中%x （0100x <<）的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为()30030180029030100x f x x x x <≤⎧⎪=⎨+-<<⎪⎩，，（单位：分钟），而公交群体的人均通勤时间不受x 影响，恒为40分钟，试根据上述分析结果回答下列问题：（1）当x 在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？（2）求该地上班族S 的人均通勤时间()g x 的表达式；讨论()g x 的单调性，并说明其实际意义．21．已知函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，R a ∈．(1)若方程()()ln 324f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦，恰有一个实根，求实数a 的取值范围；(2)设0a >，若对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，当1x ，[]2,1x b b ∈+时，满足()()12ln 4f x f x -≤，求实数a 的取值范围．参考答案1．C 【解析】根据三角函数定义可得sin α=cos α=.【详解】解：由三角函数的定义可知，sin α=符号不确定，cos 0α=>，故选：C ．【点睛】任意角的三角函数值：（1）角α与单位圆交点(,)P x y ，则sin ,cos ,tan (0)yy x x x ααα===≠；（2）角α终边任意一点(,)P x y ，则sin tan (0)yx xααα==≠.2．A 【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质判断【详解】若0,1a b ==-b >，而201a b=<=b >不能推出2a b >，当2a b >b >，当0b ≥b >，当0b <b b >->，所以当2a b >时，b >，所以“a ＞b 2”是b >”的充分不必要条件，故选：A 3．C 【分析】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =，再计算面积得到答案.【详解】设扇形的半径为R ，则周长为2216R R +=，解得4R =；扇形的面积2124162S =⨯⨯=.故选：C4．D 【分析】根据题设中表格中的数据画出散点图，结合图象和选项，得到答案.【详解】由表格中的数据，作出数据的散点图，如图所示，数据散点图和对数函数2log v t =的图象类似，所以选项D 最能反映,t v 之间的函数关系.故选：D.5．B 【分析】求出函数的周期，利用周期和(0)0f =可得答案.【详解】因为(2)()f x f x +=-，所以(4)(2)()f x f x f x +=-+=，所以()f x 的周期为4，函数()f x 是定义在R 上的奇函数，所以(0)0f =，所以(2)(0)0f f =-=，(2022)(50542)(2)0f f f =⨯+==.故选：B.6．A 【分析】分0,0b c =>、0,0b c >=两种情况讨论即可.【详解】函数()ay x b x c =--的定义域为{},x x b x c ≠≠①当0,0b c =>时，ay x x c=-，当()0,x c ∈时，y 与a 同号，当(),x c ∈+∞时，y 与a 同号，与图中信息矛盾；②当0,0b c >=时，()ay x b x =-，由图可得，当()x b ∈+∞,时，0y <，所以a<0，然后可验证当0,0b c >=，a<0时，图中信息都满足，故选：A 7．B 【分析】利用对数的单调性进行判断即可.【详解】因为235125,11==，所以112311log 5lo 2113g b =>=，因为2233=23332log 2log 33<=，即23<a ，因为42310=232lg 4lg103<=，即23c <，，因为3lg 2lg 2lg 3lg 4lg 2(12lg 3)lg 2(1lg 9)log 2lg 4lg 40lg 3lg 3lg 3lg 3a c ----=-=-===>，所以a c >，即c<a<b ，故选：B 【点睛】关键点睛：根据对数函数的单调性，结合特殊值法进行比较是解题的关键.8．A 【分析】令()f x t =，结合函数的图象，将方程()()202f x a f x ++=+（a R ∈）有三个不相等的实数根123,,x x x ,转化为()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，进而由()()()()()()2123222f x f x f x +++()()221222t t=++，利用韦达定理求解.【详解】因为函数()2124, 13, 1xx x x f x x -⎧--+≤=⎨>⎩图像如下：令()f x t =，则()22220t a t a ++++=有两个不等的实数根10t <，205t <<，由韦达定理知：122t t a +=--,1222t t a =+则()11f x t =，()()232f x f x t ==，所以()()()()()()2123222f x f x f x +++，()()221222t t =++，()()212[22]t t =++，()()2121224t t t t =+++，()2224244a a =+--+=.故选：A 9．ACD 【解析】根据基本不等式依次讨论各选项即可得答案.【详解】解：对于A ，由基本不等式得，2a b =+≥1ab ≤，故A 正确；对于B ，令1,1a b ==不成立，故B 错误；对于C ，由A 选项得1ab ≤，所以222()2422a b a b ab ab +=+-=-≥，故C 正确；对于D ，根据基本不等式的“1”的用法得()1212221a b a b a b a b +⎛⎫⎛⎫=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝⎭12212b a a b ⎛⎫=+++ ⎪⎝⎭312313222222b a a b ⎛⎫=++≥+⋅=+ ⎪⎭>⎝，故D 正确；故选：ACD ．【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：（1）“一正二定三相等”“一正”就是各项必须为正数；（2）“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；（3）“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方10．ABC 【分析】()f ax b +是周期为ma的函数，A 正确，()af x b +是周期为m 的函数，B 正确，(())f g x 是周期为n 的函数，C 正确，当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，得到矛盾，D 错误，得到答案.【详解】设()f x 周期为,()m g x 周期为,0n m ≠，0n ≠，对选项A ：()()m f ax b f ax b m f ax b a ⎛⎫⎛⎫+=++=++ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，故()f ax b +是周期为m a 的函数，正确；对选项B ：则()()af x b af x m b +=++，所以()af x b +是周期为m 的函数，正确；对选项C ：(())(())f g x f g x n =+，所以(())f g x 是周期为n 的函数，正确；对选项D ：当()f x 周期为π,()g x 周期为1时，若()()f x g x +是周期函数，设周期为T ，则π1,Z,Z,0,0T k t k t k t ==⨯∈∈≠≠，π是无理数，所以上式无解，所以此时()()f x g x +不是周期函数，错误.故选：ABC 11．AC 【分析】根据三角函数的图像和性质求出函数的解析式，然后分别进行判断即可.【详解】对于A ，由()1f x =-，得()4sin 11ωϕ+-=-x ，即()sin 0x ωϕ+=，12x x - 的最小值为2，22T ∴=,即4T =，即2π4ω=，则π2=ω，故选项A 正确；对于B ，()f x 为偶函数，ππ+,Z 2ϕ∴=∈k k ，πϕ≤ ，0k ∴=时π2ϕ=，1k =-时π2ϕ=-，故选项B 错误；对于C ，综上()c πππ224sin 14os 12⎛⎫=+-=- ⎪⎝⎭x x x f 或者()4sin 14cos 1πππ222⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭x x f x ，则()11f =-，故选项C 正确；对于D ，()1,1- A x ，()2,1B x -，14cos 11π2-=-x ，即10π2cos =x ，即1x 是函数πcos 2y x=的零点，()111,1-+ x x 的区间长度为2，是半个周期，则函数在()111,1x x -+上不具备单调性，故选项D 错误.故选：AC.12．BCD 【分析】根据题意可得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- ，令4()()()F x f x g x x t x =-=++([1,4]x ∈)，结合对勾函数的性质可得函数()F x 的单调性，则4()5t F x t +≤≤+，进而有(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，结合4()()5n n t f x g x t +≤-≤+列出不等式组，解之即可.【详解】由题意得，存在*12,,[1,4](N ,3)n x x x n n ∈∈≥ 使得112211()()()()()()()()n n n n f x g x f x g x f x g x f x g x ---+-+-=- 成立，令4()()()F x f x g x x t x=-=++，[1,4]x ∈，因为对勾函数4y x x=+在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，所以函数()F x 在(1,2)上单调递减，在(2,4)上单调递增，由(1)5,(2)4,(4)5F t F t F t =+=+=+，得4()5t F x t +≤≤+，即*4()()5(N ,)i i t f x g x t i i n +≤-≤+∈≤，所以(4)(1)()()(5)(1)n n t n f x g x t n +-≤-≤+-，又4()()5n n t f x g x t +≤-≤+，则4(5)(1)5(4)(1)t t n t t n +≤+-⎧⎨+≥+-⎩，即952942n t n n t n -⎧≥⎪⎪-⎨-⎪≤⎪-⎩，因为N ,3n n *∈≥，951941=56,4432222n n n n n n ----≥--<=-+≤-----解得64t -≤≤-.故选：BCD.13．()(),00,∞-+∞U .【分析】根据幂函数的定义，求得13a =-，得到y =.【详解】由幂函数3y x αα=-，可得31α-=，解得13a =-，即13y x -==，则满足0x ≠，即幂函数3y x αα=-的定义域为()(),00,∞-+∞U .故答案为：()(),00,∞-+∞U .14．2-【分析】根据诱导公式以及二倍角公式，利用同角三角函数之间的基本关系即可求得tan 2θ=或tan 2θ=-，再根据θ是第二象限角即可得tan 2θ=-.【详解】由诱导公式可得()3cos π2cos 25θθ+=-=，所以3cos 25θ=-；根据二倍角公式可得222222cos sin 1tan 3cos 2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，解得tan 2θ=或tan 2θ=-，又因为θ是第二象限角，所以tan 2θ=-.故答案为：2-15．37.5##752【分析】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，然后根据条件求出解析式可得答案.【详解】由题意可知，距离地面的高度h 与时间t 所满足的关系式为()sin h A t k ωϕ=++，因为摩天轮的直径为110m ，最高点距离地面的高度为120m ，所以12010A k A k +=⎧⎨-+=⎩，解得55,65A k ==，因为每30min 转一圈，所以2π30T ω==，15πω=，当0=t 时，10h =，所以sin 1ϕ=-，所以可取π2ϕ=-，所以ππ55sin 65152h ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，所以当5t =时，π55sin 6537.56h ⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭故答案为：37.516．[【分析】构造函数2()()f x x a =-，则将题目转化为当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤，分1a ≤-，1a ≥，10a -<≤，01a <<讨论，即可得到结果.【详解】设函数2()()f x x a =-，则当||1x ≤时，恒有1()1b f x b ---≤≤.当1a ≤-时，()f x 在[1,1]-上递增，则2(1)(1)1f a b =--≤，且2(1)(1)1f a b -=----≥，从而22222a a b a a ----≤≤，则22222a a a a ----≤，于是12a ≥-，矛盾；同理，当1a ≥，()f x 在[1,1]-上递减，则2(1)(1)1f a b =-≥--，且2(1)(1)1f a b -=--≤-，从而22222a a b a a -+---≤≤，则22222a a a a -+-≤--，于是12a ≤，矛盾；当10a -<≤，212b a a --≤≤,则22110a a a -≥-⇒-≤，10b -≤≤当01a <<，212b a a ---≤≤，则22110a a a --≥-⇒-≤，10b -≤≤由此得，a b +的取值范围是[.当且仅当1a =1b =-时，a b +=，当且仅当0a b ==时，0a b +=.故答案为:[17．(1)tan 2α=(2)4πβ=【分析】（1）根据已知化弦为切即可得解；（2）分别求出sin ,cos αα，()cos αβ-，再根据()sin sin βααβ=--⎡⎤⎣⎦结合两角差的正弦公式即可得解.【详解】（1）解：因为sin cos 3sin cos αααα+=-，所以tan 13tan 1αα+=-，解得tan 2α=；（2）解：因为tan 2α=，π0,2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，则22sin 2cos sin cos 1αααα=⎧⎨+=⎩，解得sin αα==，又π02β⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，，所以ππ,22αβ⎛⎫-∈- ⎪⎝⎭，又因()sin 10αβ-=，所以()cos 10αβ-==，则()sin sin 5105102βααβ=--=⨯-=⎡⎤⎣⎦，所以4πβ=.18．（1）8个；（2）3m .【解析】（1）求出集合{|25}A x x =-和{3,4,5,6,7,8,9}C =，再求A C ，根据集合子集的个数2n可得答案；（2）由题意可得B A ⊆，分B =∅和B ≠∅两种情况讨论可得答案.【详解】（1）由23100x x -++≥解得25x -，所以{|25}A x x =- ，又因为{|310,}{3,4,5,6,7,8,9}C x x x =<∈=Z ，所以{3,4,5}A C ⋂=，所以A C 的子集的个数为328=个.（2）因为命题“x A B ∀∈⋃都有x A ∈”是真命题，所以A B A ⋃=，即B A ⊆，当B =∅时，121m m +>-，解得2m <；当B ≠∅时，121,12,215,m m m m +-⎧⎪+-⎨⎪-⎩解得23m，综上所述：3m.19．(1)30,4⎛⎤ ⎝⎦(2)43π6【分析】（1）求条件可得π2πππ,[2π,2π4322x k k ωωω⎡⎤∈-⊆-+⎢⎥⎣⎦，Z k ∈，由此可求ω的取值范围，（2）由函数图象变换结论求函数()y g x =的解析式，要使b a -最小，则130,a x b x ==，研究1sin 2t =-的零点进而可以求出结果．【详解】（1）由题设2ππ11ππ34122T ω+=≤=，∴1211ω≤，∴304ω<≤，当π2π,43x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，π2π,43x ωωω⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，则ππ2π422ππ2π32k k ωω⎧-≥-⎪⎪⎨⎪≤+⎪⎩，Z k ∈，解得3034k ω<≤+，Z k ∈．综上，ω的取值范围为30,4⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）由题设()2sin 2f x x =，将函数()f x 的图象向左平移π6个单位得ππ2sin 263y f x x ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，再各点的横坐标缩短为原来的12倍，纵坐标不变，向上平移1个单位，则()π2sin 413g x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭．令()0g x =得π1sin 432x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，令π43t x =+，设()y g x =在区间[],a b 上的30个零点分别为1230,,,x x x ，则113030ππ4,,433t x t x =+=+ ，1sin 2t =-在ππ4,433a b ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦上有30个零点，要使b a -最小，则130,a x b x ==，因为sin y t =在每个周期内各有两个函数值为12-，所以15个周期里面有30个零点，则b a -最小时，若113030π7πππ179π4,430π36366t x t x =+==+=-=，则301ππ86π44333x x ⎛⎫⎛⎫+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以30143π6x x -=，即b a -的最小值为43π6．20．(1)()45100x ，∈时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间;(2)见解析.【分析】（1）由题意知求出f （x ）＞40时x 的取值范围即可；（2）分段求出g （x ）的解析式，判断g （x ）的单调性，再说明其实际意义．【详解】（1）由题意知，当30100x <<时，()180029040f x x x=+->，即2659000x x -+>，解得20x <或45x >，∴()45100x ∈，时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；（2）当030x <≤时，()()30%401%4010x g x x x =⋅+-=-；当30100x <<时，()()218013290%401%585010x g x x x x x x ⎛⎫=+-⋅+-=-+ ⎪⎝⎭；∴()2401013585010x g x x x ⎧-⎪⎪=⎨⎪-+⎪⎩；当032.5x <<时，()g x 单调递减；当32.5100x <<时，()g x 单调递增；说明该地上班族S 中有小于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递减的；有大于32.5%的人自驾时，人均通勤时间是递增的；当自驾人数为32.5%时，人均通勤时间最少．【点睛】本题考查了分段函数的应用问题，也考查了分类讨论与分析问题、解决问题的能力．21．(1){}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．(2)4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦【分析】（1）依题意可得2(3)(4)10a x a x -+--=，讨论二次项系数是否为0以及真数是否大于0即可求解；（2）易知函数1()ln()f x a x=+为定义域上为减函数，将问题转化成()()()()12max min ln4ln4f x f x f x f x -≤⇔-≤，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，再构造二次函数，利用二次函数的单调性即可求解．【详解】（1）由[]1ln ln (3)24a a x a x ⎛⎫+=-+- ⎪⎝⎭得2(3)(4)10a x a x -+--=；即[(3)1](1)0a x x --+=当3a =时，=1x -，经检验，满足题意；当2a =时，121x x ==-，经检验，满足题意；当2a ≠且3a ≠时，12121,1,3x x x x a ==-≠-，若1x 是原方程的解，当且仅当11230a a x +=->，即32a >，若2x 是原方程的解，当且仅当2110a a x +=-+>，即1a >，故当1x 是原方程的解，2x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧>⎪⎪≤⎨⎪≠≠⎪⎩且，无解，当2x 是原方程的解，1x 不是方程的解，则32123a a a x ⎧≤⎪⎪>⎨⎪≠≠⎪⎩且，解得31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦于是满足题意的31,2a ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦．综上，a 的取值范围为{}31,2,32⎛⎤ ⎥⎝⎦．（2）不妨令121b x x b ≤≤≤+，则1211a a x x +>+，由于ln y x =单调递增，1y a x =+单调递减，所以函数()1ln f x a x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在[b ,1]b +上为减函数；()max 1ln f x a b ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，()min 1ln 1f x a b ⎛⎫=+ ⎪+⎝⎭，因为当1x ，2[x b ∈,1]b +，满足12|()()|ln4f x f x -≤，故只需11ln ln ln41a a b b ⎛⎫⎛⎫+-+≤ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭，即233(1)10ab a b ++-≥对任意1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦成立，因为0a >，所以函数()233(1)1g b ab a b =++-为开口向上的二次函数，且对称轴为102a a+-<，故()g x 在1,14b ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上单调递增，当14b =时，y 有最小值33151(1)1164164a a a ++-=-，由1510164a -≥，得415a ≥，故a 的取值范围为4,15⎡⎤+∞⎢⎥⎣⎦．。
