实变函数论课后答案第四章

实变函数论课后答案第四章4
第四章第四节习题
1.设于，于，证明：于
证明：，
（否则，若，而，
矛盾），则
（）
从而
2.设于，，且于，证明于
证明：由本节定理2（定理）从知的子列使
于
设，,于，从条件于，设
,,于上
令，则，且
故
，则
令，
故有，从而命题Hale Waihona Puke Baidu证
3． 举例说明时定理不成立
解：取，作函数列
显然于上，但当时
，不 故时定理不成立，即于不能推出于 周民强《实变函数》P108若是非奇异线性变换， ，则
,，且
!
，存在，使，
下面证（）成立.任一线性变换至多可分解为有限个初等变换 的乘积
（i）坐标之间的交换
（ii）
（iii）
在（i）的情形显然（）成立
在（ii）的情形下，矩阵可由恒等矩阵在第一行乘以而得到 从而可知 （）式成立
在（iii）的情形，此时（）
而且
（
则
反过来，，则
令则，
则，）
记
，则
（，则，，则
，且，则
反过来，，则存在，，使
证明：为的基，，
，,,令，则
则（即是连续的）
一边平行于坐标平面的开超矩体
，开，连续，则是中开集从而可测，从而是中可测集，由归纳法知 是可测集
若（）式成立，则矩体，
，为正方体，则对开集也有，特别对开区间
这一开集有
则可知，若，则
事实上，，开区间，，
令知 若（）成立，则将可测集映为可测集，还要看（）证明过程 是否用到将可测集映为可测集或推出这一性质！
（） 表示矩阵的行列式的绝对值.
证明：记
显然是个的平移集（）的并集，是个（）的并集，且有，
现在假定（）式对于成立 （）
则
因为，所以得到 这说明（）式对于以及的平移集成立，从而可知（）式对可数个 互不相交的二进方体的并集是成立的（对任意方体，
）
对一般开集，，为二进方体，互补相交
则
1-1，连续，连续 开，则开，从而可测
于是应用等测包的推理方法立即可知，对一般点集（）式成立
设为有界集，开，，则开，且不妨设有界，否则令 有界，令即可.连续，则开，开，可测（） ，，
故
（开） 若为无界集，令，则，为有界集
，线性，则若，则（后面证）
，则由注释书P69定理3，存在集，，若有界，
则，故 （1-1）
则，故
若无界，则，
线性，若，则