浙江省杭州市学军中学19-20学年高一上学期期末数学试卷 (含答案解析)
浙江省杭州市学军中学19-20学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.设集合A={x|y=1√2−x}，B={−1,0，1，2，3}，则(∁R A)∩B=()A. {2}B. {−1,0，1，2}C. {2,3}D. {−1,0，1}2.已知函数f(x)的定义域为(−1,1)，则函数g(x)=f(x2)+f(x−1)的定义域为()A. (−2,0)B. (−2,2)C. (0,2)D. (−12,0)3.已知角α的终边与单位圆交于点M(−√32,12)，则sinα的值是()A. ±12B. 12C. −12D. −√324.函数f(x)=e x−e−xx2的图象大致为()A. B.C. D.5.已知a=log2e，b=ln2，c=log1213，则a，b，c的大小关系为()A. a>b>cB. b>a>cC. c>b>aD. c>a>b6.已知sinα+cosα=15，α∈(0,π)，则tanα=()A. −34B. −43C. −34或−43D. 34或437.如图，在矩形ABCD中，AB=2AD，E，F分别为BC，CD的中点，G为EF的中点，则AG⃗⃗⃗⃗⃗ =()A. 23AB⃗⃗⃗⃗⃗ +13AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ B. 13AB⃗⃗⃗⃗⃗ +23AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C. 34AB⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗D. 23AB ⃗⃗⃗⃗⃗+23AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 8. 已知向量a ⃗ =(2,1)，|a ⃗ +b ⃗ |=4，a ⃗ ⋅b ⃗ =1，则|b ⃗ |=( )A. 2B. 3C. 6D. 129. 将函数的图象向右平移π2个单位长度，所得图象对应的函数( )A. 在[π12,7π12]上单调递减 B. 在[π12,7π12]上单调递增 C. 在[−π6,π3]上单调递减D. 在[−π6,π3]上单调递增10. 函数y =√x 2+1的值域是( )A. [0,+∞)B. [1,+∞)C. (0,+∞)D. (1,+∞)二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11. 已知a ⃗ =(1,2),b ⃗ =(2,m ),若a ⃗ ⊥b ⃗ ,则m =_______． 12. 函数f(x)=√log 2(x −1)的定义域是________． 13. 已知cos (α−π6)+sinα=4√35，则sin (α+7π6)=__________．14. 已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，AC =6，BC =7，AB =8，则AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =______． 15. 若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−23π,23π]上单调递增，则ω的最大值为______ ． 16. 定义在(0,π2)上的函数y =6cosx 的图象与y =5tanx 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴于点P 1，直线PP 1与y =sinx 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为________．17. 若函数y =3x 2−ax +5在[−1,1]上是单调函数，则实数a 的取值范围是______． 三、解答题（本大题共5小题，共42.0分） 18. 计算下列各式：(1)10lg3−√10log 41+2log 26； (2)22+log 23+32−log 39．19. (Ⅰ)已知：sinθ=−45，求tanθ的值；(Ⅱ)已知：tanθ=2，求1−2cos 2θsinθ⋅cosθ的值．20. 在△ABC 中，AC =√2，AB =√3+1，∠BAC =45°，点P 满足：BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ (λ>0)，AP =√22．(1)求BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值； (2)求实数λ的值．21. 已知函数f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x ，x ∈R ．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若把f(x)向右平移π6个单位得到函数g(x)，求g(x)在区间[−π2,0]上的最小值和最大值．22.设g(x)=x2−mx+1．(1)若恒成立，求实数m的取值范围；(2)若m>1,解关于x的不等式g(x)>x−m+1.-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：本题考查不等式的求解及集合的混合运算，属于基础题．根据题意解出集合A 、B ，再根据补集及交集的定义直接计算即可． 解：由题意得，A ={x|x <2}，， ，故选C ．2.答案：C解析：解：∵函数f(x)的定义域为(−1,1)， ∴{−1<x2<1−1<x −1<1， 解得：0<x <2， 故选：C ．根据函数的定义域得到关于x 的不等式组，解出即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查不等式问题，是一道基础题．3.答案：B解析：本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题． 利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值． 解：角α的终边与单位圆交于点M(−√32,12)，∴x =−√32，y =12，r =|OP|=1， 则，故选B .4.答案：B解析：本题考查函数的图象的识别和判断，考查函数的奇偶性，属于中档题． 判断函数的奇偶性，再用特殊值进行排除即可． 解：函数定义域为{x |x ≠0}，关于原点对称， ∵f(−x)=e −x −e x (−x )2=−e x −e −xx 2=−f(x)，则函数f(x)为奇函数，图象关于原点对称，排除A ， 当x =1时，f(1)=e −1e >0，排除D ， 当x →+∞时，f(x)→+∞，排除C ， 故选B ．5.答案：D解析：本题考查了指数函数及其性质和对数函数及其性质，属于基础题． 解：，，∴c >a >b ， 故选D ．6.答案：B解析：本题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题． 对所给关系式两边平方，结合同角三角函数的基本关系式求出sinαcosα的值，联立求出sinα和cosα的值，从而求出tanα的值．解：由sinα+cosα=15两边平方得：sin 2α+cos 2α+2sinαcosα=125， 即sinαcosα=−1225<0， 因为α∈(0,π)，所以，由{sinα+cosα=15sinαcosα=−1225，解得{sinα=45cosα=−35，所以tanα=sinαcosα=−43， 故选B ．7.答案：C解析：建立平面直角坐标系，利用平面向量的坐标表示，列出方程组，即可求出AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 中的x 与y 的值．本题考查了平面向量的线性表示与运算问题，也考查了数形结合的解题思想，是基础题目． 解：建立平面直角坐标系，如图所示；矩形ABCD 中，AB =2AD ，E ，F 分别为BC ，CD 的中点，G 为EF 中点， 设B(2,0)，则D(0,1)，E(2,12)，F(1,1)， ∴G(32,34)； ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =(32,34)，AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,0)，AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1)， 设AG⃗⃗⃗⃗⃗ =x AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +y AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ， 则(32,34)=(2x,y)， 即{2x =32y =34，解得x =34，y =34； ∴AG ⃗⃗⃗⃗⃗ =34AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ． 故选：C ．解析：解：∵|a⃗+b⃗ |=4，∴a⃗2+b⃗ 2+2a⃗⋅b⃗ =16，∴5+|b⃗ |2+2=16，∴|b⃗ |=3故选：B．将|a⃗+b⃗ |=4两边平方可得．本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属基础题．9.答案：B解析：本题考查函数图象的平移及正弦函数的性质，属于一般题．直接由函数的图象平移得到平移后的图象所对应的函数解析式，即可求解单调区间．解：把函数y=3sin(2x+π3)的图象向右平移π2个单位长度，得到的图象所对应的函数解析式为：y=3sin[2(x−π2)+π3]=3sin(2x−2π3)，当函数递增时，由−π2+2kπ≤2x−2π3≤π2+2kπ，，得，取k=0，得π12≤x≤7π12，∴平移后所得图象对应的函数在区间[π12,7π12]上单调递增．故选B．10.答案：B解析：解：函数y=√x2+1可知：√x2+1≥1，即y≥1．所以函数的值域为：[1,+∞)．故选B．通过函数的解析式，直接得到函数的值域即可．本题考查函数的值域的求法，基本知识的考查．解析：本题考查平面向量垂直的坐标表示，属于基础题．由平面向量垂直，得到a⃗·b⃗ =0，进而得到m的方程，解得m的值．解：∵a⃗=(1,2),b⃗ =(2,m)，a⃗⊥b⃗ ，则a⃗·b⃗ =0，∴1×2+2m=0，∴m=−1．故答案为−1．12.答案：[2,+∞)解析：根据对数函数的性质求出函数的定义域即可．本题考查了求函数的定义域问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．解：要使函数由意义，则log2(x−1)≥0，x−1≥1，x≥2，故答案为[2,+∞)．13.答案：−45解析：本题主要考查两角和与差的正余弦公式和诱导公式的应用，属于基础题．解：因为cos(α−π6)+sinα=√3(12cosα+√32sinα)=√3sin(π6+α)=4√35，所以sin(π6+α)=45，又sin(α+7π6)=−sin(π6+α)=−45，故答案为−45．解析：解：作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ， ∵⊙O 中，OD ⊥AB ， ∴AD =12AB ，cos∠OAD =|AD⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO⃗⃗⃗⃗⃗⃗ | 因此，AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =|AO ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos∠OAD =|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |⋅|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=32 同理可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18 ∴AO⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =18−32=−14 故答案为：−14作OD ⊥AB 于D ，OE ⊥AC 于E ，由垂径定理得D 、E 分别为AB 、AE 的中点，利用三角函数在直角三角形中的定义，可得cos∠OAD =|AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ||AO ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，由向量数量积的定义得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=32，同理可得AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |2=18，而AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )，展开后代入前面的数据即可得到AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值．本题给出三角形的外接圆的圆心为0，在已知三边长的情况下求AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值，着重考查了圆中垂直于弦的直径性质、三角函数在直角三角形中的定义和向量数量积公式及其性质等知识，属于中档题．15.答案：34解析：本题考查正弦函数的单调增区间.由题意可得2πω≥2[2π3−(−2π3)]，即2πω≥8π3，解得ω的范围，可得ω的最大值，属于基本知识的考查．解析：函数f(x)=2sinωx(ω>0)在区间[−23π,23π]上单调递增，2πω≥2[2π3−(−2π3)]，即2πω≥8π3，解得ω≤34， 故ω的最大值等于34， 故答案为：34．16.答案：23解析：本题考查三角函数的图象、数形结合思想．先将求P1P2的长转化为求sin x的值，再由x满足6cosx=5tanx可求出sin x的值，从而得到答案．解：线段P1P2的长即为sin x的值，且其中的x满足6cosx=5tanx，即6cosx=5sinxcosx ，化为6sin2x+5sinx−6=0，解得sinx=23.线段P1P2的长为23故答案为23．17.答案：解析：本题考查二次函数及函数的单调性，是基础题．由二次函数的单调性，分类讨论求解即可．解：因为y=3x2−ax+5的对称轴为x=a6，若函数y=3x2−ax+5在[−1,1]上是单调递增，则a6≤−1，即a≤−6，若函数y=3x2−ax+5在[−1,1]上是单调递减，则a 6≥1，即a ≥6，综上所述，a 的取值范围为a ≥6或a ≤−6， 故答案为． 18.答案：解：(1)10lg3−√10log 41+2log 26=3−0+6=9．．解析：本题考查对数的概念．属于基础题．根据对数和指数的运算法则即可得到结果．19.答案：解：(Ⅰ)∵sinθ=−45<0，∴θ为第三或第四象限角．当θ为第三象限角时，cosθ=−√1−sin 2θ=−35，∴tanθ=sinθcosθ=43．当θ为第四象限角时，cosθ=√1−sin 2θ=35，∴tanθ=sinθcosθ=−43．综上所述，tanθ=43或−43；(Ⅱ)∵tanθ=2，∴1−2cos 2θsinθ⋅cosθ=sin 2θ+cos 2θ−2cos 2θsinθcosθ=sin 2θ−cos 2θsinθcosθ=tan 2θ−1tanθ=22−12=32． 解析：(Ⅰ)由sinθ分类求出cosθ，再由商的关系求解；(Ⅱ)化弦为切，代入tanθ的值得答案．本题考查三角函数的化简求值，考查同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．20.答案：解：(1)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =|BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos135°=√2(√3+1)×(−√22)=√3+1， (2)∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)BA ⃗⃗⃗⃗⃗ +λBC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ(BC ⃗⃗⃗⃗⃗ −BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )，即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，∵λ>0，∴λ=|AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ||AC |=12．解析：(1)根据向量的数量积的运算即可求出；(2)根据向量的加减的几何意义得到即AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAC⃗⃗⃗⃗⃗ ，即可求出答案． 本题考查了向量的数量积的运算和向量的加减的几何意义，属于基础题．21.答案：解：(1)f(x)=1+2√3sinxcosx −2sin 2x ，=√3sin2x +cos2x =2sin(2x +π6)，令2kπ−π2≤2x +π6≤2kπ+π2，k ∈Z ，得kπ−π3≤x ≤kπ+π6，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调增区间为[kπ−π3,kπ+π6]，k ∈Z ；令2kπ+π2≤2x +π6≤2kπ+3π2，k ∈Z ， 得kπ+π6≤x ≤kπ+2π3，k ∈Z ，可得函数f(x)的单调减区间为[kπ+π6,kπ+2π3]，k ∈Z ； (2)若把函数f(x)的图像向右平移π6个单位，得到函数g(x)=2sin[2(x −π6)+π6]=2sin(2x −π6)的图像，∵x ∈[−π2,0]，∴2x −π6∈[−7π6,−π6]，∴g(x)=2sin(2x −π6)∈[−2,1]． 故g(x)在区间[−π2,0]上的最小值为−2，最大值为1．解析：本题主要考查三角函数的化简及函数y =Asin(ωx +φ)的图象性质和最值，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力，属于中档题．(1)利用二倍角公式和辅助角公式，化简函数f(x)的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数f(x)的单调区间；(2)利用函数y =Asin(ωx +φ)的图象变换规律求得g(x)的解析式，由x 的范围求出ωx +φ的范围，即可利用正弦函数的性质求出g(x)的范围．22.答案：解：(1)由题意，若g(x)≥0对任意x >0恒成立，即为x2−mx+1≥0对x>0恒成立，即m≤x+1x在x>0恒成立，转化为求x+1x在x>0时的最小值，因为x+1x≥2，当且仅当x=1时取“=”，所以m≤2．(2)不等式可化为x2−(m+1)x+m>0，分解因式可得(x−m)(x−1)>0，由m>1可得，x<1或x>m，所以不等式的解集为(−∞,1)∪(m,+∞)．解析：本题考查一元二次不等式的解法和不等式恒成立问题，涉及基本不等式求最值，属于基础题．(1)问题可化为m≤x+1x 在x>0恒成立，由基本不等式求出x+1x在x>0时的最小值即可；(2)不等式可化为(x−m)(x−1)>0，由m>1可得不等式的解集．。
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2019-2020学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题。
2022-2023学年浙江省杭州市学军中学高一数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析
故
2a
b
1 3
2a
b
2 a
1 b
1 3
5
2b a
2a b
1 3
5
4
3
，
当且仅当 a b 1时等号成立， 故 2a b 的最小值为 3.
故选：A. 【点睛】方法点睛：应用基本不等式求最值时，需遵循“一正二定三相等”，如果原代数式中没有积为定值或和为定值，
则需要对给定的代数变形以产生和为定值或积为定值的局部结构.求最值时要关注取等条件的验证. 11、C
的关键，着重考查了运算与求解能力，属于基础题. 2、A 【解析】利用余弦定理，结合一元二次方程根的判别式进行求解即可. 【详解】由余弦定理可知：
a2 b2 c2 2bc cos A 16 b2 36 2b 6 2 b2 6 2b 20 0 ， 2
该一元二次方程根的判别式 (6 2)2 4 20 8 0 ，
x
3
故选：D
6、D
【解析】根据图像平移过程，写出平移后的函数解析式即可.
【详解】由题设， y f (x ) sin5(x ) sin(5x 5 ) .
6
6
6
故选：D 7、C
【解析】将 x 2022 代入分段函数 解析式即可求解.
【详解】解：因为
f
x
f (x 1), x 0, ln(x e) 2, x
18．已知函数
f
x
2x 2x
3 a
1a
0
为定义在
R 上的奇函数.
（1）求 f x 的值域；
（2）解不等式：
f
x
f
6
x 2
5
19．如图,某污水处理厂要在一个矩形污水处理池 ABCD 的池底水平铺设污水净化管道（ RtFHE ， H 是直角顶点）
浙江省杭州2023-2024学年高一上学期期末数学试题含答案
杭州2023学年第一学期高一年级期末考数学试卷（答案在最后）本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求.1.函数()1ln f x x x =-的零点所在的大致区间是（）A.()1,2 B.()2,e C.()e,3 D.()e,+∞【答案】A 【解析】【分析】由零点存在定理结合函数单调性得到结论.【详解】因为函数ln y x =在()0+∞，上为增函数，函数1y x=在()0+∞，上为减函数，所以函数1()ln f x x x=-在()0+∞，上为增函数，又(1)ln1110f =-=-<，112211(2)ln 2ln 4ln e 02212f =-=->-=，即(2)0f >，所以零点所在的大致区间(1,2).故选：A.2.设函数()()sin f x x θ=+，则“cos 0θ=”是“()f x 为偶函数”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C 【解析】【分析】由三角函数的性质求出ππ,Z 2k k θ=+∈，即可判断.【详解】解：由cos 0θ=，得ππ,Z 2k k θ=+∈，由()()sin f x x θ=+为偶函数，得ππ,Z 2k k θ=+∈，则“cos 0θ=”是“()()sin f x x θ=+”为偶函数的充分必要条件.故选：C3.下列四个函数中的某个函数在区间ππ,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的大致图象如图所示，则该函数是（）A.322xxx xy --=+ B.cos222xxx xy -=+ C.2122xxx y --=+ D.sin222x xx y -=+【答案】B 【解析】【分析】利用题给函数在π0,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上先正值后负值的变化情况排除选项A ；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C ；利用当π2x =时题给函数值为负值排除D ；而选项B 均符合以上要求.【详解】当01x <<时，30x x -<，3022x xx xy --=<+.排除A ；由偶函数定义可得2122x xx y --=+为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C ；当π2x =时，ππ222πn 22si 02y -⎛⎫⎝+ ⎭⨯==⎪.排除D ；cos222x x x x y -=+为奇函数，且当π04x <<时，cos2022x xx x y -=>+，当π2x =时，ππππ2222cos 20π2222ππ222y --⨯==⎛⎫⋅- ⎪⎭<++⎝.B 均符合题给特征.故选：B.4.《九章算术》是一部中国古代的数学专著.全书分为九章，共收有246个问题，内容丰富，而且大多与生活实际密切联系.第一章《方田》收录了38个问题，主要讲各种形状的田亩的面积计算方法，其中将圆环或不足一匝的圆环形天地称为“环田”.书中提到这样一块“环田”：中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，如图所示，则其所在扇形的圆心角大小为（）（单位：弧度）（注：匝，意为周，环绕一周叫一匝.）A.4B.5C.6D.7【答案】C 【解析】【分析】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，根据中周九十二步，外周一百二十二步，径五步，列关系式即可.【详解】设中周的半径是1R ，外周的半径是2R ，圆心角为α，1221921225R R R R αα=⎧⎪=⎨⎪-=⎩，解得6α=.故选：C 5.已知π3cos(124θ-=，则πsin(2)3θ+=（）A.716-B.18-C.18D.716【答案】C 【解析】【分析】利用诱导公式，结合二倍角的余弦公式计算即得.【详解】当π3cos()124θ-=时，2πππππ1sin(2)sin(2)cos 2()2cos ()136212128θθθθ+=-+=-=--=.故选：C6.已知函数()()cos f x x ωϕ=+π0,2ωϕ⎛⎫><⎪⎝⎭的部分图象如图所示，1x ，2x 是()f x 的两个零点，若214x x =，则下列不为定值的量是（）A.ϕB.ωC.1x ω D.1x ωϕ【答案】B 【解析】【分析】求函数()f x 的周期，估计1x 的范围，再求函数()f x 的零点，由此确定1x ，2x ，结合条件化简可得结论.【详解】函数()()cos f x x ωϕ=+()0ω>的周期为2πω，由图象可得1π02x ω<<，令()0f x =，可得：ππ,Z 2x k k ωϕ+=+∈，所以ππ2k x ϕω+-=，即2ππ22k x ϕω+-=，又π0,2ωϕ><，所以1π22x ϕω-=，23π22x ϕω-=，又因为214x x =，所以3π2π2422ϕϕωω--=⨯，所以π6ϕ=，1π2ππππ22263x ϕωωϕω-=⨯=-=-=，1π32π6xωϕ==为定值.故选：B7.已知0x >，0y >，且311x y +=，则2x x y y++的最小值为（）A.9B.10C.12D.13【答案】D 【解析】【分析】借助基本不等式中“1”的妙用即可得.【详解】()31322261x x y x x x y x y y x y y x y y⎛⎫++=+++=++++ ⎪⎝⎭337713y x x y =++≥+，当且仅当33y xx y=，即4x y ==时，等号成立.故选：D.8.若关于x 的方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，其中m ∈R ，则123x x x ++的值为（）A.32B.12C.1D.2【答案】A 【解析】【分析】利用换元法化简题目所给方程，结合二次函数零点分布、对勾函数的性质等知识求得正确答案.【详解】由题知0x ≠，由()()2221151x m x x x +-+=+，得到12301m x m x x x+-+-=+，令1t x x =+，由对勾函数的图像与性质知，2t ≤-或2t ≥，且1t x x =+图像如图，则230mt m t-+-=，即2(3)20t m t m +--=，又方程()()2221151x m x xx +-+=+恰有三个不同的实数解1x ，2x ，3x ，且1230x x x <<<，所以2(3)20t m t m +--=有两根12,t t ，且122,2t t =->，故42620m m -+-=，得到52m =，代入2(3)20t m t m +--=，得到21502t t --=，解得2t =-或52t =，由12x x +=-，得到=1x -，由152x x +=，得到22520x x -+=，所以2352x x +=，所以12353122x x x ++=-+=，故选：A.【点睛】方法点晴：对于复杂方程的根有关的问题求解，可根据题目所给已知方程进行转化，转化的方向是熟悉的函数类型，即将不熟悉的问题转化为熟悉的问题来进行求解.对钩函数是函数题目中常见的函数，对其性质要注意总结.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.下列命题正确的是（）A.设α是第一象限角，则2α为第一或第三象限角B.cos 2sin 3πααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭C.在ABC 中，若点O 满足0OA OB OC ++=，则O 是ABC 的重心D.()a b c a b c⋅ ≤【答案】ACD 【解析】【分析】对A ，根据象限角的概念可判断；对B ，根据辅助角公式化简即可；对C ，取BC 中点D ，得出2OA OD =-，根据重心的性质可判断；对D ，根据cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅，结合向量数乘运算性质即可判断.【详解】对A ，因为α是第一象限角，所以π2π2π,2k k k α<<+∈Z ，则πππ,24k k k α<<+∈Z ，其为第一或第三象限角，故A 正确；对B 1cos 2sin cos 2sin 226πααααα⎛⎫⎛⎫+=+=+ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，故B 错误；对C ，取BC 中点D ，则2OB OC OD +=，又0OA OB OC ++= ，所以2OA OD =-，所以O 在中线AD 上，且2OA OD =，所以O 为ABC 的重心，故C 正确；对D ，因为cos ,a b a b a b ⋅=⋅⋅ ，cos ,1a b ≤，所以a b a b ⋅≤ ，所以()a b c a b c a b c ⋅=⋅≤，故D 正确.故选：ACD .10.符号[]x 表示不超过x 的最大整数，如[]3π=，[]1.082-=-，定义函数{}[]x x x =-，那么下列命题中正确的是（）A.函数{}x 的值域为[]1,0-B.函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-C.函数{}x 是周期函数D.函数{}x 是减函数【答案】BC 【解析】【分析】结合函数性质逐项判断即可得.【详解】对A ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，故函数{}x 的值域为(]1,0-，故A 错误；对B ：当x ∈Z ，则{}[]0x x x x x =-=-=，{}0x ⎡⎤=⎣⎦，当x ∉Z ，则{}[]()1,0x x x =-∈-，{}1x ⎡⎤=-⎣⎦，即函数{}x ⎡⎤⎣⎦的值域为{}1,0-，故B 正确；对C ：{}[][]{}111x x x x x x +=+--=-=，故函数{}x 是周期函数，故C 正确；对D ：由函数{}x 是周期函数，故函数{}x 不是减函数，故D 错误.故选：BC.11.已知函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭，且对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥-⎪⎝⎭，当ω取最小值时，则下列正确的是（）A.()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭B.()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为1,3⎤+⎦C.将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到()f x 的图象D.()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减【答案】ACD 【解析】【分析】由题意可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，()f x 在5π12x =-处取得最小值，推得ϕ，ω的值，可得函数解析式()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，结合正弦函数的对称中心、值域和图象变换、单调性，可得结论.【详解】函数()()2sin 1f x x ωϕ=++π02,ωϕ⎛⎫>< ⎪⎝⎭，满足()π23f x f x ⎛⎫+--= ⎪⎝⎭,可得()f x 的图象关于π(,1)6-对称，故11ππ(Z)6k k ωϕ-+=∈，即11(Z)ππ6k k ϕω∈=+，由于对任意x ∈R ，都有()5π12f x f ⎛⎫≥- ⎪⎝⎭，可得()f x 在5π12x =-处取得最小值，即225ππ2π(Z)122k k ωϕ-+=-+∈，可得22π5π2π(Z)212k k ϕω=-++∈，则21π5ππ2ππ2126k k ϕωω=-++=+，化简得1224(2)πk k ω=+-12(2Z)k k -∈，因为0ω>，当ω取最小值时，1220k k -=，可得2ω=，则11ππ(Z)3k k ϕ=+∈且π2ϕ<，得π3ϕ=，所以()π2sin 213f x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，对于A ，令π2π3x k +=，Z k ∈，解得ππ62k x =-+，则()f x 图象的对称中心为ππ,1Z 26k k ⎛⎫-∈⎪⎝⎭，故A 正确；对于B ，当ππ,126x ⎡⎤∈-⎢⎣⎦时，ππ2π2,363x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，可得π1sin 2,132x ⎛⎫⎡⎤+∈ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()f x 在ππ,126⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上的值域为[]2,3，故B 不正确；对于C ，将2sin 21y x =+的图象向左平移π6个单位长度得到ππ2sin 2(12sin(21()63y x x f x =++=++=的图象，故C 正确；对于D ，当ππ,62x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，π2π4π2,333x ⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以()f x 在ππ,62⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，故D 正确；故选：ACD.12.如图所示，在边长为3的等边三角形ABC 中，23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，若BP xBA yBC =+，则（）A.1233BD BA BC=+ B.x y +的最大值为13+C.BP BC ⋅ 最大值为9 D.1BO DO ⋅=【答案】AC 【解析】【分析】对于AD ，将,,BD BO DO 分别用,BA BC表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于BC ，以点O 为原点建立平面直角坐标系，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，根据平面向量的坐标表示及坐标运算即可判断.【详解】对于A ，因为23AD AC =，且点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以113OA OD DC AC ====，则()11123333BD BC CD BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，故A 正确；对于B ，()22213333BO BC CO BC CA BC BA BC BA BC =+=+=+-=+，211211333333DO BO BD BA BC BA BC BA BC ⎛⎫=-=+-+=- ⎪⎝⎭，则2211212113333999DO BO BA BC BA BC BA BC BA BC⎛⎫⎛⎫⋅=-⋅+=--⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭1112133922=--⨯⨯⨯=，故D 错误；对于C ，如图，以点O 为原点建立平面直角坐标系，则()()1331,0,,,2,022A B C ⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭，因为点P 在以AD 的中点O 为圆心，OA 为半径的半圆上，所以点P 的轨迹方程为221x y +=，且在x 轴的下半部分，设()[]cos ,sin ,π,2πP ααα∈，则133333333cos ,sin ,,,,222222BP BC BA αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--=-=-- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以333327πcos 3cos 624243BP BC ααα⎛⎫⋅=--+=++ ⎪⎝⎭ ，因为[]π,2πα∈，所以π4π7π,333α⎡⎤+∈⎢⎥⎣⎦，所以当π2π3α+=时，BP BC ⋅ 取得最大值9，故C 正确；因为BP xBA yBC =+ ，所以133333333cos ,sin ,,222222x y αα⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=--+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即()()133333cos ,sin ,2222x y x y αα⎛⎫⎛⎫--=---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()3333sin 22x y α-=-+，所以23sin 19x y α+=-+，因为[]π,2πα∈，所以当3π2α=时，x y +取得最大值2319+，故B 错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.函数tan y x =的定义域为_____________．【答案】,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭【解析】【详解】函数tan y x =的定义域为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭故答案为,2x x k k Z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭14.若sin1a =，ln sin1b =，sin1e c =，则a ，b ，c 三数中最小数为_________.【答案】b 【解析】【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，结合sin1的范围比较大小即得.【详解】依题意，0sin11<<，ln sin1ln10b =<=，10sin 1e e c >==，所以,,a b c 三数中最小数为b .故答案为：b15.在解析几何中，设()111,P x y ，()222,P x y 为直线l 上的两个不同的点，则我们把12PP及与它平行的非零向量都称为直线l 的方向向量，把与直线l 垂直的向量称为直线l 的法向量，常用n表示，此时120P P n ⋅=.若点P l ∉，则可以把PP 在法向量n上的投影向量的模叫做点P 到直线l 的距离.现已知平面直角坐标系中，()2,2P --，()12,1P ，()21,3P -，则点P 到直线l 的距离为__________.【答案】13【解析】【分析】先求出直线方程，后利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】设l 的斜率为k ，点P 到直线l 的距离为d ，则3123k -==--1-2，l 的直线方程为2370x y +-=，由点到直线的距离公式得31d ==.故答案为：1316.对于非空集合M ，定义()0,Φ1,M x M x x M ∉⎧=⎨∈⎩，若sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，(),2B a a =，且存在x ∈R ，()()2A B x x Φ+Φ=，则实数a 的取值范围是_____________.【答案】π3π9π,,848∞⎛⎫⎛⎫⋃+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭##π3π84a <<或9π8a >【解析】【分析】首先解三角不等式求出集合A ，依题意A B ⋂≠∅，则π2a ≥时一定满足，再考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围，即可得解.【详解】因为sin 2A x x ⎧⎪=≥⎨⎪⎪⎩⎭，所以π3{|2}ππ2π4Z 4()A x k x k k =+∈<<+，因为(),2B a a =，B ≠∅，所以2a a >，所以0a >，因为()()2A B x x Φ+Φ=，所以1A B Φ=Φ=，所以A B ⋂≠∅，此时区间长度π2a ≥时一定满足，故下研究π02a <<时，此时02πa a <<<，因此满足题意的反面情况024πa a <<≤或92443ππa a ≤<≤，解得π02a <≤或834ππ9a ≤≤，因此满足题意a 的范围为π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ .故答案为：π3π9π,,848⎛⎫⎛⎫+∞⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【点睛】关键点点睛：本题关键在于考虑π02a <<时，求出A B ⋂≠∅时参数的取值范围.四、解答题：本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知角α的始边与x 轴的非负半轴重合，终边与单位圆的交点M 的坐标为04,5y ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且3π,2π2α⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.（1）求cos α，sin α的值；（2）求()()πcos πcos 2πsin tan π2αααα⎛⎫+++ ⎪⎝⎭⎛⎫-⋅- ⎪⎝⎭的值.【答案】（1）35-（2）13-【解析】【分析】（1）根据任意角三角函数定义和同角基本关系式可解；（2）利用诱导公式化简即可求值.【小问1详解】∵角α的终边与单位圆的交点为04,5M y ⎛⎫⎪⎝⎭，∴4cos 5α=，∵3π,2π2α⎛⎫∈⎪⎝⎭∴sin 0α<，∴3sin 5α==-.【小问2详解】原式()cos sin cos sin 1cos tan sin 3ααααααα--+===-⋅-.18.如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成60︒角的两条数轴，1e ，2e分别是与x 轴，y 轴正方向同向的单位向量，若向量()12,OP xe ye x y =+∈R ，则把有序数对(),x y 叫做向量OP在坐标系xOy 中的坐标.（1）设()0,3OM = ，()4,0ON = ，求OM ON ⋅的值；（2）若()3,4OP =，求OP 的大小.【答案】（1）6（2【解析】【分析】（1）根据平面向量数量积的定义进行求解即可；（2）根据平面向量数量积的运算性质进行求解即可.【小问1详解】∵23OM e = ，14ON e = ，∴121212cos 606OM ON e e ⋅=⋅=︒=；【小问2详解】∵()222212112234924162524cos 6037OP e e e e e e =+=+⋅+=+︒= ，∴OP =19.在ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且向量(),m c a b =-，()sin sin ,sin sin n B C A B =-+ ，m n ⊥ .（1）求角A 的大小；（2）若2a =，ABC 的周长为l ，面积为S ，求Sl的最大值.【答案】（1）π3A =（2）6【解析】【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标表示，结合正弦定理的边角变换与余弦定理即可得解；（2）利用（1）中结论与三角形面积公式将Sl表示为b c +的表达式，再利用基本不等式求得b c +的最大值，从而得解.【小问1详解】因为m n ⊥，故()(),sin sin ,sin sin 0m n c a b B C A B ⋅=-⋅-+=，即()()()sin sin sin sin 0c B C a b A B -+-+=，由正弦定理得，()()()0c b c a b a b -+-+=，整理得到222a b c bc =+-，则221cos 22b c bc A bc +-==，又()0,πA ∈，故π3A =.【小问2详解】由（1）知222a b c bc =+-，则224b c bc =+-，所以()243b c bc =+-，即()2143bc b c ⎡⎤=+-⎣⎦，因为1sin 24S bc A bc ==，2l b c =++，所以()()()()243324212212b c S b c l b c b c ⎡⎤+-⎣⎦===+-++++，又()24b c bc +≤，所以()()22434b c b c bc +=+-≥，所以4b c +≤，当且仅当2b c ==时，等号成立，所以)()33324212126S b c l =+-⨯-=≤，即S l 的最大值为36.20.如图所示，有一条“L ”，河道均足够长.现过点D 修建一条栈道AB ，开辟出直角三角形区域（图中OAB ）养殖观赏鱼，且π02OAB θθ⎛⎫∠=<<⎪⎝⎭.点H 在线段AB 上，且OH AB ⊥.线段OH 将养殖区域分为两部分，其中OH 上方养殖金鱼，OH 下方养殖锦鲤.（1）养殖区域面积最小时，求θ值，并求出最小面积；（2）若游客可以在栈道AH 上投喂金鱼，在河岸OB 与栈道HB 上投喂锦鲤，且希望投喂锦鲤的道路长度不小于投喂金鱼的道路长度，求θ的取值范围.【答案】（1）π6θ=，（2）ππ,62⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】【分析】（1）求出养殖观赏鱼的面积13tan tan OAB S θθ=++ ，再由基本不等式求解；（2）由题意BH OB AH +≥，则11sin 1cos tan cos tan cos sin ≥≥θθθθθθθ++⇔即可求解.【小问1详解】过D 作DM ，DN 垂直于OA ，OB ，垂足分别为M ，N ，则DM ON ==DN OM ==tan tan DM AM θθ==，tan BN DN θθ==，养殖观赏鱼的面积)1113tan 22tan tan OAB S OA OB θθθθ⎫=⋅=+=++⎪⎪⎭，由π0,2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭可得tan 0θ>，则13tan tan θθ+≥，当且仅当tan 3θ=即π6θ=时取等号，故π6θ=时，OAB S 最小=.【小问2详解】由2AOB OHA π∠=∠=，可得BOH θ∠=，则tan OH AH θ=，tan BH OH θ=，cos OHOB θ=，由题意BH OB AH +≥，则()2211sin 1cos tan sin 1sin cos 1sin cos tan cos sin θθθθθθθθθθθ++≥⇔≥⇔+≥=-，则1sin 1sin sin 2θθθ-⇔≥≥，结合π02θ<<，则ππ,62θ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭.21.设a ∈R ，函数()2sin cos f x x x a =--，π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭.（1）讨论函数()f x 的零点个数；（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x ，试证明：12121tan tan 31tan tan x x x x --≤.【答案】（1）答案见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用分离参数法分类讨论函数()f x 的零点个数；（2）利用根与系数关系和三角函数单调性证明123ππ2x x <+<，即()12cos 0x x +<，令1201tan tan x x λ=<-，则将原命题转化为证明2210λλ++≥，显然成立，进而原命题成立得证.【小问1详解】()2cos cos 1f x x x a =---+，令()0f x =，即2cos cos 1x x a +=-+，当π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭时，令()cos 1,0t x =∈-，所以21,04t t ⎡⎫+∈-⎪⎢⎣⎭，则()0f x =即21t t a +=-+，所以当10a -+≥或114a -+<-时，即1a ≤或54a >时，21t t a +=+无解；当114a -+=-时，即54a =时，21t t a +=+仅有一解；当1104a -<-+<即514a <<时，21t t a +=+有两解，综上，1a ≤或54a >时，()f x 无零点；54a =时，()f x 有一个零点；514a <<时，()f x 有两个零点.【小问2详解】若()f x 有两个零点1x ，2x ，令11cos t x =，22cos t x =，则1t ，2t 为21t t a +=+两解，则121t t +=-，则12cos cos 1x x +=-，则1222211c cos 2c o os os c s x x x x ++=，由12π,,π2x x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得1cos 0x <，2cos 0x <，则120c 2os cos x x >，所以2212cos cos 1x x +<，所以2221223πcos sin cos 2x x x ⎛⎫<=-⎪⎝⎭，由2π,π2x ⎛⎫∈⎪⎝⎭可得23,22πππx ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭，所以23πcos 02x ⎛⎫-<⎪⎝⎭，则123πcos cos 2x x ⎛⎫>- ⎪⎝⎭，由cos y x =在π,π2⎛⎫⎪⎝⎭递减，可得123π2x x <-，所以123ππ2x x <+<，所以()12cos 0x x +<令121tan tan x x λ=-，则()1212121212cos cos cos sin sin 0cos cos cos cos x x x x x x x x x x λ+-==<要证12121tan tan 31tan tan x x x x --≤成立，即证：1132λλλ--=--≤；即证：2210λλ++≥，因为()222110λλλ++=+≥显然成立，故原式成立.【点睛】函数零点的求解与判断方法：（1）直接求零点：令()0f x =，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．（2）零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[],a b 上是连续不断的曲线，且()()0f a f b <，还必须结合函数的图象与性质(如单调性、奇偶性)才能确定函数有多少个零点．。
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2021-2022学年浙江省杭州学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知全集U =R ，集合{}23,A y y x x R ==+∈，{}24B x x =-<<，则图中阴影部分表示的集合为（ ）A ．[]2,3-B ．()2,3-C ．(]2,3-D ．[)2,3-【答案】B【分析】首先求得集合A ，结合图象求得正确结论. 【详解】233y x =+≥，所以[)3,A =+∞， 图象表示集合为()U A B ⋂，()U,3A =-∞，()()U 2,3A B ⋂=-.故选：B2．设θ∈R ，则“ππ1212θ-<”是“1sin 2θ<”的（ ）． A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【详解】πππ||012126θθ-<⇔<< 1sin 2θ⇒< ，但10,sin 2θθ=<，不满足 ππ||1212θ-<，所以是充分不必要条件，选A. 【解析】 充要条件【名师点睛】本题考查充要条件的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若q p ⇒，则p 是q 的必要条件，若p q ⇔，则p 是q 的充要条件；从集合的角度看，若A B ⊆，则A 是B 的充分条件，若B A ⊆，则A 是B 的必要条件，若A B =，则A 是B 的充要条件，若A 是B 的真子集，则A 是B 的充分不必要条件，若B 是A 的真子集，则A 是B 的必要不充分条件.3．已知tan 212πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，则tan 3πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A ．13- B ．13 C ．-3D ．3【答案】A 【分析】将3πα+看成124ππα++，利用两角和的正切公式可求tan 3πα⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值.【详解】tan tan 3124πππαα⎛⎫⎛⎫+=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭tan tan112431tan tan124ππαππα⎛⎫++ ⎪⎝⎭==-⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，故选：A.【点睛】三角函数的中的化简求值问题，我们往往从次数的差异、函数名的差异、结构的差异和角的差异去分析，处理次数差异的方法是升幂降幂法，解决函数名差异的方法是弦切互化，而结构上差异的处理则是已知公式的逆用等，最后角的差异的处理则往往是用已知的角去表示未知的角. 4．函数1()(2f x = ）A ．1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B．12⎤⎥⎝⎦C．12⎡⎢⎣⎦D ．1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】C【分析】求出给定函数的定义域，再结合指数型复合函数单调性求解作答. 【详解】依题意，210x x -++≥x ≤≤，即()f x定义域为，令u，则函数u在1]2上单调递增，在1[2上单调递减，而函数1()2u y =在R 上单调递减，因此，()f x在1]2上单调递减，在1[2上单调递增，所以函数1()(2f x =1[2.故选：C5．已知奇函数()y g x =的图象由函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移(0)m m >个单位后得到，则m 可以是（ ） A ．12π- B ．1π- C ．12π+ D ．1π+【答案】A【分析】逐项验证()g x 是否等于()g x --可得答案. 【详解】当12m π-=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π-个单位后得到()()g()sin 21sin 2sin 212x x x x g x ππ⎡⎤-=⎢⎥⎣⎛⎫=+++=-=-- ⎝⎦⎪⎭，故A 正确；当1m π=-时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π-个单位后得到()()()()sin 21sin 121g x x x g x π⎡⎤-=++-≠⎦-=-⎣，故B 错误； 当12m π+=时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移12π+个单位后得到()()()122()sin 21sin 2sin 22g x x x x g x ππ⎡⎤⎛⎫=+++=-+≠-- ⎪⎝⎭+=+⎢⎥⎣⎦，故C 错误；当1m π=+时，函数()sin(21)f x x =+的图象向左平移1π+个单位后得到()()()()sin 21sin 123g x x x g x π⎡⎤+=+++≠⎦-=-⎣，故D 错误； 故选：A.6．重庆有一玻璃加工厂，当太阳通过该厂生产的某型防紫外线玻璃时，紫外线将被过滤为原来的13，而太阳通过一块普通的玻璃时，紫外线只会损失10％，设太阳光原来的紫外线为()0k k >，通过x 块这样的普通玻璃后紫外线为y ，则()*0.9x y k x N =⋅∈，那么要达到该厂生产的防紫外线玻璃同样的效果，至少通过这样的普通玻璃块数为（ ）（参考数据：lg30.477≈） A ．9 B ．10 C ．11 D ．12【答案】C【解析】由题意得30.9(0)x kk k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，利用对数的运算性质可得选项.【详解】由题意得30.9(0)xkk k ⋅<>，化简得10.93x <，两边同时取常用对数得110.913x g g <，因为lg 0.90<，所以11130.477310.37lg 0.92lg310.046g g x -->=≈≈--，则至少通过11块玻璃. 故选：C.7．已知函数()()3cos 2>0,<2f x x πωϕωϕ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，其图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π，若,1216x ππ⎡⎤∀∈-⎢⎥⎣⎦，()2f x ≥恒成立，则ϕ的取值范围是（ ）A ．,64ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．,46ππ⎡⎤--⎢⎥⎣⎦C ．,36ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦D ．0,4⎡⎤⎢⎥⎣⎦π【答案】A【解析】由5是函数的最大值，结合已知可得周期，从而得ω值，再由不等式恒成立得ϕ的范围．【详解】由题意()f x 的最大值是5，所以由()f x 的图象与直线5y =相邻两个交点的距离为2π知2T π=，242πωπ==．即()3cos(4)2f x x ϕ=++，()2f x 即cos(4)0x ϕ+<，,1216x ππ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦时，4,34x ππϕϕϕ⎡⎤+∈-++⎢⎥⎣⎦，因为2πϕ<，所以36ππϕ-+<，44ππϕ+>-，所以3242ππϕππϕ⎧-+≥-⎪⎪⎨⎪+≤⎪⎩，解得64ππϕ-≤≤．故选：A ．【点睛】关键点点睛：本题考查三角函数的性质，解题时能确定具体数值的先确定具体值，如4ω=，而ϕ的求法有两种：（1）由x 的范围，求出4x ϕ+的范围，并根据ϕ的范围得出3πϕ-和4πϕ+的范围，然后根据余弦函数性质得出不等关系．（2）先利用余弦函数性质，求出()2f x ≥时，x 的范围，再由已知区间,1216ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦是这个范围的子集，得出结论．8．已知函数22ln(1),1()ln(45),1x x f x x x x ⎧+≥=⎨-+<⎩，若关于x 的不等式()()1f x f ax <+的解集中有且仅有两个整数，则实数a 的取值范围为（ ） A ．2112,)(,3223⎡⎤--⋃⎢⎥⎣⎦B ．111,,122⎡⎤⎡⎤--⋃⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦C ．11(,)22-D ．22(,)33-【答案】A【分析】首先由解析式得(1)(1)f t f t +=-，得出()f x 关于1x =对称，再得出()()2ln 1f x x =+在[)1,+∞上单调递增，将原不等式转化为111x ax -<+-，然后对||a 分||0a =，||1a >，01a <≤讨论，解不等式即可.【详解】当0t >时，()22(1)ln (1)1ln 22f t t t t ⎡⎤+=++=++⎣⎦()22(1)ln (1)4(1)5ln 22f t t t t t ⎡⎤-=---+=++⎣⎦， 则(1)(1)f t f t +=-，即()f x 关于1x =对称又当1≥x 时，()ln f x t =在定义域上单调递增，21t x =+在[)1,+∞上单调递增，故()()2ln 1f x x =+在[)1,+∞上单调递增，所以由()()1f x f ax <+得111x ax -<+-， 即1x ax -<，当||0a =时，不等式无解；当||1a >时，1x ax -<即为()221210a x x -+->，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去；若||1a =，则1x ax -<即为210x ，此时不等式的解集有无穷多个整数，舍去； 当01a <<，且0x ≠时，1x a x -<， 得1x a a x--<<，1111x a a <<+-， 显然当1x =满足此式，0x =不满足此式， 得2x =满足此式，3x =不满足此式， 1231a∴<≤-， 解得2112,)(,3223a ⎡⎤∈--⋃⎢⎥⎣⎦故选：A. 二、多选题9．已知,0a b >，21a b +=.则下列选项一定正确的是（ ）A b ≤B ．12C ．2+a b 的最大值为2D ．2149a b+≥【答案】ABD【分析】根据给定条件利用均值不等式、二次函数性质逐项分析即可判断作答.【详解】因,0a b >，21a b +=，则1b a =<<，b ==≤即1,22a b ==时取“=”，A 正确；因,0a b >，21a b +=，则22()122a b b a +≤=，当且仅当22a b ==时取“=”，即b a 的最大值为12，B 正确；因,0a b >，21a b +=，则2(01)1b b a =<<-，22212(1)22a b b b b +=-+=--+<，C 不正确；因,0a b >，21a b +=，则2222222141444()()5529b a b a a b a b a b a b a b+=++=++≥+⋅=，当且仅当224b a a b=，即2223b a ==时取“=”，D 正确.故选：ABD10．已知函数()(sin cos )|sin cos |f x x x x x =+⋅-，下列说法正确的是（ ） A ．()f x 的最小正周期为π B ．若()()122f x f x +=.则12(Z)2k x x k π+=∈ C ．()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是增函数D ．()y f x =的对称轴是(Z)4x k k ππ=+∈【答案】BD【分析】把函数()f x 化成分段函数，作出函数图象，再逐一分析各个选项即可判断作答. 【详解】依题意，3cos 2,2244()(Z)5cos 2,2244x k x k f x k x k x k ππππππππ⎧-+<<+⎪⎪=∈⎨⎪-+≤≤+⎪⎩，函数()f x 部分图象如图，函数()f x 是周期函数，周期为2π，而()[sin()cos()]|sin()cos()|()f x x x x x f x πππππ+=+++⋅+-+=-，即π不是()f x 的周期，A 不正确；因()11f x ≤且()21f x ≤，则当()()122f x f x +=时，1|cos 2|1x =且2|cos 2|1x =， 则112k x π=且222k x π=，12,Z k k ∈，因此，1212()22k k k x x ππ++==，12Z k k k +=∈，B正确；观察图象知，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不单调，事实上，(0)10()4f f π=>=，()f x 在区间,22ππ⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上不是增函数，C 不正确； 观察图象知，4x π=，34x π=-是函数()y f x =图象的相邻两条对称轴，且相距半个周期长，事实上()[sin()cos()]|sin()cos()|()22222f x x x x x f x πππππ-=-+-⋅---=，即()y f x =图象关于4x π=对称，同理有()y f x =图象关于34x π=-对称，而函数()f x 的周期是2π，所以函数()y f x =图象对称轴,Z 4x k k ππ=+∈，D 正确.故选：BD【点睛】结论点睛：存在常数a 使得()(2)()()f x f a x f a x f a x =-⇔+=-，则函数()y f x =图象关于直线x a =对称.三、填空题11．如图，扇形AOB 的周长是6，该扇形的圆心角是1弧度，则该扇形的面积为______.【答案】2【分析】由扇形周长求得半径同，弧长，再由面积公式得结论． 【详解】设半径为R ，则26R R +=，2R =，所以弧长为2l R ==，面积为1122222S lR ==⨯⨯=．故答案为：2．12．已知函数()sin()(0,0,0)f x A x A ωϕωϕ=+>>≤≤π的部分图象如图所示，则()f x 的解析式是___________.【答案】()2sin(2)3f x x π=+【分析】根据给定函数图象借助“五点法”作图方法，依次计算即可求解作答. 【详解】观察图象知，2A =，令函数()f x 的周期为T ，则()2362T πππ=--=，解得T π=，22Tπω==， 而()06f π-=，于是得22,Z 6k k πϕπ⎛⎫⨯-+=∈ ⎪⎝⎭，即2,Z 3k k πϕπ=+∈，又0ϕπ≤≤，则0,3k πϕ==，所以()f x 的解析式是()2sin(2)3f x x π=+.故答案为：()2sin(2)3f x x π=+13．已知函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤的解集为___________.【答案】(,0]-∞【分析】根据给定条件分段求解不等式即可作答.【详解】因函数22,1(),1x x f x x x ⎧≤=⎨>⎩，则不等式()1f x ≤化为：121x x ≤⎧⎨≤⎩或211x x >⎧⎨≤⎩，解121x x ≤⎧⎨≤⎩得：0x ≤，解211x x >⎧⎨≤⎩，无解，于是得0x ≤，所以不等式()1f x ≤的解集为(,0]-∞. 故答案为：(,0]-∞14．如图，在单位圆中，(1,0)P ，M ､N 分别在单位圆的第一､二象限内运动，若23PON S =△MON △为等边三角形，则sin POM ∠=___________.【答案】53145314【分析】先根据三角形面积公式求出sin PON ∠，然后结合两角和与差的正弦公式求得答案.【详解】由题意，111sin sin 2723437PON PON P S ON =⨯⨯⨯∠∠=⇒=△，而点N 在第二象限，所以24317c s 7o 1PON ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭∠=--，因为3MON π∠=，所以134311353sin sin sin cos 322727214POM PON PON PON π⎛⎫∠=∠-=∠⨯-∠⨯=⨯+⨯=⎪⎝⎭.故答案为：5314. 15．如图，一块边长为1的正方形区域ABCD ，在A 处有一个可转动的探照灯，其照射角MAN ∠始终为π4，记探照灯照射在正方形ABCD 内部区域（阴影部分）的面积为S ．若设BAM α∠=，π0,4α⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则S 的最大值为______．【答案】22【分析】利用 ABCD ABMADNS S SS=--，推出探照灯照射在正方形ABCD 内部区域的面积S ，利用基本不等式即可求出面积的最大值．【详解】解：因为1,,0,4AB BAM παα⎡⎤=∠=∈⎢⎥⎣⎦，所以tan BM α=，令tan t α=，则01t ≤≤，而4DAN πα∠=-，所以1tan 41tDN t πα-⎛⎫=-= ⎪+⎝⎭，1111212(1)22121ABCD ABMADNt S S SSt t t t -⎡⎤=--=--⨯=-++⎢⎥++⎣⎦1221)2t ≤-⨯=≤≤，当且仅当1t =时取等号，所以S 的最大值为2故答案为：216．设关于x 的方程|2||23|||(,)x x ax b a b R -+-=+∈解集为M ，关于x 的不等式(2)(23)0x x --≥的解集为N ，若集合M N ，则⋅=a b ________.【答案】15-【分析】根据一元二次不等式的解法，结合绝对值的性质进行求解即可.【详解】由(2)(23)02x x x --≥⇒≥或 1.5≤x ，所以{2M N x x ==≥或}1.5x ≤， 当2x ≥时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-=-， 当 1.5≤x 时，由|2||23|||x x ax b -+-=+，可得||22335ax b x x x +=-+-+=-+， 因此有|35|||x ax b -=+，当3,5a b ==-时，3(5)15a b ⋅=⨯-=-； 当3,5a b =-=时，3515a b ⋅=-⨯=-， 故答案为：15-17．已知*,a b ∈R ，ln 22ab b a ⎫+-≥⎪⎭则2a b +的最小值为___________. 【答案】4【分析】22ln ln a a b b ++，令()()ln 0f x x x x +>，则原不等式等价于()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭，易知函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，可得2a b≥，即2ab ≥，再根据基本不等式，即可得到结果.【详解】222ln ln ln a a b b b +≥+令()()ln 0f x x x x +>，则原不等式等价于()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭又函数y =ln y x =和函数y x =在区间(0)+∞，上单调递增， 所以函数()f x 在(0)+∞，上单调递增，所以()2f a f b ⎛≥⎫⎪⎝⎭，可得2a b ≥，即2ab ≥，所以24a b +≥，当且仅当2a b =时取等号，此时2a b +的最小值为4. 故答案为：4. 四、解答题18．已知函数()22sin cos x x f x x =-（1）求函数()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的值域；（2）设,2παπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，求sin α的值.【答案】（1）2⎡⎤⎣⎦,（2【解析】（1）根据题意可知，()2sin 23f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，根据三角函数的性质即可求出()f x 的值域.（2）因为10213f α⎛⎫= ⎪⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，根据三角函数的两角差正弦公式sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，进而求出结果.【详解】（1）()sin 222sin 23f x x x x π⎛⎫==+ ⎪⎝⎭，当0.2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，42333x πππ≤+≤，所以，此时()f x 的值域为2⎡⎤⎣⎦.（2）因为102sin 2313f απα⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以5sin 313πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，54633πππα<+<，所以12cos 313πα⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，sin sin 33ππαα⎡⎤⎛⎫=+- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦sin cos cos sin 3333ππππαα⎛⎫⎛⎫=+-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【点睛】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，正弦函数的性质，两角差的正弦函数公式的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．19．已知函数()x xk f x a ka -=+（Z k ∈，0a >且1a ≠）.(1)若11()32f =，求1(2)f 的值；(2)若()k f x 为定义在R 上的奇函数，且01a <<，是否存在实数m ，使得()21(5)k k f mx mx f m --+->0对任意的[1,3]x ∈恒成立，若存在，请写出实数m 的取值范围；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)47； (2)存在，6(,)7-∞.【分析】(1)3=，由此计算1a a+即可计算1(2)f 的值. (2)由给定条件求出k ，再探求函数()k f x 的单调性，然后脱去函数对应法则，分离参数并求出函数最值作答. (1)依题意，1()x xf x a a -=+，由11()32f =3=，两边平方得129a a ++=，解得17a a+=， 所以22211(2)()247f a a a a-=+=+-=.(2)因()k f x 为定义在R 上的奇函数，则R x ∀∈，()()0k k f x f x -+=，即0x x x x a ka a ka --+++=，则(01)()x x k a a -++=，而0x x a a -+>，解得1k =-，因此，()1x xf x a a --=-， 因01a <<，则x a 在R 上单调递减，x a -在R 上单调递增，从而得()1x xf x a a --=-在R 上单调递减，()()()()()2211111150155f mx mx f m f mx mx f m f m -------+->⇔-->--=- 2215(1)6mx mx m x x m --<-⇔-+<⇔，而22131()024x x x -+=-+>，则261m x x <-+，依题意，[1,3]x ∀∈，261m x x <-+成立，显然21x x -+在[1,3]上单调递增，261x x -+在[1,3]上单调递减， 则当3x =时，min2166()7x x =-+，于是得67m <， 所以存在实数m 满足条件，m 的取值范围是6(,)7-∞.20．某地空气中出现污染，须喷洒一定量的去污剂进行处理，据测算，每喷洒1个单位的去污剂，空气中释放的浓度y (单位：毫克/立方米)随着时间x (单位：天)变化的函数关系式近似为y =161,04815,4102x xx x ⎧-≤≤⎪⎪-⎨⎪-<≤⎪⎩，若多次喷洒，则某一时刻空气中的去污剂浓度为每次投放的去污剂在相应时刻所释放的㳖度之和，由实验知，当空气中去污剂的浓度不低于4(毫克/立方米)时，它才能起到去污作用.(1)若一次喷洒4个单位的去污剂，则去污时间可达几天？(2)若第一次喷洒2个单位的去污剂，6天后再喷洒(14)a a ≤≤个单位的去污剂，要使接下来的4天中能够持续有效去污，试求a 的最小值.(精确到0.11.4) 【答案】(1)8天 (2)1.6【分析】(1)利用已知可得：一次喷洒4个单位的净化剂，浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，分类讨论解出()4f x ≥即可；(2)设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，可得浓度()()116251286g x x a x ⎥=-+---⎡⎤⎛⎫⎢ ⎪⎝⎭⎣⎦，整理化简，利用基本不等式即可得出．(1)解：∵一次喷洒4个单位的净化剂，∴浓度()644,0448202,410x f x y x x x ⎧-≤≤⎪==-⎨⎪-≤⎩＜，则当04x ≤≤时，由64448x-≥-，解得0x ≥， ∴此时04x ≤≤．当410x <≤时，由2024x -≥，解得8x ≤， ∴此时48x <≤． 综合得08x ≤≤，若一次投放4个单位的制剂，则有效净化时间可达8天． (2)解：设从第一次喷洒起，经()610x x ≤≤天，浓度()()()1161625114428614a g x x a x a x x =-+-⎡⎤⎛⎫⎢⎥ ⎪=-+-----⎝⎭⎣⎦， ∵[]1448x -∈，，而14a ≤≤，∴8[]4,，故当且仅当14x -=时，y有最小值为4a -．令44a -≥，解得244a -≤， ∴y a的最小值为24 1.6-．21．已知0a >，设函数()2sin 2(1)(sin cos )21f x a x a x x a =+-++-，,02x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦π，()2sin 2(1)sin g x a x a x =-+-，R x ∈，(1)当2a =时，求函数()f x 的值域； (2)记|()|f x 的最大值为M ， ①求M ；②求证：|()|2g x M ≤.【答案】(1)17,416⎡⎤-⎢⎥⎣⎦(2)①2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩；②证明见解析 【分析】（1）令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，转化为21174816y t ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，配方求值域即可；（2）①设sin cos t x x =+，换元得()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭，分类讨论即可求解； ②利用绝对值不等式的性质求出()||g x 11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪≤+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩利用做差法与2M 比较大小即可求证. (1)当2a =时，()()4sin 2cos sin 3f x x x x =+++，,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，所以()24sin 241=-x t ，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]1,1t ∈-，所以()221174134816y t t t ⎛⎫=-++=+- ⎪⎝⎭，因为[]1,1t ∈-，所以2117174,481616y t ⎛⎫⎡⎤=+-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，所以()17,416f x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦.(2)①令sin cos ,042ππ⎛⎫⎛⎫⎡⎤=++∈- ⎪⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎝⎭t x x x x ，所以2sin 21x t =-，因为,02x π⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦[]1,14π⎛⎫+∈- ⎪⎝⎭x ，所以[]1,1t ∈-，()()22216121121248-++⎛⎫=-+-+-=+-⎪⎝⎭a a a y a t a t a a t a a ， ()22161248a a a h t a t a a -++⎛⎫=--⎪⎝⎭， ()h t 是对称轴为14aa-，开口向上的抛物线， ()1h a -=，()132h a =-，216148a a a h a a -++⎛⎫=-⎪⎝⎭1）当105a <≤时，114a t a-=≥，32a a ≤-，所以23M a =-， 2）当115a <≤时，[)10,14a t a-=∈，()114a h h a -⎛⎫>- ⎪⎝⎭，所以2618a a M a ++=， 3）当1a >时，()11,04at a-=∈-，()114a h h a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，所以32M a =-，综上所述：2123,05611,18532,1a a a a M a a a a ⎧-<≤⎪⎪++⎪=<≤⎨⎪->⎪⎪⎩. ②()()()2sin 21sin 2sin 21sin 21g x a x a x a x a x a a =-+-≤-+-≤+-11,0511,1531,1a a a a a a ⎧+<≤⎪⎪⎪=+<≤⎨⎪->⎪⎪⎩，当105a <≤时，()()7122373305a a a +--=-≤-<，所以()2g x M ≤；当115a <≤时，()226132131131112084442442a a a a a a a a a ++--+-⨯==--≤--≤， 所以()2g x M ≤；当1a >时，()()3123233330a a a ---=-+<-<，所以()2g x M ≤， 综上所述：所以()2g x M ≤.。
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．设全集为R ，集合A ＝{x |0＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥1}，则A ∩B ＝（ ） A ．{x |1≤x ＜2} B ．{x |0＜x ＜2}C ．{x |0＜x ≤1}D ．{x |0＜x ＜1}【答案】A【解析】利用交集定义直接求解． 【详解】由集合{}|02A x x =<<，{}|1B x x =≥，所以{}|12A B x x =≤<I . 故选：A. 【点睛】本题考查交集的求法，交集定义等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 2．已知函数f （x ）的定义域为（﹣1，1），则函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭的定义域为（ ） A ．（0，2） B ．（1，2）C ．（2，3）D ．（﹣1，1）【答案】B【解析】由题意可得112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，由此求得x 的范围，即为所求. 【详解】由题意，函数()f x 的定义域为()1,1-，则对于函数()()22x g x f f x ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，应有112121x x ⎧-<<⎪⎨⎪-<-<⎩，解得12x <<，故()g x 的定义域为()1,2. 故选：B. 【点睛】本题主要考查函数的定义域的定义，求函数的定义域，属于基础题． 3．若角α的终边与单位圆交于点P （35-，45），则sin （2π+α）＝（ ）A ．35B ．35-C ．45-D ．45【答案】B【解析】利用任意角的三角函数的定义求得cos α的值，再利用诱导公式，即可得到结论. 【详解】因为角α的终边与单位圆交于点34,55P ⎛⎫- ⎪⎝⎭，由三角函数的定义知3cos 5α=-， 所以3sin cos 25παα⎛⎫+==-⎪⎝⎭.故选：B. 【点睛】本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．4．函数()2e e x xf x x--=的图像大致为 ( ) A ． B ．C ．D ．【答案】B【解析】分析：通过研究函数奇偶性以及单调性，确定函数图像.详解：20,()()()x xe e xf x f x f x x --≠-==-∴Q 为奇函数，舍去A,1(1)0f e e -=->∴Q 舍去D;243()()2(2)(2)()2,()0x x x x x xe e x e e x x e x ef x x f x x x---+---++=='∴>'>Q ，所以舍去C ；因此选B.点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．5．已知2log e =a ，ln 2b =，121log 3c =，则a ，b ，c 的大小关系为 A ．a b c >> B ．b a c >>C ．c b a >>D ．c a b >>【答案】D【解析】分析：由题意结合对数函数的性质整理计算即可求得最终结果. 详解：由题意结合对数函数的性质可知：2log 1a e =>，()21ln 20,1log b e ==∈，12221log log 3log 3c e ==>， 据此可得：c a b >>. 本题选择D 选项.点睛：对于指数幂的大小的比较，我们通常都是运用指数函数的单调性，但很多时候，因幂的底数或指数不相同，不能直接利用函数的单调性进行比较．这就必须掌握一些特殊方法．在进行指数幂的大小比较时，若底数不同，则首先考虑将其转化成同底数，然后再根据指数函数的单调性进行判断．对于不同底而同指数的指数幂的大小的比较，利用图象法求解，既快捷，又准确． 6．已知sinα+cosα12=，α∈（0，π），则11tan tan αα+=-（ ） A．7 B．7-C．3D．3-【答案】B【解析】将等式两边平方，得32sin cos 4αα=-，再利用完全平方公式得sin cos 2αα-=. 【详解】由1sin cos 2αα+=，平方得()21sin cos 12sin cos 4αααα+=+=，即32sin cos 4αα=-，又()0,απ∈，则sin 0α>，cos 0α<，所以()237sin cos 12sin cos 144αααα-=-=+=，即7sin cos 2αα-=， 所以1tan sin cos 71tan cos sin αααααα++==---. 故选：B. 【点睛】本题考查了同角三角函数间基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题.7．在矩形ABCD 中，AB ＝2，AD ＝4，AB ⊥AD ，点P 满足AP xAB y AD =+u u u r u u u r u u u r，且x +2y＝1，点M 在矩形ABCD 内（包含边）运动，且AM AP λ=u u u u r u u u r，则λ的最大值等于（ ） A ．1 B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】利用矩形建立坐标系，把所给向量条件转化为坐标关系，结合点在矩形内，利用横纵坐标满足的条件列不等式，求得范围. 【详解】 建立如图坐标系：则()2,0AB =uu u r，()0,4AD =u u u r ，()()()2,00,42,4AP xAB yAD x y x y ∴=+=+=u u u r u u u r u u u r， ()2,4AM AP x y λλλ∴==u u u u r u u u r，因M 在矩形ABCD 内， 所以022044x y λλ≤≤⎧⎨≤≤⎩，即246x y λλ+≤，所以()23x y λ+≤，又21x y +=，所以3λ≤，即λ的最大值为3. 故选：C. 【点睛】本题考查了向量的坐标运算，不等式性质等基础知识，属于基础题．8．平面向量a r ，b r 满足，2()30a a b -⋅-=rr r ，2b =r ，则a b -r r 最大值是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】C【解析】根据题意设向量()0,2b =r ，(),a x y =r，将方程转化为圆的方程，再利用两点间的距离即可得到结论. 【详解】由题意，设向量()0,2b =r ，(),a x y =r ，则()222ax y =+r，2a b y ⋅=r r，因()230a a b -⋅-=r r r ，即，22230x y y +--=，所以：()2214x y +-=，即向量a r的轨迹是以()0,1为圆心，2r =的圆，又(),2a b x y -=-r r，所以a b -=r r (),x y 与点()0,2之间的距离，又点(),x y 满足()2214x y +-=，所以23a b -==r r.故选：C. 【点睛】本题主要考查向量的坐标运算，将向量的模转化为两点之间的距离是关键，属于中档题.9．将函数sin(2)5y x π=+的图象向右平移10π个单位长度，所得图象对应的函数A ．在区间35[,]44ππ上单调递增 B ．在区间3[,]4ππ上单调递减 C ．在区间53[,]42ππ上单调递增 D ．在区间3[,2]2ππ上单调递减 【答案】A【解析】由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可. 【详解】由函数图象平移变换的性质可知：将sin 25y x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭的图象向右平移10π个单位长度之后的解析式为：sin 2sin 2105y x x ππ⎡⎤⎛⎫=-+= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦.则函数的单调递增区间满足：()22222k x k k Z ππππ-≤≤+∈，即()44k x k k Z ππππ-≤≤+∈，令1k =可得一个单调递增区间为：35,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦. 函数的单调递减区间满足：()322222k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 即()344k x k k Z ππππ+≤≤+∈， 令1k =可得一个单调递减区间为：57,44ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，本题选择A 选项. 【点睛】本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.10．函数y x = ）．A ．()1,+∞B ．)+∞C ．)+∞D ．)1⎡+∞⎣【答案】A【解析】函数y x =，可得y x -=，两边平方，即可求解． 【详解】解：函数y x x =+R ．当1x …时，可知函数y 是递增函数，可得1y +…当1x „时，可得0y x -=， 两边平方， 0y x -Q …，即1y >； 22()y x ∴-=，可得：222223x xy y x x -+=-+，(1)y ≠23122y x y -∴=-„．得y R ∈．由2232302(1)22y y y y x y y y --+-=-=--…， 1y >Q ．2230y y ∴-+… 可得：y R ∈ 综上可得1y >．∴函数y x =(1)+∞．故选：A ． 【点睛】本题考查了函数值域的求法．高中函数值域求法有：1、观察法，2、配方法，3、反函数法，4、判别式法；5、换元法，6、数形结合法，7、不等式法，8、分离常数法，9、单调性法，10、利用导数求函数的值域，11、最值法，12、构造法，13、比例法．要根据题意选择．二、填空题11．已知向量()12a =r ，，()3b x =-r ，，若满足a b r P r ，则x ＝_____，若满足a b⊥r r ，则x ＝_____． 【答案】32-6 【解析】根据平面向量共线与垂直的坐标表示，分别列方程求出x 的值. 【详解】因向量()1,2a =r，(),3b x =-r ，若//a b r r，则()1320x ⨯--=，解得32x =-， 若a b ⊥r r，则()230x +⨯-=，解得6x =.故答案为：32-，6. 【点睛】本题考查了平面向量的坐标表示与应用问题，属于基础题.12．函数()f x =________． 【答案】[2，+∞）【解析】分析：根据偶次根式下被开方数非负列不等式，解对数不等式得函数定义域. 详解：要使函数()f x 有意义，则2log 10x -≥，解得2x ≥，即函数()f x 的定义域为[2,)+∞.点睛：求给定函数的定义域往往需转化为解不等式（组）的问题. 13．若5sin()=613πα-，则cos()3πα+=________________ 【答案】513【解析】根据题意cos cos 326πππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫+=--⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦，然后根据诱导公式对上式进行变形即可得到cos sin 36ππαα⎛⎫⎛⎫+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可求得答案 【详解】5sin 613Q πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则5cos cos sin 326613ππππααα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=--=-=⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 故答案为513【点睛】本题是一道有关三角函数的题目，解答本题的关键是掌握诱导公式，属于基础题． 14．已知△ABC 的外接圆圆心为O ，AB ＝3，AC ＝5，∠BAC ＝120°，则AO BC ⋅=u u u r u u u r_____． 【答案】8【解析】可画出图形，并将O 和AC 中点D 连接，O 和AB 中点E 连接，从而得到OD AC ⊥，OE AB ⊥，根据数量积的计算公式以及条件即可得出.【详解】如图，AC 中点，AB 中点E ，并连接OD ，OE ，则OD AC ⊥，OE AB ⊥，212AO AC AC ∴⋅=u u u r u u u r u u u r ，212AO AB AB ⋅=u u u r u u u r u u u r ，()222211115382222AO BC AO AC AB AO AC AO AB AC AB ∴⋅=⋅-=⋅-⋅=-=⨯-⨯=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r故答案为：8. 【点睛】本题考查三角形外心的定义，向量数量积的运算及计算公式，向量减法的几何意义，三角函数的定义，属于基础题． 15．已知f （x ）＝sin 6x πω⎛⎫+⎪⎝⎭（ω＞0），f （6π）＝f （3π），且f （x ）在区间63ππ⎛⎫⎪⎝⎭，上有最小值，无最大值，则ω＝_____． 【答案】163【解析】由题意可得函数的图象关于直线4x π=对称，再根据()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭上有最小值，无最大值，可得3462πππω+=，由此求得ω的值. 【详解】对于函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=+> ⎪⎝⎭，由63f f ππ⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭得， 函数图象关于6324x πππ+==对称，又()f x 在区间,63ππ⎛⎫⎪⎝⎭有最小值，无最大值， 可得()32462k k Z πππωπ+=+∈，即()1683k k Z ω=+∈，又342T ππ-≤，即12ω≤ 所以163ω=.故答案为：163. 【点睛】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，正弦函数的最值，属于中档题．16．定义在区间02π⎛⎫⎪⎝⎭，上的函数y =的图象与y ＝4tan x 的图象的交点为P ，过点P 作PP 1⊥x 轴交于点P 1，直线PP 1与y ＝sin x 的图象交于点P 2，则线段P 1P 2的长为_____．【解析】先将12PP 的长转化为求sin x 的值，再由x 4tan x x =可求出sin x 的值，从而得到结论. 【详解】由题意可得，线段12PP 的长即为点2P 的纵坐标，即sin x 的值，且其中的x 即为P 的横4tan x x =sin 4cos xx x =，24sin 0x x +=，解得sin x =，（舍负）所以线段12PP .. 【点睛】本题主要考查三角函数的图象，体现了转化、数形结合的数学思想，属于基础题． 17．设函数f （x ）＝2ax 2+2bx ，若存在实数x 0∈（0，t ），使得对任意不为零的实数a ，b 均有f （x 0）＝a +b 成立，则t 的取值范围是_____． 【答案】()1,+∞【解析】对任意不为零的实数a ，b 均有()0f x a b =+成立等价于()()22112x b x a -=-，分12x =或12x ≠两种情况讨论，即可求出t 的范围.【详解】f （x ）＝a +b 成立等价于（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a ， 当x 12=时，左边＝0，右边≠0，不成立，当x 12≠时，（2x ﹣1）b ＝（1﹣2x 2）a 等价于21221b x a x -=-， 设k ＝2x ﹣1，则x 12k +=， 则22(1)1211222k b k k a k k +---+===（1k -k ﹣2）， ∵x ∈（0，t ），（t 12＜），或x ∈（0，12）∪（12，t ），（t 12＞）， ∴k ∈（﹣1，2t ﹣1），（t 12＜），或k ∈（﹣1，0）∪（0，2t ﹣1），（t 12＞），（） ∵∀a ，b ∈R ， ∴12b a =（1k -k ﹣2），在（）上恒有解， ∴12（1k-k ﹣2），在（）上的值域为R ， 设g （k ）12=（1k-k ）﹣1，则g （k ）在（﹣1，0），（0，2t-1）上单调递减， 对应值域为(,1),((21),)g t -∞--+∞ 要保证12（1k-k ﹣2）在（）上的值域为R ，则 ∴1122(21)1211t t g t t ⎧⎧⎪⎪∴⎨⎨⎪⎪-<--⎩⎩＞＞＞， 解得t ＞1，故答案为：()1,+∞.【点睛】本题考查了函数的单调性的应用，关键是构造函数，属于难题．三、解答题18．计算下列各式的值：（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）-23 （2）2（）2•lg5【答案】（1）3（2）1【解析】（1）利用指数的运算法则化简求解即可；（2）利用对数的运算法则化简求解即可．【详解】（1）27213216-+-（12）﹣2﹣（827）23-=914+-494-=3； （2）2（）2•lg5=2（）2•lg5+1﹣＝++1﹣＝lg1﹣＝1．【点睛】本题考查指数的运算法则以及对数运算法则的应用，属于基础题．19．（1）已知tanθ＝2，求sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4的值． （2）已知()()()()332sin cos tan f x cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭，求73f π⎛⎫- ⎪⎝⎭的值． 【答案】（1）175；（2【解析】（1）利用同角三角函数基本关系式化弦为切求解；（2）利用诱导公式化简变形，代入73πθ=-求解. 【详解】（1）∵tanθ＝2，∴sin 2θ﹣2sinθcosθ﹣3cos 2θ+4 2222222344sin sin cos cos sin cos sin cos θθθθθθθθ--++=+ 222222525211sin sin cos cos tan tan sin cos tan θθθθθθθθθ-+-+==++ 225222117215⨯-⨯+==+； （2）∵f （θ）()()()332sin cos tan cos πθπθπθπθ-+-=⎛⎫- ⎪⎝⎭()()sin cos tan sin θθθθ⋅-⋅-==--sinθ．∴7733 f sinππ⎛⎫⎛⎫-=--=-⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭sin（3π-）＝sin33π=．【点睛】本题考查三角函数的化简求值，考查诱导公式及同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．20．在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°．动点E和F分别在线段BC和DC上，且19BE BC DF DCλλ==u u u r u u u r u u u r u u u r，．（1）当λ12=，求|AEu u u r|；（2）求AE AF⋅u u u r u u u r的最小值．【答案】（1）13（2）2918【解析】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，根据向量的坐标运算求出AEu u u r，DFu u u r，（1）当12λ=时，73,4AE⎛⎫= ⎪⎪⎝⎭u u u r，即可求出答案；（2）根据向量的数量积和基本不等式即可求出答案.【详解】以等腰梯形ABCD的底AB所在的直线为x轴，以AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的坐标系，∵AB∥DC，AB＝2，BC＝1，∠ABC＝60°，∴A（﹣1，0），B（1，0），C（123，D（12-3，∴AE AB BE =+=u u u r u u u r u u u r （2，0）+λ（12-=212-λ），（1）当λ12=时，AE =u u u r （74，则|AE u u u r |==（2）∵DE AD DF =+=u u u r u u u r u u u r （12）19λ+（1，0）＝（1129λ+，∴17217189218AE AF λλ⋅=++≥+u u u r u u u r 1722918318=+=，当且仅当λ23=时取得最小值．【点睛】本题考查了等腰梯形的性质以及向量的数量积公式的运用、基本不等式求最值；关键是正确表示所求，利用基本不等式求最小值，属于基础题.21．已知函数()223f x sin x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭： （1）若04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求y ＝f （x ）的最大值和最小值，并写出相应的x 值；（2）将函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g （x ）的图象，区间[a ，b ]（a ，b ∈R 且a ＜b ）满足：y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，在所有满足上述条件的[a ，b ]中，求b ﹣a 的最小值．【答案】（1）x 4π=时，，最小值为12， x 12π=时，最大值为1；（2）283π． 【解析】（1）根据三角函数的单调性的性质；（2）根据三角函数的图象关系，求出函数的解析式，利用三角函数的性质进行求解即可．【详解】（1）∵04x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，， ∴2x 3π+∈[3π，56π]， ∴12≤sin x （2x 3π+）≤1，即f （x ）∈[12，1]， 当x 4π=时，f （x ）取得最小值，最小值为12， 当x 12=π时，f （x ）取得最大值，最大值为1；（2）函数y ＝f （x ）的图象向右平移12π个单位，再向上平移1个单位，得到函数y ＝g（x ）的图象， 则g （x ）＝2sin[2（x 12π-）3π+]+1＝2sin （2x 6π+）+1， 令g （x ）＝2sin （2x 6π+）+1＝0，解得x 6π=-+k π或x 2π=+k π，k ∈Z ， 即g （x ）的零点相离间隔依次为3π或23π， 故若y ＝g （x ）在[a ，b ]上至少含有20个零点，则b ﹣a 的最小值为103π⨯+922833ππ⨯=． 【点睛】 本题综合考查了三角函数的单调性、周期性、函数的零点等基础知识与基本技能，考查了分析问题和解决问题的能力、推理能力和计算能力，属于基础题．22．已知函数：f （x ）＝x 2﹣mx ﹣n （m, n ∈R ）．（1）若m +n ＝0，解关于x 的不等式f （x ）≥x （结果用含m 式子表示）；（2）若存在实数m ，使得当x ∈[1，2]时，不等式x ≤f （x ）≤4x 恒成立，求实数n 的取值范围．【答案】（1）见解析（2）[﹣4，8]．【解析】（1）由题意可得()()10x m x +-≥，分类讨论1m <-，1m =-，1m >-，结合二次不等式的解法可得所求解集；（2）由题意可得14n x m x≤++≤对[]1,2x ∈恒成立，即存在实数m ，使得14n n x m x x x --+≤≤--+对[]1,2x ∈恒成立，考虑()n y x n R x=--∈在[]1,2单调性，可得n 的不等式，即可得到n 的取值范围. 【详解】（1）由x ≤x 2+mx ﹣m ，即（x +m ）（x ﹣1）≥0，①m ＝﹣1时，可得x ∈R ；②m ＜﹣1时，﹣m ＞1，可得解集为（﹣∞，1]∪[﹣m ，+∞）；③m ＞﹣1时，﹣m ＜1，可得解集为（﹣∞，﹣m ]∪[1，+∞）；（2）x ∈[1，2]时，x ≤x 2+mx +n ≤4x 恒成立，即为1≤x n x++m ≤4对x ∈[1，2]恒成立， 即存在实数m ，使得﹣x n x -+1≤m ≤﹣x n x-+4对x ∈[1，2]恒成立， ∴（﹣x n x -+1）max ≤（﹣x n x -+4）min ，当0n <时，由n y x x =--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，40n ∴-≤< 当01n ≤≤时，由n y x x=--在[1，2]递减， ∴﹣n ≤22n -，即n ≥﹣4，01n ∴≤≤ 当4n ≥时，由n y x x=--在[1，2]递增， ∴132n n --≤-， 84n ∴≥≥ 当14n <<时，由n y x x=--在[1，2]先增后减，∴13n -≤-或122n -≤-，14n ∴<< 综上，实数n 的取值范围：[﹣4，8]．【点睛】本题考查二次不等式的解法，注意运用分类讨论思想方法，考查不等式恒成立问题解法，注意运用参数分离和函数的单调性，考查运算能力，属于中档题.。
2017-2018学年浙江省杭州市学军中学高一上学期期末考试数学试题
试卷Ⅰ
一、选择题 （本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分．在每小题给出的四个选项中，只有 ．．
一．项．是符合题目要求的． ）
1. 设集合 A { x | x2 x 12 0}, B { x | 2 x 6} ，则 (eR A) B （▲）
2
三、解答题 （本大题共 4 小题，共 42 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． ）
18. （本题满分 8 分）已知 AB (9,2), BC ( x, y), CD ( 1,2) （Ⅰ）若 BC / /CD ， AC CD ，求 x, y 的值； （Ⅱ）若 AC CD 3 ，求 BC 的最小值．
小值为（▲）
A. 5 B.
6 C. 7 D.
8
|(cos 2 sin )t 2 |
10. 函数 y
(t R, (0, )) 的最大值是（
）
t2 2 2t cos 2
2
A. 2
B. 3
C. 2
D. 5
第 II 卷（非选择题，共 70 分）
二、填空题 （本大题共 7 小题，每小题 4 分，共 28 分．请将答案填在答题卷中的横线上． ）
14. 已知角 的终边经过点 P(3t,1) ，且 cos(
)
3 ，则 tan
的值为 __▲ _ ．
5
15. 已知 f ( x) 为定义在 R 上的偶函数， 当 x 0 时，有 f ( x 1) f ( x) ，且当 x 0,1 时，
f ( x) log 2 ( x 1），给出下列命题 ① f (2017）+f ( 2018) 0
②函数 f (x) 是周期为 2 的函数
浙江省学军中学2023届高一上数学期末监测模拟试题含解析
9、B
【解析】根据函数的单调性可得 f a f b f c ，再分 f a 0 和 f a 0 两种情况讨论，结合零点的存在
性定理即可得出结论.
【详解】解：∵ f x 是定义在 R 上的减函数， a b c ，
∴ f a f b f c ，
∵ f a f b f c 0，
（1）求证：MN∥平面 PCD； （2）求证：平面 PAC⊥平面 PBD； （3）求四棱锥 P-ABCD 的体积
19．设函数 f x lg x 3m 的定义域为 A ，函数 g x 4 x2 1 的定义域为 B
x
（1）求 B ；
（2）若 A B ，求实数 m 的取值范围
20．已知函数
1．已知角
的终边经过点
3 5
,
4 5
，则
sin
2
2
的值为
1
1
A.
B.
10
5
4
9
C.
D.
5
10
2．设 a 0 ， b 1，若 a b 2 ，则 2 1 的最小值为（） a b 1
A. 4 2
B.6
C. 3 2 2
D. 2 2
3．已知 f x 为奇函数，当 x 0 时， f x ln x 2 ，则 f e （）
2022-2023 学年高一上数学期末模拟试卷
请考生注意： 1．请用 2B 铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用 0．5 毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答 案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。 2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的
杭州学军中学2022年数学高一上期末质量检测模拟试题含解析
，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故 的最小值是8.
故答案为：8.
【点睛】本题考查基本不等式的应用，解题的关键是得出定点A，代入一次函数得出 ，利用“1”的妙用求解.
12、
【解析】根据函数零点可转化为 有2个不等的根，利用对数函数的性质可知 ，由均值不等式求解即可.
详解】不妨设 ，
因为函数 有两个零点分别为a，b，
10、C
【解析】由任意角的定义判断
【详解】 ，故与其终边相同的角的集合为 或
角度制和弧度制不能混用，只有C符合题意
故选：C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
11、8
【解析】可得定点 ，代入一次函数得 ，利用 展开由基本不等式求解.
【详解】由 可得当 时， ，故 ，
点A在一次函数 的图像上， ，即 ，
【解析】（1） 是定义域为R的奇函数，利用奇函数的必要条件 ，求出 的值，进而求出 ，验证 是否为奇函数；
（2）可判断 在 上为增函数，用函数的单调性定义加以证明，取两个不等的自变量，对应函数值做差，因式分解，判断函数值差的符号，即可证明结论；
（3）由 ，换元令 ， ，由（2）得 ， ，根据条件转化为 在 最小值为-2，对二次函数 配方，求出对称轴，分类讨论求出最小值，即可求解
（2）先解关于 的一元二次不等式得到 ，再利用对数函数的单调性转化为分式不等式进行求解.
【小问1详解】
解： 是奇函数，证明如下：
令 ，即 ，
解得 ，即 的定义域为 ；
对于任意 ，都有 ，
且 ，
即 ，
所以 是奇函数.
【小问2详解】
解：因为 ，
所以 ，则 ，
即 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷 (解析版)
2020-2021学年杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学复习卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1. 集合U ={0,1，2，3，4，5}，A ={1,2}，B ={x ∈N|x 2−3x ≤0}，则∁U (A ∪B)=( )A. {0,1,2，3}B. {0,4,5}C. {1,2,4}D. {4,5} 2. 已知sinα+3cosα2cosα−sinα=2，则sin 2α+sinαcosα+1等于( ) A. 115 B. 25 C. 85 D. 75 3. 下列函数中，在定义域内既是奇函数，又是增函数是( )A. y =sinxB. y =x 3−xC. y =2xD. y =x 34. 函数f(x)=2x −8的零点是( )A. 3B. (3,0)C. 4D. (4,0)5. 在△ABC 中，已知D 是BC 延长线上一点，点E 为线段AD 的中点，若BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则λ=( ) A. −14 B. 14 C. −13 D. 13 6. 已知函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，若f[f(a)]≥−2，则实数a 的取值范围是( ) A. (−∞,1] B. (−∞,√2] C. [−1,+∞) D. [−√2,+∞)7. 已知向量AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为120∘，且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=2，|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |=3，若AP ⃗⃗⃗⃗⃗ =λAB ⃗⃗⃗⃗⃗ +AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，且，AP ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则实数λ的值为( )A. 37B. 13C. 6D. 127 8. sin 296π等于( ) A. −√32 B. −12C. 12D. √32 9. 函数f(x)=sin(2x −π4)在区间[0,π2]上的最小值是( )A. −1B. −√22C. √22D. 0 10. 若a ，b 分别为函数y =13sinx −1的最大值和最小值，则a +b 等于( )A. 23B. −23C. −43D. −2二、填空题（本大题共7小题，共28.0分）11.若f(x)为幂函数，且满足f(8)f(2)=2，则f(3)=______．12.已知扇形的面积为2π3平方厘米，弧长为2π3厘米，则扇形的半径r为______厘米．13.已知a⃗=(2,0)，b⃗ =(−1,2)，则b⃗ 在a⃗方向上的投影为______．14.已知角α的终边经过点(−2,1)，则tan(π−α)的值为______．15.已知f(x)为定义在R上的偶函数，当x≥0时，有f(x+1)=−f(x)，且当x∈[0,1)时，f(x)=log2(x+1)，给出下列命题：①f(2013)+f(−2014)的值为0；②函数f(x)在定义域上为周期是2的周期函数；③直线y=x与函数f(x)的图象有1个交点；④函数f(x)的值域为(−1,1)．其中正确的命题序号有______．16.已知函数f(x)=|x2−2x|+|2x2−3x|−ax.若对任意的x∈[0,+∞),f(x)≥0恒成立，则实数a的取值范围为_____．17.已知函数f(x)=x3−32(k+1)x2+3kx+1，其中k∈R.若函数f(x)在[1,2]上的最小值为3，则实数k的取值范围是_____．三、解答题（本大题共4小题，共42.0分）18.已知|a⃗|=√10，|b⃗ |=√5，a⃗·b⃗ =−5，c⃗=x a⃗+(1−x)b⃗ ．(1)当b⃗ ⊥c⃗时，求实数x的值；(2)当|c⃗|取最小值时，求向量a⃗与c⃗的夹角的余弦值．19.已知函数f(x)满足f(x)+3f(−x)=4ax2−8ax+8(a≠0)．(1)求f(x)的解析式；(2)若t>−3，求f(x)在[−3,t]上的最大值．20.已知函数f(x)=√3sin(2ωx+π3)(ω>0)的图象与x轴相邻两个交点的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式;(2)若将f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位长度得到函数g(x)的图象恰好经过点(−π3,0)，求当m取得最小值时，g(x)在[−π6,7π12]上的单调递增区间．21.若函数f(x)和g(x)满足：①在区间[a,b]上均有定义；②函数y=f(x)−g(x)在区间[a,b]上至少有一个零点，则称f(x)和g(x)在[a,b]上具有关系G．(1)若f(x)=lnx，g(x)=2−x，判断f(x)和g(x)在[1,3]上是否具有关系G，并说明理由；(2)若f(x)=2|x−2|和g(x)=mx2−1在[1,4]上具有关系G，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：D解析：本题主要考查集合的基本运算，结合补集并集的定义是解决本题的关键．求出集合B的等价条件，结合补集并集的定义进行计算即可．解：B={x∈N|0≤x≤3}={0,1，2，3}，则A∪B={0,1，2，3}，则C U(A∪B)={4,5}，故选D．2.答案：D解析：解：∵sinα+3cosα2cosα−sinα=2，∴tanα=13，∴sin2α+sinαcosα+1=sin2α+sinαcosα22+1=tan2α+tanαtan2α+1+1=75，故选：D．由已知求得tanα，结合平方关系把sin2α+sinαcosα+1化弦为切求解．本题考查三角函数的化简求值，考查了同角三角函数基本关系式的应用，是基础题．3.答案：D解析：解：对于A.是正弦函数，为奇函数，在(2kπ−π2,2kπ+π2)，k∈Z，为增函数，故A错；对于B.函数满足f(−x)=−x3+x=−f(x)，则为奇函数，f′(x)=3x2−1>0，解得，x>√33或x<−√33则为增，故B错；对于C.是指数函数，不为奇函数，故C错；对于D.f(−x)=−f(x)，则为奇函数，且y′=3x2≥0，则为增函数，故D对．故选D ．运用奇偶性和单调性的定义和常见函数的奇偶性和单调性，即可判断在定义域内既是奇函数，又是增函数的函数．本题考查函数的奇偶性和单调性的判断，注意运用定义法，属于基础题．4.答案：A解析：解：函数f(x)=2x −8的零点，就是2x −8=0的解，解得x =3．故选：A ．利用函数的零点与方程根的关系，求解方程的根即可．本题考查零点判定定理的应用，方程根的求法，考查计算能力．5.答案：A解析：本题考查了向量共线定理、向量的三角形法则，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 通过利用向量加减运算的三角形法则，以及向量共线，代入化简即可得出．解：∵∵点E 为线段AD 的中点，∴AE ⃗⃗⃗⃗⃗ =12AD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =12(AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +12×32BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =)=12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34(AC ⃗⃗⃗⃗⃗ −AB ⃗⃗⃗⃗⃗ )=−14AB ⃗⃗⃗⃗⃗ +34AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ， ∴λ=−14，故选A ．6.答案：D解析：画出函数f(x)的图象，由f(f(a))≥−2，可得f(a)≤2，数形结合求得实数a 的取值范围． 本题主要考查分段函数的应用，其它不等式的解法，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．解：∵函数f(x)={x 2,x <0−x 2+x,x ≥0，它的图象如图所示：。
学军高一上期末数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数f(x) = x^2 - 2x + 1，则f(3)的值为：A. 2B. 4C. 5D. 62. 在△ABC中，∠A = 60°，∠B = 45°，则∠C的度数为：A. 45°B. 60°C. 75°D. 90°3. 已知等差数列{an}的首项a1 = 2，公差d = 3，则第10项an的值为：A. 25B. 28C. 31D. 344. 下列哪个选项不是一次函数：A. y = 2x + 1B. y = 3x - 5C. y = 4x^2 + 2D. y = 5x5. 已知圆的方程为x^2 + y^2 = 16，则圆心坐标为：A. (0, 0)B. (2, 2)C. (-2, -2)D. (4, 4)6. 已知函数f(x) = |x - 2|，则f(-1)的值为：A. 1B. 2C. 3D. 47. 在直角坐标系中，点P(2, 3)关于x轴的对称点为：A. (2, -3)B. (-2, 3)C. (2, 3)D. (-2, -3)8. 已知数列{an}的通项公式为an = n^2 - 3n + 2，则第5项an的值为：A. 6B. 8C. 10D. 129. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 3，公比q = 2，则第4项bn的值为：A. 12B. 24C. 48D. 9610. 已知函数f(x) = (x - 1)^2，则f(2)的值为：A. 1B. 3C. 4D. 5二、填空题（每题5分，共50分）11. 若等差数列{an}的首项a1 = 1，公差d = 2，则第10项an = _______。
12. 已知等比数列{bn}的首项b1 = 2，公比q = 3，则第5项bn = _______。
13. 已知函数f(x) = 2x + 1，则f(-3) = _______。
14. 在△ABC中，∠A = 30°，∠B = 60°，则∠C = _______。
2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一(上)期末数学试卷
2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷试题数：21.满分：1001.（单选题.3分）设集合A={x|x2-x-12＞0}.B={x|-2≤x≤6}.则（∁R A）∪B=（）A.RB.[-3.6]C.[-2.4]D.（-3.6]2.（单选题.3分）已知tanα=2.则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A.1B.-1C.2D.-23.（单选题.3分）下列函数中.在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=log a xB.y=x3+xC.y=3xD.y=- 1x4.（单选题.3分）已知函数f（x）=4x-2x-2.则它的零点是（）A.（-1.0）B.（1.0）C.-1D.15.（单选题.3分）在△ABC中.点D是BC延长线上一点.若BC=2CD.则AD⃗⃗⃗⃗⃗ =（）A. 43AC⃗⃗⃗⃗⃗ - 13AB⃗⃗⃗⃗⃗B. 43AB⃗⃗⃗⃗⃗ - 13AC⃗⃗⃗⃗⃗C. 32AC⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AB⃗⃗⃗⃗⃗D. 32AB⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AC⃗⃗⃗⃗⃗6.（单选题.3分）设函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .f （f （a ））≤3.则实数a 的取值范围为（ ） A.（-2.4） B.（-2.0] C.[0. √3 ） D.（-∞. √3 ]7.（单选题.3分）在矩形ABCD 中.AD=3. EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CE⃗⃗⃗⃗⃗ .P 是边DC 上的动点.记 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 43PE ⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.λ=（ ） A. 43B. 34C.- 43D.- 348.（单选题.3分）设a∈R .b∈[-π.2π].若对任意实数x.都有cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）.则满足条件的有序实数对（a.b ）的对数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.49.（单选题.3分）已知函数f （x ）=sin （2x+ π3 ）.若存在x 1.x 2.…x m 满足0≤x 1＜x 2＜…＜x m ≤ 176 π.且|f （x 1）-f （x 2）|+|f （x 2）-f （x 3）|+…+|f （x m-1）-f （x m ）|=11（m≥2.m∈N *）.则m 的最小值为（ ） A.5 B.6 C.7 D.810.（单选题.3分）函数y= √2sinα)t−√2|√t 2−2√2tcosα+2（t∈R .α∈（0. π2））的最大值是（ ）A. √2B. √3C.2D. √511.（填空题.4分）若f （x ）为幂函数.且满足 f (8)f (2) =8.则f （16）=___ ．12.（填空题.4分）已知半径为120厘米的圆上.有一条弧所对的圆心角为α（0＜α＜π）.若cosα=- 12 .则这条弧长是___ 厘米．13.（填空题.4分）若△ABC 是边长为2的正三角形.则 AB⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ． 14.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）= 35 .则tanα的值为___ ． 15.（填空题.4分）已知f （x ）为定义在R 上的偶函数.当x≥0时.有f （x+1）=-f （x ）.且当x∈[0.1）时.f （x ）= log √2 （x+1）.给出下列命题： ① f （2017）+f （-2018）=0 ② 函数f （x ）是周期为2的函数 ③ 函数f （x ）值域为（-2.2）④ 直线y=2x 与函数f （x ）图象有2个交点 其中正确的是___ ．16.（填空题.4分）已知函数f （x ）=sin （πx+ π3 ）.g （x ）=alog 2x- 32 .若存在x 1.x 2∈[2.4].使f （x 1）=g （x 2）成立.则实数a 的取值范围是___ ．17.（填空题.4分）设函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.则正实数a 的最大值为___ ． 18.（问答题.8分）已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9.2）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2）． （Ⅰ）若 BC⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求x.y 的值； （Ⅱ）若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3.求| BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．19.（问答题.10分）定义在（0.+∞）上的函数f （x ）满足f （2x ）=x 2-2x ． （Ⅰ）求函数y=f （x ）的解析式；（Ⅱ）若关于x 的方程f （x ）= 3a+25−a 在（1.4）上有实根.求实数a 的取值范围．20.（问答题.12分）已知函数f （x ）=Acos （ωx+φ）（A ＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的图象与y 轴的交点为（0.-1）.它在y 轴右侧的第一个最小值点坐标为（x 0.-2）.与x 轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）若将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位得到奇函数.求实数m的最小值．21.（问答题.12分）已知函数f（x）=|x2-1|-4a.g（x）=x2-ax+4a．（Ⅰ）若F（x）=f（x）+g（x）在区间[0.2]上有两个零点x1.x2．① 求实数a的取值范围；② 若x1＜x2.求1x1+1x2的最大值；（Ⅱ）记h（x）=| xg(x)|.若h（x）在（0.1]上单调递增.求实数a的取值范围．2017-2018学年浙江省杭州市西湖区学军中学高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析试题数：21.满分：1001.（单选题.3分）设集合A={x|x2-x-12＞0}.B={x|-2≤x≤6}.则（∁R A）∪B=（）A.RB.[-3.6]C.[-2.4]D.（-3.6]【正确答案】：B【解析】：先求出集合A的补集.再根据并集定义求出结果【解答】：解：∵A={x|x2-x-12＞0}.∴（∁R A）={x|x2-x-12≤0}=[-3.4].∵B={x|-2≤x≤6}=[-2.6]∴（∁R A）∪B=[-3.6]故选：B．【点评】：本题考查了集合并集和补集的运算.属于基础题2.（单选题.3分）已知tanα=2.则sinα+cosα2sinα−cosα=（）A.1B.-1C.2D.-2【正确答案】：A【解析】：弦化切.即可求解．【解答】：解：已知tanα=2.由sinα+cosα2sinα−cosα = tanα+12tanα−1= 2+12×2−1=1．故选：A．【点评】：本题主要考查了同角三角函数关系式和弦化切的思想应用.属于基本知识的考查．3.（单选题.3分）下列函数中.在其定义域上既是奇函数又是增函数的是（）A.y=log a xB.y=x3+xC.y=3xD.y=- 1x【正确答案】：B【解析】：运用奇偶性的定义和导数的运用.结合常见函数的奇偶性和单调性.即可得到既是奇函数又是增函数的函数．【解答】：解：对于A．则为对数函数.定义域为（0.+∞）.则函数没有奇偶性.故A不满足条件；对于B．定义域为R.f（-x）=-x3-x=-f（x）.即有f（x）为奇函数.又f′（x）=3x2+1＞0.则f（x）在R上递增.故B满足条件；对于C．则为指数函数.f（-x）≠-f（x）.则不为奇函数.故C不满足条件；对于D．则为反比例函数.定义域为（-∞.0）∪（0.+∞）.f（-x）=-f（x）.则f（x）为奇函数. 且在（-∞.0）和（0.+∞）均为增函数.故D不满足条件．故选：B．【点评】：本题考查函数的奇偶性和单调性的判断.注意运用奇偶性和单调性的定义结合常见函数的奇偶性和单调性.属于基础题和易错题．4.（单选题.3分）已知函数f（x）=4x-2x-2.则它的零点是（）A.（-1.0）B.（1.0）C.-1D.1【正确答案】：D【解析】：根据题意.令f（x）=0解可得2x=2.结合指数的运算性质可得x的值.由函数零点的定义分析可得答案．【解答】：解：根据题意.函数f （x ）=4x -2x -2. 若f （x ）=4x -2x -2=0.解可得2x =2或2x =-1（舍） 若2x =2.则x=1. 故选：D ．【点评】：本题考查函数的零点的定义.关键是掌握求函数零点的方法.属于基础题． 5.（单选题.3分）在△ABC 中.点D 是BC 延长线上一点.若BC=2CD.则 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（ ）A. 43 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 13 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ B. 43 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 13 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ C. 32 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ D. 32AB ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 【正确答案】：C【解析】：由已知中点D 是BC 延长线上一点.BC=2CD.结合向量减法的三角形法则.可得答案．【解答】：解：∵点D 是BC 延长线上一点.若BC=2CD. ∴ BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .即 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ -2 AC⃗⃗⃗⃗⃗ . 故 AD ⃗⃗⃗⃗⃗ = 32AC ⃗⃗⃗⃗⃗ - 12AB ⃗⃗⃗⃗⃗ .故选：C ．【点评】：本题考查的知识点是平面向量的基本定理.难度中档．6.（单选题.3分）设函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .f （f （a ））≤3.则实数a 的取值范围为（ ） A.（-2.4） B.（-2.0] C.[0. √3 ） D.（-∞. √3 ] 【正确答案】：D【解析】：根据已知中函数f （x ）= {x 2+2x ，x ＜0−x 2，x ≥0 .分类讨论求解f （f （a ））≤3.综合可得答案．【解答】：解：当a≤-2时.f （a ）=a 2+2a≥0.f （f （a ））=-（a 2+2a ）2≤3恒成立. 当-2＜a ＜0时.f （a ）=a 2+2a∈[-1.0）.f （f （a ））=（a 2+2a ）2+2（a 2+2a ）≤3恒成立. 当a=0时.f （a ）=-a 2=0.f （f （a ））=-a 4=0≤3成立.当a ＞0时.f （a ）=-a 2＜0.由f （f （a ））=（-a 2）2+2（-a 2）≤3得：-3≤-a 2＜0.解得：0 ＜a ≤√3综上可得：a 的取值范围为（-∞. √3 ]． 故选：D ．【点评】：本题考查的知识点是分段函数的应用.不等式的解法.难度中档．7.（单选题.3分）在矩形ABCD 中.AD=3. EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2 CE⃗⃗⃗⃗⃗ .P 是边DC 上的动点.记 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ =λ PC ⃗⃗⃗⃗⃗ .当| PA ⃗⃗⃗⃗⃗ + 43 PE⃗⃗⃗⃗⃗ |取最小值时.λ=（ ） A. 43 B. 34C.- 43D.- 34【正确答案】：C【解析】：把 PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为 PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ .把 PE ⃗⃗⃗⃗⃗ 化为 PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE ⃗⃗⃗⃗⃗ .在结合E 为BC 的三等分点. DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB ⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ .化简分析可得．【解答】：解：∵ EB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2CE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ CE ⃗⃗⃗⃗⃗ =13CB ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ DA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CB⃗⃗⃗⃗⃗ =3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ . ∴ |PA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PE ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43(PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +CE⃗⃗⃗⃗⃗ )| = |PD ⃗⃗⃗⃗⃗ +DA ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +43CE ⃗⃗⃗⃗⃗ | = |λPC ⃗⃗⃗⃗⃗ +3CE ⃗⃗⃗⃗⃗ +43PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +43CE ⃗⃗⃗⃗⃗ |= |(λ+43)PC ⃗⃗⃗⃗⃗ +(3+43)CE ⃗⃗⃗⃗⃗ | . ∴当 λ=−43 时.上式取得最小值． 故选：C ．【点评】：此题考查了平面向量基本定理.向量之间的转化.难度适中．8.（单选题.3分）设a∈R .b∈[-π.2π].若对任意实数x.都有cos （4x- 2π3）=sin （ax+b ）.则满足条件的有序实数对（a.b ）的对数为（ ） A.1 B.2 C.3 D.4【正确答案】：D【解析】：由cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）可得 −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsinax+sinbcosax.可知a=±4.分别讨论当a=4和a=-4时的情况即可求出b 的值.即可得出满足条件的有序实数对（a.b ）的对数．【解答】：解：∵cos （4x- 2π3 ）=sin （ax+b ）. ∴ −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsinax+sinbcosax. 依题意有a=±4.若a=4.则 −12 cos4x+ √32 sin4x=cosbsin4x+sinbcos4x 于是 {−12=sinb √32=cosb .∴b 的终边在第四象限.又b∈[-π.2π]. 故b=- π6或b=11π6； 若a=-4.则 −12cos4x+ √32sin4x=-cosbsin4x+sinbcos4x 于是 {−12=sinb √32=−cosb .∴b 的终边在第三象限.又b∈[-π.2π]. 故b= −5π6或b= 7π6 .综上满足条件的（a.b ）共有4对．故选：D．【点评】：本题考查了三角恒等式的运用.考查了分类讨论的思想.考查了计算能力.属于中档题．9.（单选题.3分）已知函数f（x）=sin（2x+ π3）.若存在x1.x2.…x m满足0≤x1＜x2＜…＜x m≤ 176π.且|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x m-1）-f（x m）|=11（m≥2.m∈N*）.则m的最小值为（）A.5B.6C.7D.8【正确答案】：C【解析】：由正弦函数的有界性可得.对任意x i.x j（i.j=1.2.3.….m）.都有|f（x i）-f（x j）|≤f（x）max-f（x）min=2.要使n取得最小值.尽可能多让x i（i=1.2.3.….m）取得最高点.然后作图可得满足条件的最小m值．【解答】：解：∵f（x）=sin（2x+ π3）对任意x i.x j（i.j=1.2.3.….m）.都有|f（x i）-f（x j）|≤f（x）max-f（x）min=2.要使m取得最小值.尽可能多让x i（i=1.2.3.….m）取得最高点.考虑0≤x1＜x2＜…＜x m≤ 17π6.|f（x1）-f（x2）|+|f（x2）-f（x3）|+…+|f（x m-1）-f（x m）|=11.按图取值即可满足条件.即有|1-（-1）|+|-1-1|+|1-（-1）|+|-1-1|+|1-（-1）|+|0-1|=11．则n的最小值为7．故选：C．【点评】：本题考查正弦函数的图象和性质.考查正弦函数的有界性的应用.考查分析问题和解决问题的能力.考查数学转化思想方法.属于中档题．10.（单选题.3分）函数y= √2sinα)t−√2|√t2−2√2tcosα+2（t∈R.α∈（0. π2））的最大值是（）A. √2B. √3C.2D. √5【正确答案】：B【解析】：函数y的几何意义为点（0.0）到直线（t- √2cosα）x+ √2sinαy+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0的距离.求得直线恒过定点P（-cosα- √2sinα.sinα- √2cosα）.由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值.运用两点的距离公式和同角的平方关系.即可得到所求最大值．【解答】：解：函数y= √2sinα)t−√2|√t2−2√2tcosα+2（t∈R.α∈（0. π2））= √2sinα)t−√2|√(t−√2cosα)+(√2sinα)的几何意义为点（0.0）到直线（t- √2cosα）x+ √2sinαy+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0的距离. 由直线（t- √2cosα）x+ √2ysinα+（cosα+ √2sinα）t- √2 =0即为t（x+cosα+ √2sinα）+（√2ysinα- √2xcosα- √2）=0.由x+cosα+ √2sinα=0且√2ysinα- √2xcosα- √2 =0.可得x=-cosα- √2sinα.y=sinα- √2cosα.则直线恒过定点P（-cosα- √2sinα.sinα- √2cosα）.由题意可得原点到定点P的距离即为所求最大值.可得|OP|= √(cosα+√2sinα)2+(sinα−√2cosα)2= √cos2α+sin2α+2sin2α+2cos2α = √3．故选：B ．【点评】：本题考查函数的最值的求法.注意运用点到直线的距离公式.以及转化思想.直线恒过定点的求法.考查化简整理的运算能力.属于难题．11.（填空题.4分）若f （x ）为幂函数.且满足 f (8)f (2) =8.则f （16）=___ ．【正确答案】：[1]64【解析】：设f （x ）=x a .由f (8)f (2) =8.解得a= 32 .从而f （x ）= x 32 .由此能求出f （16）．【解答】：解：∵f （x ）为幂函数.∴设f （x ）=x a .∵满足 f (8)f (2) =8.∴ 8a 2a =8.解得a= 32 . ∴f （x ）= x 32 .∴f （16）= 1632=64．故答案为：64．【点评】：本题考查函数值的求法.考查对数函数的性质等基础知识.考查运算求解能力.考查函数与方程思想.是基础题．12.（填空题.4分）已知半径为120厘米的圆上.有一条弧所对的圆心角为α（0＜α＜π）.若cosα=- 12 .则这条弧长是___ 厘米．【正确答案】：[1]80π【解析】：由已知可求圆心角.代入扇形的弧长公式：l=α•r 求出弧长即可．【解答】：解：∵0＜α＜π.cosα=- 12 .∴α= 2π3 .∴由扇形的弧长公式得：弧长l=α•r= 2π3 ×120=80πcm .故答案为：80π．【点评】：本题考查弧长公式的应用.要注意公式中的圆心角一定要用弧度来表示.不能用度数.属于基础题．13.（填空题.4分）若△ABC 是边长为2的正三角形.则 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为___ ．【正确答案】：[1]1【解析】：可先画出图形.根据投影的计算公式进行计算即可．【解答】：解：如图：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的夹角为60°.则：AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 在 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向上的投影为： |AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |cos60°=2×12=1 ． 故答案为：1．【点评】：考查一个向量在另一个向量方向上的投影的定义.以及计算公式．14.（填空题.4分）已知角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）= 35 .则tanα的值为___ ．【正确答案】：[1]- 43【解析】：利用诱导公式.任意角的三角函数的定义.先求得t 的值.可得tanα的值．【解答】：解：∵角α的终边经过点P （3t.1）.且cos （π+α）=-cosα= 35 .即cosα=- 35 = √9t 2+1 .∴t=- 14 ．则tanα= 13t =- 43 .故答案为：- 43 ．【点评】：本题主要考查诱导公式.任意角的三角函数的定义.属于基础题．15.（填空题.4分）已知f （x ）为定义在R 上的偶函数.当x≥0时.有f （x+1）=-f （x ）.且当x∈[0.1）时.f （x ）= log √2 （x+1）.给出下列命题：① f （2017）+f （-2018）=0② 函数f （x ）是周期为2的函数③ 函数f （x ）值域为（-2.2）④ 直线y=2x 与函数f （x ）图象有2个交点其中正确的是___ ．【正确答案】：[1] ① ③【解析】：根据函数的奇偶性.及当x≥0时.有f（x+1）=-f（x）.且当x∈[0.1）时.f（x）= log√2（x+1）.画出函数的图象.逐一分析四个结论的真假性．【解答】：解：f（x）为定义在R上的偶函数.当x≥0时.有f（x+1）=-f（x）.且当x∈[0.1）时.f（x）= log√2（x+1）.故函数f（x）的图象如下图所示：由图可得：f（2017）+f（-2018）=0+0=0. ① 正确；由图象知函数f（x）在定义域上不是周期函数. ② 错误；函数f（x）的值域为（-2.2）. ③ 正确；直线y=2x与函数f（x）的图象有1个交点. ④ 错误；综上.正确的命题序号有：① ③ ．故答案为：① ③ ．【点评】：本题考查了函数的图象和性质的应用问题.根据题意画出满足条件的函数图象是解题的关键．16.（填空题.4分）已知函数f（x）=sin（πx+ π3）.g（x）=alog2x- 32.若存在x1.x2∈[2.4].使f（x1）=g（x2）成立.则实数a的取值范围是___ ．【正确答案】：[1][ 14 .5 2 ]【解析】：根据条件确定函数f（x）的值域和g（x）的值域.进而根据f（x1）=g（x2）成立.推断出f（x）与g（x）的值域的交集不等于空集.即可得到结论．【解答】：解：x 1∈[2.4]时.2π+ π3 ≤πx+ π3 ≤4π+π3 .∴f （x 1）∈[-1.1]．x 2∈[2.4]时.g （x 2）∈[a - 32 .2a- 32 ]．依题意有两函数的值域有公共元素.则 {a −32≤12a −32≥−1.解得 14≤ a ≤52 ． 故答案为[ 14 . 52 ]．【点评】：本题考查的知识点是方程的根.存在性问题.集合关系的判断.其中将已知转化为两个函数的值域A.B 的有公共元素.是解答的关键．属于中档题．17.（填空题.4分）设函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.则正实数a 的最大值为___ ．【正确答案】：[1] 9124【解析】：由题意可得（x 1-x 2）（ x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k ）≤0.k 3-ak 2+ 1k ≥-k-a.即为a≤k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3].求得右边函数的最大值.即可得到所求a 的最大值．【解答】：解：函数f （x ）= 12 x 2+（k 3-ak 2+ 1k ）x+7a （a.k∈R ）.存在k∈[2.3].若x 1.x 2满足x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有f （x 1）≤f （x 2）.可得 12 x 12+（k 3-ak 2+ 1k ）x 1+7a≤ 12 x 22+（k 3-ak 2+ 1k ）x 2+7a.即有（x 1-x 2）（ x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k）≤0. 由x 1-x 2＜0.可得 x 1+x 22 +k 3-ak 2+ 1k≥0. 由x 1∈[k .k+ a 2 ].x 2∈[k+2a .k+3a]有x 1+x 22 ∈[k+a .k+ 7a 4 ]. k 3-ak 2+ 1k ≥-k-a.即为a≤k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3]. 设g （k ）= k 4+k 2+1k (k 2−1) .k∈[2.3]. 即有g （k ）=k- 1k + 32(k−1) + 32(k+1). g′（k ）=1+ 1k 2 - 32 （ 1(k−1)2 + 1(k+1)2 ） = (1+k 2)(k 4−5k 2+1)k 2(k 2−1)2. 由k 4-5k 2+1=0.解得k= √5+√212 ∈[2.3].显然k∈[2. √5+√212）.g （k ）递减. 在k∈（ √5+√212 .3）.g （k ）递增.g （2）= 72 .g （3）= 9124且g （2）＜g （3）.则0＜a≤ 9124 .可得a 的最大值为 9124 .故答案为： 9124 ．【点评】：本题考查不等式恒成立问题解法.注意运用转化思想和构造函数法.运用导数判断单调性.求最值.考查化简整理的运算能力.属于难题．18.（问答题.8分）已知 AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9.2）. BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（x.y ）. CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =（-1.2）．（Ⅰ）若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .求x.y 的值；（Ⅱ）若 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3.求| BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据向量的垂直和平行即可求出.（Ⅱ）根据向量的数量积可得x=2y-2.再根据向量的模和二次函数的性质即可求出．【解答】：解（Ⅰ）由题意得 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =（9+x.2+y ）.又若 BC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ . AC ⃗⃗⃗⃗⃗ ⊥CD ⃗⃗⃗⃗⃗ .则2x+y=0.（9+x ）+2（2+y ）=0；解得x=-1.y=2（Ⅱ）由 AC ⃗⃗⃗⃗⃗ •CD ⃗⃗⃗⃗⃗ =-3得-x+2y=2 即x=2y-2.∴| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |= √x 2+y 2 = √(2y −2)2+y 2 = √5y 2−8y +4 = √5(y −45)2+45. 则当y= 45 时.| BC ⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值 2√55 ．【点评】：本题考查了向量的数量积.以及向量的平行垂直和向量的模.属于基础题．19.（问答题.10分）定义在（0.+∞）上的函数f（x）满足f（2x）=x2-2x．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）若关于x的方程f（x）= 3a+25−a在（1.4）上有实根.求实数a的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）令t=2x.则x=log2t.代入函数f（x）.即可得到所求解析式；（Ⅱ）运用配方.求得函数f（x）的值域.再由分式不等式的解法.可得所求范围．【解答】：解：（Ⅰ）令t=2x.则x=log2t.由f（2x）=x2-2x得f（t）=（log2t）2-2log2t.即f（x）=（log2x）2-2log2x.x＞0；（Ⅱ）f（x）=（log2x）2-2log2x=（log2x-1）2-1= 3a+25−a.由x∈（1.4）.可得log2x∈（0.2）.（log2x-1）2-1∈[-1.0）.即-1≤ 3a+25−a＜0.即为7+2a5−a ≥0且a＞5或a＜- 23.解得- 72≤a＜- 23．【点评】：本题考查函数的解析式的求法.以及函数方程的转化思想.考查二次函数的最值求法和二次不等式的解法.属于中档题．20.（问答题.12分）已知函数f（x）=Acos（ωx+φ）（A＞0.ω＞0.0＜φ＜π）的图象与y轴的交点为（0.-1）.它在y轴右侧的第一个最小值点坐标为（x0.-2）.与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．（Ⅰ）求函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）若将函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位得到奇函数.求实数m的最小值．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）由题意知：A=2.x=0时.y=-1.求解φ.顶点与第一个交点的横坐标距离是四分之一个周期.即可求解ω.可得函数y=f（x）的解析式；（Ⅱ）根据余弦函数的性质即可求函数y=f（x）在[0.π]上的单调区间；（Ⅲ）根据函数y=Acos（ωx+φ）的图象变换规律.得到奇函数.即可求解实数m的最小值．【解答】：解：（Ⅰ）由题意知：A=2.图象与y轴的交点为（0.-1）.即f（0）=2cosφ=-1.∵0＜φ＜π.∴φ= 2π3第一个最小值点坐标为（x0.-2）.与x轴正半轴的第一个交点的横坐标为x0+ π4．∴ π4 = 14T .即T=π那么ω=2．可得函数y=f（x）的解析式为f（x）=2cos（2x+ 2π3）（Ⅱ）由（Ⅰ）解析式：f（x）=2cos（2x+ 2π3）令2kπ-π≤2x+ 2π3≤2kπ.k∈Z即kπ- 5π6≤x≤kπ- π3.∵x在[0.π]上.∴递增区间：[ π6 . 2π3]令2kπ≤2x+ 2π3≤2kπ+π.k∈Z即kπ- π3≤x≤kπ +π6.k∈Z∵x在[0.π]上.∴单调递减区间区间：[0. π6 ].[ 2π3.π]（Ⅲ）将函数函数y=f（x）向左平移m（m＞0）个单位. 得到g（x）=2cos（2x+2m+ 2π3）∵g（x）奇函数.∴2m+ 2π3 = π2+kπ .k∈Z解得：m= k 2π−π12. ∵m ＞0. ∴m 的最小值为 5π12 ．【点评】：本题主要考查三角函数的图象和性质.根据信息求出函数的解析式是解决本题的关键．要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．21.（问答题.12分）已知函数f （x ）=|x 2-1|-4a.g （x ）=x 2-ax+4a ．（Ⅰ）若F （x ）=f （x ）+g （x ）在区间[0.2]上有两个零点x 1.x 2．① 求实数a 的取值范围；② 若x 1＜x 2.求 1x 1+1x 2的最大值； （Ⅱ）记h （x ）=|x g (x ) |.若h （x ）在（0.1]上单调递增.求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ） ① 化为分段函数.即可得到 {a ≥1(1−a )(7−2a )≤0 解得即可. ② 由题意x 1= 1a .x 2= a+√a 2+8a.代值计算.根据函数单调性即可求出. （Ⅱ）h （x ）=|1x+4a x −a |.x∈（0.1].分类讨论.根据函数单调性即可求出．【解答】：解：（Ⅰ） ① F （x ）=）=|x 2-1|-4a+x 2-ax+4a= {2x 2−ax −1，x ∈[1，2]1−ax ，x ∈[0，1). 由题意得： {a ≥1(1−a )(7−2a )≤0解得1≤a≤ 72 .检验a=1不合题意.故1＜a≤ 72 ； ② 由题意x 1= 1a .x 2=a+√a 2+8a . 所以 1x 1+1x 2 =a+ a+√a 2+8 = 12 （a+ √a 2+8 ）.它在（1. 72 ]上单调递增.当a= 72 时. 1x 1+1x 2 取得最大值4；（Ⅱ）h （x ）=| x g (x ) |=| x x 2−ax+4a |=| 1x+4a x −a |.x∈（0.1]. （1）当a=0时.h （x ）= 1x .x∈（0.1]单调递减.不合题意（2）当a＜0时.h（x）=| 1x+4ax −a|.在（0.1]上单调递增.则x+ 4ax-a＜0对任意x∈（0.1]恒成立.所以1+4a-a＜0.解得a＜- 13；（3）当a＞0时.h（x）=| 1x+4ax −a|.在（0.1]上单调递增.则2 √a≥1且x+ 4ax-a＞0对任意x∈（0.1]恒成立.所以a≥ 14且1+4a-a＞0.解得a≥ 14；综上a≥ 14或a＜- 13【点评】：本题考查了分段函数.函数的单调性.参数的取值范围.考查了转化能力.和分类讨论的能力.属于中档题。
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杭州学军中学2011学年第一学期期末考试高一数学试卷
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）
1．设{}{}
4|,4|2<=<=x x Q x x P ，则（ ）
A ．Q P ⊆
B ．P Q ⊆
C ．Q C P R ⊆
D ．P C Q R ⊆
2．函数)176(log 221+-=x x y 的值域是( )
A. R
B. ),8[+∞
C. ),3[+∞-
D. ]3,(--∞
3．若右框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中可以填入的关
于k 的条件是（ ）
A ． 9k =?
B ．9k ≤?
C ．?8≤k
D ．8>k ?
4．某单位有职工750人，其中青年职工350人，中年职工250人，老
年职工150人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法
从中抽取样本 . 若样本中的青年职工为7人，则样本容量为（ ）
A ．7
B ．15
C ．25
D ．35
5．已知定义在实数集上的函数)(x f y =满足)()()(y f x f y x f +=+,
且)(x f 不恒等于零，则)(x f y =是（ ）
A.奇函数
B.偶函数
C.非奇非偶函数
D.不能确定
6．如下图，为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17岁－18岁的男生体重(kg) ,得到频率分布直方图如下．根据此图可得这100名学生中体重在〔56.5,64.5〕的学生人数是（ ）
A ．20
B ．30
C ．40
D ．50
7．将一枚骰子抛掷两次，若先后出现的点数分别为,b c ，则方程20x bx c ++=有实根的概率为（ ）
A ．12
B ． 1736
C ．59
D ． 1936
29 1258 30 56 31 0247 8．已知函数⎪⎩⎪⎨⎧>+-<<=10,62
1100|,lg |)(x x x x x f ，若c b a ,,互不相等，且)()()(c f b f a f ==，则abc 的取值范围是（ ）
A ．（1，10）
B ．（5，6）
C ．（10，12）
D ．（20，24）
9．函数22x y x =-的图像大致是（ ）
10．已知定义在R 上的函数)(x f y =满足下列三个条件：
①对于任意的)()4(x f x f x =+∈都有R ；②对于任意的)()(202121x f x f x x <≤<≤都有； ③函数.)2(轴对称的图象关于y x f y += 则下列结论正确的是 （ ）
A ．)5.15()5()5.6(f f f >>
B ．)5.15()5.6()5(f f f <>
C ．)5.6()5.15()5(f f f <<
D ．)5.6()5()5.15(f f f >>
二．填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分）
11．右图是根据《某省统计年鉴2010》中的资料作成的2001年至2010年 全省城镇居民百户家庭人口数的茎叶图，图中左边的数字从左到右分别表示
城镇居民百户家庭人口数的百位数字和十位数字，右边的数字表示城镇居民
百户家庭人口数的个位数字，从图中可以得到2001年至2010年全省城镇居
民百户家庭人口数的平均数为
12．已知函数x x x x f +-+-=11log )(2，则)2012
1()20121(-+f f = 13．从分别写有A 、B 、C 、D 、E 的5张卡片中，任取2张，这2张卡片上的字母恰好是按字母顺序相邻的概率为
14．化简：1.0lg 2
1036.0lg 21600lg )2(lg 8000lg 5lg 2
3--+⋅= 15．设关于x 的二次方程01)1(2=+-+x m x 在区间[0，2]上有两不同解，则实数m 的取
值范围是
16．设函数2()1f x x =-，对任意),3[+∞∈x ，24()(1)4()x f m f x f x f m m ⎛⎫-≤-+
⎪⎝⎭
恒成立，则实数m 的取值范围是 .
三．解答题（本大题共5小题．共46分。
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本题满分8分）
已知函数2|12|)(2--+=x x x f 。
（1）作出函数)(x f 的图象；
（2）求出函数)(x f 的单调区间及最小值。
18． （本题满分8分）
为了了解《中华人民共和国道路交通安全法》在学生中的普及情况，调查部门对某校6名学生进行问卷调查．6人得分情况如下：82，86，87，88，91，94．把这6名学生的得分看成一个总体．
（1）求该总体的平均数与方差；
（2）用简单随机抽样方法从这6名学生中抽取2名，他们的得分组成一个样本．求该样本平均数与总体平均数之差的绝对值不超过5.1的概率．
19．（本题满分10分）已知函数2
|2|)2ln()(2-+-=x x x f （1）判断)(x f 的奇偶性并给予证明；
（2）求满足0)(≥x f 的实数x 的取值范围。
20．（本题满分10分） 已知函数)34lg(222-+-++-=
x x x x y 的定义域为M ， （1）求M ；
（2）当M x ∈时，求函数)3(432
)(2-<⋅+⋅=+a a x f x x 的最小值。
21．（本题满分10分） 已知函数1
24124)(+++⋅+=x x x x k x f 。
（1） 若对于任意的0)(,>∈x f R x 恒成立，求实数k 的取值范围；
（2） 若)(x f 的最小值为2-，求实数k 的值；
（3） 若对任意的R x x x ∈321,,，均存在以)(),(),(321x f x f x f 为三边长的三角形，求
实数k 的取值范围。
杭州学军中学2011学年第一学期期末考试
高一数学答卷
一．选择题（本题满分30分）
请直接将答案填涂在答题卡上的相应题号处
二．填空题（本题满分24分）
11． 12．
13． 14．
15． 16．
二．解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（本题满分8分）
18．（本题满分8分）
19．（本题满分10分）
20．（本题满分10分）21．（本题满分10分）
杭州学军中学2011学年第一学期期末考试
高一数学答案
一．选择题
BDCBA CDCAA
三．填空题
11．304 12．0 13．52
14．43
；15．)1,23
[--； 16．),22
[]22,(+∞--∞
三．解答题
17．（1）图（略）
（2）单调减区间：]21,(-∞，单调增区间：),21
[+∞，47
)21()(min -==f x f
18．（1）31
14,882==S x ； （2）158
=P
19．（1）奇函数；
（2）⎩⎨⎧≥->⇒≥0)2ln(0
0)(2x x x f 或100)2ln(0
2≤<⇒⎩⎨⎧≤-<x x x 或1
2-≤<-x
20．（1）]2,1(=M
（2）⎪⎩⎪⎨⎧-<+-<≤--=6
,48163
6,34)(2
min a a a a x f
21．（1）2->k
（2）1
21
21
1124124)(++-+=+++⋅+=x x x x x x k k x f ， 令3121
2≥++=x x t ，则)3(1
1≥-+=t t k y ，
当1>k 时，]32
,1(+∈k y 无最小值，舍去；
当1=k 时，1=y 最小值不是2-，舍去； 当1<k 时，)1,32
[+∈k y ，最小值为8232
-=⇒-=+k k ，
综上所述，8-=k 。
（3） 由题意，)()()(321x f x f x f >+对任意R x x x ∈321,,恒成立。
当1>k 时，因342)()(221+≤+<k x f x f 且32)(13+≤<k x f ， 故23
2≤+k ，即41≤<k ； 当1=k 时，1)()()(321===x f x f x f ，满足条件； 当1<k 时，2)()(34221<+≤+x f x f k 且1)(323<≤+x f k ，故3421+≤k ，121
<≤-k ； 综上所述，421
≤≤-k。